两个连续变量之间的相关关系两个连续变量之间的相关关系，即指两个随机变量之间的相关性。
它是衡量两个连续变量之间相互依赖程度的重要指标。
在数据分析、统计学以及机器学习等领域，相关性分析是一项基础而重要的任务。
一、计算相关性系数在统计学中，通常通过相关系数来衡量两个连续变量之间的相关关系。
相关系数通常是在-1到1之间取值，其中-1表示完全的负相关关系，即两个变量之间有完全相反的关系；1则表示完全的正相关关系，即两个变量之间具有完全相同的变化趋势；而0则表示两个变量之间没有线性关系。
计算相关系数的方法有多种，其中比较常用的是皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续型变量，并且假设变量服从正态分布。
斯皮尔曼等级相关系数则适用于序数型数据以及不满足正态分布的变量。
在这里以皮尔逊相关系数为例进行说明。
二、使用Python计算相关性系数在Python中，统计分析库numpy和pandas都提供了计算相关性系数的函数。
numpy提供的pearsonr函数可以计算两个变量之间的皮尔逊相关系数以及相关性显著性；而pandas提供的corr函数可以计算两个DataFrame对象中所有列的相关系数矩阵。
下面通过一个例子来说明如何使用Python计算相关系数。
```pythonimport numpy as npimport pandas as pd# 构造样本数据x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])# 计算皮尔逊相关系数correlation, p_value = np.corrcoef(x, y)[0][1],scipy.stats.pearsonr(x, y)[0]print(f"皮尔逊相关系数: {correlation:.4f} (p-value:{p_value:.4f})")# 构造DataFrame对象df = pd.DataFrame({'x': [1, 2, 3, 4, 5], 'y': [2, 4, 6, 8, 10]})# 计算相关系数矩阵corr_matrix = df.corr()print(f"相关系数矩阵: \n{corr_matrix}")```以上代码首先构造了两个变量x和y，分别表示1到5的整数和2到10的偶数。
两个变量的相关关系知识点和典例1.两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.（回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x ，y )，其它点不一定过直线只是在直线附近，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据.）(2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i =1nx i y i －n xy∑i =1nx 2i －n x2＝∑i =1n)(x i －x )(y i －y )∑i =1n)(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .(3)相关系数：相关系数r ＝∑i =1n)(t i －t )(y i －y )∑i =1n)(t i －t )2∑i =1n )(y i －y )2当r ＞0时，表明两个变量正相关；当r ＜0时，表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.（r 的符号表明两个变量是正相关还是负相关；|r |的大小表示线性相关性的强弱.）例一．某公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用x 与月利润y （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经计算，微信推广费用x 与月利润y 满足线性回归方程 6.517.5y x ∧=+.求p 的值．[解] ()()11245685,3040607040555p x y p =++++==++++=+， 因为样本中心(),x y 在回归直线 6.517.5y x ∧=+上， 所以40 6.5517.55p+=⨯+，解得50p = [变式练习]已知变量x ，y 之间的线性回归方程y ^=－0.7x +10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是( )x 6 8 10 12 y6m32A.变量x ，y 之间呈负相关关系))))B.可以预测，当x ＝20时，b ^＝－3.7 C.m ＝4))))))))))))))))))))))))D.该回归直线必过点(9，4)[解]由－0.7<0，得变量x ，y 之间呈负相关关系，故A 正确；当x ＝20时，y ^＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B 正确；由表格数据可知x －＝14×(6＋8＋10＋12)＝9，y －＝14(6＋m ＋3＋2)＝11＋m 4，则11＋m 4＝－0.7×9＋10.3，解得m ＝5，故C 错；由m ＝5，得y －＝6＋5＋3＋24＝4，所以该回归直线必过点(9，4)，故D 正确.故选C.例二．下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据：∑i =17y i ＝9.32，∑i =17t i y i ＝40.17,)∑i =17)(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i =1n)(t i －t )(y i －y )∑i =1n )(t i －t )2∑i =1n )(y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i =1n)(t i －t )(y i －y )∑i =1n)(t i －t )2，a ^＝y －b ^)t .[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑i =17)(t i －t)2＝28,)∑i =17)(y i －y )2＝0.55，∑i =17)(t i －t )(y i －y )＝∑i =17t i y i －t ∑i =17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i =17)(t i －t )(y i －y )∑i =17)(t i －t )2＝2.8928≈0.103. a ^＝y －b ^)t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2019年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.[变式练习]1.(2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X (单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y (千克)与使用某种液体肥料的质量x (千克)之间的对应数据为如图所示的折线图.(1)依据折线图计算相关系数r (精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(若|r |＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3)000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1)000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值.参考数据：0.3≈0.55，0.9≈0.95. 解：(1)由已知数据可得x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝3＋4＋4＋4＋55＝4.因为∑i ＝15)(x i －x )(y i －y )＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，∑i ＝15)(x i －x )2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝25，∑i ＝15)(y i －y )2＝(－1)2＋02＋02＋02＋12＝2，所以相关系数r ＝∑i ＝15)(x i －x )(y i －y )∑i ＝15)(x i －x)2)∑i ＝15)(y i －y )2＝625×2＝)910≈0.95. 因为|r |＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. (2)由条件可得在过去50周里，当X ＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 每周的周总利润为1×3)000－2×1)000＝1)000(元).当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 每周的周总利润为2×3)000－1×1)000＝5)000(元).当30＜X ＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 每周的周总利润为3×3)000＝9)000(元).所以过去50周的周总利润的平均值为1)000×10＋5)000×35＋9)000×550＝4)600(元)，所以商家在过去50周的周总利润的平均值为4)600元.例三．某机构为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.x y u∑i＝18)(x i－x)2∑i＝18)(x i－x)(y i－y)∑i＝18)(u i－u)2∑i＝18)(u i－u)(y i－y) 15.25 3.630.2692)085.5－230.30.7877.049表中u i＝1x i，u＝18∑i＝18u i.(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01).(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78)840元？(假设能够全部售出.结果精确到1)附：对于一组数据(ω1，υ1)，(ω2，υ2)，…，(ωn，υn)，其回归直线υ^＝α^＋β^ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i＝1n)(ωi－ω)(υi－υ)∑i＝1n)(ωi－ω)2，α^＝υ－β^ω.解：(1)由散点图判断，y＝c＋dx更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的回归方程.(2)令u＝1x，先建立y关于u的线性回归方程，由于d ^＝∑i ＝18)(u i －u )(y i －y )∑i ＝18)(u i －u )2＝7.0490.787≈8.957≈8.96， ∴c ^＝y －d ^·u ＝3.63－8.957×0.269≈1.22， ∴y 关于u 的线性回归方程为y ^＝1.22＋8.96u ， ∴y 关于x 的回归方程为y ^＝1.22＋8.96x .(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －⎝⎛⎭⎫1.22＋8.96x x ≥78.840， 解得x ≥10，∴至少印刷10)000册才能使销售利润不低于78)840元.[变式练习](2015课标Ⅰ,19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i )和年销售量y i ))(i =1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw∑i=18(x i -x )2∑i=18(w i -w )2 ∑i=18(x i -x )(y i -y ) ∑i=18(w i -w )(y i -y )46.6 563 6.8 289.81.61 469108.8表中w i =√x ,w =18∑i=18w i.(1)根据散点图判断,y =a +bx 与y =c +d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x,y 的关系为z =0.2y −x .根据(2)的结果回答下列问题: (i)年宣传费x =49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ))),其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1n (u i -u )(v i -v )∑i=1n(u i -u )2,α^=v -β^)u .解析 (1)由散点图可以判断,y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.(2分)(2)令w =√x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于 d ^=∑i=18(w i -w )(y i -y )∑i=18(w i -w )2=108.81.6=68,c ^=y -d ^)w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68√x .(6分) (3)(i)由(2)知,当x =49时,年销售量y 的预报值 y ^=100.6+68√49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32.(9分) (ii)根据(2)的结果知,年利润z 的预报值 z ^=0.2(100.6+68√x )-x =-x +13.6√x +20.12. 所以当√x =13.62=6.8,即x =46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.。
两个变量间相关关系的举例1. 温度与冰淇淋销量的相关关系温度是一个影响冰淇淋销量的重要因素。
当温度升高时，人们更容易感到口渴，因此购买冰淇淋的欲望也会增加。
因此，温度与冰淇淋销量之间存在正相关关系。
2. 年龄与学习成绩的相关关系年龄与学习成绩之间存在一定的相关关系。
通常情况下，年龄越大，学生的学习经验和能力也会相应增加，因此学习成绩也有可能更好。
当然，这并不意味着年龄是唯一决定学习成绩的因素，还会受到其他因素的影响，如学习动力、学习方法等。
3. 饮食与身体健康的相关关系饮食习惯与身体健康之间存在密切的相关关系。
良好的饮食习惯可以提供身体所需的营养物质，维持身体的正常功能，降低患病的风险。
相反，不健康的饮食习惯，如高糖、高脂肪、高盐的饮食，会增加患糖尿病、高血压等慢性疾病的风险。
4. 运动与心脏健康的相关关系适度的运动与心脏健康之间存在正相关关系。
定期进行适度的身体活动可以增强心肌的收缩能力，促进血液循环，降低心脏病的风险。
相反，长期缺乏运动会导致心脏功能下降，易患心血管疾病。
5. 睡眠时间与注意力集中力的相关关系睡眠时间与注意力集中力之间存在一定的相关关系。
充足的睡眠可以提高人的注意力集中力，保持精力充沛，提高工作和学习效率。
相反，睡眠不足会导致注意力不集中，易疲劳、易犯错误。
6. 学历与收入水平的相关关系学历与收入水平之间存在一定的相关关系。
通常情况下，具有较高学历的人更容易获得高薪工作，因此收入水平相对较高。
当然，学历并不是唯一决定收入的因素，还会受到其他因素的影响，如工作经验、技能等。
7. 空气污染与呼吸道疾病的相关关系空气污染与呼吸道疾病之间存在密切的相关关系。
空气中的污染物，如PM2.5、臭氧等，会对人体的呼吸道造成刺激和损害，增加呼吸道感染和慢性呼吸道疾病的风险。
8. 金融市场与经济增长的相关关系金融市场与经济增长之间存在一定的相关关系。
金融市场的繁荣与活跃会为经济提供资金支持和融资渠道，促进企业的发展和创新，推动经济的增长。
两个变量之间的相关关系称为
统计学中，两个变量之间的相关关系被称为相关性。
它是一种检测和研究变量间关系的方法，它可以帮助研究人员探索实验结果的数据。
相关性测量两个变量的关联程度，帮助我们更多地了解被调查者中变量之间的因果关系，以及几种变量之间的结构关系。
相关性可以使企业在未来进行数据分析时，更好地推断某些事件发生的可能性。
它可以帮助研究者更深入地了解被调查者中变量之间的潜在相关性，因此可以有效地预测变量未来变化的趋势。
相关性分析也可以检查多个变量之间的关系，因此有助于确定定义变量和被调查者之间的关系，进而确定这些变量的分类组合。
另外，相关性分析还可以帮助企业识别出重要的变量，从而有效地预测业务结果。
总之，相关性可以说是统计学中一种重要的概念。
它能够有效地识别和解释变量之间的关系，并为企业在未来数据分析中应用提供重要的参考。
因此，我们可以看出，相关性对学习统计学和收集数据分析有着重要意义。
