通用版中考数学精讲 专题27 弧长及扇形的面积

辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积：『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l = . 『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积的计算公式为：S = . 『活动三』扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S =360nπR 2化为S =180R n ·21R ，从面可得扇形面积的另一计算公式：S = . 二、圆锥的侧面积和全面积：1．圆锥的基本概念： 的线段SA 、SA 1……叫做圆锥的母线，的线段叫做圆锥的高．2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：将圆锥的侧面沿母线l 剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r ，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 ． 3．圆锥侧面积计算公式圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长， 这样，S 圆锥侧=S 扇形=21·2πr · l = πrl 4．圆锥全面积计算公式S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）三、例题讲解：例1、（2011•德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为 ． 例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD =120°，四边形ABCD 的周长为15．A1（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（－4，0），⊙P 的半径为2，将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1． （1）画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；（2）设⊙P 1与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积（结果保留π）．y x－3 O 12312 3 －3－2 －1－1 －2 －4 －5 －6A BCDEF（第3题）O四、同步练习：1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为： （ ）A ．10πB ．10C ．10πD ．π2、（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（ ）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．-3π2B ．-32π3C ．-32π2D ．-322π34、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π35、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０cm ，则圆锥的侧面积为________.6、（2012·哈尔滨，题号16分值 3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8π，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．ABD CO图2ABC 第1题图A OD第2题图 第9题第11题7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积为 cm 2．8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC 内接于扇形MON ，当CN =CO 时，∠NMB10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90o，∠A =30o，若△RtABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，点A 所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．11、（2011•丹东，14，3分）如图，将半径为3cm 的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB =2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C =45°，则（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）第12题图AC13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,点E 在⊙O 外,∠EAC =∠D =60°. （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AE 是⊙O 的切线； （3）当BC =4时，求劣弧AC 的长.14、（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，半径OA =6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．O BCDE15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径= （结果保留根号）；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.参考答案例1、考点：圆锥的计算。

B A O 专题27 正多边形与圆及弧长与扇形面积计算【知识要点】正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。

正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

【解题思路】1.正边形半径、边心距和12边长构成直角三角形。

2.已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解。

正多边形的对称性：1）正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

2）一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心。

【小结】正n 变形的内角为(n−2)×180°n ，外角为3600n ，中心角为3600n 内角和为（ n-2 ）×180°。

【扩展】正多边形常见边心距与边长的比值第一种 正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，在Rt △BOD 中，OD:BD:OB=1: √3 : 2 (图一) 变式 正三角形内切圆与外切圆半径比为1:2 （图二）第二种 正方形 在⊙O 中四边形是正方形，在Rt △OAE 中，OE:AE:OE=1:1: √2 (图三) 变式 正方形内切圆与外切圆半径比为1: √2 （图四）第三种 正六变形 在⊙O 中六边形是正六边形，在Rt △OAB ，AB:OB:OA=1: √3 : 2 (图五)图一 图二 图三 图四 图五 设的半径为R ，圆心角所对弧长为l ，弧长公式：l=nπR180（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）扇形面积公式：圆锥的侧面积公式：122S l r rlππ==(其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。

九年级上册数学弧长和扇形面积一、弧长公式。

1. 公式推导。

- 在圆中，圆心角n^∘所对的弧长l与圆周长C = 2π r（r为圆的半径）存在比例关系。

- 因为整个圆的圆心角是360^∘，所以圆心角为n^∘所对的弧长l=(n)/(360)×2π r=(nπ r)/(180)。

2. 应用示例。

- 例：已知圆的半径r = 5cm，圆心角n = 60^∘，求弧长l。

- 解：根据弧长公式l=(nπ r)/(180)，将r = 5cm，n = 60^∘代入公式，得到l=(60×π×5)/(180)=(5π)/(3)cm。

二、扇形面积公式。

1. 公式推导。

- 方法一：与弧长公式推导类似，因为扇形面积S与圆面积S=π r^2也存在比例关系，对于圆心角为n^∘的扇形，其面积S=(n)/(360)×π r^2。

- 方法二：由S=(1)/(2)lr（l为弧长，r为半径），把l = (nπ r)/(180)代入可得S=(1)/(2)×(nπ r)/(180)× r=frac{nπ r^2}{360}。

2. 应用示例。

- 例：已知扇形的半径r = 4cm，圆心角n = 90^∘，求扇形面积。

- 解：- 方法一：根据S=(n)/(360)×π r^2，将r = 4cm，n = 90^∘代入，得到S=(90)/(360)×π×4^2=4π cm^2。

- 方法二：先求弧长l=(nπ r)/(180)=(90×π×4)/(180)=2π cm，再根据S=(1)/(2)lr，l = 2π cm，r = 4cm，得到S=(1)/(2)×2π×4 = 4π cm^2。

三、弓形面积。

1. 弓形的定义。

- 弓形是由弦及其所对的弧组成的图形。

2. 弓形面积的计算。

- 当弓形所含的弧是劣弧时，弓形面积S_弓=S_扇-S_（S_扇为扇形面积，S_为三角形面积）。

初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲一. 本周教学内容：弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积 教学目的1. 使学生学会弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。

2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。

3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。

4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。

教学重点和难点：教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程1. 圆周长：r 2C π= 圆面积：2r S π=2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R2π。

n °的圆心角所对的弧长是180Rn π 180Rn π=∴l P 120*这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。

3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。

4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为n °的扇形面积是：R 21360R n S 2l =π=扇形（n 也是1°的倍数，无单位）5. 圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。

其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。

如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的顶点。

锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。

也就是说，把直角三角形SOA 绕直线SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。

弧长与扇形面积在几何学中，我们经常使用弧长和扇形面积这两个概念来描述和计算圆的部分。

弧长是指圆上的一段弧的长度，而扇形面积则是由圆心、弧上两点和两条半径所围成的图形的面积。

这两个概念在日常生活和工程应用中都有广泛的应用。

现在，让我们来深入探讨一下弧长和扇形面积的计算方法和应用。

一、弧长的计算假设我们有一个圆，半径为r，圆心角为θ，我们想要计算这个圆的弧长s。

根据圆的性质，我们可以得出以下公式：s = r × θ其中s表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的大小。

这个公式的推导过程非常简单。

我们知道一个圆的周长是2πr，而一个圆的圆心角θ占据的比例就是θ/360°，所以弧长s占据的比例就是(s/2πr) = (θ/360°)。

解这个比例我们可以得到上述的公式。

例如，如果一个圆的半径为10cm，圆心角为60°，那么这个圆的弧长可以计算为：s = 10cm × 60°/360° = 16.7cm通过这个公式，我们可以根据圆心角的大小和半径的长度来计算出圆的弧长。

二、扇形面积的计算扇形面积是由圆心、弧上两点和两条半径所围成的图形的面积。

我们可以使用下面的公式来计算扇形面积：A = (θ/360°) × πr²其中A表示扇形的面积，r表示半径，θ表示圆心角的大小。

例如，如果一个圆的半径为5cm，圆心角为90°，那么这个扇形的面积可以计算为：A = (90°/360°) × π × 5cm² = 3.93cm²通过这个公式，我们可以根据圆心角的大小和半径的长度来计算出扇形的面积。

三、弧长与扇形面积的应用弧长和扇形面积的概念在现实生活中有很多应用。

例如，在建筑设计中，弧长可以用来计算拱顶或者圆柱的宽度；扇形面积可以用来计算圆形广场或者圆形花坛的面积。

苏科版数学九年级上册《2.7 弧长及扇形的面积》说课稿一. 教材分析《2.7 弧长及扇形的面积》这一节的内容是苏科版数学九年级上册的重点内容。

在本节内容中，学生将学习弧长的计算方法，扇形的面积公式以及如何应用这些知识解决实际问题。

这一节内容是在学生学习了圆的相关知识的基础上进行学习的，对于学生来说，掌握弧长和扇形的面积的计算方法对于理解圆的相关概念和解决实际问题具有重要意义。

二. 学情分析在九年级的学生中，大部分学生已经掌握了圆的基本概念和性质，对于圆的周长和面积的计算也有一定的了解。

但是，学生在学习这一节内容时，可能会对于弧长的计算方法和扇形的面积公式的推导过程存在一定的困难。

因此，在教学过程中，我将会引导学生通过实际操作和思考，来理解和掌握弧长和扇形的面积的计算方法。

三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生理解弧长的概念，掌握弧长的计算方法，理解扇形的面积公式，并能够应用这些知识解决实际问题。

通过本节课的学习，学生应该能够：1.理解弧长的概念，掌握弧长的计算方法。

2.理解扇形的面积公式，能够应用扇形的面积公式解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 说教学重难点本节课的重难点是弧长的计算方法和扇形的面积公式的推导过程。

在教学过程中，我将会引导学生通过实际操作和思考，来理解和掌握弧长和扇形的面积的计算方法。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、示范法、探究法、小组合作法等多种教学方法，并结合多媒体课件、教具等教学手段，以引导学生主动探究，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 说教学过程1.导入：通过复习圆的周长和面积的知识，引导学生进入本节课的学习。

2.讲解：讲解弧长的概念和计算方法，引导学生通过实际操作来理解和掌握弧长的计算方法。

3.推导：引导学生通过实际操作和思考，推导出扇形的面积公式。

4.应用：通过例题和练习题，让学生应用弧长和扇形的面积的知识解决实际问题。

一、本节学习指导本节中我们巩固几个公式，都比较复杂，我们需要用心记忆。

对于弦切角定理，切割线定理一定要先理解，总结中都有配图说明，希望能借此帮助大家理解。

二、知识要点1、弧长公式n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180rn l π=2、扇形面积公式lR R n S 213602==π扇，其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积rl r l S ππ=•=221，其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。

4、弦切角定理弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。

如下图，切线AB 和弦AC 的夹角∠2等于弧AC 所对的圆周角，即：∠BAC=∠ADC5、切割线定理PA 为⊙O 切线，PBC 为⊙O 割线， 则PC PB PA •=2例：（2004•宿迁）如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA⊥OB，P 是OA 上任一点，BP 的延长线交⊙O 于点Q ，过点Q 的⊙O 的切线交OA 延长线于点R ． （Ⅰ）求证：RP=RQ ； （Ⅱ）若OP=PA=1，试求PQ 的长解： （1）证明： 连接OQ∵RQ 是⊙O 的切线， ∴∠OQB+∠BQR=90° ∵OA ⊥OB ， ∴∠OPB+∠B=90° 又∵OB=OQ ， ∴∠OQB=∠B ∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ ∴RP=RQ（2）作直径AC ∵OP=PA=1 ∴PC=3 由勾股定理，得BP=22125+=由相交弦定理，得PQ•PB=PA•PC 即PQ×5=1×3∴PQ=355三、经验之谈：上面这个例题是对弦切角的运用，也考察了同学们的综合解题能力。

这种题涉及的知识点很广，因此需要我们大量的经验，平时一定要多练习。

尤其是初三我们要多练习这种综合类型的题目,达到把零碎的知识系统穿透起来。

有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答51加速度学习网整理。

考点二十七：弧长及扇形的面积聚焦考点☆温习理解 1．弧长及扇形的面积(1)半径为r ，n °的圆心角所对的弧长公式：l ＝n πr180； (2)半径为r ，n °的圆心角所对的扇形面积公式：S ＝n πr 2360＝12lr ．2．圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr .(1)圆锥侧面积公式：S 圆锥侧＝πrl ； (2)圆锥全面积公式：S 圆锥全＝πrl ＋πr 2． 3．求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公式法； (2)割补法； (3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法； (5)去重法． 名师点睛☆典例分类考点典例一、弧长公式的应用【例1】如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为（ ）A ．32πcmB ．（2+23π）cmC ．43πcm D ．3cm【答案】C考点：弧长的计算；等边三角形的性质；旋转的性质．【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，从开始到结束经过两次翻动，求出点B两次划过的弧长，即可得出所经过路径的长度．注意熟练掌握弧长的计算公式．【举一反三】1．(2015.安徽省，第12题，5分)如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，AB⌒的长为π2，则∠ACB的大小是．【答案】20°.【解析】试题分析：连接OA、OB，由弧长公式的92180nππ⨯⨯=可求得∠AOB=40°,再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=20°.考点：弧长公式；圆周角定理.2.（2015成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（ ） A ．2，3πB ．23，πC ．3，23π D ．23，43π【答案】D ．考点：1．正多边形和圆；2．弧长的计算． 考点典例二、扇形面积的计算【例2】（2015自贡）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝32，则阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．πC ．3π D ．32π【答案】D．【解析】试题分析：连接O D．∵CD⊥AB，∴CE=DE=12CD=3（垂径定理），故S△OCE=S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°（圆周角定理），∴OC=2，故S扇形OBD=2602360π⨯=32π，即阴影部分的面积为32π．故选D．考点：1．扇形面积的计算；2．垂径定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形；5．数形结合．【举一反三】（2015攀枝花）如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=3，CE =1，则图中阴影部分的面积为（）A 23πB43πC．29πD．49π【答案】D．【解析】考点：1．扇形面积的计算；2．勾股定理的逆定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形．考点典例三、扇形面积公式的运用【例3】（2015达州）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（）A．12πB．24πC．6πD．36π【答案】B．【解析】试题分析：∵AB=AB′=12，∠BAB′=60°，∴图中阴影部分的面积是：S=S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O=2226012116636022πππ⨯+⨯-⨯=24π．故选B．考点：1．扇形面积的计算；2．旋转的性质．【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.【举一反三】（2015.河南省，第14题，3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交»AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作»CD交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为.【答案】3212p+.考点：利用扇形面积及直角三角形知识求阴影图形面积.考点典例四、圆锥的侧面展开图【例4】（2015.山东莱芜第8题，3分）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A．2.5 B．5 C．10 D．15【答案】C【解析】试题分析：根据侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长，因此可设母线长为x，根据题意得：2πx÷2=2π×5，解得x=10．故选C考点：圆锥的侧面展开图【点睛】就圆锥而言，“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形． 【举一反三】1.（2015凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm 【答案】A ． 【解析】试题分析：设扇形的半径为R ，根据题意得2904360r ππ=，解得R =4，设圆锥的底面圆的半径为r ，则12•2π•r •4=4π，解得r =1，即所围成的圆锥的底面半径为1cm ．故选A ． 考点：圆锥的计算．2.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）底面周长为10πcm ，高为12cm 的圆锥的侧面积为 ． 【答案】65πcm 2． 【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，∴r =102ππ=5，∴a =13，∴圆锥的侧面积=12×10π×13=65π，故答案为：65πcm 2． 考点：圆锥的计算．考点典例五、求阴影部分的面积【例5】（2015·辽宁营口）如图，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D ． (1)求证：PC 是⊙O 的切线； (2)若PD =316cm ，AC =8cm ，求图中阴影部分的面积； (3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．【答案】（1）参见解析；（2）22548cm 2π-；（3）72cm .试题解析：（1）如图，连接OC ，∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAO =90º．∵OP ∥BC ，∴∠AOP =∠OBC ，∠COP =∠OC B ．∵OC =OB ，∴∠OBC =∠OCB ，∴∠AOP =∠COP ．又∵OA =OC ，OP =OP ，∴△PAO ≌△PCO (SAS )，∴∠PAO =∠PCO =90 º，又∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；（2）由（1）得PA ，PC 都为圆的切线，∴PA =PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO =∠PAO =90º，∴∠PAD +∠DAO =∠DAO +∠AOD ，∴∠PAD =∠AOD ，∴△ADO ∽△PD A ．∴AD DOPD AD=，∴2AD PD DO =⋅，∵AC =8， PD =163，∴AD =12AC =4，OD =3，AO =5，由题意知OD 为△ABC的中位线，∴BC =2OD =6，AB =10．∴S阴=S半⊙O－S △ACB =()221101254868=cm 2222ππ-⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭．∴阴影部分的面积为22548cm 2π-；（3）如图，连接AE ，BE ，∵点E 是AB ︵的中点,AB 是直径，则△AEB 是等腰直角三角形，过点B 作BM ⊥CE 于点M ．∴∠CMB =∠EMB =∠AEB =90º，由同弧所对的圆周角相等，∴∠ECB =∠EAB =45º，∴∠CBM =45º，∵BC =6，∴CM =MB =2=32，BE =ABcos 45º=10×22=52，∴在Rt △EBM 中， EM =22=42BE BM -，∴CE =CM +EM =72()cm ,∴CE 的长为72cm ．考点：1.圆的有关性质；2.三角形全等与相似的判定；3.解直角三角形.【点睛】本题考查了圆的有关性质、三角形全等与相似的判定、解直角三角形等知识点的综合运用． 【举一反三】（2015•聊城，第12题）如图，点O 是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心O ，则阴影部分的面积是⊙O 面积的（ ）A .12 B .13 C .23D .35【答案】B 【解析】试题分析：作OD ⊥AB 于点D ，连接AO ，BO ，CO ，求出∠OAD =30°，得到∠AOB =2∠AOD =120°，进而求得∠AOC =120°，再利用阴影部分的面积=AOC S 扇形得出阴影部分的面积是⊙O 面积的13. 故选B考点：翻折变换（折叠问题）；扇形面积的计算课时作业☆能力提升一、选择题1. (2015·湖北衡阳，17题，3分)圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为（结果保留π）．【答案】3π【解析】试题分析：此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式2360nπrS=，即可求解.根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为212033360πSπ==.考点：扇形面积的计算2. （2015·湖北鄂州，14题，3分）圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为．【答案】7考点：圆锥的计算．3. （2015·山东潍坊，第10题，3分）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（）A. （16433π-）2cm B. （16833π-）2cm C. （8433π-）2cm D. （4233π-）2cm【答案】A 【解析】试题分析：如图：过点O作OD⊥AB,垂足为C，连结OA,OB,则AC=BC=12AB,OA=OB=OD=4，CD=2，所以在Rt△OAC中，OC=2，AC=23,∠AOC=60°,所以AB=43,∠AOB=120°,所以阴影部分的面积=扇形AOB的面积-△OAB的面积=212041164324336023ππ⨯-⨯⨯=-，故选：A.考点：1.垂径定理；2.解直角三角形；3.扇形的面积.4.（2014·宿迁）若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（）A. 15πB. 20πC.24πD.30π【答案】A．考点：1.简单几何体的三视图；2. 圆锥的计算．5.（2015凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】A．【解析】试题分析：设扇形的半径为R，根据题意得2904360rππ=，解得R=4，设圆锥的底面圆的半径为r，则12•2π•r•4=4π，解得r=1，即所围成的圆锥的底面半径为1cm．故选A．考点：圆锥的计算．6.（2015.山东德州第9题，3分）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A．288°B．144°C．216°D．120°【答案】A．【解析】试题分析：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，∴设底面圆的半径为4x，则母线长是5x，设圆心角为n°，则524180n xxππ⨯⨯=，解得：n=288，故选A．考点：圆锥的计算．7．（2015甘孜州）如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（）A ．π﹣2B ．π﹣4C ．4π﹣2D ．4π﹣4 【答案】A ． 【解析】试题分析：S 阴影部分=S 扇形OAB ﹣S △OAB =29021223602π⨯-⨯⨯=π﹣2．故选A ． 考点：扇形面积的计算． 二、填空题8(2015.宁夏，第12题，3分)已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为83π，则此扇形的面积是 ． 【答案】163π. 【解析】试题分析：设扇形的半径为r ，根据弧长公式38180120ππ=r 可求得r =4，根据扇形的面积公式可得3164382121ππ=⨯⨯==lr S 扇形. 考点：弧长公式；扇形的面积公式.9．（2015·湖南常德）一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是 2厘米（结果保留π）。

专题26 与弧长、扇形面积有关的问题1.扇形弧长面积公式（1）弧长的计算公式（2）扇形面积计算公式2.弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。

（2）弓形的周长＝弦长＋弧长（3）弓形的面积当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，3．圆柱侧面积体积公式（1）圆柱的侧面积公式S侧=2πrh（2）圆柱的表面积公式：S表=S底×2+S侧=2πr2+2πr h专题知识回顾1802360rnrnlππ=⋅=2360rnsπ⋅=lrs21=或4.圆锥侧面积体积公式（1）圆锥侧面积计算公式 从右图中可以看出，圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，圆锥侧面积计算公式:S 圆锥侧=S 扇形= = πrl（2）圆锥全面积计算公式:S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）【例题1】（2019•湖北武汉）如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是（异于A.B ）上两点，C 是上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C.E 两点的运动路径长的比是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】如图，连接E B ．设OA ＝r ．易知点E 在以D 为圆心DA 为半径的圆上，运动轨迹是，点C 的运动轨迹是，由题意∠MON ＝2∠GDF ，设∠GDF ＝α，则∠MON ＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题． 如图，连接E B ．设OA ＝r ．专题典型题考法及解析∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵E 是△ACB 的内心，∴∠AEB ＝135°，∵∠ACD ＝∠BCD ，∴＝，∴AD ＝DB ＝r ，∴∠ADB ＝90°，易知点E 在以D 为圆心DA 为半径的圆上，运动轨迹是，点C 的运动轨迹是，∵∠MON ＝2∠GDF ，设∠GDF ＝α，则∠MON ＝2α ∴＝＝．【例题2】(2019山西）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =32，BC =2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ） A.2435π- B.2435π+ C.π-32 D.234π-【答案】A【解析】作DE ⊥AB 于点E ，连接OD ，在Rt △ABC 中：tan ∠CAB =3BC AB ==， ∴∠CAB =30°，∠BOD =2∠CAB =60°.在Rt △ODE 中：OE =21OD =23，DE =3OE =23.S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形BOD =2116022360AB BC OD DE OB π︒⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅︒=21136022223602ππ︒⨯--⨯⨯=-︒，故选A【例题3】（2019·贵州安顺）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r ＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l 的长为 ．【答案】6【解析】根据题意得2π×2＝，解德l ＝6，即该圆锥母线l 的长为6．一.选择题1.（2019•四川省广安市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，以BC 为直径的半圆O 交斜边AB 于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ）专题典型训练题A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣【答案】A．【解析】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积，中考常考题型．根据三角形的内角和得到∠B＝60°，根据圆周角定理得到∠COD＝120°，∠CDB＝90°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴∠COD＝120°，∵BC＝4，BC为半圆O的直径，∴∠CDB＝90°，∴OC＝OD＝2，∴CD＝BC＝2，图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣2×1＝﹣。