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定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的定义和计算方法；2.掌握定积分的性质和应用；3.培养学生的数学计算能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法；3.定积分的性质和应用。
三、教学重点：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法。
四、教学难点：1.定积分的性质和应用；2.定积分与原函数的关系。
五、教学过程：Step 1 引入教师与学生展开对话，探讨学生对积分的了解：教师：同学们，你们对积分有什么了解？学生：积分就是求和。
教师：不错，积分的确是求和，但是定积分具体是什么呢？我们一起来探讨一下。
Step 2 定积分的定义教师向学生介绍定积分的定义：教师：定积分是微积分的一个重要概念，表示函数曲线与x轴之间的面积。
我们用符号∫来表示定积分，函数f(x)的定积分表示为∫f(x)dx，在积分号下面写上被积函数，dx表示自变量。
Step 3 定积分的计算方法教师通过示例向学生演示定积分的计算方法：教师：我们以函数f(x)=x^2为例，计算f(x)在区间[1,3]上的定积分。
教师在黑板上写下∫(1→3)x^2dx，并进行具体的计算步骤解释。
Step 4 定积分的性质和应用教师向学生介绍定积分的性质和应用，并通过例题进行讲解：教师：定积分具有线性性质、区间可加性和变量替换的性质，同时也可以用于计算面积、体积、质量等。
我们来看一个例题，计算函数f(x)=x在区间[-2,2]上的定积分，并解释其实际意义。
Step 5 定积分与原函数的关系教师引导学生思考定积分与原函数的关系：Step 6 总结与归纳教师与学生总结本节课的内容，并归纳出定积分的概念和性质：教师：同学们，通过本节课的学习，我们初步了解了定积分的定义、计算方法和性质。
下节课我们将进一步学习定积分的应用。
大家要做好预习哦！六、教学反思本节课通过引入、定义、示例演算等方式，使学生初步了解了定积分的概念和计算方法。
通过例题讲解，学生对定积分的应用有了基本的认识。
高中数学定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的概念及其在数学中的重要性；2.掌握定积分的基本性质和计算方法；3.能够运用定积分求解实际问题。
二、教学重点及难点：1.定积分的概念和基本性质；2.定积分的计算方法；3.定积分在实际问题中的应用。
三、教学内容：1.定积分的概念a.通过求和的思想引入定积分的概念；b.定义定积分的符号表示及含义；c.定积分的几何意义和物理意义。
2.定积分的性质a.定积分的线性性质；b.定积分的可加性质；c.定积分的保号性质。
3.定积分的计算方法a.定积分的基本性质；b.定积分的换元法；c.定积分的分部积分法。
4.定积分在实际问题中的应用a.通过实际问题引入定积分的应用；b.运用定积分求解速度、面积、体积等实际问题。
四、教学过程：1.引入定积分的概念（10分钟）a.通过求和的思想引入定积分的概念；b.讲解定积分的符号表示及其含义。
2.定积分的性质（15分钟）a.讲解定积分的线性性质、可加性质和保号性质；b.举例说明定积分性质的运用。
3.定积分的计算方法（20分钟）a.讲解定积分的基本性质和计算方法；b.通过实例演示定积分的换元法和分部积分法。
4.定积分在实际问题中的应用（15分钟）a.通过实际问题引入定积分的应用；b.运用定积分求解速度、面积、体积等实际问题。
五、教学方法：1.讲授相结合：简洁明了地讲解定积分的概念和性质，结合实例演示计算方法；2.激发思考：通过引入实际问题，激发学生的思考和探究欲望；3.启发式教学：提出问题引导学生独立思考，培养学生的解决问题能力。
六、教学资源：1.教材：教材中相关知识点、例题及练习题；2.多媒体教学：投影仪、电脑等多媒体设备。
七、教学评估：1.课堂练习：课堂上针对性地布置练习，检验学生对定积分的理解和掌握程度；2.作业布置：课后布置练习题，巩固学生对定积分的掌握。
八、课堂小结：通过本节课的学习，相信同学们已经初步了解了定积分的概念、性质和计算方法，并能够运用定积分解决实际问题。
定积分一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。
二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。
三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程 （一）、知识闪烁1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ；误差趋于 。
2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; 3 、()1limniin i f x ξ→∞=∆∑= ；其中⎰叫做a 叫做b 叫做 ()f x 叫 ;4、()baf x dx ⎰的几何意义 ；在x 轴上方的面积取 ，在x 轴下方的面积取()baf x dx ⎰的几何意义 ；()baf x dx ⎰的几何意义 ；()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰的关系 ；计算()baf x dx ⎰时，若在],a b ⎡⎣上()0f x ≥则()baf x dx ⎰= 若在],a b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰= 若在],a c ⎡⎣上()0f x ≥，],c b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰=5、定积分的性质：1b adx ⎰= ()bakf x dx ⎰= ()()ba f x g x dx ±⎡⎤⎣⎦⎰=（定积分对积分区间的可加性）()baf x dx ⎰=6、如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数，即()f x = ，则有()baf x dx ⎰=它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨公式，()F x 是()f x 的 7、计算定积分()baf x dx ⎰= =()()F b F a -8、若()f x 在[],a a -上连续，且是偶函数，则有()aaf x dx -=⎰若()f x 在[],a a -上连续，且是奇函数，()aaf x dx -=⎰（二）、方法点拨：1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。
《定积分的概念》教学案例设计1 教学目标及重点、难点1.1 教学目标知识目标：1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的实际背景意义；2.借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应用定积分的定义求函数的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义和性质；能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想.情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力.1.2教学重点微元法思想和定积分的基本性质1.3教学难点无限细分和无穷累积的思维方法2 教学过程简录2.1 实例铺路，引出课题教师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，”师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究．2.2演示验证，直观感知教师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中蕴含的数学思想.”（教师动画演示对曲边梯形的分割过程）这是曲边梯形的过剩近似值的拟合效果，请同学们再观察其不足近似值的动画演示.教师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？学生1：以上对曲边梯形的无限分割体现了“无限逼近”的思想。
学生2：还有“近似代替”的思想，用不足近似值和过剩近似值代替曲边梯形的面积，以及“以直代曲”的思想.教师：这种求面积的方法具有普遍意义，为此，引入定积分的概念. 2.2.1 定积分的概念设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义，任意用分点b x x x x a n =<⋅⋅⋅<<<=210 将],[b a 分成n 个小区间，用1--=∆i i i x x x 表示第i 个小区间的长度，在],[1i i x x -上任取一点i ξ，作乘积i i x f ∆⋅)(ξ，n i ,,2,1⋅⋅⋅=. 再作和图5－1∑=∆ni iixf 1)(ξ.若当0}{max 1→∆=≤≤i ni x λ时，上式的极限存在，则称函数)(x f 在区间],[b a 上可积，并称此极限值为)(x f 在],[b a 上的定积分，记作⎰badx x f )(. 即∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ. (1)其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分下限和上限.许多实际问题都可用定积分表示. 例如，若变速直线运动的速度为)(t v ，则在时间区间],[b a 上，物体经过的路程为⎰=ba dt t v s )(. (2)同理，图5－1所示的曲边梯形面积可表为⎰=ba dx x f A )( (3)变力做功 ()b aW F r dr =⎰ (4) I ．)(x f 在],[b a 可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点i ξ在小区间],[1i i x x -上如何选取，只要0→λ，极限值总是唯一确定的.哪些函数是可积的呢？定理 在闭区间],[b a 上连续的函数必在],[b a 上可积；在区间],[b a 上有界且只有有限个间断点的函数也必在],[b a 上可积.II ．定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即⎰⎰⎰==bab abadt t f du u f dx x f )()()(．III ．定义定积分时已假定下限a 小于上限b ，为便于应用，规定当a b ≤时，⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(．0)(=⎰aadx x f ．2.2.2 定积分的几何意义I ．若0)(≥x f ，则积分⎰b adx x f )(表示如图所示的曲边梯形的面积，即A dx x f ba=⎰)(．针对训练：用定积分表示下列图形的面积.(两名学生上黑板板书) 学生1：⎰102xdx 学生2：⎰430sin πxdx随堂检测：利用定积分的几何意义求值:(请两名同学在黑板上板演，并解说自己的想法)特别地，当a =b 时，有⎰ba f (x )dx =0。
定积分的概念的教学设计一、教学目标：1.了解定积分的概念和基本性质。
2.能够理解和应用定积分的定义和计算方法。
3.能够运用定积分解决实际问题。
二、教学重点：1.定积分的概念和性质。
2.定积分的计算方法。
三、教学难点：1.对定积分概念的理解和应用。
2.定积分计算方法的运用。
四、教学准备：1.教师准备教学课件、板书。
2.学生准备课本、笔记等。
五、教学过程：Step 1：导入（10分钟）1.教师简要介绍导数的概念，回顾导数的计算方法和求导法则。
2.引导学生思考：如果“导数”是描述一个函数变化率的概念，那么有没有与之相对应的概念来描述一个函数的累计效应呢？Step 2：引入定积分概念（15分钟）1.通过图例引导学生思考在一个区间上函数图像之下的面积，让学生发现概念。
2.引导学生思考以下问题：-如何精确地描述该面积？-如何计算这个面积？3.教师出示定积分的定义并解释：$\int_a^b f(x)dx = {\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x}$其中，$\Delta x = \frac{b-a}{n}$，$f(x_i)$是在每个子区间上任意选择的一点。
4.教师解释定积分的符号含义，并进行例题辅助讲解：$\int_a^b f(x)dx$可以理解为从$a$到$b$的函数$f(x)$在$x$轴上方的面积。
Step 3：定积分的性质（15分钟）1.教师介绍定积分的基本性质：- 定积分与区间选择无关，即$\int_a^b f(x)dx = \int_c^b f(x)dx + \int_a^c f(x)dx$- 若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且存在一些点$c \in [a,b]$，使得$f(c) \geq f(x)$在$[a,b]$上成立，则$\int_a^b f(x)dx \geq 0$- 若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续且非负，则$\int_a^b f(x)dx = 0$的充要条件是$f(x) \equiv 0$2.教师通过例题进行讲解和巩固。
定积分的概念教案教案标题：定积分的概念教案教案目标：1. 理解定积分的概念及其在数学中的应用；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够运用定积分解决实际问题。
教学内容：1. 定积分的概念介绍；2. 定积分的计算方法；3. 定积分的应用。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回顾不定积分的概念和计算方法，以便为定积分的引入做铺垫。
主体活动：2. 介绍定积分的概念和意义，并与不定积分进行对比，强调二者的区别和联系。
3. 解释定积分的计算方法，包括Riemann和Newton-Leibniz公式等，通过实例演示如何进行定积分的计算。
4. 引导学生思考定积分的应用领域，如面积计算、物理学中的速度、加速度计算等，并结合实际问题进行案例分析和讨论。
5. 练习定积分的计算方法和应用，提供一些练习题，让学生进行个人或小组练习，并及时给予指导和反馈。
总结活动：6. 总结定积分的概念、计算方法和应用，强调定积分在数学中的重要性，并鼓励学生在今后的学习中继续深入探究。
教学资源：1. 教科书或教学课件；2. 白板、彩色粉笔/马克笔；3. 实例演示材料；4. 练习题。
评估方法：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和对概念的理解程度；2. 学生完成的练习题和解答过程；3. 学生参与案例分析和讨论的贡献。
拓展活动：1. 鼓励学生自主学习和探究更多与定积分相关的概念和应用；2. 提供相关参考资料和学习资源，供学生进一步学习和研究。
注意事项：1. 确保教学内容和步骤的连贯性和逻辑性；2. 根据学生的学习进度和理解程度，灵活调整教学节奏；3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，培养他们的问题解决能力和数学思维能力。
《定积分的概念》教学教案教学教案《定积分的概念》一、教学目标1.理解定积分的概念和基本性质；2.掌握计算定积分的方法和技巧；3.运用定积分解决实际问题。
二、教学重点1.定积分的概念和基本性质；2.计算定积分的方法和技巧。
三、教学难点1.理解定积分的概念和基本性质；2.运用定积分解决实际问题。
四、教学准备1.教材：数学教材、习题集等；2.工具：黑板、粉笔等。
五、教学过程Step 1 知识导入（5分钟）1.复习集中讨论上一节课的内容，引入定积分的概念。
2.提问：你们对定积分有什么了解？Step 2 定积分的概念（20分钟）1. 导入：引入定积分的基本概念，如Riemann和、分割、积分和面积的关系等。
2.讲解：通过具体的例子，解释定积分的定义和意义。
3.提问：如何通过曲线的面积概念引入定积分？Step 3 定积分的基本性质（15分钟）1.引入：引入定积分的基本性质，如线性性质、区间可加性、保号性等。
2.讲解：通过具体例子验证定积分的基本性质。
3.提问：如何理解定积分的线性性质？Step 4 计算定积分（25分钟）1.导入：通过几何问题，引入定积分的计算方法。
2.讲解：教授求定积分的方法和技巧，如代数法、几何法、换元法等。
3.举例：通过具体的例子讲解并计算定积分。
4.练习：让学生完成相应的练习题。
Step 5 运用定积分（20分钟）1.导入：通过实际问题引入定积分的应用。
2.讲解：教授定积分在物理学和经济学等领域的应用。
3.举例：通过实际问题的例子，展示定积分的应用过程。
4.提问：你对定积分的应用有何感悟？Step 6 拓展延伸（15分钟）1.讲解：让学生了解定积分的应用不仅限于一元函数，还可以推广到二元和多元函数。
2.提问：你能举例说明定积分在二元和多元函数中的应用吗？六、教学总结（10分钟）1.复习：对本节课的知识点进行复习。
2.总结：对本节课的教学内容进行总结，概括定积分的概念、基本性质和计算方法。
高二数学《定积分的概念》教案【小编寄语】小编给大家整理了高二数学《定积分的概念》教案，希望能给大家带来帮助!学习目标1、知识与技能目标理解并掌握定积分的概念和定积分的几何意义。
2、过程与方法目标通过学生自主探究、合作交流，培养学生分析、比较、概括等思维能力,形成良好的思维品质。
3、情感态度与价值观目标通过学生积极参与课堂活动，让学生体验创造的激情和成功的喜悦，教学过程中及时地表扬鼓励学生，让学生领会到实实在在的成就感。
教学重点定积分的概念，定积分的几何意义。
教学难点定积分的概念。
一、创设情境，引入新课创设情境：请大家闭上双眼，回忆曲边图形面积的求法，求与直线 =1， =0所围成的平面图形的面积。
教师口述：分割_rarr;近似代替_rarr;求和_rarr;取极限引入新课：定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为 ( )，在每个小区间上取一点，作和式：【问题】如果时，上述和式无限趋近于一个常数，那么称该常数为___________________________，记为：___________________________，即：___________________________。
注意：① 称为______________，叫做_____________，为_____________，与分别叫做________________与________________。
②定积分是一个常数，只与积分上、下限的大小有关，与积分变量的字母无关，。
二、自主探究合作交流探究一：在求积分时要把等分成个小区间，是否一定等分?探究二：在每个小区间上取一点，是否一定选左端点?探究三：分组讨论定积分的几何意义是什么?探究四：分组讨论根据定积分的几何意义，用定积分表示图中阴影部分的面三、例题剖析，初步应用例1 利用定积分的定义，计算的值引导：怎样用定积分法求简单的定积分呢?解：令定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 (定积分的线性性质)性质2 (定积分的线性性质)思考(用定积分的概念解释)：性质3 (其中 )(定积分对积分区间的可加性)思考(用定积分的几何意义解释)：_四、课堂练习巩固提高1、从几何上解释：表示什么?2、计算的值。
定积分的概念教案教学目标：了解定积分的概念及其几何意义，熟练掌握定积分的计算方法。
教学重点：掌握定积分的概念及其几何意义。
教学难点：运用定积分的概念解决实际问题。
教学准备：教师准备教材、教具和白板笔等。
教学过程：Step 1：导入问题教师可以提出一个实际问题，如：一辆汽车在1小时内的速度是多少？请学生思考并展开讨论。
Step 2：引入定积分教师出示一张速度-时间图像，简单介绍图像含义，即速度的变化情况。
Step 3：讨论定积分概念教师引导学生思考：如何根据速度-时间图像计算汽车在1小时内行驶的距离？学生可以按时间分割成不同的小段，并计算每个小段的行驶距离。
引出定积分的概念：将时间划分成无限小的小段，计算每个小段的行驶距离，并对其求和。
Step 4：定积分的计算方法教师介绍定积分的计算方法：将定积分问题转化为求函数的不定积分问题，然后根据不定积分的法则进行计算。
Step 5：定积分的几何意义教师引导学生思考：定积分的几何意义是什么？可以让学生按照概念中的思路进行讨论，并引导学生认识到定积分表示函数与横轴之间的面积。
Step 6：应用定积分解决实际问题教师出示一个实际问题，如：一块不规则形状的地块的面积如何计算？引导学生将地块的形状划分成无数个小矩形或小三角形，然后利用定积分的概念求解。
Step 7：练习与总结教师提供一些定积分的练习题，供学生巩固知识并提出问题。
在练习过程中，教师及时纠正学生的错误，引导学生总结定积分的计算方法和几何意义。
Step 8：课堂小结教师对本节课进行小结，强调定积分的概念及其几何意义，并鼓励学生继续探索和应用定积分。
Step 9：课后作业教师布置相关的课后作业，要求学生继续练习定积分的计算及应用，并预习下节课内容。
以上为定积分的概念教案。
第四章 定积分 4.1定积分的概念一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：1.掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．2.定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 三、教学方法： 探析归纳，讲练结合教学过程： （一）．创设情景复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？（二）．新课讲授1. 曲边梯形的面积，汽车行驶的路程问题：汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km/h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）． 解：（1）分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i t n n n-∆=-= 把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作： 1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1nii S S ==∆∑（2）近似代替当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+=⎪⎝⎭ ①（3）求和由①，21111112nnn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ =221111102n n n nn n-⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦=()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）取极限当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有 1111115lim limlim 112323nn n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+=⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程lim n n S S →∞=在数据上等于由直线,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()vv t =，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S．2、定积分的概念、几何意义、性质前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤： 对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 1）．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ??）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
2019-2020年高中数学第四章定积分1定积分的概念教学案北师大版选修2-2一、导数与函数的单调性1．若f′(x)>0，则f(x)是增加的；若f′(x)<0，则f(x)是减少的；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增加的，则f′(x)≥0；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减少的，则f′(x)≤0.3．利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．二、导数与函数的极值和最值1．极值当函数f(x)在x0处连续可导时，如果x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；若左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值； 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x )的极值点． 3．最值对于函数y ＝f (x )，给定区间[a ，b ]，若对任意x ∈[a ，b ]，存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x 0)≥f (x )(f (x 0)≤f (x ))，则f (x 0)为函数在区间[a ，b ]上的最大(小)值．4．利用导数求函数最值的一般步骤 (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．5．函数最值与极值的区别与联系(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测三 见8开试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为( )A ．－135°B ．45°C ．－45°D.135°解析：∵y ′＝x －2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为－1，倾斜角为135°.答案：D2．下列求导运算正确的是( )A ．(cos x )′＝sin xB ．(ln 2x )′＝1xC ．(3x )′＝3x log 3e D.(x 2e x )′＝2x e x解析：(cos x )′＝－sin x ，(3x )′＝3x ln 3，(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x . 答案：B3．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )( ) A ．在(－∞，0)上为减少的 B ．在x ＝0处取极小值 C ．在(4，＋∞)上为减少的 D ．在x ＝2处取极大值解析：在(－∞，0)上，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，0)上为增函数，A 错；在x ＝0处，导数由正变负，f (x )由增变减，故在x ＝0处取极大值，B 错；在(4，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )为减函数，C 对；在x ＝2处取极小值，D 错．答案：C4．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( ) A ．0 B ．－4 C ．－2D.2解析：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4. 故选B. 答案：B5．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时的x 值为( )A ．0B.π6 C.π3D.π2解析：由f ′(x )＝1－2·sin x ＝0，得sin x ＝12，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＝π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f ′(x )>0；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )<0，故x ＝π6时取得最大值． 答案：B6．函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a <0D.a ≤0解析：f ′(x )＝3ax 2＋1，由题意得f ′(x )＝0有实数根，即a ＝－13x2(x ≠0)，所以a <0.答案：C7．已知函数f (x )＝x 2(ax ＋b )(a ，b ∈R )在x ＝2时有极值，其图像在点(1，f (1))处的切线与直线3x ＋y ＝0平行，则函数f (x )的单调减区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D.(－∞，＋∞)解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2， ∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，∴⎩⎨⎧3a ×22＋2b ×2＝0，3a ＋2b ＝－3，即⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，令f ′(x )＝3x 2－6x <0，则0<x <2. 答案：B8．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[0,1)B ．(0,1)C ．(－1,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：f ′(x )＝3x 2－3a ，由于f (x )在(0,1)内有最小值，故a >0，且f ′(x )＝0的解为x 1＝a ，x 2＝－a ，则a ∈(0,1)，∴0<a <1.答案：B9．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，且产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )A ．15件B ．20件C ．25件D.30件解析：设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x.总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)， y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．答案：C10．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析：设h (x )＝f (x )g (x )，则h (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )，所以h (x )是R 上的奇函数，且h (－3)＝h (3)＝0，当x <0时，h ′(x )>0，所以h (x )在(－∞，0)上是增加的，根据奇函数的对称性可知，h (x )在(0，＋∞)上也是增加的，因此h (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3)．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．函数y ＝2x 3－6x 2＋11的单调递减区间为________． 解析：y ′＝6x 2－12x ，令6x 2－12x <0，得0<x <2. 答案：(0,2)12．已知函数f (x )＝12x －sin x ，x ∈(0，π)，则f (x )的最小值为________．解析：令f ′(x )＝12－cos x ＝0，得x ＝π3.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π时，f ′(x )>0，f (x )在x ＝π3处取得极小值．又f (x )在(0，π)上只有一个极值点，易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12×π3－32＝π－336即为f (x )的最小值．答案：π－33613．已知函数f (x )＝x e x ＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝e x (x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上是减少的，在(－1，＋∞)上是增加的，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1<0，得c <e －1.答案：(－∞，e －1)14．已知函数f (x )＝2ln x ＋a x2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ， 则g ′(x )＝2x (1－2ln x )． 由g ′(x )＝0得x ＝e ，0(舍去)， 且0<x <e 时，g ′(x )>0； 当x >e 时g ′(x )<0，∴x ＝e 时g (x )取最大值g (e)＝e ，∴a ≥e. 答案：[e ，＋∞)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －e x ＋m 在x ＝1处有极值，求m 的值及f (x )的单调区间．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－e x ＋m ，由题意f ′(1)＝0，解得m ＝－1， ∴f ′(x )＝1x－e x －1，利用基本函数单调性可知，在(0，＋∞)上f ′(x )是减少的，且f ′(1)＝0， 所以当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增加的， 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的．∴f (x )的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，＋∞)． 16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且当x ∈[－1,2]时，f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，则方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根，由Δ>0得1－12b >0即b <112. 所以b 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，112.(2)∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0， ∴3－1＋b ＝0，得b ＝－2.则f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝1，又f (－1)＝12＋c ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3827＋c ，f (1)＝－32＋c ，f (2)＝2＋c .∴[f (x )]max ＝2＋c <c 2， 解得c >2或c <－1.∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．17．(本小题满分12分)某品牌电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元，已知A ，B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A ，B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)解：设B 型号电视机的投放金额为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元，则A 型号的电视机的投放金额为(10－x )万元，由题意得y ＝110(10－x )＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1,1≤x ≤9， ∴y ′＝25x －110，令y ′＝0得x ＝4. 由y ′>0得1≤x <4，由y ′<0得4<x ≤9，故y 在[1,4)上递增，在(4,9]上递减，∴当x ＝4时，y 取得最大值，且y max ＝25ln 4－110×4＋1≈1.2，这时，10－x ＝6. 即厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．18．(本小题满分14分)(安徽高考)设函数f (x )＝a e x＋1a e x ＋b (a ＞0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值． 解：(1)f ′(x )＝a e x －1a e x ， 当f ′(x )＞0，即x ＞－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增；当f ′(x )＜0，即x ＜－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0＜a ＜1时，－ln a ＞0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)内的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)内的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b . (2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)． 所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12. 故a ＝2e 2，b ＝12.。
