课标版文数2018版《5年高考3年模拟》§8.1 空间几何体、三视图和直观图 考纲解读及考题解析

专题八立体几何【真题探秘】§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点空间几何体的结构及其三视图和直观图①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;②能画出简单空间图形的三视图,能识别三视图所表示的立体模型;会用斜二测画法画出简单几何体的直观图;③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图和直观图,了解空间图形的不同表示形式2018课标全国Ⅰ,9,5分空间几何体的三视图空间几何体的结构特征及空间几何体表面最短路径问题★★★2018课标全国Ⅲ,3,5分空间几何体的三视图数学文化2019课标全国Ⅱ,16,5分空间几何体的结构特征数学文化空间几何体的表面积通过对柱、锥、台、球的研究,掌握柱、锥、台、球的表面积的求法2018课标全国Ⅰ,5,5分圆柱的表面积圆柱的轴截面★★★2017课标全国Ⅰ,16,5分三棱锥外接球的表面积面面垂直的性质定理及三棱锥的体积2016课标全国Ⅰ,7,5分球的表面积空间几何体的三视图2015课标Ⅰ,11,5分组合体的表面积空间几何体的三视图空间几何体的体积①理解柱、锥、台体的体积概念;②能运用公式求解柱、锥、台、球的体积,并且熟悉台体、柱体与锥体之间的转换关系2018课标全国Ⅰ,10,5分长方体的体积直线与平面所成角★★★2017课标全国Ⅱ,6,5分不规则几何体的体积空间几何体的三视图2019课标全国Ⅲ,16,5分不规则几何体的体积数学的实际应用,几何体的质量分析解读1.理解柱、锥、台、球的概念,牢记它们的几何特征及形成过程.正确把握轴截面、中截面的含义及空间问题转化为平面问题的方法.2.理解三视图的概念及掌握三视图与直观图的画法.3.理解柱、锥、台、球的表面积和体积的概念,掌握其表面积和体积公式.4.高考对本节内容的考查主要以几何体的三视图为背景考查几何体的表面积和体积,分值约为5分,属于中档题.破考点练考向【考点集训】考点一空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2020届某某某某8月摸底考试,7)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )答案 D2.(2015,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )A.1B.√2C.√3D.2答案 C3.(2019某某非凡联盟4月联考,9)某组合体的正视图和侧视图如图(1)所示,它的俯视图的直观图是图(2)中粗线所表示的平面图形,其中四边形O'A'B'C'为平行四边形,D'为C'B'的中点,则图(2)中平行四边形O'A'B'C'的面积为( )A.12B.3√2C.6√2D.6答案 B考点二空间几何体的表面积答案 A2.(2019某某某某一模,7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.(4+4√5)π+4√2B.(4+4√5)π+4+4√2C.12π+12D.12π+4+4√2答案 A3.(2020届某某梅河口五中9月月考,16)已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上,且AB=6,BC=2√5,则棱锥O-ABCD的侧面积为.答案44考点三空间几何体的体积1.(2019某某某某二模,7)已知下图为某几何体的三视图,则其体积为( )A.π+23B.π+13C.π+43D.π+34答案 C2.(2018某某某某质检,8)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为( )A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈答案 B3.(2019某某,12,5分)已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.答案π4炼技法提能力【方法集训】方法1 空间几何体表面积的求解方法1.(2016课标全国Ⅱ,7,5分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π答案 C2.(2020届某某部分重点中学9月摸底考试,9)某三棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的表面积为( )A.32+√2+√52 B.12+2√2+√5 C.12+√2+√5 D.32+√2+√5 答案 A3.(2019某某某某诊断卷,4)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.16+2πB.20+2πC.14+πD.20+π答案 D4.(2019某某某某一调,15)若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,则圆锥侧面积与球的表面积之比为. 答案 √5∶2方法2 空间几何体体积的求解方法1.(2017,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A.60B.30C.20D.10答案 D2.(2019某某顶尖计划联考,9)如图,网格纸中小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.8B.10C.20D.32答案 C3.(2018某某,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.答案134.(2018某某,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案43方法3 与球有关的切、接问题的求解方法1.(2019某某某某质量检测,11)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,且两直角边长分别为1和√3,此三棱柱的高为2√3,则该三棱柱的外接球的体积为( )A.32π3B.16π3C.8π3D.64π3答案 A2.(2016课标全国Ⅲ,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π3答案 B3.(2017某某,11,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为. 答案 92π4.(2020届某某顶级名校9月联考,16)正三棱锥P-ABC(底面△ABC 为正三角形,顶点P 在底面的射影为底面△ABC 的中心)中,PA⊥PB,其体积为92,则该三棱锥的外接球的表面积为.答案 27π【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2018课标全国Ⅰ,9,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( )A.2√17B.2√5C.3D.2答案 B2.(2019课标全国Ⅱ,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为.(本题第一空2分,第二空3分)图1图2答案26;√2-1考点二空间几何体的表面积1.(2018课标全国Ⅰ,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )A.12√2πB.12πC.8√2πD.10π答案 B2.(2016课标全国Ⅲ,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36√5B.54+18√5C.90D.81答案 B3.(2017课标全国Ⅱ,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案14π4.(2017课标全国Ⅰ,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案36π考点三空间几何体的体积1.(2018课标全国Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为( )A.8B.6√2C.8√2D.8√3答案 C2.(2017课标全国Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A.90πB.63πC.42πD.36π答案 B3.(2017课标全国Ⅲ,9,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4答案 B4.(2019课标全国Ⅲ,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.答案118.85.(2018课标全国Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.答案8π6.(2017课标全国Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD 的面积为2√7,求四棱锥P-ABCD 的体积.答案 (1)证明:在平面ABCD 内, 因为∠BAD=∠ABC=90°, 所以BC∥AD.又BC ⊄平面PAD,AD ⊂平面PAD,故BC∥平面PAD. (2)取AD 的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=12AD 及BC∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM 为正方形,则CM⊥AD.因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD. 因为CM ⊂底面ABCD, 所以PM⊥CM.设BC=x,则CM=x,CD=√2x,PM=√3x,PC=PD=2x. 取CD 的中点N,连接PN, 则PN⊥CD,所以PN=√142x. 因为△PCD 的面积为2√7, 所以12×√2x×√142x=2√7, 解得x=-2(舍去)或x=2. 于是AB=BC=2,AD=4,PM=2√3. 所以四棱锥P-ABCD 的体积V=13×2×(2+4)2×2√3=4√3.7.(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置. (1)证明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=2√2,求五棱锥D'-ABCFE 的体积.答案 (1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD. 又由AE=CF 得AA AA =AAAA ,故AC∥EF.(2分) 由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分) (2)由EF∥AC 得AA AA =AA AA =14.(5分) 由AB=5,AC=6得DO=BO=√AA 2-A A 2=4. 所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH 2=(2√2)2+12=9=D'H 2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',因为OD'⊂平面BHD',所以AC⊥OD'. 又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.(8分) 又由AA AA =AA AA 得EF=92.五边形ABCFE 的面积S=12×6×8-12×92×3=694.(10分) 所以五棱锥D'-ABCFE 的体积V=13×694×2√2=23√22.(12分)B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2019某某,4,4分)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm 3)是( )A.158B.162C.182D.324答案 B2.(2018,6,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 C考点二空间几何体的表面积1.(2015某某,9,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )A.8+2√2B.11+2√2C.14+2√2D.15答案 B2.(2016某某,9,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.答案 80;40考点三 空间几何体的体积1.(2018某某,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A.2B.4C.6D.8答案 C2.(2016某某,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A.13+23π B.13+√23πC.13+√26πD.1+√26π答案 C3.(2019某某,9,5分)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积是120,E 为CC 1的中点,则三棱锥E-BCD 的体积是.答案10C组教师专用题组考点一空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2016某某,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )答案 B2.(2014课标Ⅰ,8,5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱答案 B考点二空间几何体的表面积1.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )A.1B.2C.4D.8答案 B2.(2015某某,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案 D3.(2015某某,9,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A.1+√3B.1+2√2C.2+√3D.2√2答案 C4.(2014大纲全国,10,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A.81π4B.16πC.9π D.27π4答案 A5.(2015课标Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π答案 C6.(2013课标Ⅰ,15,5分)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为.答案9π27.(2013课标Ⅱ,15,5分)已知正四棱锥O-ABCD的体积为3√22,底面边长为√3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.答案24π考点三空间几何体的体积1.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案 B2.(2015课标Ⅱ,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案 D3.(2015某某,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A.8cm 3B.12cm 3C.323cm 3D.403cm 3答案 C4.(2015某某,9,5分)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2√2π3B.4√2π3C.2√2πD.4√2π答案 B5.(2015某某,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.13+2π B .13π6C.7π3D.5π2答案 B6.(2015某某,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积原工件的体积( )A.89πB.827πC.24(√2-1)3πD.8(√2-1)3π答案 A7.(2014课标Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13答案 C8.(2013课标Ⅰ,11,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π答案 A9.(2012课标全国,7,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.18答案 B10.(2012课标全国,8,5分)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为√2,则此球的体积为( )A.√6πB.4√3πC.4√6πD.6√3π答案 B11.(2010全国Ⅰ,12,5分)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为( )A.2√33B.4√33C.2√3D.8√33答案 B12.(2017某某,13,5分)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.答案2+π213.(2016某某,12,5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案√3314.(2016,11,5分)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.答案3215.(2015某某,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案83π16.(2011课标,16,5分)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.答案1317.(2015课标Ⅱ,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.答案(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=√AA2-E A2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为97(79也正确).18.(2015某某,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求AAAA的值.答案(1)由题设AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S △ABC =12·AB·AC·sin60°=√32.由PA⊥平面ABC,可知PA 是三棱锥P-ABC 的高,又PA=1, 所以三棱锥P-ABC 的体积 V=13·S △ABC ·PA=√36.(2)证明:在平面ABC 内,过点B 作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC 内,过点N 作MN∥PA 交PC 于点M,连接BM.由PA⊥平面ABC 知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM ⊂平面MBN,所以AC⊥BM. 在直角△BAN 中,AN=AB·cos∠BAC=12,从而NC=AC-AN=32.由MN∥PA,得AA AA =AA AA =13.19.(2014某某,19,12分)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥BC,A 1B⊥BB 1. (1)求证:A 1C⊥CC 1;(2)若AB=2,AC=√3,BC=√7,问AA 1为何值时,三棱柱ABC-A 1B 1C 1体积最大?并求此最大值.答案 (1)证明:由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC, 又BB 1⊥A 1B,故BB 1⊥平面BCA 1,则BB 1⊥A 1C, 又BB 1∥CC 1, 所以A 1C⊥CC 1. (2)解法一:设AA 1=x,在Rt△A 1BB 1中,A 1B=√A 1A 12-B A 12=√4-A 2. 同理,A 1C=√A 1A 12-C A 12=√3-A 2.在△A 1BC 中,cos∠BA 1C=A 1A 2+A 1A 2-B A 22A 1B·A 1C=-2√A ,所以sin∠BA 1C=√12-7A 2(4-A 2)(3-A 2),所以A △A 1BC =12A 1B·A 1C·sin∠BA 1C=√12-7A 22.从而三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=A △A 1BC ·AA 1=A √12-7A 22.因为x √12-7A 2=√12A 2-7A 4=√-7(A 2-67)2+367,故当x=√67=√427,即AA 1=√427时,体积V 取到最大值3√77.解法二:过A 1作BC 的垂线,垂足为D,连接AD.由于AA 1⊥BC,A 1D⊥BC, 故BC⊥平面AA 1D,BC⊥AD. 又∠BAC=90°,所以S △ABC =12AD·BC=12AB·AC,得AD=2√217.设AA 1=x,在Rt△AA 1D 中,A 1D=√AA 2-A A 12=√127-A 2,A △A 1BC =12A 1D·BC=√12-7A 22.从而三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=A △A 1BC ·AA 1=A √12-7A 22.因为x √12-7A 2=√12A 2-7A 4=√-7(A 2-67)2+367,故当x=√67=√427,即AA 1=√427时,体积V 取到最大值3√77.20.(2013课标Ⅱ,18,12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点. (1)证明:BC 1∥平面A 1CD;(2)设AA 1=AC=CB=2,AB=2√2,求三棱锥C-A 1DE 的体积.答案 (1)证明:连接AC 1交A 1C 于点F, 则F 为AC 1中点.由D 是AB 中点,连接DF,则BC 1∥DF. 因为DF ⊂平面A 1CD,BC 1⊄平面A 1CD, 所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点, 所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2√2得∠ACB=90°,CD=√2,A1D=√6,DE=√3,A1E=3, 故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以A A-A1DE =13×12×√6×√3×√2=1.【三年模拟】时间:50分钟分值:60分一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2018某某某某一模,9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.212B.15 C.332D.18答案 C2.(2020届某某顶级名校摸底考试,6)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,若某个鳖臑的三视图均是直角边长为1的等腰直角三角形(如图所示),则该鳖臑表面中最大面的面积为( )A.√22B.1C.√2D.1+√2答案 A3.(2019全国大联考,8)已知半球O的半径r=2,正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半球O,其中底面ABC在半球O的大圆面内,点A1,B1,C1在半球O的球面上.若正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为6√3,则其侧棱的长是( )A.√6B.2C.√3D.√2答案 D4.(2020届某某A10联盟摸底考试,10)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.23B.43C.2D.4答案 B5.(2019某某某某模拟,9)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥内切球的表面积为( )A.(12-8√2)πB.(12-6√2)πC.(10-6√2)πD.(8-4√2)π答案 A6.(2019某某某某一模,8)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.43B.83C.4D.163答案 D7.(2020届百师联盟开学摸底考试,12)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD,异面直线AC与PD所成的角的余弦值为√105,则四棱锥外接球的表面积为( )A.48πB.12πC.36πD.9π答案 D8.(2020届西北工大附中9月月考,9)在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,△ABC是斜边AB=2√3的直角三角形,PA=PB=√7,则三棱锥外接球的表面积为( )A.16πB.65π4C.65π16D.49π4答案 D9.(2018某某某某一中期中,11)已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上,且PA⊥平面ABC,若该三棱锥的体积为2√33,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则球的表面积等于( )A.5πB.20πC.8πD.16π答案 B二、填空题(每小题5分,共15分)10.(2018某某部分重点中学摸底检测,14)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,形成的三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为.答案1411.(2020届某某某某十八中9月月考,16)已知球的直径DC=4,A,B是球面上的两点,∠ADC=∠BDC=π,则三棱锥6A-BCD的体积的最大值是.答案 212.(2020届某某某某重点中学摸底考试,15)菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,将△BCD沿对角线BD翻折,使得二面角C-BD-A的大小为120°,已知A、B、C、D四点在同一球面上,则球的表面积等于.答案84π。

8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图五年高考考点1 空问几何体的结构 1．（2013天津，4，5分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的,21则其体积缩小到原来的;81②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线01=++y x 与圆2122=+y x 相切， 其中真命题的序号是 ( ).A ①②③ ①②.B ①③.C ②③.D2．（2013辽宁．10，5分）已知直三棱柱111A C B A BC -的6个顶点都在球O 的球面上，若4,AC 3,AB ==,12,1=⊥AA AC AB 则球O 的半径为( )2173.A 102.B 213.C 103.D 3．（2013课标全国I ，6，5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )33005.cm A π 33866.cm B π 331372.cm C π 332048.cm D π4．（2012福建．4.5分）一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 ( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱5．(2011山东．11，5分 )如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图．其中真命题的个数是 ( )3.A 2.B 1.c 0.D6．（2013福建．12.4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是7．（2010课标全国．14,5分）正视图为一个三角形的几何体可以是 ．（写出三种） 考点2三视图和直观图 1．（2013四川．3,5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( )智力背景《九章算术》简介《九章算术》大约编于公元四、五十年间的东汉初期．这部书是采用问题集的形式 编成的，共有二百四十六个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商动、均输、盈不足、方程和勾股九章．方田章讲的是各种分数计算和方田、梯形田、斜方形田、圆田、半圆形田、弧田、环形田等的面积计算；粟米章讲的是粮食交易的简单比例计算， 2．（2013重庆，5，5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )3560.A 3580.B 200.C 240.D 3．（2013广东．5,5分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( )4.A 314.B 316.C 6.D 4．（2013湖南．7,5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 ( )1.A2.B 212.-C 212.+D 5．（2013课标全国II ，7,5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系0 - xyz 中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，O ，O)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为 ( )6．（2013课标全国I ，8,5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )π816.+A π88.+B π1616.+C π168.+D7．（2012课标全国．7,5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )6.A 9.B 12.C 18.D8．（2012湖北．4,5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )38.πA π3.B 310.πC π6.D 9．（2011课标．6,5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为 ( )智力背景我可以创造 一个宇宙伽利略说：“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙…自然界的书是用数学的语言写成的．”哈尔莫斯说：“数学的创作绝不是单靠推论可以得到的，首先通常是一些模糊的猜测，揣摩着可能的推广，接着下了不十分有把握龅结论．然后整理想法，直到看出事实的端倪，往往还要费好大的劲儿，才能将一切特诸逻辑式的证明，这过程要经过许多失败、挫折，一再地猜测、揣摩，在试探中白花掉几个月的时间是常有的.”10.（2011广东．7，5分）如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ( )36.A 39.B 312.C 318.D11.（2013辽宁，13.5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是12.（2013浙江．12.4分）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于.3cm13.（2013陕西．12.5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为14.（2012浙江．11,4分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于 .3cm15.（2012辽宁，13.5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为解读探究智力背景什么是数学模型呢数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构．数学结构是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等这些基于数学思想与方法的数学问题，总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系．知识清单1．棱柱的结构特征(1)棱柱的主要结构特征：有①面互相平行，其余各面都是②，并且每相邻③都互相平行，棱柱的两个互相平行的面叫棱柱的底面，其余各面叫棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，如果棱柱的一个底面水平放置，则铅垂线与两底面的交点之间的线段或距离，叫做棱柱的高． (2)棱柱的分类：按侧棱与底面的关系可分为④、⑤；按底面多边形的边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；底面是正多边形的⑥又称为正棱柱． 2．棱锥的结构特征(1)棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个⑦的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥．(2)正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．(3)正棱锥的性质：a．各侧棱长度相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高．b．棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形．3．圆柱、圆锥、圆台的结构特征分别以矩形一边、直角三角形一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，其中旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．4．棱台、圆台的特征用平行于底面的平面去截棱锥、圆锥，截面与底面间的部分叫棱台、圆台．5．球(1)-个⑧围绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球．形成球的半圆的圆心叫做球心；连结球面上一点和球心的线段叫球的半径；连结球面上两点且通过球心的线段叫球的直径(2)球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆，被经 过球心的平面截得的圆叫做球的大圆．球的截面性质：⑨ ，其中r 为截面圆的半径，R 为球的半径，d 为球心O 到截面圆心的距离． 6．几何体的三视图是指：⑩____、（11）____、（12）____．又称为主视图、左视图、俯视图． 7.三视图的画法要求(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，被挡住的线要画成虚线．(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画三视图的基本要求：（13） 、（14）____ 、（15） ．(3)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则． 8．平行投影的投影线互相平行；中心投影的投影线交于一点． 9．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于0点，画直观图时，把它们画成对应的/x 轴与/y 轴，两轴相交于/O 且使,45///oy O x =∠用它们确定的平面表示水平面；(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中，分别画成平行于/x 轴或/y 轴的线段； (3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半． 【知识拓展】1．常见多面体及其关系、(1)平行六面体；直棱柱；正棱柱；长方体；正方体；正棱锥；正棱台．(2){正方体}≠⊂{正四棱柱}≠⊂{长方体}≠⊂{直平行六面体}≠⊂{平行六面体}≠⊂{四棱柱}．2.三视图在解题过程中，可以根据三视图的形状及图中所涉及的线段的长度，推出原几何图形中的点、线、面的位置关系及图中的一些线段的长度，从而解决其他有关问题，·知识清单答案智力背景石钟慈与中国计算数学的发展 中国计算数学家、中国科学院院士、中国科学院计算数学与科学工 程计算研究所研究员磊钟慈，曾任国家攀登项目“天规模科学与工程计算”首席科学家20世纪50年代 束，他建立了一种将变分原理和摄动理论相结合的新算法并算出氦原子最低能态的良好近似值；研究了 矩阵特征值的定位问题，得到精度很高的上下界估计公式．90年代后期，他研究弹性力学中闭锁问题的 有限元方法，成绩显著，居于国际前列.突破方法方法1几何体的三视图例1 （2012湖南,3,5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )解题思路解析 A图是两个圆柱的组合体的俯视图；B图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图；C图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选D．答案 D【方法点拨】三视图的画法要坚持以下原则：(1)高平齐，即正视图和侧视图的高相等；(2)宽相等，即侧视图和俯视图的宽相等；(3)长对正，即正视图和俯视图的长相等；(4)看不见的轮廓线或棱要用虚线表示，方法2几何体的直观图例2（2012山东淄博三模．14，4分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），,,1,45BCDCADABABC⊥===∠ 则这块菜地的面积为解题思路解析如图①，在直观图中，过点A作AElBC，垂足为E，则在Rt△ABE中，⋅=∴=∠=22,45,1BEABEAB而四边形AECD为矩形，AD =1，22.1=+=∴==∴ECBEBCADEC.1+由此可还原原图形如图②．在原图形中，===//////,2,1CBBADA,122+且,,//////////CBBACBDA⊥∴这块菜地的面积为//////)(21BACBDAs⋅+=⋅+=⨯++⨯=2222)2211(21答案 222+【方法点拨】 斜二测画法的注意事项：(1)对于几何体的直观图，一方面，要掌握斜二测画法规则，注意线线平行关系的不变性及长度的变化特征；另一方面，若能了解原图形面积S 与其直观图面积直S 之间的关系：,42s S =直还可以简化有关问题的计算．(2)把水平放置的直观图还原成原来的图形，基本过程就是逆用斜二测画法，使平行于/x 轴的线段长度不变，平行于/y 轴的线段长度变成原来的2倍，智力背景分解质因数的来源 1643年，欧洲殖民者在美洲大陆经历了一场恐怖：大量的蝉仿佛一夜之间从地底冒出，几周后销声匿迹，时隔17年，这现象再次出现到1991年共出现22次，周期很准确，科学家发现，蝉的生命周期大都为质数，如在北荑洲北部地区同濑为17年，在南部地区则为13年科学家说，蝉选择质数为生命周期，可降低与天敌遭遇的概率若它的生命周期是12年，则与生命周期为l 、2、3、4、6、的天教都可能遭遇，从而使种群生存受威胁.三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：35分钟 分值：40分 一、选择题（每题5分，共25分） 1．（2013北京通州高三上学期期末）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 ( )，2416.+A 2412.+B 248.+C 244.+D2．（2013广东云浮一模．3）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为,21则该几何体的俯视图可以是( )3．（2013吉林长春5月，11）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( )π216.+A π28.+B π+16.C π+8.D 4．（2012北京朝阳二模．8）有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是 ( )1.A 223.B 2.C 3.D 5．（2011江西重点盟校二次联考．6）若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是 ( )321.cm A 332.cm B 365.cm C 387.cm D 二、填空题（共5分）6．（2013河北石家庄二模,13）如图，矩形////C B A O 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中,2,6////==C O A O 则原图形OABC 的面积为三、解答题（共10分）7．（2013北京大兴一模．17）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台的上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长，智力背景规矩和直尺（一） 古人云:“没有规矩，不成方圆，”可见在中国古代，就有了规和矩．我们知道，“规”是指画圆的圆规；“矩”是折成直角的曲尺，尺上有刻度，发明规矩的确切年代已无从查考．但在公元前15世纪的甲骨文中，已有规矩二字了．《史记》中有这样的记栽：夏禹治水的时候，是“左准绳，右规矩”．这意思是说，夏禹是左手拿着水准绳，右手拿规和矩进行测量，规划出治水方索的，由此说明在夏禹治水的年代就有了规和矩这两种几何工具了，B 组 2011-2013年模拟探究专项提升测试时间：50分钟 分值：50分 一、选择题（每题5分，共15分） 1．（2013北京昌平高三上学期期末）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为 ( )243410.++A 243210.++B 243214.++C 243414.++D2．（2013山西阳泉一模．9）下列结论正确的是 ( )A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线3．（2013甘肃西宁二模．4）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 ( )二、填空题（每题5分，共10分）4．（2013山东潍坊一模．13）等腰梯形ABCD ，上底CD =1，腰AD ,2⋅==CB 下底,3=AB 以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图////D C B A 的面积为5．（2013河南三门峡4月．14）如图，侧棱长为32的正三棱锥v-ABC 中，,40oCVA BVC AVB =∠=∠=∠ 过A 作截面△AEF，则截面△AEF 的周长的最小值为三、解答题（共25分）6．（2013东北八校一模．17）已知正三棱锥V-ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．7．（2013四川西昌二模，18）如图所示，在正三棱柱111-ABC C B A 中，,2,21==AA AB 从顶点B 沿棱柱侧面（经过棱)AA 1到达顶点,1C 与1AA 的交点记为M 求：(1)正三棱柱侧面展开图的对角线长；(2)从B 经过M 到1C 的最短路线长及此时AMM A 1的值，智力背景规矩和直尺(二) 规矩的使用，对于我国古代几何学的发展有着很重要的意丸周代数学家商高曾把规 矩的用处作了总结：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远”这几句话，精炼地道出了矩的用途．希腊人作图只能从最基本的工具—一直尺和圆规开始，直尺还是没有刻度的尺．由于作图工具的限制，导致了历史上的三火几何不能作图问题：三等分任意角，倍立方，化圆为方，而在这三个难题的研究过程中又有许多发现，从而推动了数学的发展.。

第一节空间几何体及其三视图、直观图、表面积与体积A组基础题组1.下列说法正确的是()A.棱柱的两个底面是全等的正多边形B.棱柱的平行于侧棱的截面是矩形C.{直棱柱}⊆{正棱柱}D.{正四面体}⊆{正三棱锥}2.如图所示的是水平放置三角形的直观图,点D是△ABC的BC边的中点,AB,BC分别与y'轴、x'轴平行,则原图形的三条线段AB,AD,AC中()A.最长的是AB,最短的是ACB.最长的是AC,最短的是ABC.最长的是AB,最短的是ADD.最长的是AC,最短的是AD3.(2016课标全国Ⅰ,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π4.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛5.(2016北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A. B. C. D.16.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.7.(2016天津,11,5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.8.已知正四棱锥V-ABCD中,底面面积为16,一条侧棱的长为2,则该棱锥的高为.9.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积及体积.10.如图的三个图中,上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视图下面按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸求该多面体的体积.B组提升题组11.(2016广西质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的()A. B. C. D.12.(2016内蒙古包头九中期中)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中面积最大的侧面的面积为()A. B. C. D.313.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的外接球的表面积为.14.(2015四川,14,5分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.15.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?答案全解全析A组基础题组1.D 选项A中棱柱的两个底面全等,但不一定是正多边形;选项B中棱柱的平行于侧棱的截面是平行四边形,但不一定是矩形;选项C中,{正棱柱}⊆{直棱柱},故A、B、C都错.选项D中,正四面体是各条棱均相等的正三棱锥,故正确.2.B 由题意知,原平面图形中AB⊥BC,从而AB<AD<AC.3.A 由三视图可知,该几何体是一个球被截去后剩下的部分,设球的半径为R,则该几何体的体积为×πR3,即π=×πR3,解得R=2.故其表面积为×4π×22+3××π×22=17π.选A.4.B 设圆锥底面的半径为R尺,由×2πR=8得R=,从而米堆的体积V=×πR2×5=(立方尺),因此堆放的米约有≈22(斛).故选B.5.A 由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示,其底面是等腰直角三角形ACB,直角边长为1,三棱锥的高为1,故体积为V=××1×1×1=.故选A. 6.答案38解析由三视图可知,该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体所剩余的部分,如图所示.长方体的长、宽、高分别为4,3,1,表面积为4×3×2+3×1×2+4×1×2=38,圆柱的底面圆直径为2,侧面积为2π×1×1=2π,圆柱的两个底面面积和为2×π×12=2π.故该几何体的表面积为38+2π-2π=38.7.答案 2解析四棱锥的底面是平行四边形,由三视图可知其面积为2×1=2m2,四棱锥的高为3 m,所以四棱锥的体积V=×2×3=2 m3.8.答案 6解析如图,取正方形ABCD的中心O,连接VO、AO,则VO就是正四棱锥V-ABCD的高.因为底面面积为16,所以AO=2.因为一条侧棱长为2,所以VO===6.所以正四棱锥V-ABCD的高为6.9.解析如图,过C作CE⊥AD,交AD所在直线于E.由已知得:CE=2,DE=2,CB=5,所得几何体是一个圆台挖去一个圆锥所剩余的部分,S表=S圆台侧+S圆台下底面+S=π(2+5)×5+π×25+π×2×2=(60+4)π,V=V圆台-V圆锥圆锥侧=(π·22+π·52+)×4-π×22×2=π.10.解析(1)如图.(2)所求多面体的体积V=V长方体-V正三棱锥=4×4×6-××2=(cm3).B组提升题组11.A 由俯视图可知三棱柱的底面积为×2×2=2,∴原直三棱柱的体积为2×4=8.由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥,四棱锥的底面为直角梯形,其面积为×(2+4)×2=6,由俯视图可知四棱锥的高为2,∴四棱锥的体积为×6×2=4.∴该几何体的体积与原三棱柱的体积比为=.故选A.12.B 由三视图可知,几何体的直观图如图(1)所示,四棱锥A-BCDE的高为1,平面AED⊥平面BCDE,四边形BCDE是边长为1的正方形.作AF垂直DE的延长线于点F,FG EB,连接AG,GB,如图(2),则S△AED=×ED×AF=×1×1=,S△ABE=×BE×AE=×1×=,S△ABC=×BC×AG=×1×=,S△ACD=×CD×A D=×1×=.故选B.13.答案解析如图,几何体为三棱锥P-ABC,底面ABC为直角三角形,侧面PAB⊥底面ABC.易知球心O在PO1上(O1为AB中点),设OO1=x,在Rt△AOO1中,x2+12=(-x)2,解得x=,∴r=-x=,∴S表=4πr2=.14.答案解析三棱柱ABC-A1B1C1的直观图如图,由题意知CC1=AB=AC=1,AB⊥AC.∵N,P分别为BC,B1C1的中点,∴NP∥CC1,∵CC1∥AA1,∴NP∥AA1,又AA1⊄平面MNP,NP⊂平面MNP,∴AA1∥平面MNP. ∴A1到平面MNP的距离等于A到平面MNP的距离,由题意知,三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AM,∴AM⊥NP.∵M,N分别为AB,BC的中点,∴MN∥AC.∵AC⊥AB,∴AM⊥MN.∵MN∩NP=N,∴AM⊥平面MNP,∴A1到平面MNP的距离即为线段AM的长.∴==AM·S△MNP=××××1=.15.解析(1)由PO 1=2 m知O1O=4PO1=8 m.因为A1B1=AB=6 m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积为V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0<h<6,O1O=4h(m).连接O1B1.因为在Rt△PO1B1中,O1+P=P,所以+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积(单位:m3)为V=V柱+V锥=a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3),0<h<6,从而V'=(36-3h2)=26(12-h2).令V'=0,得h=2或h=-2(舍).当0<h<2时,V'>0,V是单调增函数; 当2<h<6时,V'<0,V是单调减函数. 故h=2时,V取得极大值,也是最大值. 因此,当PO1=2 m时,仓库的容积最大.。

第01节空间几何体的结构及其三视图和直观图【考纲解读】统计0,12,20;与立体几何数学应用的1．空间几何体的结构特征一、多面体的结构特征三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．对点练习：有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A2空间几何体的直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．对点练习：【2017年福建省数学基地校高三复习试卷】一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为( )A.【答案】D3.空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．对点练习：【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）（B）3（C）2（D）2【答案】B【解析】【考点深度剖析】三视图是高考重点考查的内容，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力，期间需要灵活应用几何体的结构特征．【重点难点突破】考点1：空间几何体的结构特征【1-1】如图几何体中是棱柱的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【1-2】下列命题中正确的有__________．①有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；②存在一个四个侧面都是直角三角形的四棱锥；③如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形； ④圆台的任意两条母线所在直线必相交； 【答案】②④【解析】①不正确，因为不能保证等腰梯形的各个腰延长后交与一点．②如右图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故②正确；③如图所示的棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面不是矩形；故③错误④根据圆台的定义和性质可知，命题④正确． 所以答案为②④ 【领悟技法】系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决． 【触类旁通】【变式1】一个棱柱是正四棱柱的条件是( )． A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C ．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直 D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱 【答案】C【解析】 A ，B 两选项中侧棱与底面不一定垂直，D 选项中底面四边形不一定为正方形，故选C.【变式2】【2018届云南省名校月考一】已知长方体1111ABCD A BC D 的所有顶点在同一个球面上，若球心到过A 3,5,6__________． 7考点2 空间几何体的直观图【2-1】利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________(写出所有正确的序号)．①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形． 【答案】①②④【解析】①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误．【2-2】在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中，四边形ABCO 为________，面积为________ cm 2.【答案】矩形8【领悟技法】按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图2S 原图形，S 原图形＝22直观图． 【触类旁通】【变式1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( ) A．2 12+22+ D ．12【答案】A【解析】由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长度均为1，得下底长为11, 122的直角梯形． 所以面积S ＝12(12+22+故选A.【变式2】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形【答案】C【解析】将直观图还原得▱OABC，如图，∵O′D′＝2O′C′＝2 2 (cm)，OD＝2O′D′＝4 2 (cm)，C′D′＝O′C′＝2 (cm)，∴CD＝2 (cm)，OC ＝CD2＋OD2＝22＋422＝6 (cm)，OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC，故原图形为菱形．综合点评：解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.考点3 空间几何体的三视图【3-1】【2018届河南省新乡市第一中学高三8月月考】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）【答案】B【3-2】【江西卷】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )【答案】(1)D (2)D【解析】 (1)球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥OABC,当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.(2)如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.【3-3】【2018届广东省广州市海珠区高三综合测试一】如图，点,M N 分别是正方体1111ABCD A BC D 的棱1111,A B A D 的中点，用过点,,A M N 和点1,,D N C 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（ ）A. ①③④B. ②④③C. ①②③D. ②③④ 【答案】D【领悟技法】三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．【触类旁通】【变式1】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )【答案】C【变式2】如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )．【答案】D【变式3】【武汉市部分学校2016 届高三调研】）一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为（．．．．．）．①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.中的A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】B【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立.综合点评：三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【易错试题常警惕】易错典例：一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．【错解】①②⑤【错因】忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.【正解】①三棱锥的主视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其主视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的主视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其主视图都不可能是三角形；⑤当圆锥的底面水平放置时，其主视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其主视图也不可能是三角形．故正确答案为①②③⑤.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：【典例】【2017届河北省石家庄市二模】如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为45 ，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形''ABB A 为矩形，若沿'AA 将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A。

§8.1空间几何体的结构特征、三视图、直观图考纲展示► 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．考点1 空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征(1)矩形(2)直角边(3)直角腰(4)直径(1)[教材习题改编]一个几何体由5个面围成，其中两个面是互相平行且全等的三角形，其他面都是全等的矩形，则该几何体是________；一个等腰直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周后形成的封闭曲面所围成的几何体是________．答案：三棱柱两个同底的圆锥解析：根据多面体和旋转体的概念知，第一个几何体是三棱柱，第二个几何体是两个同底的圆锥．(2)[教材习题改编]如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，若图①是正视图，则图②是________，图③是________．答案：侧视图俯视图解析：根据三视图的概念知，图②是侧视图，图③是俯视图.空间几何体的认识误区．给出下面四种说法：①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；④棱台各侧棱的延长线交于一点．其中错误说法的序号为________．答案：①②③解析：①如果上、下两个面平行，但不全等，即使其余各面是四边形，那也不可能是棱柱．②如图所示，平面ABC∥平面A1B1C1，但图中的几何体不是棱柱．③棱锥的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．④棱台是由棱锥截得的，故侧棱延长线交于一点．[典题1] (1)给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析]①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．(2)下列说法中正确的是________．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面组成的几何体是棱锥；②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；③用一个平面去截棱锥，可得到一个棱锥和一个棱台；④棱锥的各侧棱长相等．[答案]②[解析]棱锥的侧面三角形有一个公共顶点，故①错误；三棱锥又叫四面体，其各个面都是三角形，都可以作为棱锥的底面，故②正确；用平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分叫做棱台，故③错误；④明显错误．[点石成金] 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．考点2 空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用________得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是________的，三视图包括________、________、________.答案：正投影 完全相同 正视图 侧视图 俯视图三视图：注意三个视图之间的长度关系．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．答案：48解析：由三视图可知，上面是一个长为4、宽为2、高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是上、下底分别为2,6，高为2的梯形．又长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4×2＋62×2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48.角度一由三视图还原几何体[典题2] [2017·河南郑州模拟]若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )A B C D[答案] D[解析]A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.角度二由空间几何体的直观图判断三视图[典题3] 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )A B C D[答案] B[解析]由直观图可知，该几何体是由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．故选B.角度三由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图[典题4] [2017·吉林长春模拟]已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________．(把你认为正确的图的序号都填上)[答案]①②③④[解析]直观图如图①的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为题图①；直观图如图②的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为题图②；直观图如图③的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为题图③；直观图如图④的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为题图④.①②③④[点石成金] 三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．考点3 空间几何体的直观图空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴、y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴、y ′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．[典题5] 已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2 [答案] D[解析] 图①所示的是△ABC 的实际图形，图②是△ABC 的直观图．由图①②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2. [点石成金] 用斜二测画法画直观图的技巧(1)在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行； (2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线；(3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出．如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求△ABC 的面积．解：建立如图所示的坐标系xOy ′，△A ′B ′C ′的顶点C ′在y ′轴上，边A ′B ′在x 轴上，把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，在y 轴上取点C 使OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变．已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ， 在△OA ′C ′中，由正弦定理，得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45°a ＝62a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a ， 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.真题演练集训1．[2016·天津卷]将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )A B C D答案：B解析：由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A．6 2 B. 4 2C．6 D．4答案：C解析：如图，侧面SBC⊥底面ABC.点S在底面ABC的射影点O是BC的中点，△ABC为直角三角形．∵AB＝4，BO＝2，∴AO＝20，SO⊥底面ABC，∴SO⊥AO，SO＝4，∴最长的棱AS＝20＋16＝6.3．[2015·北京卷]某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A．1 B. 2C. 3 D．2答案：C解析：根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.三视图识图中的易误辨析[典例] 在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②[错解] 由已知该几何体正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别为(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)，且内有一实线，故正视图为①，俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别为(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图为②.[错因分析] (1)不能由点的坐标确定点在空间直角坐标系中的位置．(2)不能借助于正方体，由空间几何体的直观图得到它的三视图．(3)受思维定势的影响，直观感觉正视图为三角形，而无法作出选择．[解析]在空间直角坐标系中，构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②，故选D.[自我矫正] D答题启示对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，再画其三视图．另外要注意交线的位置，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线，即一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．。

专题8.1 空间几何体及其三视图和直观图1.（2020·广西兴宁�南宁三中高一期末）已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成方式为（ ）A ．上面为圆台，下面为圆柱B ．上面为圆台，下面为棱柱C ．上面为棱台，下面为棱柱D ．上面为棱台，下面为圆柱【答案】A【解析】结合图形分析知上面为圆台，下面为圆柱.故选：A.2.（2021·江西师大附中高二月考（理））如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C练基础【解析】根据棱锥的三视图想象原几何体的结构，可以在正方体中想象描出原几何体，确定其结构．【详解】若几何体为三棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方且为直角三角形，故ABD 均有可能，若几何体是四棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为正方形，俯视图为正方形，但对角线应从左上到右下，C 不正确．故选：C ．3.（2021·江苏高一期末）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的高为（）A ．1B C D ．2【答案】C【解析】由侧面积求出圆锥的底面圆半径，再根据勾股定理可求得其高.【详解】设圆锥的底面圆的半径为r ，母线为l ，则2l =，所以其侧面积为22rl r πππ==，解得1r =，==故选：C.4.（2020·河北易县中学高三其他（文））若圆台的母线与高的夹角为6π，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为（ ）A B ．2C ．D ．【答案】D【解析】设上、下底面半径分别为R ，r ，圆台高为h ，由题可知：tan 6R r h π-=，即2h =所以h =．故选：D5.（2020届浙江绍兴市诸暨市高三上期末）某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中，可能是其俯视图的是（ ）A ．①②都可能B ．①可能，②不可能C ．①不可能，②可能D ．①②都不可能【答案】A【解析】若是①，可能是三棱锥；若是②，可能是棱锥和圆锥的组合；所以①②都有可能，故选：A.6．（2021·石家庄市第十七中学高一月考）如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径和高均为12cm ，现有体积为396πcm 的细沙全部漏入下圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）A ．3cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm【答案】C【解析】根据圆锥的体积公式列方程求出沙堆的高．【详解】解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为6r =，设高为h ，则沙堆的体积为216963V h ππ=⋅⋅=圆锥，解得()8h cm =，所以圆锥形沙堆的高度为8cm ．故选：C ．7.（2021·云南弥勒市一中高一月考）如图，正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．8B ．6C ．(21D ．(21+【答案】A【解析】根据斜二测画法的规则，得到原图形的形状为平行四边形，进而求得其边长，即可求解.【详解】由斜二测画法的规则，可得原图形为O A B C ''''是一个平行四边形，如图所示，因为水平放置的一个平面图形的直观图OABC 的边长为1的正方形，可得1,OA OB ==1,O A O B ''''==，在直角O A B '''△中，可得3A B ''==，所以原图形的周长为11338+++=.故选：A.8．（2021·浙江高三三模）如图，等腰直角三角形ABC 在平面α上方，90BAC ∠= ，若ABC V 以BC 为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面α内的投影不可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对直线BC 与平面α的位置关系进行分类讨论，判断出投影的形状，即可得出合适的选项.【详解】若BC α⊥，则形成的旋转体在平面α内的投影如D 选项所示；若//BC α，则形成的旋转体在平面α内的投影为正方形；若BC 与α所成的角的取值范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，则形成的旋转体在平面α内的投影如A 、B 选项所示.投影不可能如C 选项所示.故选：C.9．（2020·上海市进才中学高二期末）设MN 是半径为R 的球的直径，则,M N 两点的球面距离是________．【答案】Rπ【解析】MN 是半径为R 的球的直径，则,M N 两点所对的球心角为π，球面距离为R π．故答案为：R π．10．（2020·全国）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．【答案】见解析【解析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.1.（2021·四川高一期末（理））某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图.圆柱表面上的点P 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点Q 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从P 到Q 的路径中，最短路径的长度为（ ）ABC ．32D ．1【答案】B【解析】根据三视图分析出,P Q 所在的位置，然后结合圆柱的侧面展开图即可求出结果.【详解】由三视图还原几何体，如图：即点B 在距离点A 在底面投影的14圆弧 处，沿A 所在的母线得到如图所示的侧面展开图，练提升圆柱的底面周长即为侧面展开图的长，圆柱的高即为侧面展开图的宽，而线段AB 的距离即为所求P 到Q 的路径中的最短路径，因为底面周长为8 ,所以1824A B '=⨯=，又因为高为1，则1A A '=，所以AB ===,故选：B.2.【多选题】（2021·宁波市北仑中学高一期中）如图，棱长为a 的正四面体形状的木块，点P 是ACD △的中心．劳动课上需过点P 将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB 和CD ，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）A ．截面不是平行四边形B ．截面是矩形C ．截面的面积为229a D ．截面与侧面ABC 的交线平行于侧面ABD【答案】BCD【解析】过点P 构建四边形，通过相关直线间的平行关系进一步证明为平行四边形，找对应线之间的垂直证明截面为矩形，从而计算截面面积【详解】解：如图所示，在正四面体中，4个面均为正三角形，由于点P 为ACD △的中心，所以P 位于CD 的中线的23外，分别取,,,BC AC AD BD 的三等分点，则EM ∥AB ，EF ∥CD ，FN ∥AB ，MN ∥CD ，所以EM ∥FN ，EF ∥MN ，所以截面EFNM 为平行四边形，所以A 错误，延长AP 交CD 于G ，连接BG ，由于P 为ACD △的中心，所以G 为CD 的中点，因为AC AD BC BD ===，所以,AG CD BG CD ⊥⊥，因为AG BG G = ，所以CD ⊥平面ABG ，所以CD AB ⊥，因为EM ∥AB ，EF ∥CD ，所以EM EF ⊥，所以截面EFNM 为矩形，所以B 正确，因为2211,3333MN CD a ME AB a ====，所以2212339S MN ME a a a =⋅=⋅=，所以C 正确，对于D ，截面EFNM ⋂平面ABC ME =，ME ∥AB ，ME ⊄平面ABD ，AB Ì平面ABD ，所以ME ∥平面ABD ，所以D 正确，故选：BCD3.（2021·湖北随州市·广水市一中高一月考）如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置一个平面图形的直观图，其6O A ''=，2O C ''=，则原图形是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．梯形【答案】C【解析】由已知得原图为平行四边形，OD BC ^，利用勾股定理计算边长得到OC OA =,可判断原图形的形状.【详解】因为//O A B C ''''，=O A B C ''''，所以直观图还原得//OA BC ，=6OA BC O A ''==，四边形OABC 为平行四边形，OD BC ^，则2C D O C ''''==，2CD ∴=，O D C ''''==2OD O D ''==6OC ===，所以6OC OA ==，故原图形为菱形．故选：C.4．（2021·肇州县第二中学高一月考）如图是利用斜二测画法画出的Rt ABO V 的直观图，已知4O B ''=，且ABO V 的面积为16，过点A '作A C x '''⊥轴于点C '，则A C ''的长为（ ）A ．BC ．D ．1【答案】A【解析】利用面积公式，求出直观图的高，求出''A B ，然后在直角三角形'''A B C 中求解即可【详解】解：由直观图可知，在Rt ABO V 中，2ABO π∠=，因为ABO V 的面积为16，4O B OB ''==,所以1162AB OB ⋅=，所以8AB =，所以''4A B =，因为'''4A B C π∠=， A C x '''⊥轴于点C '，所以''''sin 44AC A B π=⋅==故选：A5．（2021·宁夏大学附属中学高一月考）三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（ ）A ．B ．C D ．【答案】B【解析】根据几何体的三视图，结合几何体的数量关系，在直角SBD V 中，即可求解.【详解】如图所示，根据三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图，可得底面ABC V 中，点D 为AC 的中点， BD =SC ⊥底面ABC ，又由点D 为AC 的中点，且根据侧视图，可得BD AC ⊥，在直角BCD △中，可得4BC ===又由4SC =，在直角SBC V 中，可得SB ===故选：B.6．（2021·江苏省镇江中学）点P 是平面ABC 外一点，且PA PB PC ==，则点P 在平面ABC 上的射影一定是ABC V 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】A【解析】过点P 作PO ⊥平面ABC ，因为PA PB PC ==，得到OA OB OC ==，即可求解.【详解】如图所示，过点P 作PO ⊥平面ABC ，可得OA OB OC ===因为PA PB PC ==，可得OA OB OC ==，所以O 为ABC V 的外心.故选：A.7.（2021·上海高二期末）圆锥的高为1，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为____________【答案】2【解析】求出圆锥轴截面顶角大小，判断并求出所求面积最大值．【详解】如图，SAB 是圆锥轴截面，SC 是一条母线，设轴截面顶角为θ，因为圆锥的高为1tan 2θ(0,)θπ∈，所以23θπ=，232ππθ=>，设圆锥母线长为l ，则2l =，截面SBC 的面积为211sin sin 22S SB SC BSC l BSC =⋅∠=∠，因为2(0,]3BSC π∠∈，所以2BSC π∠=时，2max 1222S =⨯=．故答案为：2．8．（2021·浙江绍兴市·高一期末）已知四面体ABCD 的所有棱长均为4，点O 满足OA OB OC OD ===，则以O 为半径的球与四面体ABCD 表面所得交线总长度为______.【解析】根据正四面体的结构特征求得O 到面的距离，进而利用球的截面的性质求得各面所在平面与球的截面圆的半径，注意与各面的三角形内切圆的半径比较，确定此截面圆是否整个在面所在的三角形内，进而确定球与各面的交线，得到球与四面体表面所得交线总长度．【详解】已知四面体ABCD 的所有棱长均为4，所以四面体ABCD 是正四面体，因为点O 满足OA OB OC OD ===，所以O 为正四面体ABCD 的中心.设正三角BCD 的中心为F ，正三角ACD 的中心为G ，CD 的中点为E ，则连接,,,,AF BG AE BE 则,BG AF O BF AG E ⋂=⋂=．:::1:3,:1:4,OF OA GF AB EF EB OF AF ===∴=则BE AE ==23BF BE ==，AF ==4AF OF ==因为球O O 被平面BCD 截得圆半径为r PF ===因为正三角形BCD 的边长为4，所以正三角形内切圆半径为2tan 30︒=故球O 与四面体ABCD 的每一个面所得的交线为正好为内切圆，每个内切圆的周长为2r π=，所以球与四面体ABCD ．．9.（2020届浙江杭州四中高三上期中）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是_____，最长棱长为_____．【答案】3【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，且梯形上下边长为1和2，高为2，如图：2AD =，2AB =，1BC =，PA x =，//AD BC ，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，∴底面的面积1(12)232S =⨯+⨯=，∴几何体的体积1333V x g ==，可得3x =，最长棱长为：PC ==故答案为：3．10．（2019·全国高考真题（理））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】共26个面..【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有1-18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，，．1.（2021·全国高考真题）其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B【解析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l ππ=l =.故选：B.2．（2021·北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）x AB BE x ==BC FE G BC H BGE ∆,21)1BG GE CH x GH x x x ∴===∴=+=+=1x ∴==-1练真题A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨【答案】B【解析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为()200100mm 2=的圆面内的降雨充满一个底面半径为()20015050mm 2300⨯=，高为()150mm 的圆锥，所以积水厚度()22150150312.5mm 100d ππ⨯⨯==⨯，属于中雨.故选：B.3.（2020·全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】A【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，14D D 上的点在正视图中都对应点M ,直线34B C 上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是4D ,线段34D D ,上的所有点在侧试图中都对应E ,∴点4D 在侧视图中对应的点为E .故选：A4．(2019年高考全国Ⅲ卷理)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作于，连接，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交EO CD O ON直线.过作于，连接，平面平面，平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，，故选B ．5.（2018·北京高考真题（文））某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，M MF OD ⊥F BF CDE ⊥ABCD ,EO CD EO ⊥⊂CDE EO ∴⊥ABCD MF ⊥ABCD MFB ∴△EON △12EO ON EN ===,5,2MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠P ABCD -P ABCD -2,2,2,1PD AD CD AB ====由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.6.（2021·全国高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．【答案】③④（答案不唯一）【解析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，3,PA PC PB BC ====,,PAD PCD PAB ∆∆∆如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC BB ===，,E F 分别为棱11,BC BC 的中点，则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E ADF -.故答案为：③④.。