§3.7 弧长及扇形的面积

辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积：『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l = . 『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积的计算公式为：S = . 『活动三』扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S =360nπR 2化为S =180R n ·21R ，从面可得扇形面积的另一计算公式：S = . 二、圆锥的侧面积和全面积：1．圆锥的基本概念： 的线段SA 、SA 1……叫做圆锥的母线，的线段叫做圆锥的高．2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：将圆锥的侧面沿母线l 剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r ，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 ． 3．圆锥侧面积计算公式圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长， 这样，S 圆锥侧=S 扇形=21·2πr · l = πrl 4．圆锥全面积计算公式S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）三、例题讲解：例1、（2011•德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为 ． 例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD =120°，四边形ABCD 的周长为15．A1（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（－4，0），⊙P 的半径为2，将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1． （1）画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；（2）设⊙P 1与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积（结果保留π）．y x－3 O 12312 3 －3－2 －1－1 －2 －4 －5 －6A BCDEF（第3题）O四、同步练习：1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为： （ ）A ．10πB ．10C ．10πD ．π2、（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（ ）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．-3π2B ．-32π3C ．-32π2D ．-322π34、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π35、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０cm ，则圆锥的侧面积为________.6、（2012·哈尔滨，题号16分值 3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8π，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．ABD CO图2ABC 第1题图A OD第2题图 第9题第11题7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积为 cm 2．8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC 内接于扇形MON ，当CN =CO 时，∠NMB10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90o，∠A =30o，若△RtABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，点A 所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．11、（2011•丹东，14，3分）如图，将半径为3cm 的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB =2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C =45°，则（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）第12题图AC13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,点E 在⊙O 外,∠EAC =∠D =60°. （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AE 是⊙O 的切线； （3）当BC =4时，求劣弧AC 的长.14、（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，半径OA =6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．O BCDE15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径= （结果保留根号）；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.参考答案例1、考点：圆锥的计算。

第二十三课时§3.7 弧长及扇形面积●教学目标1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．●教学重点1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程．2．了解弧长及扇形面积计算公式．3．会用公式解决问题．●教学难点1．探索弧长及扇形面积计算公式．2．用公式解决实际问题．●教学方法学生互相交流探索法●教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索．Ⅱ．新课讲解一、复习1．圆的周长如何汁算? 2.圆的面积如何计算? 3．圆的圆心角是多少度?[生]若圆的半径为r ，则周长l ＝2πr ，面积S ＝πr 2，圆的圆心角是360°．二、探索弧长的计算公式如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm ．(1)转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送多少厘米?(2)转动轮转1°，传送带上的物品A 被传送多少厘米?(3)转动轮转n°，传送带上的物品A 被传送多少厘米?分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A 被传送圆周长的3601；转动轮转n°，传送带上的物品A 被传送转l°时传送距离的n 倍．三、例题讲解制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB 的长(结果精确到0．1 mm)．分析：要求管道的展直长度．即求弧AB 的长，根据弧长公式l ＝180R n 可求得弧AB 的长，其中n 为圆心角，R 为半径．解：R ＝40mm ，n=110．∴弧AB 的长= 180n πR=弧180110×40π≈76．8 mm ． 因此．管道的展直长度约为76．8 mm ．四、想一想在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m 的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．(1)这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大?五、弧长与扇形面积的关系我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l ＝180n πR ，n°的圆心角的扇形面积公式为S 扇形＝360n πR 2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n ．半径R 有关系，因此l 和S 之间也有一定的关系，你能猜得出吗?请大家互相交流．六、扇形面积的应用扇形AOB 的半径为12 cm ，∠AOB ＝120°，求弧AB 的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1 cm 2)分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径尺和圆心角n 即可，本题中这些 条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．Ⅲ．课堂练习随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习了如下内容：1．探索弧长的计算公式l ＝180n πR ，并运用公式进行计算； 2．探索扇形的面积公式S ＝360n πR 2，并运用公式进行计算； 3．探索弧长l 及扇形的面积S 之间的关系，并能已知一方求另一方．Ⅴ．课后作业习题3.10。

弧长扇形面积与弦长的计算弧长（arc length）与扇形面积（sector area）是圆形几何中的重要概念。

弧长指的是圆的一部分弧的长度，而扇形面积是由这一弧和与之相交的两条半径所围成的图形的面积。

在数学中，我们可以通过一些公式和方法来计算弧长、扇形面积以及它们与弦长（chord length）之间的关系。

一、弧长的计算在计算弧长时，我们需要知道圆的半径和所对应的圆心角（central angle）。

根据圆的性质，我们可以得出以下公式来计算弧长。

1. 当圆心角使用弧度制时：弧长 = 半径 ×圆心角弧长的单位与半径的单位相同，例如，如果半径使用米（m）作为单位，则弧长也使用米（m）作为单位。

2. 当圆心角使用度数制时：弧长 = (半径 ×圆心角× π) / 180这里的π是一个常数，近似取3.14159。

例如，假设圆的半径为5m，对应的圆心角为60度，则根据上述公式计算得到弧长为(5 × 60 × 3.14159) / 180 ≈ 5.24m。

二、扇形面积的计算扇形面积是由圆心、弧和两条半径所围成的区域。

计算扇形面积时，我们需要知道圆的半径和所对应的圆心角。

扇形面积的计算公式如下：扇形面积 = (半径的平方 ×圆心角) / 2其中，半径的平方表示半径的平方值。

与弧长计算中的圆心角一样，如果圆心角使用度数制，则计算扇形面积时需要将圆心角转换为弧度制。

例如，假设圆的半径为4cm，对应的圆心角为45度，则根据上述公式计算得到扇形面积为(4^2 × 45 × 3.14159) / (2 × 180) ≈ 5.65cm²。

三、弦长与弧长、扇形面积的关系弦是圆内连接两个任意点的线段，它与圆的弧和扇形面积有一定的关系。

1. 弧长与弦长的关系当弧长和弦长的夹角（内切角）相同时，弦长越长，对应的弧长也越长。

2. 扇形面积与弦的关系当扇形面积和弦的夹角（内切角）相同时，弦越长，对应的扇形面积也越大。

弧长及扇形的面积公式弧长的公式：弧长是弧上的一段弧线长度，表示为S，可以通过下面的公式来计算：S=rθ其中，S表示弧长，r表示弧的半径，θ表示圆心角（以弧度为单位）。

这个公式的推导可以通过以下几个步骤来得到：首先，我们将圆的半周长除以π，得到半径r之后，再用r乘以θ，即可得到弧长S。

需要注意的是，弧度是一个角度的度量单位，一个完整的圆的弧度是2π。

所以，如果我们知道了弧度的大小，就可以很容易地计算出弧长。

扇形的面积公式：扇形是由圆心角和半径所确定的一个图形，它是由一个圆的一部分构成，通常是从圆心到圆上的一段弧线，再与两个半径的延长线所围成的图形。

扇形的面积表示为A，可以通过下面的公式来计算：A=0.5r²θ其中，A表示扇形的面积，r表示扇形的半径，θ表示扇形的圆心角。

这个公式的推导可以通过以下几个步骤来得到：首先，我们将整个圆的面积除以2π，得到圆的半径r之后，再用r乘以圆心角的弧度θ，最后再除以2，即可得到扇形的面积A。

需要注意的是，公式中的θ必须使用弧度来表示。

因此，在计算扇形的面积之前，我们需要将角度转换为弧度。

将角度转换为弧度可以使用以下公式：弧度=角度×π/180。

另外，如果我们知道扇形的弧长S，也可以使用以下公式来计算扇形的面积A：A=0.5rS这个公式是根据弧长和扇形圆心角的关系来推导的。

总结：弧长和扇形的面积是圆的重要属性之一，它们可以通过简单的公式来计算。

在计算之前，我们需要明确圆的半径和圆心角（以弧度形式表示）。

然后，根据公式S=rθ和A=0.5r²θ或A=0.5rS，即可计算出弧长和扇形的面积。

扇形面积公式和弧长公式
扇形所对应的弧长公式为：L=n2πR/360。

扇形面积计算公式：S=nπR/360或S=LR/2。

扇形面积公式描述了扇形面积和圆心角（顶角）、半径、所对弧长的关系。

推导过程：由定理“等半径的两个扇形的面积之比等于它们的弧长之比”，将圆看作扇形，利用弧长公式和圆的面积公式即可。

简介：组成部分：1、圆上A、B两点之间的的部分叫做“圆弧”简称“弧”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

2、以圆心为中心点的角叫做“圆心角”。

3、有一种统计图就是“扇形统计图。

”曲线的弧长也称曲线的长度，是曲线的特征之一。

不是所有的曲线都能定义长度，能够定义长度的曲线称为可求长曲线。

最早研究的曲线弧长是圆弧的长度，所以狭义上，特指圆弧的长度。

半径为R的圆中，n°的圆心角所对圆弧的弧长为nπR/180°。

《弧长及扇形的面积》弧长及扇形的面积：1. 圆周长公式：圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式：弧长180Rn l π=（R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数） 【理解】弧长公式180Rn l π=，其中R 为圆的半径，n 为圆弧所对的圆心角的度数，不带单位．由于整个圆周可看作360°的弧，而360°的圆心角所对的弧长为圆周长C=2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是×2πR ，即，可得半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长180Rn l π=．3. 扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4. 弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5. 圆的面积公式：圆的面积2R S π= (R 表示圆的半径) 6. 扇形的面积公式：扇形的面积3602R n S π=扇形(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) 【理解】圆心角是1°的扇形的面积等于圆面积的，所以圆心角是n°的扇形面积是3602R n S π=扇形．要注意扇形面积公式与弧长公式的区别与联系（扇形面积公式中半径R 带平方，分母为360；而 弧长公式中半径R 不带平方，分母是180）．【总结】扇形面积公式S 扇=ιR ，与三角形的面积公式有些类似．只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看作底，R 看作高就比较容易记了．7. 圆锥的有关概念：（1）圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形，另一条直角边旋转而 成的面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面。

（2）圆锥的侧面展开图与侧面积计算：圆锥的侧面展开图是一个扇形。

这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点。

如果设圆锥底面半径为r ，侧面母线长(扇形半径)是l ， 底面圆周长(扇形弧长)为c ， 那么它的侧面积是：rl rl cl S ππ=⋅==22121侧 )(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底面侧表3601180R π360121【例1】一圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6cm的圆的周长，求该圆弧所在圆的半径．【例2】如图，在半径为3的⊙O和半径为1的⊙O′中，它们外切于B，⊙AOB=40°．AO⊙CO′，求曲线ABC的长．【例3】如图，正三角形ABC内接于⊙O，边长为4cm，求图中阴影部分的面积．【例4】如图，等腰直角三角形ABC的斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D、E，求图中阴影部分的面积．【例5】如图，已知⊙O的直径BD=6，AE与⊙O相切于E点，过B点作BC⊙AE，垂足为C，连接BE、DE．（1）求证：⊙1=⊙2；（2）若BC=4.5，求图中阴影部分的面积（结果可保留π与根号）．随堂练习：1、扇形的弧长为20πcm ，面积为240πcm 2，则扇形的半径为 cm 。

课题：课型：新授课教学目标：1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力；2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题，训练学生的数学应用能力；3．使学生了解计算公式的同时，体验公式的变式，使学生在合作与竞争中形成良好的数学品质．教学重点：经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形的面积计算公式；会利用公式解决问题．教学难点：探索弧长及扇形的面积计算公式；用公式解决问题．教学准备：多媒体课件、几何画板软件．教法学法：多媒体教学、演示教学和自主探究法教学过程：一、创设情境，引入新课．师：今天大家是怎么来上学的？生：自行车/电动车/步行/坐十路车．师：看来咱们班多数同学一天的学习生活都是从车轮开始的．生发出会心的笑声．师：大家看这辆自行车，它的车轮的半径是30cm，车轮转动一周，车子将会前进多少？生：60πcm ．师：这实际上就是利用圆的周长公式计算的，那圆的面积公式是什么？圆的圆心角是多少度？生：若圆的半径是r ，则面积是2S r π=，圆的圆心角是360°．师：看得出来同学们对一整个圆已经是相当的了解了，我们今天要来把圆剖析一下，来研究一下“弧长及扇形的面积”（板书课题）．设计意图：激发学生的求知欲望，肯定学生的合理答案．二、师生互动，探究新知活动1 探索弧长公式师：我们知道车轮转动一周是360°，那如果车轮转动180°，车子将会前进多少厘米？ 生：30πcm ．因为车轮转动180°，是转动了半圈，所以车子前进的距离是圆周长的一半．师：那如果车轮转动了90°，车子将会前进多少厘米？生：15πcm ．因为车轮转动90°，是转动了四分之一圈，所以车子前进的距离是圆周长的一半．师：那如果车轮转动1°呢？转动n °呢？ 小组研讨交流、计算．师参与、辅助、组织学生阐述解决问题的方法．生：因为圆的周长所对的圆心角是360°，所以车轮转动1°，车子将前进圆周长的1360；车轮转动n °，车子前进的距离是车轮转动1°时的n 倍，也就是圆周长的360n ．所以，当车轮转动1°时，车子前进112306360180r πππ•=•=cm; 当车轮转动n °时，车子前进2303601806n n nr πππ•=•=cm.师：同学们能不能通过以上探究总结一下在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式是什么？ 学生思考． 生： 180nl r π=． 师：是的，这里同学们要特别注意，公式中的n 表示的是1°的圆心角的倍数，所以不写单位；如图所示»AB 的弧长记作：»180l n AB r π=．请同学们记住这个公式．学生识记公式．设计意图：关于弧长的计算，我从一个生活中的实际问题出发，设计了5个小问题，从具体到抽象，让小组的同学讨论分析，得出计算弧长的公式，再通过一道小题进行实践，巩固弧长的计算公式． 活动2 弧长公式的应用师：现在我们来看一下弧长的计算有怎样的实际意义． 课件出示：例 1 制作弯型管道时，需要先按中心线计算“展开长度”在下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即»AB 的长（结果精确到0.1mm ）． 学生利用公式进行计算，一生在老师的安排下板书，师巡视．观察到学生基本完成后组织讲评．生板书：»180l n AB r π==11040180π⨯≈76.8mm. 师：我们一起来看一下这位同学的板书，你认可吗？生1：答案是正确的，同时注意了先几何后代数和公式的写法． 生2：没有答句．师：同学们的评价很中肯，希望出现同样问题的学生引以为戒．现在我们一起来看一下本题的解题步骤，以此来规范自己的解题过程． 课件出示：解：R=40mm ，n =110，所以»180lnAB r π= =11040180π⨯≈76.8mm 因此，管道的展直长度约为76.8mm ． 师：下面请同学们快速的完成下面三道题目． 课件出示：试一试1.直径为360cm 的圆弧的度数是20°，则这条弧的长为 ．2.半径为6cm 的圆中，长为8π的弧所对的圆心角为 度．3.（枣庄中考题）长为 6.28cm 的弧所对的圆周角是30°，则该弧所在的圆的半径为 ．（π取3.14）学生独立解题，师安排三生板书，巡视并适时指导． 生1：解：180n l r π==203601802πg =20πcm. 因此这条弧的长为20πcm.生2：解：∵180nl r π=∴180l n r π==18086ππ⨯=240 因此，其所对的圆心角的度数是240°．生3：解：∵180nl r π=∴180l r n π==180 6.2830 3.14⨯⨯=12（cm ） 因此，该弧所在的圆的半径为12cm.师：从以上题目的解题过程，你有怎样的认识？ 生1：在弧长公式180nl r π=中，有三个量：l ，n ，r ，只要知道其中的两个量，就能求出其他的量．生2：做题时要分清直径和半径． 活动三 探究扇形面积公式师：咱们学校一年一度的春季运动会又将开始了，同学们看，这就是咱们肆意绽放青春、挥洒汗水的学校操场的平面图，咱班同学都在哪些项目上有绝对优势？生1：李明亮的长跑绝对是全校第一，今年还有可能再破校记录．生2：叶晓番的铅球从七年级时就改写了学校的记录，八年级时蝉联第一名，相信今年更是无人可以撼动．师：期待这些同学在赛场上能有好的发挥．说道铅球，大家知道铅球场地是什么形状的吗？ 生：扇形．师：这里，我们来正式认识一下扇形．如图：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形．这个扇形就记作扇形AOB ．设计意图：此环节以学生熟悉的场景入手，借助直观的图形来加深学生对扇形概念的认识．师：大家快速判断一下下面的几个图形那个是扇形？ 课件出示：1.（口答）下面各图中，哪些图形是扇形？为什么？（1）（2）（3）（4）（5）生思考后举手回答．生：图（3）、（5）是扇形，因为（1）、（2）、（4）的顶点都不在圆心上．师：这位同学是从这个角度做出了快速而又正确的判断，这吻合扇形定义的另一种说法：由圆心角所对的弧和组成这个圆心角的两条半径组成的图形叫做扇形．设计意图：通过扇形的识别，提高学生的识图能力，培养学生自主获取知识的能力和语言表达能力．师：现在我们来看大屏幕上的动画，观察的同时请同学们思考扇形的面积和什么有关？利用几何画板分别拖动圆心和组成扇形的弧的一个端点：（1）圆心角相同时：生：扇形圆心角固定时，圆的半径越大，扇形面积越大．（2）半径相同时：让学生感悟学有所用，同时也加深了学生对知识的理．再通过例题实践来尝试使用弧长和扇形面积公式．活动四归纳总结师：现在我们回过头来观察一下弧长和扇形的面积公式，同学们有什么发现吗？课件出示：学生尝试推导，师巡视并适时指导． 生：2111360180221802n n n S r rr r r lr πππ====g g g ． 师：这样的话扇形的面积就有两个计算公式：2360n S r π=，12S lr =．我们选用哪个公式就看题目给的是什么条件，那仿照我们对弧长公式的理解，扇形面积的两个公式能不能逆用呢？ 生：能吧． 师：一定能，在2360n S r π=， 12S lr =这两个公式中都是有三个量，我们只要知道其中的两个量就能求出另外一个，同学们在以后的实践中会有更深刻的认识．现在同学们再把这三个公式结合图形记忆一下，务求张口就来． 学生识记．设计意图：引导学生对比弧长公式和扇形面积公式，经过分析讨论得到扇形面积的第二种计算方法，让学生在分析对比中强化对知识的记忆．三、随堂练习，巩固应用．师：相信现在同学们对弧长公式和扇形面积公式都有了深刻的认识，那就请同学们充分发挥所学吧！看大屏幕，共有四道小题，请同学们在练习本上完成，做得快的同学可以关注一下本组同学的完成情况． 课件出示：1．已知一个扇形的圆心角等于120°，半径是6，则这个扇形的弧长是______，面积是_____2．已知扇形面积为 5π，圆心角为50°，则这个扇形的半径R=____． 3．已知扇形的半径是10 cm ，弧长为5π cm ，则扇形的面积______4．已知⊙O 的半径OA =6，扇形OAB 的面积等于12π，则弧AB 所对的圆心角度数是____ 学生完成后师组织共同讲评，并适时的做出积极评价．设计意图：在学生充分认识理解弧长公式和扇形面积公式后，我设计了4个小题，让学生的动手实践，进一步学习运用弧长和扇形面积公式进行计算，使学生明白：1、知道圆心角、弧长及半径中的任意两个量，就可以求第三个量；2、知道圆心角、半径及扇形面积中的任意两个量，也可以求出第三个量．四、课堂小结师：请同学们概括一下本节课你所认知的知识．180n l r π=2360n S r π=生1：本节课我们学习了弧长公式、扇形的面积公式以及两个公式之间的联系，特别是能用公式解决实际问题．生2：在利用公式解题时，n 表示的是n °的圆心角是1°圆心角的倍数，所以不要加单位．生3：这三个公式都可以变形使用．师：是的，正所谓“学以致用”，希望同学们在具体实践中能灵活并准确的运用这些知识．五、布置作业A 类：课本142页：2题，3题B 类：如图，A 是半径为12cm 的⊙O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm ／s 的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到点A 时立即停止运动，如果∠POA =90 ° 时，求点P 运动的时间？(中考题）设计思路：作业的布置是学生掌握课堂所学知识的延续，是为了让学生在课下巩固本节知识,达到知识的升华.因此，我首先布置了两道源于课本的基础题，然后布置一道富有趣味性、创新性的中考题，以此来提高学生应用知识的能力．六、板书设计§3.7弧长和扇形的面积 一、弧长的计算公式180n l r π=二、扇形的面积公式2360nS r π=12S lr =三、例题例 1 制作弯型管道时，需要先按中心线计算“展开长度”在下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即»AB 的长（结果精确到0.1mm ）．例2:已知扇形AOB 的半径为12cm,∠AOB =120°,求»AB 的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1cm 2)．教学反思：1.教学设计的优势弧长和扇形的面积，在新课标、新教材中是要求学习的内容，本节课，通过学生自主探究来获取知识，合作交流来解决实际问题，从而体验成功的喜悦，达到资源与信息的共享，实现课堂教学的交互性，有效的提高了课堂的教学效率．此外，在教学中，加强数学教学与信息技术教育的整合，利用几何画板等多媒体教学手段，向学生展示丰富多彩的数学世界，有利于激发学习数学的兴趣，加之与探究性教学的结合，也有利于调动学生学习数学的积极性．2、存在问题本课是一节新授课，在教学中不能把知识的结果强加于学生，虽然应用直观形象的手段，让学生经历了知识的生成过程，但因学生水平的差异，在应用弧长和扇形面积公式时有部分人混淆方法．3、再设计当学生出现问题时，教师可以把问题放到小组内讨论，再加上老师的指导，才能得到圆满的解决．。

弧长及扇形的面积教案示范三篇弧长及扇形的面积教案1教材分析：本节课涉及的主要概念有弧长、圆心角、扇形面积等，需要学生掌握相关定义和公式。

同时，也需要对圆的基本属性和关系有一定的了解，如弦长公式、周长公式等。

教学目标：学生能够准确理解弧长、圆心角、扇形面积等的概念与关系，能够运用相应的公式计算，同时掌握圆的基本属性和关系。

教学重点：弧长、圆心角、扇形面积的概念、公式和计算方法。

教学难点：圆心角的度量方法和圆的相关属性的理解。

学情分析：学生在初中阶段已经学习过圆的相关知识，对圆的基本属性和关系有一定的了解，但掌握程度存在差异。

部分学生对于弧长、圆心角、扇形面积等概念理解不深，计算方法掌握不熟练。

教学策略：通过引导学生观察实际生活中的圆形物体，探求圆的相关特征和性质，并引出弧长、圆心角、扇形面积的概念及其运用。

同时，采用差异化教学和在课外加强练习的方式，提高学生对知识点的掌握度。

教学方法：由浅入深、由低到高的顺序逐步引导学生，通过实际生活情境，建立数学模型，形象直观地解释和应用相关知识点。

同时，采用小组合作、互帮互助的方式，激发学生学习兴趣和主动参与性。

弧长及扇形的面积教案2导入环节（约5分钟）：教学内容：引出本节课的主题——弧长及扇形的面积。

教学活动：通过展示一些圆形的图片，采用提问的方式引导学生发现圆形的特点，比如圆周率、直径等等，然后展示一些弧线和扇形的图片，引导学生思考它们与圆形有什么关系，为本节课的学习做好铺垫。

课堂互动（约35分钟）：教学内容：介绍弧长及扇形的面积的概念、计算公式以及应用。

教学活动：先通过展示一些实际生活中的问题，引出学习弧长及扇形的面积的重要性。

然后对弧长的概念及计算公式进行详细解释，并且设计一些小组讨论或者个人练习的活动，加强学生对于弧长计算的掌握。

接着，再对扇形的面积进行详细讲解，包括其计算公式和一些实例的练习，这里也可以采用小组讨论的方式，让学生们互相帮助和交流，加强学生们对于扇形面积的理解和掌握。

弧长及扇形的面积公式弧长公式：在圆的周长上取一段弧，所对应的弧长可以通过以下公式计算：弧长=θ/360°×2πr其中，θ为圆心角（以度为单位），r为圆的半径。

弧长可以通过圆的弧度制表示，弧度制是一种角度度量方式，1弧度等于夹在圆心上的圆弧长正好等于半径的长度。

扇形的面积公式：扇形是圆的一部分，其面积可以通过以下公式计算：扇形的面积=θ/360°×πr²其中，θ为扇形所对应的圆心角（以度为单位），r为圆的半径。

这两个公式都基于圆的性质推导得到，下面将对这两个公式进行详细解释。

弧长公式的推导：对于一个圆而言，它的周长是一个完整的圆形线段，即2πr（其中π为圆周率，r为圆的半径）。

假设我们需要计算一段圆周上的弧对应的弧长，可以将圆周等分为360个小部分，每个小部分夹角为1°。

如果所求弧所对应的圆心角恰好为θ度，那么这段弧所对应的弧长就是θ/360°乘以圆周，即θ/360°×2πr。

扇形面积公式的推导：扇形是圆的一部分，其形状可以被看作是一块扇叶。

首先我们可以根据扇形的定义将其分为两个部分：一个是扇形所对应的圆弧，另一个是扇形的半径所包围的扇形三角形。

由于扇形的面积等于圆弧的面积加上扇形三角形的面积，因此我们需要分别计算这两个部分。

-圆弧的面积可以通过弧长和半径相乘得到，即弧长/圆周×圆的面积。

由于弧长/圆周等于圆心角/360°，因此圆弧的面积可以表示为θ/360°×πr²。

- 扇形三角形的面积等于扇形的半径和扇形所对应圆心角的正弦值乘积的一半。

这个结论可以通过充分利用三角函数、相似三角形及三角形面积公式推导得到。

所以扇形三角形的面积等于(r² × sinθ)/2将上述两个部分的面积相加，就可以得到扇形的面积：扇形的面积=圆弧面积+扇形三角形面积= θ/360° × πr² + (r² × sinθ)/2=θ/360°×πr²+θ/2×r²=θ/360°×πr²+θ/2×(πr²/180°)(由弧度制定义)=θ/360°×πr²+θ/2×(πr²/π)(由π的性质化简)=θ/360°×πr²+θ/2×r²=θ/360°×πr²(通分、化简)通过上述推导可以看出，扇形的面积公式与圆心角以及圆的半径有关。

《弧长及扇形的面积》教学设计一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生从孩提时代的感觉圆形，到小学的认识圆形，学习过圆周长和面积公式，而这个课题学生在前阶段学完了“圆的认识”、“与圆有关的位置关系”、“圆内接正多边形”的基础上进行的，让学生具备推导出弧长和扇形面积的计算公式的奠定了基础。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历参与研究探索的情感体验, 自主探索的能力；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析本节教材是在学生学习了圆的有关概念性质、圆心角圆周角和过三点的圆等内容之后，对弧长和扇形面积的计算的学习，研究的是初中阶段弧长公式和扇形面积公式的推导过程及其在实际问题中的应用。

弧长公式和扇形面积公式是以圆的周长和面积公式为依据的。

本节内容是圆的有关计算中的一个重要问题，是学习圆锥的侧面展开图的基础，也是高中进一步学习弧长公式和扇形面积公式的基本内容.因此本节课的教学目标如下：1.让学生通过自主探索来认识扇形，掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题.2.让学生经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生自主探索的能力；在利用弧长和扇形面积公式解题中，培养学生应用知识的能力，空间想象能力和动手画图能力，体会由一般到特殊的数学思想.3.通过现实生活图片的欣赏，让学生感受到美的生活离不开数学，激发学生学习数学的兴趣；通过对弧长和扇形面积公式的自主探究，让学生获得亲自参与研究探索的情感体验；通过同桌的讨论、交流和解决问题的过程，让学生更多的展示自己，建立自信，树立正确的价值观。

三、教学设计分析本节课设计了七个教学环节：情境引入、探索新知、能力提升、课堂总结、布置作业。

第一环节 情境引入问题：在田径200米赛跑比赛中，每位运动员的起跑位置都不同，这是为什么？活动目的：让学生观看生活中的弧和扇形，感受数学就在我们的身边，进而出示实际生活中的问题，引发学生的思考分析,激励学生自主的提出要研究的问题——弧长和扇形面积的问题,这样,学生带着问题开始新知识的探索.这样与实际相联系的问题，调动了学生观察思考的积极性，加深他们对几何图形的理解和渴望探索新知识的求知欲.这就是我们本节课要来研究的问题（自然引出课题）实际教学效果：学生观察图片，阅读生活中的实际问题，自觉的提出弧长和扇形面积的计算，激发学生学习新知识的热情.将学生的注意力牢牢吸引至课堂，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分。

《弧长及扇形面积的计算》教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解弧长的概念，掌握弧长的计算方法；（2）理解扇形面积的概念，掌握扇形面积的计算方法。

2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生认识弧长和扇形面积的概念；（2）运用数学公式和图形相结合的方法，培养学生计算弧长和扇形面积的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）弧长的计算方法；（2）扇形面积的计算方法。

2. 教学难点：（1）弧长公式的灵活运用；（2）扇形面积公式的理解和应用。

三、教学准备：1. 教师准备：（1）弧长和扇形面积的相关理论知识；（2）教学课件或黑板、粉笔等教学工具。

2. 学生准备：（1）预习弧长和扇形面积的相关知识；（2）准备好笔记本，记录重点内容。

四、教学过程：1. 导入新课：（1）利用实例引入弧长和扇形面积的概念；（2）引导学生思考如何计算弧长和扇形面积。

2. 知识讲解：（1）讲解弧长的定义和计算方法；（2）讲解扇形面积的定义和计算方法。

3. 公式推导：（1）引导学生通过观察图形，推导出弧长公式；（2）引导学生通过分析扇形的组成，推导出扇形面积公式。

4. 实例演练：（1）出示一些弧长和扇形面积的计算题目，让学生独立完成；（2）选几位学生上台板演，并讲解解题思路。

5. 课堂小结：（1）总结弧长和扇形面积的计算方法；（2）强调公式的重要性和灵活运用。

五、课后作业：1. 请学生完成课后练习题，巩固所学知识；2. 鼓励学生查阅相关资料，深入了解弧长和扇形面积的运用；3. 提醒学生及时总结错题，查漏补缺。

六、教学反思：在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的课堂参与度、知识掌握程度以及教学方法的适用性。

教师需要根据学生的反馈和自身的教学体验，调整教学策略，以提高教学效果。

七、课堂评价：1. 学生对本节课弧长和扇形面积概念的理解程度；2. 学生对弧长和扇形面积计算公式的掌握情况；3. 学生在实例演练中的表现，以及解题思路的清晰程度；4. 学生课后作业的完成质量，以及对错题的总结反思。

《弧长及扇形面积的计算》教案教学目标：1.能够理解什么是弧长和扇形面积。

2.能够掌握弧长和扇形面积的计算方法。

3.能够应用所学知识解决实际问题。

教学重点：1.弧长和扇形面积的定义和计算方法。

2.弧长和扇形面积的应用，能够解决实际问题。

教学难点：应用所学知识解决实际问题。

教学准备：1.教师准备黑板、粉笔、教学PPT。

2.学生准备纸和铅笔。

教学过程：Step 1：导入新知（5分钟）教师通过展示一幅画面，简要介绍弧长和扇形面积的概念，并激发学生对于这两个概念的兴趣。

Step 2：概念讲解（15分钟）教师通过PPT向学生介绍弧长和扇形面积的定义，同时讲解计算公式以及相关的单位。

-弧长的定义：一个圆的弧长是指弧所对应的圆周上的一段弧的长度。

弧长与半径和弧度有关。

弧度是用来表示弧长的度量单位，它是指半径等于1的圆的弧长所对应的角。

弧长的计算公式为：弧长=半径×弧度。

-扇形面积的定义：一个圆的扇形面积是指由圆心和圆上两端点围成的一段圆弧和两条相连的半径所形成的区域的面积。

扇形面积的计算公式为：扇形面积=1/2×弧长×半径。

Step 3：实例演练（20分钟）教师通过PPT和讲解，给出一些实例进行演练，让学生运用所学知识计算弧长和扇形面积。

- 实例1：一个半径为5cm的圆的弧度为1.2弧度，求它的弧长和扇形面积。

- 实例2：一个直径为10cm的圆的圆心角为60度，求它的弧长和扇形面积。

- 实例3：一个半径为8cm的圆的弧长为12cm，求它的弧度和扇形面积。

Step 4：拓展应用（20分钟）教师出示一些与弧长和扇形面积相关的实际问题，鼓励学生运用所学知识解决问题。

- 问题1：一个轮胎的直径为60cm，每次转一圈需要转4.8米，求这个轮胎的弧长。

- 问题2：一个车轮半径为50cm，旋转一周需要走300cm的距离，求这个车轮的弧度。

-问题3：一个广告牌的直径为10m，将广告牌按照弧度等分为8份，求每份的弧长和扇形面积。