3.2 用关系式表示的变量间关系

北师大版七下数学3.2用关系式表示的变量间关系说课稿2一. 教材分析北师大版七下数学3.2用关系式表示的变量间关系是学生在学习了函数概念和一次函数的基础上，进一步探究变量之间关系的课程。

通过本节课的学习，学生能够理解常量、变量、函数的概念，能够用关系式表示变量之间的关系，并会解决一些简单的实际问题。

本节课的内容主要包括两个部分，一是关系式的概念和表示方法，二是用关系式表示实际问题中的变量关系。

教材通过丰富的例题和练习题，引导学生理解和掌握关系式的表示方法，并能够运用关系式解决实际问题。

二. 学情分析学生在进入七年级下学期之前，已经学习了代数基础知识，对常量、变量、函数等概念有了一定的理解。

但是，对于关系式的概念和表示方法，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出关系式，理解关系式的概念和表示方法。

同时，学生在解决实际问题时，往往只注重结果，而忽视了解题过程中的思路和方法。

因此，在教学过程中，需要引导学生关注解题思路和方法，培养学生的逻辑思维能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解关系式的概念和表示方法，能够用关系式表示变量之间的关系。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：理解关系式的概念和表示方法，能够用关系式表示变量之间的关系。

2.教学难点：从实际问题中抽象出关系式，理解关系式的概念和表示方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出关系式，理解关系式的概念和表示方法。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示实际问题和关系式，帮助学生直观地理解关系式的概念和表示方法。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，引导学生关注变量之间的关系，激发学生的学习兴趣。

2.探究：引导学生从实际问题中抽象出关系式，理解关系式的概念和表示方法。

3.2 用关系式表示的变量间关系同步练习题北师大版七年级数学下册一、选择题x2+1,当自变量x=2时,因变量y的值是() 1.变量y与x之间的关系式是y=12A.3B.1C.-1D.-22.佳佳花3 000元买了一台空调,耗电量为0.7度/小时,电费为1.5元/度,这台空调持续开x小时后,产生的电费y(元)与时间x(小时)之间的关系式是( )A.y=1.05xB.y=0.7xC.y=1.5xD.y=3 000+1.5x3.汽车由A地驶往相距120 km的B地,它的平均速度是60 km/h,则汽车距B地的路程s(km)与行驶时间t(h)之间的关系式为( )A.s=120-60tB.s=120+60tC.s=60tD.s=120t4.2022年5月5日教育部印发《义务教育劳动课程标准(2022年版)》,劳动成为一门独立课程,围绕日常生活、生产、服务性劳动推荐了十个任务群,将整理与收纳、烹饪、打扫卫生等纳入课程内容,今年秋季学期开始执行.安安现在每周的劳动时间是4小时,计划以后每周增加3小时,则劳动时间y(小时)与时间x(周)之间的关系式是()A.y=4+3xB.y=3xC.y=4-3xD.y=4x5.某油箱容量为60升的汽车,加满汽油后行驶了100千米时,油箱中的汽油大约消耗了1,如果5加满汽油后汽车行驶的路程为x千米,油箱中的剩余油量为y升,则y与x之间的关系式是( )A.y=0.12xB.y=60+0.12xC.y=-60+0.12xD.y=60-0.12x6.据测试,拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水,每滴水约为0.05毫升.小明洗手后没有把水龙头拧紧,水龙头以测试的速度滴水,当小明离开x分钟后,水龙头滴水y毫升,则y与x之间的关系式是( )A.y=0.05xB.y=5xC.y=100xD.y=0.05x+1007.从A地向B地打长途电话,若时间不超过3分钟,则收费2.4元,以后每超过一分钟加收一元,若通话时间为t分钟(t≥3),则所付话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的关系式是( )A.y=t-0.6(t≥3)B.y=2.4t+3(t≥3)C.y=2.4+3t(t≥3)D.y=t+0.6(t≥3)8.某商场推出“七月销售大酬宾”活动,其活动内容为“凡七月份在该商场一次性购物超过100元者,超过100元的部分按9折优惠”.在大酬宾活动期间,小王到该商场购买单价为60元的办公用品x件(x>2),则应付货款y(元)与办公用品件数x之间的关系式是( )A.y=54x(x>2)B.y=54x+10(x>2)C.y=54x+90(x>2)D.y=54x+100(x>2)9.如图,三角形有规律地从里到外逐层排列.设N为第n层(n为自然数)三角形的个数,则下列函数表达式中正确的是( )A.N=4n-4B.N=4nC.N=4n+4D.N=n2二、填空题10.农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分,某村要铺设一条全长为1 000米的“雨污分流”管道,其中工程队铺设管道施工时间x(天)与铺设管道长度y(米)之间的关系如下表:则施工8天后,未铺设的管道长度为米.11.一名老师带领x名学生到青青世界参观,已知成人票每张60元,学生票每张40元,设门票的总费用为y元,则y与x的关系式为.12.如图所示的是一个管道的截面图,其内径(即内圆半径)为10分米,管壁厚为x分米,假设该管道的截面(阴影)面积为y平方分米,那么y与x的关系式是.13.在登山过程中,海拔每升高1千米,气温下降6 ℃,已知某登山大本营所在的位置的气温是2 ℃,登山队员从大本营出发登山,当海拔升高x千米时,所在位置的气温是y℃,那么y与x的关系式是.14.一个边长为2厘米的正方形,若它的边长增加x(x>0)厘米,则面积随之增加y平方厘米,那么y与x的关系式为.15.按如图所示的程序计算y的值,若输入的x值为-3,则输出y的结果为.16.小红到文具店买彩笔,每盒彩笔有12支,售价为18元,那么买彩笔所需的钱数y(元)与购买彩笔的支数x之间的关系式为.17.汽车开始行驶时,油箱中有150升油,如果每小时耗油7升,则油箱内剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系式为.三、解答题18.如图所示,梯形的上底长是5 cm,下底长是13 cm.当梯形的高由大变小时,梯形的面积也随之发生变化.(1)在这个变化过程中,自变量是,因变量是.(2)梯形的面积y(cm2)与高x(cm)之间的关系式为.(3)当梯形的高由10 cm变化到1 cm时,梯形的面积由cm2变化到cm2.19.为了加强公民的节水意识,某市制定了如下用水收费标准,每户每月的用水量不超过10吨时,水价为每吨1.2元,超过10吨时,超过部分按每吨1.8元收费,该市某户居民5月份用水x吨(x>10),应缴水费y元.(1)写出y与x之间的关系式;(2)某户居民5月份用水16吨,应缴水费多少元?20.如图,在长方形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面,剩余的长方形作为圆柱的侧面,刚好能组合成圆柱.设长方形的长和宽分别为y和x,求y与x的关系式.21.如图,把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上,这摞碗的高度随着碗数量的变化而变化的情况如下表所示:(1)上述两个变量之间的关系中,哪个是自变量?哪个是因变量?(2)用h(cm)表示这摞碗的高度,用x(只)表示这摞碗的数量,请用含有x的代数式表示h.(3)若这摞碗的高度为11.2 cm,求这摞碗的数量.22.王师傅非常喜欢自驾游,为了了解新买的轿车的耗油情况,他将油箱加满后进行了耗油实验,得到下表中的数据:(1)在这个问题中,自变量是,因变量是;(2)该轿车油箱的容量为L,行驶150 km时,估计油箱中的剩余油量为L;(3)王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地,到达B地时油箱中的剩余油量为22 L,请求出A,B两地之间的距离是多少km.。

用关系式表示的变量间关系一、选择题1．【18-19学年度上学期期中考试初二(数学)】已知长方形的周长为16cm，其中一边长为x cm，面积为ycm2，则这个长方形的面积y与边长x之间的关系可表示为（）A.y=x2 B.y=（8-x）2C.y=x（8-x）D.y=2（8-x）2.【17-18学年广东揭阳揭西县七下期末数学】有一辆汽车储油45升，从某地出发后，每行驶1千米耗油0.1升，如果设剩余油量为y（升），行驶的路程为x（千米），则y与x的关系式为（）A.y=45-0.1xB.y=45+0.1xC.y=45-xD.y=45+x3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）间有下面的关系：下列说法不正确的是（）A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．弹簧不挂重物时的长度为0cmC．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cmD．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm4．如果每盒钢笔有10支，售价25元，那么购买钢笔的总钱数y（元）与支数x之间的关系式为（ ）A ．y =10xB ．y =25xC ．y = 52xD ．y = 25x 5．某种签字笔的单价为2元，购买这种签字笔x 支的总价为y 元．则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A ．y =﹣21x B ．y = 21x C ．y =﹣2x D ．y =2x 6．函数2-=x y ，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ≥2D ．x ≤27．如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（ ）A ．y =x +2B ．y = x 2+2C ．y =2+xD ．y =21+x 8．已知函数y =⎩⎨⎧<≥+)0(4)0(12x x x x ，当x =2时，函数值y 为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 9．如图，根据流程图中的程序，当输出数值y =5时，输入数值x 是（ ）A ．71B ．﹣31C ．71或﹣31D ．71或﹣71 10．已知x =3﹣k ，y =2+k ，则y 与x 的关系是（ ）A ．y =x ﹣5B ．x +y =1C ．x ﹣y =1D ．x +y =511．汽车离开甲站10千米后，以60千米/时的速度匀速前进了t 小时，则汽车离开甲站所走的路程s （千米）与时间t （小时）之间的关系式是（ ） A ．s =10+60t B ．s =60t C ．s =60t ﹣10 D ．s =10﹣60t12．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD ．设BC 边的长为x 米，AB 边的长为y 米，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）A ．y = －21x +12B ．y =﹣2x +24C ．y =2x ﹣24D ．y = 21x ﹣12 二、填空题13.【中原领航实验学校2018-2019学年上学期八年级周测（10.14）(数学)】一根长为20cm 的蜡烛，每分钟燃烧2cm ，蜡烛剩余长度厘米与燃烧时间分之间的关系式为______不必写出自变量的取值范围14.【2017年甘肃省白银市平川四中中考数学一模试卷】如图，AB=4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE=DB ，作EF ⊥DE ，并截取EF=DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C ，设BE=x ，BC=y ，则y 关于x 的函数解析式为 ______ ．15．某工厂有一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系应表示为．三、解答题16．【2017-2018学年山东省菏泽市郓城县七年级（下）期中数学试卷】如图，梯形ABCD上底的长是4，下底的长是x，高是6．（1）求梯形ABCD的面积y与下底长x之间的关系式；（2）用表格表示当x从10变到16时（每次增加1），y的相应值；（3）x每增加1时，y如何变化？说明你的理由．17．为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：汽车行驶时间t（h）0 1 2 3 …油箱剩余油量Q（L）100 94 88 82 …①根据上表的数据，请你写出Q与t的关系式；②汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少？③该品牌汽车的油箱加满50L，若以100km/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远？18．已知矩形周长为20，其中一条边长为x，设矩形面积为y①写出y与x的函数关系式；②求自变量x的取值范围．参考答案1．解：∵长方形的周长为16cm，其中一边长为xcm，∴另一边长为：（8-x）cm，故y=（8-x）x．故选：C．直接利用长方形面积求法得出答案．此题主要考查了函数关系式，正确表示出长方形的另一边长是解题关键．2．解：设剩余油量为y（升），行驶的路程为x（千米），则y与x的关系式为：y=45-0.1x．故选：A．直接利用余油量=总油量-消耗的油量进而得出答案．此题主要考查了函数关系式，正确表示出余油量是解题关键．4．答案：D解析：5（元）解答：25÷10=2所以购买钢笔的总钱数y（元）与支数x之间的关系式为：5x．y=2故选：D．分析：首先根据单价=总价÷数量，用每盒钢笔的售价除以每盒钢笔的数量，求出每支钢笔的价格是多少；然后根据购买钢笔的总钱数=每支钢笔的价格×购买钢笔的支数，求出购买钢笔的总钱数y（元）与支数x之间的关系式即可．5．答案：D解析：解答：依题意有：y =2x ， 故选D ．分析：根据总价=单价×数量得出y 与x 之间的函数关系式即可． 6． 答案：C 解析：解答：由题意得，x ﹣2≥0， 解得x ≥2． 故选：C ．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 7．答案：C 解析：解答：A ．y =x +2，x 为任意实数，故错误；B ．y =x 2+2，x 为任意实数，故错误；C ．y=2+x ，x +2≥0，即x ≥﹣2，故正确；D ．y =21+x ，x +2≠0，即x ≠﹣2，故错误； 故选：C ．分析：分别求出个解析式的取值范围，对应数轴，即可解答． 8． 答案：A解析：解答：∵x ≥0时，y =2x +1， ∴当x =2时，y =2×2+1=5． 故选：A ．分析：利用已知函数关系式结合x 的取值范围，进而将x =2代入求出即可． 9．答案：C 解析：解答：x ＞0时，x1﹣2=5， 解得x =71，x ＜0时，﹣x1+2=5，解得x =﹣31，所以，输入数值x 是71或﹣31． 故选C ．分析：把函数值分别代入函数关系式进行计算即可得解． 10．答案：D 解析：解答：∵x =3﹣k ，y =2+k ， ∴x +y =3﹣k +2+k =5．故选：D．分析：利用x=3﹣k，y=k+2，直接将两式左右相加得出即可．11．答案：A解析：解答：s=10+60t，故选：A．分析：根据路程与时间的关系，可得函数解析式．12．答案：A解析：解答：由题意得：2y+x=24，1x+12（0＜x＜24）．故可得：y=﹣2故选：A．分析：根据题意可得2y+x=24，继而可得出y与x之间的函数关系式．13．解：由题意得：y=20-2t，故答案为：y=20-2t．根据题意可得燃烧的长度为2tcm，根据题意可得等量关系：蜡烛剩余长度y=原长度-燃烧的长度，根据等量关系再列出函数关系式即可．此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．14.解：作FM⊥BC于M．∵∠DBE=∠DEF=∠EMF=90°，∴∠DEB+∠BDE=90°，∠DEB+∠FEM=90°，∴∠BDE=∠FEM．在△DBE和△EMF中，，∴△DBE≌△EMF，∴FM=BE=x，EM=BD=2BE=2x，∵FM∥AB，∴=，∴=，∴y=（0＜x≤2）．作FM⊥BC于M．由△DBE≌△EMF，推出FM=BE=x，EM=BD=2BE=2x，由FM∥AB，推出=，即=，由此即可解决问题．本题考查全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．答案：y=200000（x+1）2解析：解答：y与x之间的关系应表示为y=200000（x+1）2．故答案为：y=200000（x+1）2．分析：根据平均增长问题，可得答案．◆解答题16．解：（1）∵梯形ABCD上底的长是4，下底的长是x，高是6，∴梯形ABCD的面积y与下底长x之间的关系式为：y=（4+x）×6=12+3x；（2）x 10 11 12 13 14 15 16y 42 45 48 51 54 57 60（3）由上表可得：x每增加1时，y增加3，理由：y1=12+3x，y2=12+3（x+1）=12+3x+3=15+3x，y2-y1=15+3x-（12+3x）=3，即x每增加1时，y增加3．17．①答案：解答：Q=50﹣8t；②答案：解答：当t=5时，Q=50﹣8×5=10，答：汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是10L；③答案：解答：当Q=0时，0=50﹣8t8t=50，解得：t =425， 100×425=625km ． 答：该车最多能行驶625km.解析：分析：①由表格可知，开始油箱中的油为50L ，每行驶1小时，油量减少8L ，据此可得t 与Q 的关系式；②求汽车行驶5h 后，油箱中的剩余油量即是求当t =5时，Q 的值；③贮满50L 汽油的汽车，理论上最多能行驶几小时即是求当Q =0时，t 的值．18．①答案：解答：∵长方形的周长为20cm ，若矩形的长为x （其中x ＞0），则矩形的长为10﹣x ，∴y =x （10﹣x ）②答案：解答：∵x 与10﹣x 表示矩形的长和宽，∴⎩⎨⎧>->0100x x 解得：0＜x ＜10．解析：分析：①先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积=长×宽列出函数关系式； ②根据矩形的长宽均为正数列出不等式求解即可．。

3.2 用关系式表示的变量间关系随堂练习一、单选题1．将一根长为10cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y(cm)与宽x(cm)之间的关系式为（）A．y=−x+5B．y=x+5C．y=−x+10D．y=x+10 2．若x＝2m+1，y＝4m﹣3，则下列x，y关系式成立的是（）A．y＝（x﹣1）2﹣4B．y＝x2﹣4C．y＝2（x﹣1）﹣3D．y＝（x﹣1）2﹣33．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个矩形(ABCD)菜园，若菜园靠墙的一边(AD)长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（）A．y=x(12−x)2B．y=x(12−x)C．y=x(24−x)2D．y=x(24−x)4．用100元钱在网上书店恰好可购买m本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购买n 本书共需费用y元，则可列出关系式（）A．y=n(100m+0.6)B．y=n(100m)+0.6C．y=n(100m+0.6)D．y=100mn+0.65．对于关系式y＝3x＋5，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是() A．①②③B．①②④C．①③⑤D．①②⑤6．一个长方体木箱的长为4㎝，宽为xcm，高为宽的2倍，则这个长方体的表面积S与x的关系及长方体的体积V与x的关系分别是（）A．S=2x2+12x，V=8x2B．S=8x2，V=6x+8C．S=4x+8，V=8xD．S = 4 x 2+ 24 x ，V = 8 x 27．已知圆柱的高为3 cm，当圆柱的底面半径r(cm)由小变大时，圆柱的体积V(cm3)随之变化，则V与r的关系式是()A．V=πr2B．V=9πr2C．V= 13πr2D．V=3πr2 8．在关系式y=3x+5中有下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤y 与x的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（）.A．①②⑤B．①②④C．①③⑤D．①④⑤二、填空题9．随着各行各业有序复工复产，企业提倡员工实行“两点一线”上下班模式，减少不必要的聚集.小华爸爸早上开车以60km/ℎ的平均速度行驶20min到达单位，下班按原路返回，若返回时平均速度为v，则路上所用时间t（单位：ℎ）与速度v（单位：km/ℎ）之间的关系可表示为.10．如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，请你结合图片信息，解答下列问题：（1）加油过程中的常量是，变量是；（2）设加油数量是x升，金额是y元，请表示加油过程中变量之间的关系．11．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x(x>0)厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为.12．阅读下面材料并填空.当x分别取0，1，－1，2，－2，……时，求多项式−x−2的值.当x=0时，−x−2=.当x=1时，−x−2=.当x=−1时，−x−2=.当x=2时，−x−2=.当x=−2时，−x−2=.……以上的求解过程中，和都是变化的，是的变化引起了的变化.13．如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，点M，N从A点出发，点M沿线段AB运动，点N沿线段AD运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设AM= AN=xcm，阴影部分的面积为ycm2，则y与x之间的关系式为．三、解答题14．为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：①根据上表的数据，请你写出Q与t的关系式；②汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少；③该品牌汽车的油箱加满50L，若以100km/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远．15．已知，如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6，AB＝8．P是线段AC上的一个动点，当点P从点C向点A运动时，运动到点A停止，设PC＝x，∠ABP的面积为y．求y与x之间的关系式．16．如图，圆柱的底面半径是1cm，圆柱的高由小到大变化．（1）圆柱的侧面积如何变化？在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？圆柱的侧面积S（cm2）与圆柱的高h（cm）之间的关系式是什么？（2）圆柱的体积如何变化？在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？圆柱的体积V（cm3）与圆柱的高h（cm）之间的关系式是什么？（3）当圆柱的高为2cm时，圆柱的侧面积和体积分别是多少？参考答案与试题解析1．A2．D3．C4．A5．D6．D7．D8．A9．t=20 v10．单价；数量和金额；y=5.80x11．y＝x2＋4x12．-2；-3；-1；-4；0；x；-x-2；x；-x-213．y=-12x2+4814．解：①Q与t的关系式为：Q=100﹣6t②当t=5时，Q=100﹣6×5=70，答：汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是70L当Q=0时，0=50﹣6t，③6t=50，解得：t= 25 3，100× 253= 25003km．答：该车最多能行驶25003km．15．解：如图，过点B作BD∠AC于D．∵S∠ABC＝12AC•BD＝12AB•BC，∴BD＝AB⋅BCAC=8×610=245；∵AC＝10，PC＝x，∴AP＝AC﹣PC＝10﹣x，∴S∠ABP＝12AP•BD＝12×（10﹣x）× 245＝﹣125x+24，∴y与x之间的关系式为：y＝﹣125x+24．16．（1）解：圆柱的铡面积在增加；圆柱的高是自变量，圆柱的侧面积是因变量；S＝2×π×1×h＝2πh；（2）解：圆柱的体积在增加；圆柱的高是自变量，圆柱的体积是因变量；V＝π×12×h＝πh；（3）解：当r＝2cm时，S＝2πh＝2π×2＝4π，V＝π×2＝2π．即当圆柱的高为2cm时，圆柱的侧面积和体积分别是4πcm2和2πcm3．。

3.2 用关系式表示的变量间关系基础题知识点1 探索数学问题中的变量间关系1．若一辆汽车以50千米/时的速度匀速行驶，行驶的路程为s(千米)，行驶的时间为t(时)，则用t 表示s 的关系式为(B)A ．s ＝50＋50tB ．s ＝50tC ．s ＝50－50tD ．以上都不对2．(南平中考)一名老师带领x 名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y 元，则y 与x 的关系式为(A)A ．y ＝10x ＋30B ．y ＝40xC ．y ＝10＋30xD ．y ＝20x3．某商场自行车存放处每周的存车量为5 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次1元，普通车存车费是每辆一次0.5元．若普通车存车量为x 辆次，存车的总收入为y 元，则y 与x 之间的关系式是(C)A ．y ＝0.5x ＋5 000B ．y ＝0.5x ＋2 500C ．y ＝－0.5x ＋5 000D ．y ＝－0.5x ＋2 5004．一根弹簧长8 cm ，它所挂物体的质量不能超过5 kg ，并且所挂的物体每增加1 kg ，弹簧就伸长0.5 cm ，则挂上物体后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)(0≤x ≤5)之间的关系式为(D)A ．y ＝0.5(x ＋8)B ．y ＝0.5x －8C ．y ＝0.5(x －8)D ．y ＝0.5x ＋85．变量x 与y 之间的关系是y ＝12x 2－3，当自变量x ＝2时，因变量y 的值是(B) A ．－2 B ．－1C ．1D ．26．某山区的气象资料表明：从地面到高空11 km 之间，气温随高度的升高而下降，每升高1 km ，气温下降6 ℃.若测定某天当地地面气温是24 ℃，设该地区离地面h km(0≤h ≤11)处的气温为t ℃，试写出t 与h 之间的关系式为t ＝24－6h ．知识点2 探索图形问题中的变量间关系7．若等腰三角形的周长为60 cm ，底边长为x cm ，一腰长为y cm ，则y 与x 的关系式为(D)A ．y ＝60－2x(0＜x ＜60)B ．y ＝60－2x(0＜x ＜30)C ．y ＝12(60－x)(0＜x ＜60) D ．y ＝12(60－x)(0＜x ＜30) 8．如图，在直角三角形ABC 中，点B 沿CB 所在直线远离C 点移动，下列说法错误的是(C)A ．三角形面积随之增大B ．∠CAB 的度数随之增大C ．BC 边上的高随之增大D ．边AB 的长度随之增大9．以直角三角形中一个锐角的度数为自变量x ，另一个锐角度数y 为因变量，则它们的关系式为y ＝90－x ．10．如图，圆柱的底面半径为2 cm ，当圆柱的高由小到大变化时，圆柱的体积也发生变化．(1)在这个变化过程中，自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积；(2)若圆柱的高为x(cm)，圆柱的体积为V(cm 3)，则V 与x 的关系式为V ＝4πx ；(3)当圆柱的高由2 cm 变化到4 cm 时，圆柱的体积由8π_cm 3变化到16π_cm 3；(4)当圆柱的高每增加1 cm 时，它的体积增加4π_cm 3．中档题11．目前，全球水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小欢同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小欢离开x 分钟后，水龙头滴出y 毫升的水，请写出y 与x 之间的关系式是(A)A ．y ＝5xB ．y ＝0.05xC ．y ＝100xD ．y ＝0.05x ＋10012．根据图中的程序，当输入x ＝3时，输出的结果y ＝2．13．如图，一轮船从离A 港10千米的P 地出发向B 港匀速行驶，30分钟后离A 港26千米(未到达B 港)．设x 小时后，轮船离A 港y 千米(未到达B 港)，则y 与x 之间的关系式为y ＝10＋32x ．14．如图是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s ，则s 与n 的关系式为s ＝2n(n ＋1)．15．在许多情况下，直接测量物体的高度很困难，而测量物体在阳光下的影长却很容易办到．因此也可以把影长l(米)叫做自变量，而把物高h(米)叫做因变量．如果在某一时刻高1.5米的竹竿的影长为2.5米．(1)写出表示这一时刻物高h 与l 影长之间的关系式；(2)利用你写出的关系式，计算在这一时刻影长为30米的旗杆的高度．解：(1)h ＝35l. (2)h ＝35×30＝18. 即在这一时刻影长为30米的旗杆的高度为18米．16．多边形的内角和随着边数的变化而变化．设多边形的边数为n ，内角和为N ，则变量N 与n 之间的关系可以表示为N ＝(n －2)·180°.(1)在这个关系式中，自变量、因变量各是什么？(2)在这个关系式中，n 能取什么样的值？(3)利用这个关系式计算六边形的内角和；(4)当边数每增加1时，多边形的内角和如何变化？解：(1)n 是自变量，N 是因变量．(2)n 取大于2的整数．。

《用关系式表示的变量间关系》习题1．图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y 为第n 层(n 为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是()A ．y ＝4n －4B ．y ＝4nC ．y ＝4n ＋4D ．y ＝n 22．如图,△ABC 的底边边长BC =a ，当顶点A 沿BC 边上的高AD 向D 点移动到E 点，使DE =12AE 时，△ABC 的面积将变为原来的( )D CBAA.12 B.13 C.14D.193．如图,△ABC 的面积是2cm 2，直线l ∥BC ，顶点A 在l 上，当顶点C 沿BC 所在直线向点B 运动(不超过点B )时，要保持△ABC 的面积不变,则顶点A 应( )lCB AA.向直线l 的上方运动;B.向直线l 的下方运动;C.在直线l 上运动;D.以上三种情形都可能发生.4．当一个圆锥的底面半径为原来的2倍,高变为原来的13时,它的体积变为原来的( )A.23B.29C.43D.495．如图，△ABC中,过顶点A的直线与边B C相交于点D，当顶点A沿直线AD向点D运动,且越过点D后逐渐远离点D，在这一运动过程中，△ABC的面积的变化情况是( )A.由大变小B.由小变大C.先由大变小,后又由小变大D.先由小变大,后又由大变小6．如图，圆柱的高是3cm，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生了变化．（1）在这个变化中，自变量是______，因变量是______；（2）当底面半径由1cm变化到10cm时，圆柱的体积增加了______cm3．7．一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：写出用t表示s的关系式：________．8．烧一壶水，假设冷水的水温为20℃，烧水时每分钟可使水温提高8℃，烧了x分钟后水壶的水温为y℃，当水开时就不再烧了.(1)y与x的关系式为________,其中自变量是________,它应在________变化.(2)x=1时，y=________，x=5时，y=________.(3)x=________时，y=48.9．设梯形的上底长为x c m，下底比上底多2c m，高与上底相等，面积为2c m2，则根据题意可列方程为_____.10．用一根长50cm的细绳围成一个矩形．设矩形的一边长为xcm，面积为y cm2．求y与x的函数关系式；11．南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售,若有飞机、火车、汽车三种运输方式,现只选择其中一种,这三种运输方式的主要参考数据如下表所示:若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元/h,记A、B两市间的距离为x km (1)如果用W1、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用（包括损耗），求W1、W2、W3与x间的关系式;(2)当x=250时,应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?12．一个梯形，它的下底比上底长2cm，它的高为3cm，设它的上底长为x cm，它的面积为y cm2.(1)写出y与x之间的关系式，并指出哪个变量是自变量，哪个变量是因变量.(2)当x由5变7时，y如何变化?(3)用表格表示当x从3变到10时(每次增加1)，y的相应值.(4)当x每增加1时，y如何变化？说明你的理由.13．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的函数关系式；(2)6小时后池中还有多少水？(3)几小时后，池中还有200立方米的水？14．一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)的关系如下表所示：请你根据表格，解答下列问题：(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量的变化趋势是怎样的？(3)请直接写出Q与t的关系式，并求出这辆汽车在连续行驶6h后，油箱中的剩余油量；(4)这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是多少？15．用一根长是20cm的细绳围成一个长方形(如图)，这个长方形的一边的长为x cm，它的面积为y cm2.(1)写出y与x之间的关系式，在这个关系式中，哪个是自变量？它的取值应在什么范围内？(2)用表格表示当x从1变到9时(每次增加1)，y的相应值;(3)从上面的表格中，你能看出什么规律?(4)猜想一下，怎样围法，得到的长方形的面积最大？最大是多少参考答案1．答案：B解析：【解答】由图可知n＝1时，圆点有4个，即y＝4；n＝2时，圆点有8个，即y＝8；n ＝3时，圆点有12个，即y＝12，∴y＝4n.故选B【分析】由图观察可知.2．答案：B解析：【解答】根据三角形的面积公式判断△ABC的面积将变为原来的三分之一．故选B．【分析】由图观察可知根据三角形的面积公式.3．答案：A解析：【解答】根据三角形的面积公式判断当顶点C沿BC所在直线向点B运动时，三角形的底变小，则要保持△ABC的面积不变，高就要增大，即顶点A应向直线l的上方运动．故选A．【分析】由图观察可知根据三角形的面积公式.4．答案：C解析：【解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，即可表示出变化后的底面半径和高，再根据圆锥的体积公式分别表示出原来的体积和变化后的体积，比较即可得到结果.故选C.【分析】根据圆锥的体积公式分别表示出原来的体积和变化后的体积.5．答案：C解析：【解答】由题意得，这个过程中△ABC的底始终不变，根据三角形的面积公式即可判断. 由题意得，这个过程中△ABC的底始终不变，则△ABC的面积的变化情况是先由大变小，后又由小变大.故选C.【分析】根据三角形的面积公式即可判断.6．答案：（1）半径，体积；（2）297π．解析：【解答】（1）根据函数的定义可知，对于底面半径的每个值，体积按照一定的法则有一个确定的值与之对应，所以自变量是：半径，因变量是：体积．（2）体积增加了（π×102-π×12）×3=297πcm3．故答案为：（1）半径，体积；（2）297π．【分析】根据函数的定义.圆柱的高没有变化，只有底面积变化，因此计算底面积之差即可. 7．答案：s＝2t2(t≥0)．21解析：【解答】观察表中给出的t与s的对应值，再进行分析，归纳得出关系式．t＝1时，s＝2×12；t＝2时，s＝2×22；t＝3时，s＝2×32；t＝4时，s＝2×42，…所以s与t的关系式为s ＝2t2，其中t≥0.故答案为s＝2t2(t≥0)．21【分析】观察表中给出的t与s的对应值，归纳出关系式.8．答案：(1)y=8x+20 x 在0--10变化；(2)28 60；(3)3.5解析：【解答】(1)根据题意，在20℃的基础上x 和y 有一定的变化规律，即y =8x +20；水温是随着时间的变化而变化的，因此自变量是时间x ；当水温y=100时，水沸腾，因此时间x=10，所以x 的变化范围是0≤x ≤10.(2) x =1时，代入关系式 y =28 x =5时代入关系式 y =60 (3)把y =48代入关系式，变形计算出x =3.5.【分析】先根据题意列出函数关系式，再依次代入求值即可 9．答案为：x 2+x -2=0解析：【解答】设这个梯形上底边长为x c m ，那么下底就应该为（x ＋2）cm ，高为x cm ，根据梯形的面积公式得（2x +2）x ÷2=2， 化简后得x 2+x -2=0． 故答案为：x 2+x -2=0【分析】如果设这个梯形上底边长为x cm ，那么下底就应该为（x ＋2）cm ，高为x cm ，根据梯形的面积公式即可列出方程． 10．答案：y =-x 2+25x解析：【解答】设矩形的一边长为x cm ，面积为y cm 2，根据题意得出：y =-x 2+25x答案为：y =-x 2+25x【分析】先利用长方形的面积公式列出二次函数关系式即可． 11．答案：见解析过程解析：【解答】(1)W 1=16x+1000+200(200x+2)=17x+1400 W 2=4x+2000+200(100x+4)=6x+2800 W 3=8x+1000+200(50x+2)=12x+1400(2)当x=250时,W1=17×250+1400=5650(元)W2=6×250+2800=4300(元)W3=12×250+1400=4400(元)，因为W1>W2>W3，所以应采用火车运输，才能使运输时的总支出费用最小.【分析】(1)根据表格中的关系列出式子：总费用=(运输时间+装卸时间)×损耗+途中费用×距离+装卸费用，依次代入数据即可.(2)x=250，依次代入关系式比较计算结果即可.(2)当x由5变到7时，y由18变到24(3)(4)x每增加1时，y增加3，这是因为:当x变为x+1时，y由3x+3变为3(x+1)+3=(3x+3)+3【分析】根据梯形的面积公式列出关系式，依次代入数值计算即可.13．答案：见解答过程解析：【解答】(1)Q＝800－50t(0≤t≤16)；(2)当t＝6时，Q＝800－50×6＝500(立方米)．答：6小时后，池中还剩500立方米的水；(3)当Q＝200时，800－50t＝200，解得t＝12.答：12小时后，池中还有200立方米的水．【分析】(1)根据“抽水时间×抽水速度＝抽水量”，“蓄水量－抽水量＝剩余水量”解题即可；(2)根据自变量与因变量的关系式，可得自变量相应的值；(3)根据自变量与因变量的关系式，可得相应自变量的值．14．答案：见解答过程.解析：【解答】(1)表中反映的是油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的变量关系，时间t是自变量，油箱中剩余油量Q是因变量；(2)随着行驶时间的不断增加，油箱中的剩余油量在不断减小；(3)由题意可知汽车行驶每小时耗油7.5L，Q＝54－7.5t；把t＝6代入得Q＝54－7.5×6＝9(L)；(4)由题意可知汽车行驶每小时耗油7.5L，油箱中原有54L汽油，可以供汽车行驶54÷7.5＝7.2(h)．答：最多能连续行驶7.2h.【分析】(1)认真分析表中数据可知，油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的变量关系，再根据自变量、因变量的定义找出自变量和因变量；(2)由表中数据可知随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量的变化趋势；(3)由分析表中数据可知，每行驶1h消耗油量为7.5L.然后根据此关系写出油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的代数式；(4)根据图表可知汽车行驶每小时耗油7.5L，油箱原有汽油54L，即可求出油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时．15．答案：见解答过程解析：【解答】(1)y=2022x·x=(10-x)·x，x是自变量,它的值应在0到10之间(不包括0和10)(2)(3)可以看出:①当x逐渐增大时，y的值先由小变大，后又由大变小；②y的值在由小变大的过程中，变大的速度越来越慢，反过来y的值在由大变小的过程中，变小的速度越来越快；③当x取距5等距离的两数时，得到的两个y值相等.(4)从表中可以发现x=5时，y取到最大的值25.【分析】解答本题的关键是熟练掌握长方形的面积公式，同时熟记在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，函数值为因变量，另一个值为自变量．。