完整版二次函数线段、周长、面积最值问题.doc

二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值摘要：二次函数作为初中最重要的函数，近几年来，中考拉分题常常利用二次函数求线段的最值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题。

在解决二次函数的最值问题时，一般构建二次函数模型，通过数形结合把求三角形的周长、三角形面积的最值问题转化为求线段长度的问题。

关键词：二次函数；最值问题；轴对称；数形结合一、将军饮马“K”字形，两点之间线段最短问题1.二次函数与x轴交于点A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0,3）．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的分析：由已知，可求得二次函数的对称轴为，又因为二次函数图像关于对称轴对称可知：A、B两点关于对称，,连接BC与对称轴的交点为所求P点，则,所以CH＋EH的最小值为。

小结：利用二次函数求两线段和的最小值问题，我们通常是作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点得到的线段长度为我们所求的两线段和的最小值。

变式1.如问题1改为：的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长；若不存在，请说明理由。

分析：延伸1看起来跟问题1不一样，但实际上，万变不离其宗。

，已知A,C两点坐标，由勾股定理可得，,题目中要求周长的最小值可转化为求的最小值，也就转化为问题1，即：,问题2.如图，直线与抛物线交于点A（0,3），B(3,0) ,点F是线段AB上的动点，FE x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m，请用含m的代数式表示EF的长并求EF的最大值。

分析：利用E、F分别在抛物线及一次函数上可得到，,因为,所以,可求得当时，EF的最大值为小结：利用二次函数求竖直线段的最大值，一般是通过设未知数表示出二次函数及一次函数图像上的两点，由横坐标相等，利用两点纵坐标相减可得到线段的长度，再利用二次函数求最值方法可求出线段的最大值。

变式1：问题2改为过E作,求的最大值是多少？分析：因为该一次函数，可知为等腰直角三角形，，要求的最大值只需求得的最大值，由此就转化为问题2，所以小结：求斜线段的最大值问题，一般转化为求平行于y轴线段的最值问题，再利用三角函数可求得斜线段的最大值。

二次函数之最值问题◆ 线段和或差（或三角形周长）最值问题:此类问题一般是利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定最短距离,这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公式求解．特殊地，也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题．◆ 最短距离和找法:以动点所在的直线为对称轴，作一个已知点的对称点，连结另一个已知点和对称点的线段，与对称轴交于一点,这一点即为所求点.线段长即为最短距离和.◆ 线段长最值问题：根据两点间距离公式12x x -把线段长用二次函数关系式表示出来求最值.几何面积最值问题：此类问题一般是先运用三角形相似，对应线段成比例等性质或者用“割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形的面积ｙ与边长x 之间的二次函数关系,其顶点的纵坐标即为面积最值．例１、已知二次函数2y x bx c =++的图象过点()3,0A -和点()1,0B ，且与y 轴交于点C ，D 点在抛物线上且横坐标是2-．(1)求抛物线的解析式;(２)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA PD +的最小值．ﻫ ﻫﻫ例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中,直线32y x =-+分别交ｘ轴、y 轴于C 、A 两点.将射线AM 绕着点Ａ顺时针旋转4５°得到射线AN.点D 为ＡＭ上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部. （1)求线段A Ｃ的长； (２）求△BC Ｄ周长的最小值；（3)当△BCD 的周长取得最小值,且52BD =时,△BCD 的面积为＿＿__＿___.ﻫﻫﻫﻫﻫﻫ1、已知抛物线21y ax bx =++经过点()1,3A 和点()2,1B ．（１）求此抛物线解析式；(２)点Ｃ、D 分别是ｘ轴和y 轴上的动点,求四边形ABCD 周长的最小值;ﻫ(3)过点Ｂ作x 轴的垂线,垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发,先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE 上运动速度的2倍，试确定点F 的位置,使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．ﻫﻫﻫﻫ2、如图，Rt △ABO 的两直角边O Ａ、O Ｂ分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为()3,0-、()0,4，抛物线223y x bx c =++经过B 点,且顶点在直线52x =上.ﻫ(1)求抛物线对应的函数关系式;（2）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N .设点Ｍ的横坐标为t ,M Ｎ的长度为ｌ．求ｌ与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标.ﻫﻫ ﻫ3、已知:抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于()()3,0,0,2A C --.（1)求这条抛物线的函数表达式;ﻫ(2)小.请求出点Ｐ的坐标；（3)若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）,过点D 作DE ∥PC 交ｘ轴于点E,连结PD 、ＰE ．设ＣD 的长为ｍ，PDE △的面积为S ，求Ｓ与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在,请求出最大值;若不存在，请说明理由.4、如图，已知抛物线y=ax2+b ｘ＋3与x 轴交于Ａ、B 两点，过点Ａ的直线l 与抛物线交于点C,其中A 点的坐标是(1，0)，C 点坐标是（4，3).(１）求抛物线的解析式;（2)在（１)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BＣD 的周长最小?若存在,求出点D 的坐标,若不存在,请说明理由；并求出周长的最小值;(３）若点E 是(1)中抛物线上的一个动点，且位于直线A Ｃ的下方,试求△ACE 的最大面积及E 点的坐标.5、如图,△ABC 的三个顶点坐标分别为Ａ（-２,0)、B （６，0)、C(0，32-）,抛物线y=ax2+bx+ｃ(a ≠０)经过Ａ、B 、C 三点。

二次函数中线段最值问题二次函数中的线段最值问题（一）例1：已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），顶点为M。

求抛物线的解析式和对称轴上使得PA+PC最小的点P的坐标。

解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c3=a(0)^2+b(0)+c化简后可得：y=x^2-2x-32）对称轴为x=1，因此P的横坐标为1.设P的纵坐标为y，则根据距离公式可得：PA+PC=sqrt[(1+1)^2+y^2]+sqrt[(1-0)^2+(y+3)^2]对其求导并令其为0，可得y=-1/2.因此P的坐标为（1，-1/2），PA+PC的最小值为3.练1：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x^2+2x+3经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D。

在x轴上找一点E，使得EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值。

解：（1）由已知点可列出四个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c0=a(1)^2+b(1)+cy=aD^2+bD+c化简后可得：y=-x^2+2x+32）对称轴为x=1，因此D的横坐标为1.设E的横坐标为x，则EC+ED=sqrt[x^2+(3-(-x+3))^2]+sqrt[(1-x)^2+D^2]。

对其求导并令其为0，可得x=1/2.因此E的坐标为（1/2，0），EC+ED的最小值为2sqrt(10)。

练2：如图，抛物线经过点A（-1，0）、B（1，0）、C （0，-3），顶点为D。

点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标。

解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(1)^2+b(1)+c3=aD^2+bD+c化简后可得：y=x^2-2x-32）设M的横坐标为x，则△ACM的周长为AC+CM+MA=sqrt[(x+1)^2+9]+2sqrt[(x-D)^2+1]。

专题1.5 二次函数与线段最值/面积最值综合应用（四大题型）【题型1 线段差最大问题】【题型2 线段和最小】【题型3 周长最值问题】【题型4 求面积最值】【题型1 线段差最大问题】【典例1】（2023•汝南县一模）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），其对称轴为x＝2．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标；②在①的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB取得最大值时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）①点B的坐标为（2，8）；②P（﹣2，12）．【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x ＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；（2）①∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B（2，m）（m＞0），设直线OA的解析式为y＝kx，则5k＝5，解得：k＝1，∴直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），∴BH＝m﹣2，∵S＝15，△OAB∴×（m﹣2）×5＝15，解得：m＝8，∴点B的坐标为（2，8）；②设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，如图2，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点，∴，解得：，（舍去），∴P（﹣2，12）．【变式1-1】（秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3①；（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接CA交函数对称轴于点T，则点T为所求点，则TC﹣TB＝TC﹣TA＝AC为最大，故TC﹣TB的最大值为AC＝＝，故答案为；【变式1-2】（连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），﹣12＝﹣6a，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，∴点P在直线x＝上，∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x＝的交点，∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，∴P（，﹣5）【题型2 线段和最小】【典例2】（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MH+DH的最小值为；【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4），设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AM的解析式为y＝2x+2，当x＝0时，y＝2，∴D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，则DH＝D′H，∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，∵D′M＝＝，∴MH+DH的最小值为；【变式2-1】（2023•新疆三模）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出PA+PC的最小值及点P的坐标，若不存在，说明理由；【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）（2，2）；【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴于点P，此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；【变式2-2】（2023•红花岗区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）M是抛物线对称轴上的一个动点，求MB+MC的最小值；【答案】（1）y＝x2+x﹣2；（2）2；（3）存在；P（﹣1，﹣2）．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得：，解得，∴y＝x2+x﹣2；（2）如图，∵A、B关于抛物线的对称轴对称，∴AM＝BM，∴MB+MC＝AM+MC，当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴AC＝＝2，∴MB+MC的最小值为2；【变式2-3】（2023•琼山区校级三模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△PBC的面积最大？并求出最大面积；（3）M为直线BC上一点，求MO+MA的最小值；【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+8；（2）当t＝4时，△PBC的面积最大，最大面积为32；（3）2；【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c中，得，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+8；（2）令y＝0，解得x＝﹣2或x＝8，∴B（8，0），∵C（0，8），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．如图，过点P作PG⊥x轴，交BC于点G．设点P（t，﹣t2+3t+8），G（t，﹣t+8）．∴PG＝﹣t2+3t+8﹣（﹣t+8）＝﹣t2+4t．＝×PG×（x B﹣x O）＝×（﹣t2+4t）×8＝﹣2（t﹣4）2+32，∴S△PBC∵﹣2＜0，∴当t＝4时，△PBC的面积最大，最大面积为32；（3）如图，作点M关于直线BC的对称点N，连接AN，交BC于点M，点M 即为所求，此时AN的长即可为所求；连接ON交BC于点J，分别过点J，N作x轴的垂线，垂足为K，H，则ON⊥BC，JK∥y轴，OJ＝JN，∵B（8，0），C（0，8），∴OB＝OC＝8，∴△OBC是等腰直角三角形，且点J是BC的中点，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴△BJK是等腰直角三角形，即∠JOB＝45°，∴JK＝BK＝OK＝4，△ONH是等腰直角三角形，∴NH＝OH＝8，∴AH＝10，在Rt△ANH中，AH＝＝2；【变式2-4】（2023•宁夏）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．（1）直接写出点B的坐标；（2）在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；【答案】（1）点B的坐标为（3，0）；（2）P（1，2），3；【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a①，∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），∴a﹣b+3＝0②，联立①②得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0得﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴点B的坐标为（3，0）；（2）如图，连接BC，线段BC与直线x＝1的交点就是所求作的点P，设直线CB的表达式为y＝kx+b′，把C（0，3）和B（3，0）代入得：解得，∴直线CB的表达式为y＝﹣x+3，∴当x＝1时，y＝2，∴P（1，2），∵OB＝OC＝3，在Rt△BOC中，BC＝，∵点A，B关于直线x＝1对称，∴PA＝PB，∴PA+PC＝PB+PC＝BC＝3；【题型3 周长最值问题】【典例3】（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，求△AOD周长的最小值；【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+6；（2）△AOD周长的最小值为12；【解答】解：（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6），将（0，6）代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣6），解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；（2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，∵B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝6，∵O、E关于直线BC对称，∴四边形OBEC为正方形，∴E（6，6），连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|＝|DO|，此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长，∴AE＝＝＝10，∵△AOD的周长为DA+DO+AO，AO＝2，DA+DO的最小值为10，∴△AOD的周长的最小值为10+2＝12，【变式3-1】（2023•盘锦三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）3+；【解答】解：（1）∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．由韦达定理，得1+3＝﹣b，1×3＝c，∴b＝﹣4，c＝3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．由（1）知抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，A（1，0），B（3，0），∴C（0，3），∴BC＝＝3，AC＝＝．∵点A、B关于对称轴x＝2对称，∴PA＝PB，∴PA+PC＝PB+PC．此时，PB+PC＝BC．∴点P在对称轴上运动时，（PA+PC）的最小值等于BC．∴△APC的周长的最小值＝AC+AP+PC＝AC+BC＝3+；【变式3-2】（富拉尔基区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为多少？【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵△ACM周长的值最小，∴MC+AM的值最小，即点M即为直线BC与抛物线对称轴的交点，∴△ACM周长的最小值为BC+AC，∵点B（﹣3，0），C（0，3），∴BC＝＝3，AC＝＝，∴△ACM周长的最小值为，故答案为：；【变式3-3】（2022•齐河县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B （3，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，∴方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，∴1+3＝﹣，1×3＝，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3；（2）∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，3）．∵点A、B关于对称轴对称，∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC＝BC的值最小．设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），则，解得：．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．∵抛物线的对称轴为直线x＝2．∴当x＝2时，y＝1．∴抛物线对称轴上存在点M（2，1）符合题意，∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．∴AC＝＝，BC＝＝3，∴AC+BC＝+3，∴在抛物线的对称轴上存在点M，使△ACM的周长最小，△ACM周长的最小值为+3；【题型4 求面积最值】【典例4】（2023•阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c 的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的表达式．（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M 是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）；（3）Q（3﹣，﹣）或（3+，）．【解答】解：（1）由题意得，y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴∠CAO＝∠ACO＝45°，∴∠MEQ＝∠AEF＝90°﹣∠CAO＝45°，抛物线的对称轴是直线：x＝，∴y＝x+3＝﹣1+3＝2，∴D（1，2），∵C（0，3），∴CD＝，故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，设过点M与AC平行的直线的解析式为：y＝x+m，当直线y＝x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，由x+m＝﹣x2﹣2x+3得，x2+3x+（m﹣3）＝0，由Δ＝0得，32﹣4（m﹣3）＝0得，m﹣3＝，∴x2+3x+＝0，∴x1＝x2＝﹣，∴y＝﹣（﹣）2﹣2×+3＝，y＝x+3＝﹣+3＝，∴ME＝，∴MQ＝ME•sin∠MEQ＝ME•sin45°＝，＝＝；∴S△MCD最大【变式4-1】（2022秋•曲周县期末）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A （2，0），B（﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将A （2，0），B （﹣4，0）代入得：，解得：，则该抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +8；（3）如图2，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，P 点（x ，﹣x 2﹣2x +8）（﹣4＜x ＜0）∵S △BPC ＝S 四边形BPCO ﹣S △BOC ＝S 四边形BPCO ﹣16若S 四边形BPCO 有最大值，则S △BPC 就最大∴S 四边形BPCO ＝S △BPE +S 直角梯形PEOC＝BE •PE +OE （PE +OC ）＝（x +4）（﹣x 2﹣2x +8）+（﹣x ）（﹣x 2﹣2x +8+8）＝﹣2（x +2）2+24，当x ＝﹣2时，S 四边形BPCO 最大值＝24，∴S △BPC 最大＝24﹣16＝8，当x ＝﹣2时，﹣x 2﹣2x +8＝8，∴点P 的坐标为（﹣2，8）．【变式4-2】（2023•乐东县二模）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于点A （﹣3，0），B （1，0），与y 轴交于点C ，对称轴直线x ＝m 交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，连接AD ，CD ．（1）求该抛物线的表达式以及m 的值；（2）求四边形OADC 的面积；【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）；【解答】解：（1）将点A （﹣3，0），B （1，0）代入y ＝ax 2+bx +3，∴，解得，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4，∴对称轴为直线x ＝﹣1，∴m ＝﹣1；（2）令x ＝0，则y ＝3，∴点C 的坐标为（0，3），当 x ＝﹣1 时，y ＝﹣（﹣1）2+2+3＝4，∴点D 的坐标为（﹣1，4），∴OC ＝3，OE ＝1，DE ＝4，AE ＝3﹣1＝2，∴S 四边形OADC ＝S △ADE +S 梯形OCDE ＝2×4+×（3+4）×＝；【变式4-3】（2023•东坡区模拟）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过A （﹣1，0），B （﹣3，0）两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标；【答案】（1）D（﹣2，﹣1）；（2）P（﹣，﹣）；【解答】（1）根据题意，将A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入函数表达式，则y＝a（x+1）（x+3）＝a（x2+4x+3），∵OC＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+4x+3，则顶点D（﹣2，﹣1）；（2）将点B（﹣3，0）、C（0，3）代入：y＝mx+n，则一次函数y＝x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点N，设点P（x，x2+4x+3），则点N（x，x+3），则•|OB|＝（x+3﹣x2﹣4x﹣3）＝﹣（x2+3x）﹣＜0，∵﹣＜0，故S有最大值，此时x＝﹣．△PBC故点P（﹣，﹣）；【变式4-4】（2023•肇东市三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC 的上方．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．【答案】（1）二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）点P的坐标为（），△CPB的面积的最大值为．【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，设P（x，﹣x2+2x+3），直线BC的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，则Q（x，﹣x+3），当x＝时，△CPB的面积最大，此时，点P的坐标为（），△CPB的面积的最大值为．【变式4-5】（2022秋•朝阳期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值；【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5），即﹣5a＝5，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+5，过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，﹣x2+4x+5），则点H（x，﹣x+5），S＝×PH×OB＝（﹣x2+4x+5+x﹣5）＝（x﹣）2+，△BPC的最大值为；故：当x＝时，S△BPC【变式4-6】（2023•四平模拟）如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3）．点P和点Q都在抛物线上，其横坐标分别为m，m+1，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，过点Q作QN∥y轴交直线AB于点N，连接PQ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P，Q两点都在第一象限时，求四边形PQNM的面积的最大值；【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）当m ＝1时，四边形PQNM 的面积的最大值为2；【解答】解：（1）分别将点A （3，0）、B （0，3）代入y ＝ax 2+2x +c 中，得：，解得：，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，分别将点A （3，0）、B （0，3）代入y ＝kx +b 中，得：，解得：，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +3，连接MQ ，过点Q 作△PQM 的高，过点M 作△MNQ 的高，则这两个高都等于1，∴S 四边形PQNM ＝S △PQM +S △MNQ ＝•PM •1+•NQ •1＝（PM +NQ ），当x ＝m 时，PM ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，当x ＝m +1时，NQ ＝﹣（m +1）2+3（m +1）＝﹣m 2+m +2，∴S 四边形PQNM ＝[（﹣m 2+3m ）+（﹣m 2+m +2）]＝﹣m 2+2m +1＝﹣（m ﹣1）2+2，∴当m ＝1时，四边形PQNM 的面积的最大，最大值为2；。

重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +322+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32，∴N -3,-32；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2(2021·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(-1，0)，点C 的坐标为(0，5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)图(乙)中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+4x +5；(2)P 52，354；(3)存在，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【分析】(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =-x 2+4x +5可得B (5，0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =PQ2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，PQ =-m -52 2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC的距离最大，此时P 52，354 ；(3)抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组s +22=5+02-s 2+4s +5+t 2=0+52，即可解得M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得M (7，-16)．【详解】解：(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c 得：0=-1-b +c 5=c ，解得b =4c =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =-x 2+4x +5中，令y =0得-x 2+4x +5=0，解得x =5或x =-1，∴B (5，0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =PQ2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得0=5k +5，∴k =-1，∴直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，∴PQ =(-m 2+4m +5)-(-m +5)=-m 2+5m =-m -52 2+254，∵a =-1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P 52，354；(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴s +22=5+02-s 2+4s +5+t2=0+52，解得s =3t =-3 ，∴M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得s=-3t =-21 ，∴M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得s =7t =-11 ，∴M (7，-16)；综上所述，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3(2021·山东泰安·统考中考真题)二次函数y =ax 2+bx +4(a ≠0)的图象经过点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-3x +4；(2)y =-158x +158；(3)PQ QB有最大值为45，P 点坐标为(-2,6)【分析】(1)将A (-4,0)，B (1,0)代入y =ax 2+bx +4(a ≠0)中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；(2)设BP 与y 轴交于点E ，根据PD ⎳y 轴可知，∠DPB =∠OEB ，当∠DPB =2∠BCO ，即∠OEB =2∠BCO ，由此推断△OEB 为等腰三角形，设OE =a ，则CE =4-a ，所以BE =4-a ，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；(3)设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得M 点坐标，则BM =5，由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，PQ QB=PN BM =PN5，设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)PQ QB =-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：(1)由题意可得：a ⋅(-4)2+b ⋅(-4)+4=0a +b +4=0解得：a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)设BP 与y 轴交于点E ，∵PD ⎳y 轴，∴∠DPB =∠OEB ，∵∠DPB =2∠BCO ，∴∠OEB =2∠BCO ，∴∠ECB =∠EBC ，∴BE =CE ，设OE =a ，则CE =4-a ，∴BE =4-a ，在Rt △BOE 中，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，∴(4-a )2=a 2+12解得a =158，∴E 0,158，设BE 所在直线表达式为y =kx +e (k ≠0)∴k ⋅0+e =158,k ⋅1+e =0.解得k =-158,e =158. ∴直线BP 的表达式为y =-158x +158．(3)设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC 所在直线表达式为y =x +4∴M 点坐标为(1,5)，BM =5由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，∴PQ QB=PN BM =PN 5设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)∴PQ QB=-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，∴当a 0=-2时，PQQB 有最大值0.8，此时P 点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4(2020·辽宁阜新·中考真题)如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A -3,0 ，B 1,0 ，交y 轴于点C ．点P m ,0 是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3；(2)①94，②存在，Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【分析】(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中求出b ，c 的值即可；(2)①由点P m ,0 得M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ，从而得MN =(-m -3)-m 2+2m -3 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN =MC 和MC =2MN 两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中，得0=9-3b +c ,0=1+x +c .解得b =2,c =-3. ∴y =x 2+2x -3．(2)设直线AC 的表达式为y =kx +b ，把A (-3,0),C (0,-3)代入y =kx +b ．得，0=-3k +b ,-3=b . 解这个方程组，得k =-1,b =-3. ∴y =-x -3．∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m=-m +32 2+94．∵a =-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且-3<-32<0∴当m =-32时，MN 有最大值94． ②∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，∵C (0，-3)∴MC =(m -0)2+(-m -3+3)2=2m 2∴-m 2-3m =2m 2整理得，m 4+6m 3+7m 2=0∵m 2≠0，∴m 2+6m +7=0，解得，m 1=-3+2，m 2=-3-2∴当m =-3+2时，CQ =MN =32-2，∴OQ =-3-(32-2)=-32-1∴Q (0，-32-1)；当m =-3-2时，CQ =MN =-32-2，∴OQ =-3-(-32-2)=32-1∴Q (0，32-1)；(ii )若MC =2MN ，如图，则有-m 2-3m =22×2m 2整理得，m 2+4m =0解得，m 1=-4，m 2=0(均不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．5(2020·天津·中考真题)已知点A (1,0)是抛物线y =ax 2+bx +m (a ,b ,m 为常数，a ≠0,m <0)与x 轴的一个交点．(1)当a =1,m =-3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0)，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =22．①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE =EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是22？【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；(2)①点F 的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m 的值为-32或-12时，MN 的最小值是22．【分析】(1)根据a =1,m =-3，则抛物线的解析式为y =x 2+bx -3，再将点A (1，0)代入y =x 2+bx -3，求出b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；(2)①首先用含有m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0,m )，点E (m +1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H ,在Rt △EAH 中，利用勾股定理求出AE 的值，再根据AE =EF ，EF =22，可求出m 的值，进一步求出F 的坐标；②首先用含m 的代数式表示出MC 的长，然后分情况讨论MN 什么时候有最值.【详解】解：(1)当a =1，m =-3时，抛物线的解析式为y =x 2+bx -3．∵抛物线经过点A (1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=EH2+HA2=-2m．∵AE=EF=22，∴-2m=22．解得m=-2．此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．∴点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC-NC=-2m-2=22，解得m=-3 2；当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC-MC=2-(-2m)=22，解得m=-1 2．∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)y =14x 2+14x -3(2)PD 取得最大值为45，P -2,-52 (3)Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；(2)直线AC 的解析式为y =-34x -3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，则PD =45PQ ，进而根据二次函数的性质即可求解；(3)根据平移的性质得出y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ，F 0,2 ，勾股定理分别表示出EF 2,QE 2,QF 2，进而分类讨论即可求解．【详解】(1)解：将点B 3,0 ，C 0,-3 ．代入y =14x 2+bx +c 得，14×32+3b +c =0c =-3解得：b =14c =-3 ，∴抛物线解析式为：y =14x 2+14x -3，(2)∵y =14x 2+14x -3与x 轴交于点A ，B ，当y =0时，14x 2+14x -3=0解得：x 1=-4,x 2=3，∴A -4,0 ,∵C 0,-3 ．设直线AC 的解析式为y =kx -3，∴-4k -3=0解得：k =-34∴直线AC 的解析式为y =-34x -3，如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，∴PQ =-34t -3-14t 2+14t -3 =-14t 2-t ，∵∠AQE =∠PQD ，∠AEQ =∠QDP =90°，∴∠OAC =∠QPD ，∵OA =4,OC =3，∴AC =5，∴cos ∠QPD =PD PQ =cos ∠OAC =AO AC=45，∴PD =45PQ =45-14t 2-t =-15t 2-45t =-15t +2 2+45，∴当t =-2时，PD 取得最大值为45，14t 2+14t -3=14×-2 2+14×-2 -3=-52，∴P -2,-52 ；(3)∵抛物线y =14x 2+14x -3=14x +12 2-4916将该抛物线向右平移5个单位，得到y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令x =0，则y =14×92 2-4916=2，∴F 0,2 ,∴EF 2=32+2+52 2=1174∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设Q 92,m ，∴QE 2=92-3 2+m +52 2，QF 2=92 2+m -2 2，当QF =EF 时，92 2+m -2 2=1174，解得：m =-1或m =5，当QE =QF 时，92-3 2+m +522=92 2+m -2 2，解得：m =74综上所述，Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

五、二次函数线段、周长、面积最值问题知识导航求最大值1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x+2交x轴于A、B，交y轴于点C．（1）求△ABC的面积；（2）D为抛物线的顶点，连接BD，点P为抛物线上点C、D之间一点，连接CP，DP，过点P作PM∥BD交直线BC于点M，连接DM，求四边形CPDM面积的最大值以及此时P点的坐标；【解答】解：（1）令，解得x1＝1，x2＝4，∴A（1，0），B（4，0），令x＝0，y＝2，∴C（0，2），∴S△ABC＝AB×OC＝；（2）设CD与x轴交于F，连接BP、过P作y轴平行线，交CD于G，交BD延长线于H，如图：∵y＝＝，∴顶点D（，﹣），∵C（0，2），B（4，0），∴直线CD解析式为y＝﹣x+2，直线BD解析式为y＝x﹣3，在y＝﹣x+2中，令y＝0得x＝，∴F（，0），∴BF＝，∴S△BCD＝BF•|y C﹣y D|＝××（2+）＝，设P（t，），则G（t，），H（t，），∴GP＝，PH＝∴S△CPD＝GP•|x D﹣x C|＝，S△PDB＝PH•|x B﹣x D|＝＝∴S四边形CPDB＝S△CPD+S△BCD＝﹣t2+t+，∵PM∥BD，∴S△MDB＝S△PDB，∴S△MDB＝t2﹣t+，∴S四边形CPDM＝S四边形CPDB﹣S△MDB＝（﹣t2+t+）﹣（t2﹣t+）＝﹣t2+4t ＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，S四边形CPDM最大＝4，此时P（2，﹣1）；2．如图1，在直角坐标系中，批物线C1：y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点（A 在B的左侧），与y轴交于点C，已知tan∠CAO＝2，B（4，0）．（1）求抛物线C1的表达式；（2）若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PE∥x轴交BC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标；【解答】解：（1）在y＝ax2+bx+3中，令x＝0得y＝3，∴C（0，3），OC＝3，∵tan∠CAO＝2，∴，∴AO＝，∴，∵B（4，0），∴设，将C（0，3）代入得：，∴，即，（2）过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，如图：∵PE∥x轴，PF∥y轴，∴∠PEF＝∠CBO，∠EFP＝∠BCO，∴△CBO∼△FEP，∴，∴，∴，设，由B（4，0）、C（0，3）得直线BC解析式为：，∴，∵PF＝y P﹣y F，∴，∴＝﹣（m﹣2）2+，∴，此时；3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣交x轴于A、B两点（点A在点B 左侧）．一次函数y＝x+b与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C．（1）求点D的坐标；（2）点E是线段CD上任意一点，过点E作EF⊥y轴于点F，过点E作EP⊥AD交抛物线于点P．点P位于直线AD下方，求PE+EF的最大值及相应的P点坐标；【解答】解：（1）令y＝0得：x2﹣x﹣＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），将A（﹣1，0）代入y＝x+b得：0＝﹣+b，∴b＝，∴AD的解析式为y＝x+，联立，解得x＝﹣1（舍），x＝4，∴；（2）过P作PG∥y轴，交FE延长线于G，如图：∵E在线段CD上，∴设E（m，m+），0≤m≤4，∴EF＝m，∵PE⊥AD，∴∠GEP＝90°﹣∠CEF＝∠ECF＝∠ACO，且∠G＝∠AOC＝90°，∴△AOC∽△PGE，∴＝，由AD的解析式为y＝x+知OC＝，OA＝1，∴OA＝2OC，∴PG＝2EG，PE＝EG，设EG＝a，则PG＝2a，∴P（m+a，m+﹣2a），代入y＝x2﹣x﹣得：m+﹣2a＝（m+a）2﹣（m+a）﹣，解得：a＝﹣m﹣1﹣或a＝﹣m﹣1+，∵点P在AD下方，∴a＝﹣m﹣1+，∴P（﹣1+，+﹣2）∴PE＝a＝﹣m﹣+5，∴PE+EF＝﹣5m﹣5+5+m＝﹣m﹣5+5，设＝t，则m＝﹣1，∴PE+EF＝﹣（﹣1）﹣5+5t＝﹣t2+5t﹣＝﹣（t﹣）2+，∴t＝即m＝时，PE+EF的最大值为，此时P（，﹣）；4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，﹣），B（﹣2，0），其中点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP∥AD，抛物线交x轴于点C．M 为直线AB下方抛物线上一点，过点M作PC平行线交BP于点N，求MN最大值；【解答】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣由于抛物线经过点B（﹣2，0），∴a（﹣2﹣1）2﹣＝0，解得：a＝，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4．（2）易知：D点坐标为（0，﹣4），可求得直线AD的函数解析式为y＝﹣x﹣4，由于BP∥AD，故可设直线BP的函数解析式为：y＝﹣x+b，又BP经过点B，得：﹣×（﹣2）+b＝0，解得：b＝﹣1，从而BP的解析式为y＝﹣x﹣1，∴该直线与抛物线的交点P的坐标为（3，﹣），又可求得点C（4，0），∴PC＝＝，过点M作ME∥x轴交直线BP于点E，设点M的坐标为（m，n），则点E的纵坐标为n，∴点E的横坐标为﹣2n﹣2，∴ME＝﹣2n﹣2﹣m，∵ME∥BC，MN∥PC，∴∠E＝∠PBC，∠MNE＝∠BPC，∴△MNE∽△CPB，∴，MN＝PC＝﹣（m+2n+2）＝﹣（m+m2﹣2m﹣8+2）＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，MN有最大值，5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C．（1）如图1，连接BC，过点A作y轴的平行线交直线BC于点E，求线段BE的长；（2）如图1，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AP交BC于点D，连接BP，记△BDP的面积为S1，△ABD的面积为S2，当的值最大时，求出这个最大值和点P的坐标；【解答】解：（1）如答图1所示，作AE∥y轴交BC的延长线于点E．令y＝x2+2x﹣3中y＝0，得方程x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；令y＝x2+2x﹣3中x＝0，得y＝﹣3，则得点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）．∴BO＝OC＝3，OA＝1．∵∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝．又OC∥AE，∴，即，解得：CE＝，故线段BE＝BC+CE＝＝．（2）如答图2，在答图1基础上，作PF∥AE交BC于F．设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B（﹣3，0）、C（0，﹣3），，解得：．则直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3．设点P坐标为（a，a2+2a﹣3），点F坐标为（a，﹣a﹣3），点E坐标为（1，﹣4），则PF＝﹣a﹣3﹣（a2+2a﹣3）＝﹣a2﹣3a，AE＝4．由PF∥AE，可得△DFP∽△DEA，∴＝＝．又△BDP与△ABD的底可分别看成是DP、DA，而高相等，故＝．∵，∴当a＝时，有最大值，最大值为，此时点P坐标为（，）．6．如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A，B两点（点A位于点B的左侧），交y轴于点C．直线l：y＝﹣x+b交y轴于点E，交抛物线于A，D两点．P为直线l下方抛物线上一动点，点M，点N为直线l上的两个动点．（1）求S△ACD；（2）如图2，当PM∥x轴，PM∥y轴时，求PM+PN的最大值及对应的点P的坐标；【解答】解：（1）如图，连接AC，CD，抛物线解析式：y＝x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣3），∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣2），∵直线l：y＝﹣x+b过点A，把点A（﹣1，0）代入l的解析式，得+b＝0，∴b＝﹣，∴l：y＝﹣x﹣，由，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴D（2，﹣2），∴CD∥x轴，∴S△ACD＝•CD•OC＝＝2．（2）设点P（a，a2﹣a﹣2），∵PN∥y轴，PM∥x轴，点M、N在直线l上，∴N（a，﹣a﹣），M（﹣a2+2a+2，a2﹣a﹣2），∴PM＝﹣a2+2a+2﹣a＝﹣a2+a+2，PN＝﹣a﹣﹣（a2﹣a﹣2）＝﹣a2+a+，∴PM+PN＝﹣a2+a+2+（﹣a2+a+）＝﹣a2+a+＝﹣（a﹣）2+，∴a＝时，（PM+PN）max＝，此时，P（，﹣）．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A，C（﹣6，0）两点（点A在点C右侧），交y轴于点B，连接BC，且AC＝4．（1）求抛物线的解析式．（2）若P是BC上方抛物线上不同于点A的一动点，连接P A，PB，PC，求当S△PBC﹣S有最大值时点P的坐标，并求出此时的最大值．△P AC【解答】解：（1）∵C（﹣6，0），∴OC＝6，∵AC＝4，∴OA＝2，即A（﹣2，0），∵点A（﹣2，0），C（﹣6，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣6上，∴，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣6；（2）过点P作x轴的垂线，交x轴于点D，交BC于点E，如图，由（1）中抛物线的解析式可得B（0，﹣6），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x﹣6，设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2﹣4m﹣6）（﹣6＜m＜0，且m≠0），∴D（m，0），E（m，﹣m﹣6），∴PE＝﹣m2﹣4m﹣6﹣（﹣m﹣6）＝﹣m2﹣3m，|PD|＝|﹣m2﹣4m﹣6|，∴S△PBC﹣S△P AC＝•PE•（x B﹣x C）﹣×|PD|•AC＝•（﹣m2﹣3m）×6﹣×|﹣m2﹣4m﹣6|×4＝﹣m2﹣9m﹣|﹣m2﹣4m﹣6|，当﹣6＜m＜﹣2时，﹣m2﹣4m﹣6＞0S△PBC﹣S△P AC＝﹣m2﹣9m﹣（﹣m2﹣4m﹣6）＝﹣m2﹣5m+6＝﹣（m+）2+，当m＝﹣时，S△PBC﹣S△P AC的最大值为，P（﹣，）；当﹣2＜m＜0时，S△PBC﹣S△P AC＝﹣m2﹣9m﹣（m2+4m+6）＝﹣2m2﹣13m﹣6＝﹣2（m+）2+＜，∵＜，综上，当P（﹣，）时，S△PBC﹣S△P AC的最大值为；8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E 作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，0）、B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）．∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，AC＝3，∵AC∥直线m，∴△ACH的面积是定值，∵S四边形AECH＝S△AEC+S△ACH，∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，∵S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）﹣×3×3＝﹣（m+）2+，∵﹣＜0，∴m＝﹣时，△AEC的面积最大，∴E（﹣，）．。

二次函数背景下——线段的最大值问题重庆永川萱花中学：刘荣幸中考透视：随着新课程改革的不断深入，中考数学试题也不断推旧出新，“选拔性”和“能力性”兼容，命题由“知识型”立意向“能力型”、“素质型”立意转变，题型设计思路开阔、内容丰富、立意深刻、发人深省。

二次函数背景下——线段的最大值问题恰恰是这类试题中突出考查学生能力的典型代表，由于这类试题是以二次函数图像为载体，来研究图形的最大值问题，理解起来比较抽象，涉及面较广，技能性和综合性也很强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力，灵活运用能力和分析问题的能力要求很高，所以几年来一直是全国各地中考数学的压轴题目之一。

三维教学目标：1、能求二次函数中线段的最大值。

2、体会转化的数学思想。

教学重点：能求二次函数中线段的最大值。

教学难点：各种变式线段最值的求法教学方式：合作学习，读，讲，议，练，评。

教学手段：利用多媒体教学。

教学过程：一、新课引入：直接提问：我们在初中阶段学过哪些有关的线段的最值问题？学生回答：1，两点之间线段最短。

2，垂线段最短。

3“水水泵房选址”问题等。

教师立即接着提问：刚才同学回答的有关线段最值问题都是线段最小值问题，我们在学习什么内容时，有最大值问题呢？（同学们答：二次函数），那今天我们就来研究二次函数背景下——线段的最大值问题。

展示课题。

二、公式：直接出示平面坐标系中的竖直线段和水平线段，用点的坐标表示出线段。

得出：水平时,线段AB=右减左，竖直时,线段AB=上减下。

三、典型例题（基本题型）：2如图，已知二次函数y=-x-2x+3的图像交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。

（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合）过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值；导学：PQ是竖直线段还是水平线段？如何表示？导做：独立完成，集体交流，抽同学上黑板上板书。

导思：线段的最值转化为求二次函数的最值。

二次函数与三角形周长，面积最值问题知识点：1、二次函数线段，周长问题2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题3、二次函数面积最大值问题【新授课】考点1：线段、周长问题例 1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习1、如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP 的周长最小．请求出点P 的坐2、如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使|MA -MB |最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．BxAy O C例2. (2018•莱芜)如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ．xOABy（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；练习1、如图，抛物线y=21x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．（4）过点F作FG垂直X轴，并与直线BC交于点H，求FH的最大值。

【知识梳理】一．二次函数之周长因为平面直角坐标系中点的坐标的几何意义为点到轴的距离，即横平竖直的线段长，所以处理二次函数压轴题的核心思想即为斜线段转化为横平竖直的线段（“斜转直”）．“斜转直”的几种处理思路：①斜线段转化为横平或竖直的线段；②计算有关周长或面积的问题其本质一般也可转化为计算线段，所以同样可利用“斜转直”来处理；③出现斜放的角时，一般也可根据该角构建直角三角形，来实现“斜转直”．二．二次函数之面积割补求面积——铅垂法：12APB B A S PM x x =⋅⋅- 12APB B A S PM x x =⋅⋅- Tips ：①过动点作铅垂线；②铅垂线平行于y 轴或垂直于x 轴．二次函数之周长与面积（含最值问题）【经典例题】【例一】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =（x ﹣2）2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．过点B 作BC ∥x 轴，交抛物线于点C ，过点A 作AD ∥y 轴，交BC 于点D ，点P 在BC 下方的抛物线上（P 不与B ，C 重合），连结PC ，PD ，则△PCD 面积的最大值是．2．已知直线经过点A （0，2），B （2，0），点C 在抛物线2y x 的图象上，则使得ABC S =2的点有（）个．A ．4B ．3C ．2D ．1【例二】1.如图，抛物线2(3)3(0)y ax a x a=+++≠与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若126 5CC=，求m的值；（3）求△PBA面积的最大值以及此时点E的坐标．2.如图，二次函数()2302y ax x c a =-+≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知点A （-1，0），点C （0，-2）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点Q ，使△ACQ 周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上的一个动点，求△BCM 面积的最大值以及此时点M 的坐标．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数214y x bx c =-++的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（-4，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）点D 的坐标为（0，4），点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S ．求S 的最大值.4.如图，抛物线2=-++与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴与y x bx c抛物线交于点P，与直线BC交于点M，连接PB．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RMP与△RMB的面积相等？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【能力训练】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =-++与y 轴交于点A ，过点A 作AB ∥x 轴交抛物线于点B ，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为．2．如图所示，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴上一动点，过A 作AC x ⊥轴交抛物线222y x x =++于点C ，以AC 为边作等边ABC ∆，高AD 的最小值为．3．如图，P 是抛物线22y x x =-++在第一象限上的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形OAPB 周长的最大值为．4．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，它的对称轴与x 轴交于点N ，过顶点M 作ME y ⊥轴于点E ，连结BE 交MN 于点F ．（1）求F 的坐标．（2）求EMF ∆与BNF ∆的面积之和．5.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在x 轴上，点C ，D 在y 轴上且OB =OC =3，OA =OD =1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ，B ，C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点E ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若M 是直线AD 上方抛物线上的一个动点，求△AME 面积的最大值．（3）在抛物线上是否存在点G ，使得AEG S =3？如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．。

二次函数中几何的最值问题Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】二次函数中几何的最值问题一、解答题1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，0）、B （6，0）、C（0，－2），抛物线y=a+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点。

（1）求直线AC的解析式；（2）求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为D，试探究在直线AC上是否存在一点P，使得△BPD的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，已知抛物线y=-+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B 的坐标为（3，0）。

（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。

3、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。

4、如图，抛物线y=+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B （5，﹣6），C（6，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q 一共有几个并请求出其中某一个点Q的坐标．5、如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，抛物线y=-3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标。