2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第三章+第一节+导数的概念和运算、定积分和答案

§3.2导数的应用1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 概念方法微思考1．“f (x )在区间(a ，b )上是增函数，则f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立”，这种说法是否正确？ 提示 不正确，正确的说法是：可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．2．对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示 必要不充分题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( √ ) (2)函数的极大值一定大于其极小值．( × )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ ) 题组二 教材改编2．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值 答案 C解析 在(4,5)上f ′(x )>0恒成立，∴f (x )是增函数． 3．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________． 答案 (0，＋∞)解析 由f ′(x )＝e x －1>0，解得x >0，故其单调递增区间是(0，＋∞)． 4．当x >0时，ln x ，x ，e x 的大小关系是______． 答案 ln x <x <e x解析 构造函数f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x－1，可得x ＝1为函数f (x )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f (x )≤f (1)＝－1<0，所以ln x <x .同理可得x <e x ，故ln x <x <e x.5．现有一块边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 答案227a 3 解析 容积V ＝(a －2x )2x,0<x <a2，则V ′＝2(a －2x )×(－2x )＋(a －2x )2＝(a －2x )(a －6x )，由V ′＝0得x ＝a 6或x ＝a 2(舍去)，则x ＝a 6为V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时V max ＝227a 3.题组三 易错自纠6．函数f (x )＝x 3＋ax 2－ax 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－3,0]解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax －a ≥0在R 上恒成立，即4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ≤0，即实数a 的取值范围是[－3,0]．7．(2018·铁岭质检)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．答案 －4解析 f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，且f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ≤0的解集为 [－1,4]，∴－1,4是方程f ′(x )＝0的两根， 则a ＝(－1)×4＝－4.8．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，m ＝________.答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.9．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫32，4解析 f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3－2a <0，f ′(2)＝8－2a >0，解得32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.第1课时 导数与函数的单调性题型一 不含参函数的单调性1．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 答案 B解析 由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2(x ≠0)，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 故选B.2．函数f (x )＝x ·e x －e x ＋1的递增区间是( )A ．(－∞，e)B ．(1，e)C ．(e ，＋∞)D ．(e －1，＋∞)答案 D解析 由f (x )＝x ·e x －e x ＋1，得f ′(x )＝(x ＋1－e)·e x ， 令f ′(x )>0，解得x >e －1，所以函数f (x )的递增区间是(e －1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调递减区间是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，1e 解析 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . 4．(2018·赤峰调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是______________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2， 即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 题型二 含参数的函数的单调性例1 已知函数f (x )＝x 2e－ax－1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．解 根据题意可得，当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当a ≠0时，f ′(x )＝2x e －ax＋x 2(－a )e－ax＝e－ax(－ax 2＋2x )．因为e－ax>0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a.①当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上有g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤0，2a 上有g (x )≥0， 即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增．②当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤2a ，0上有g (x )≤0， 即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )单调递减．综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)； 当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，2a ； 当a <0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2a ，0. 思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 跟踪训练1 讨论函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x 的单调性．解 函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )． ①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a <0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． 综上所述，当a ＝0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增．题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小或解不等式例2 (1)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3，若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b ) D ．f (b )<g (a )<0答案 A解析 因为函数f (x )＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时，a ∈(0,1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0. 由g (2)＝ln 2＋1>0，g (b )＝0得b ∈(1,2)， 又f (1)＝e －1>0，所以f (b )>0.综上可知，g (a )<0<f (b )．(2)已知定义域为R 的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0.若a ＝f (e )e ，b ＝f (ln 2)ln 2，c ＝f (3)3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <a <cB ．a <c <bC ．a <b <cD ．c <a <b答案 D解析 设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，又当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )<0，即函数g (x )在区间(－∞，0)内单调递减．因为f (x )为R 上的偶函数，所以g (x )为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，所以函数g (x )在区间(0，＋∞)内单调递减．由0<ln 2<e<3，可得g (3)<g (e)<g (ln 2)，即c <a <b ，故选D.(3)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足xf ′(x )－f (x )<0，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数．若2f (m －2 019)>(m －2 019)f (2)，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,2 019) B ．(2 019，＋∞) C ．(2 021，＋∞) D ．(2 019,2 021)答案 D解析 令h (x )＝f (x )x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2.∵xf ′(x )－f (x )<0，∴h ′(x )<0， ∴函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∵2f (m －2 019)>(m －2 019)f (2)，m －2 019>0， ∴f (m －2 019)m －2 019>f (2)2， 即h (m －2 019)>h (2)． ∴m －2 019<2且m －2 019>0， 解得2 019<m <2 021.∴实数m 的取值范围为(2 019,2 021)．(4)设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是__________________． 答案 (－∞，－2)∪(0,2)解析 ∵当x >0时，⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝x ·f ′(x )－f (x )x 2<0，∴φ(x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x <2时，φ(x )>0， 此时x 2f (x )>0. 又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数．故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)． 命题点2 根据函数单调性求参数例3 (2018·辽阳质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解．设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可． 而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 所以G (x )min ＝－1. 所以a >－1.又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]， 所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 引申探究1．本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围． 解 因为h (x )在[1,4]上单调递增， 所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立， 所以当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x 恒成立，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．本例(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围． 解 h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )<0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a >－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集． (2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．跟踪训练2 (1)已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，都有f ′(x )sin x <f (x )cos x ，则( ) A.3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1) C.2f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π4 D.3f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π3答案 A解析 令g (x )＝f (x )sin x，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x，由已知g ′(x )<0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， ∴g ⎝⎛⎭⎫π4>g ⎝⎛⎭⎫π3， 即f ⎝⎛⎭⎫π422>f ⎝⎛⎭⎫π332，∴3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3. (2)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(0,3] 答案 A解析 ∵f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x，∴由f ′(x )≤0，解得0<x ≤3，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.(3)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 函数f ′(x )＝ax＋2x ＋a －6.①若函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上单调递增，则f ′(x )＝ax ＋2x ＋a －6≥0在(0,3)上恒成立，即a ≥6x －2x 2x ＋1＝－2⎣⎡⎦⎤(x ＋1)＋4x ＋1－5在(0,3)上恒成立，令函数g (t )＝t ＋4t ，t ∈(1,4)，则g (t )∈[4,5)，∴a ≥2；②若函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上单调递减，则f ′(x )＝ax ＋2x ＋a －6≤0在(0,3)上恒成立，即a ≤6x －2x 2x ＋1＝－2⎣⎡⎦⎤(x ＋1)＋4x ＋1－5在(0,3)上恒成立，函数g (t )＝t ＋4t ，t ∈(1,4)，则g (t )∈[4,5)，∴a ≤0，∴当函数f (x )在(0,3)上不是单调函数时，实数a 的取值范围是(0,2)．用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能： ①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．例 已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性． 解 g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x＝(2ax －1)(x －1)x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x.由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1. 当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12， 由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ，由g ′(x )<0，得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12， 由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a ，若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2．(2018·锦州调研)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )答案 C解析 由题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数， 因为a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，故选C.3．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 利用导数与函数的单调性进行验证．f ′(x )>0的解集对应y ＝f (x )的增区间，f ′(x )<0的解集对应y ＝f (x )的减区间，验证只有D 选项符合．4．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 答案 A解析 因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A. 5．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．6．(2018·呼和浩特质检)若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．a >1 C ．a ≤1 D ．0<a <1答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－2ax －1，由已知得3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立， 即a ≥32x －12x 在(0,1)内恒成立，令g (x )＝32x －12x ，又当x ∈(0,1)时，g (x )＝32x －12x 的值域为(－∞，1)，∴a ≥1.7．(2018·满洲里质检)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <c <a答案 C解析 由题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，1)上为增函数． 又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12， 即有f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即c <a <b .8．(2018·营口调研)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________． 答案 {x |x <－1或x >1} 解析 设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减． ∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即不等式的解集为{x |x <－1或x >1}．9．已知函数f (x )＝x ln x －ax 2在(0，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则ln x －2ax ＋1≤0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥ln x ＋12x 在(0，＋∞)上恒成立．令g (x )＝ln x ＋12x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝－ln x2x 2，令g ′(x )>0，解得0<x <1，令g ′(x )<0，解得x >1，故g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故g (x )max ＝g (1)＝12，故a ≥12.10．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0， 所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x ，则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0.则当x >0时，g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数． 所以在(0，＋∞)上，当0<x <1时，由g (x )>g (1)＝0，得f (x )x >0，所以f (x )>0；在(－∞，0)上，当x <－1时，由g (x )<g (－1)＝0，得f (x )x<0，所以f (x )>0.综上知，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．11．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求实数k 的值； (2)求函数f (x )的单调区间． 解 (1)f ′(x )＝1x－ln x －k e x(x >0)．又由题意知f ′(1)＝1－ke ＝0，所以k ＝1.(2)f ′(x )＝1x－ln x －1e x (x >0)．设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，所以f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，所以f ′(x )<0. 综上，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．12．已知函数f (x )＝be x －1(b ∈R ，e 为自然对数的底数)在点(0，f (0))处的切线经过点(2，－2)．讨论函数F (x )＝f (x )＋ax (a ∈R )的单调性．解 因为f (0)＝b －1，所以过点(0，b －1)，(2，－2)的直线的斜率为k ＝b －1－(－2)0－2＝－b ＋12，而f ′(x )＝－be x ，由导数的几何意义可知，f ′(0)＝－b ＝－b ＋12，所以b ＝1，所以f (x )＝1e x －1.则F (x )＝ax ＋1e x －1，F ′(x )＝a －1e x ，当a ≤0时，F ′(x )<0恒成立； 当a >0时，由F ′(x )<0，得x <－ln a ， 由F ′(x )>0，得x >－ln a .故当a ≤0时，函数F (x )在R 上单调递减； 当a >0时，函数F (x )在(－∞，－ln a )上单调递减， 在(－ln a ，＋∞)上单调递增．13．定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( ) A ．8<f (2)f (1)<16B ．4<f (2)f (1)<8C ．3<f (2)f (1)<4D ．2<f (2)f (1)<3答案 B解析 ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0，令g (x )＝f (x )x2，∴g (x )＝f (x )x 2在(0，＋∞)上单调递增，∴f (2)22>f (1)12，又由2f (x )<3f (x )，得f (x )>0，即f (2)f (1)>4.∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0，令h (x )＝f (x )x3，∴h (x )＝f (x )x 3在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2)23<f (1)13，即f (2)f (1)<8. 综上，4<f (2)f (1)<8.14．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a . 由题意知，f ′(x )>0在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上有解， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.15．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g (x )＝2x 3－6x 2＋4，则g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫199100＝________. 答案 0解析 g ′(x )＝6x 2－12x ，∴g ″(x )＝12x －12， 由g ″(x )＝0，得x ＝1，又g (1)＝0， ∴函数g (x )的对称中心为(1,0)， 故g (x )＋g (2－x )＝0，∴g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫199100＝g (1)＝0. 16．已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x (a >0)，讨论函数f (x )的单调性．解 f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝(ax －1)(x －1)x (x >0)，①当0<a <1时，1a>1，由f ′(x )>0，解得x >1a 或0<x <1，由f ′(x )<0，解得1<x <1a.②当a ＝1时，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立． ③当a >1时，0<1a<1，由f ′(x )>0，解得x >1或0<x <1a ，由f ′(x )<0，解得1a<x <1.综上，当0<a <1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞和(0,1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； 当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >1时，f (x )在(1，＋∞)和⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减．。

导数的概念与运算复习要点1.了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y＝x 的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax ＋b ))的导数．一导数的概念1．平均变化率：对于函数y ＝f (x )，我们把比值Δy Δx＝f x 0＋Δx－fx 0Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率limΔx →0f x 0＋Δx－f x 0Δx＝limΔx →0ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝limΔx →0ΔyΔx＝lim Δx →0f x 0＋Δx－fx 0Δx.3．几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是：在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1，x >0)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x (x >0)f ′(x )＝1x三导数的运算法则若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f xg x′＝f′x g x－f x g′x[g x]2(g(x)≠0)．四复合函数的导数设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u 对x的导数的乘积．常/用/结/论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．x (x)′＝12x3.1f x′＝－f′x[f x]2(f(x)≠0)．4．[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．1．判断下列结论是否正确．(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.()(4)若f(x)＝sin(－x)，则f′(x)＝cos(－x)．()2．(2024·辽宁营口模拟)下列函数的求导正确的是()A．(x－2)′＝－2xB．(x cos x)′＝cos x－x sin xC．(ln10)′＝110D．(e2x)′＝2e x解析：∵(x－2)′＝－2x－3，∴A错误；∵(x cos x)′＝cos x－x sin x，∴B正确；∵(ln10)′＝0，∴C错误；∵(e2x)′＝2e2x，∴D错误．故选B.答案：B3．设正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝π2处的瞬时变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为()A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．不确定解析：∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .∴k 1＝cos 0＝1，k 2＝cos π2＝0，∴k 1＞k 2.答案：A4．(1)已知函数y ＝f (x )，若f ′(x 0)＝－3，则li mh →0f x 0＋h－f x 0h ＝________.(2)曲线y ＝x 22－3ln x 的斜率为－2的切线方程为________．解析：(1)依题意，li mh →0f x 0＋h－f x 0h＝f ′(x 0)＝－3.(2)∵y ＝x 22－3ln x ，x ＞0，∴y ′＝x －3x ，由y ′＝x －3x ＝－2，可得x ＝1或x ＝－3(舍去)，当x ＝1时，y ＝12y ＝x 22－3ln x 的斜率为－2的切线方程为y －12＝－2(x －1)，即4x＋2y －5＝0.答案：(1)－3(2)4x ＋2y －5＝题型对导数概念的理解典例1(1)函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为________，在x ＝2处的导数为________．(2)设f (x )＝x 2－x ，则li mΔx →0f 2－Δx－f 2Δx＝________.解析：(1)函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为22－122－1＝3；因为f ′(x )＝2x ，所以f (x )在强调概念，平均变化率＝f2－f 12－1.x ＝2处的导数为2×2＝4.故答案为3 4.(2)∵f (x )＝x 2－x ，∴f ′(x )＝2x －1.limΔx →0f 2－Δx －f 2Δx＝－limΔx →0f 2－Δx －f 2－Δx＝－f ′(2)＝－(2×2－1)＝－3.故答案为－3.导数定义的探究(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断当Δx→0时该函数的平均变化率ΔyΔx的极限是否存在．这样讲很笼统，应这样说，基本初等函数在定义域内每个点处都可导.(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数值的变化量Δy，再算比值ΔyΔx＝f x＋Δx－f xΔx，再这里有两个量，Δx和x，在求极限过程中，x暂时理解为常量，此时Δx为变量，在极限结果中，Δx消失，此时x可以看作变量了．求极限y′＝li mΔx→0Δy Δx .(3)导数定义中，x在x0处的变化量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做题时要将分子分母中变化量统一为一种．(4)导数定义li mΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx＝f′(x0)，也即li mx→x0f x－f x0x－x0＝f′(x0)．对点练1(2024·河北张家口模拟)若f(x)＝ln(2－x)＋x3，则limΔx→0f1＋Δx－f12Δx＝()A．1B．2C．4D．8解析：由题意f′(x)＝1x－2＋3x2，所以f′(1)＝11－2＋3＝2，所以limΔx→0f1＋Δx－f12Δx＝1 2limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝12f′(1)＝1.故选A.答案：A题型基本的导数运算典例2求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)f(x)＝1＋x1－x＋1－x1＋x；(3)f(x)＝e－0.05x＋1；(4)f(x)＝11－2x2；(5)f (x )＝(sin 2x ＋1)2.解：(1)方法一：∵y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ，∴y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4.化为多项式再求导．方法二：y ′＝(3x 3－4x )′·(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·应用导数的运算法则求导．2＝24x 3＋9x 2－16x －4.(2)∵f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x先运算，化为不带根式，再求导，运算简单些．＝1＋x 21－x＋1－x 21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴f ′(x )＝－41－x ′1－x2＝41－x2.(3)令u (x )＝－0.05x ＋1，φ(u )＝e u ，则f (x )＝复合函数求导，先把复合过程弄清楚．φ(u (x ))，而u ′(x )＝－0.05，φ′(u )＝e u ，故f ′(x )＝e －0.05x ＋1×(－0.05)＝－0.05e －0.05x ＋1.(4)设y ＝u－12，u ＝1－2x 2，这里(u)′＝12u.则f ′(x )＝(u －12)′(1－2x 2)′－12u －32－4x )＝－12(1－2x 2)－32(－4x )＝2x (1－2x 2)－32.(5)令u (x )＝sin 2x ＋1，φ(u )＝u 2，则f (x )＝φ(u (x ))，而u ′(x )＝2cos 2x ，φ′(u )＝2u ，故f ′(x )＝2cos 2x ×2u ＝4cos 2x (sin 2x ＋1)，化简得到f ′(x )＝2sin 4x ＋4cos 2x .导数的计算方法(1)连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(4)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(5)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．对点练2求下列函数的导数：(1)y ＝3x e x －2x ＋e ；(2)y ＝x 2sin x ；(3)y ＝sin x (4)y ＝x ln x ；(5)y ＝x x x 解：(1)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(2)y ′＝x 2′sin x －x 2sin x′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x.(3)y ＝sin x ＝12－12cos x ＋23π故设y ＝12－12cos u ，u ＝4x ＋23π，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12sin u ·4＝2sin u ＝x ＋23π(4)y ′x ＋x ·1x ＝2＋ln x2x＝2＋ln xx2x.(5)∵y ＝x x x ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x .∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x .题型导数几何意义的多维研讨维度1求曲线的切线方程典例3已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)求曲线y ＝f (x )经过原点的切线方程及切点坐标．解：(1)f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，先求导函数，代入求切线斜率，切线方程为y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)．∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13，∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)，即y ＝13x －32.(2)方法一：设切点坐标为(x 0，y 0)，切线为l ，则切线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴切线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵切线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，∴x 0＝－2，代入原点(0,0)得到关于x 0的方程，求解x 0的值.总之，过点作切线，先设切点(x 0，f(x 0))，得到切线方程，通过代入已知点，构造方程．∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，f ′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13.故切线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．方法二：设切线为l ，则l 的方程为y ＝kx ，切点坐标为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0.又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2，此构造方程的思路和方法一效果雷同．∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13，∴切线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．求曲线的切线方程的两种类型(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程．在点P 处的切线，一定是以点P 为切点；过点P 的切线，不确定点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．(2)求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤：第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)·(x －x 1)，可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．对点练3(1)(2024·山西大同模拟)已知函数f (x )＝2e 2ln x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为()A ．4e x －y ＋e 2＝0B ．4e x －y －e 2＝0C ．4e x ＋y ＋e 2＝0D ．4e x ＋y －e 2＝0(2)(2022·新高考全国Ⅱ卷)曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为________，________.解析：(1)因为f (x )＝2e 2ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝2e 2x ＋2x ，f (e)＝2e 2ln e ＋e 2＝3e 2，所以f ′(e)＝4e ，所以曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y －3e 2＝4e(x －e)，即4e x －y －e 2＝0.(2)当x >0时，y ＝ln x ，设切点为(x 0，y 0)，x 0>0，则由y ′＝1x ，得切线斜率k ＝1x 0，又切线的斜率为y 0x 0，所以1x 0＝y 0x 0，解得y 0＝1，代入y ＝ln x ，得x 0＝e.所以k ＝1e ，所以切线方程为y＝1e x ，同理可求得当x <0时的切线方程为y ＝－1e x .综上，两条切线方程分别为y ＝1e x ，y ＝－1ex .答案：(1)B (2)y ＝1exy ＝－1ex维度2求切点坐标及参数值典例4(1)过坐标原点作曲线y ＝ln x 的切线，则切点的纵坐标为()A ．eB ．1C.1eD.1e(2)(2024·江西九江模拟)已知函数f (x )＝x 3＋3x 2＋4.若过点(1，t )可作函数f (x )的图象的2条不同的切线，则实数t 的值为()A ．0B ．0或2C ．2D ．0或8从选项可以判断取值可能不止1个，解答时注意不要遗漏某种情况，同时要对求出的各个解进行检验．解析：(1)设切点为P (x 0，ln x 0)(x 0＞0)，切线为l ，由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0所以曲线在点P 处的切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，写出在切点处的切线方程是解题关键，熟悉思路，形成固定思维模式．又l 过点(0,0)，所以－ln x 0＝1x 0(－x 0)，解得x 0＝e ，所以切点为P (e,1)，纵坐标为1.故选B.(2)设所求切线的切点坐标为P (x 0，x 30＋3x 20＋4)，则切线斜率k ＝3x 20＋6x 0，故切线方程为y－x30－3x20－4＝(3x20＋6x0)(x－x0)，k＝f′(x0)因为切线过点(1，t)，所以t－x30－3x20－4＝(3x20＋6x0)(1－x0)，即2x30－6x0＋t－4＝0.令g(x)＝2x3－6x＋t－4，则关于x的方程2x3－6x＋t－4＝0有2个实根，即曲线y＝g(x)与x轴有2个交点，【破题有招】方程中虽然含有参数，但形式简单，可以看作含参数的三次函数问题，此时不需要分离参数也能通过数形结合快速求解．求导得g′(x)＝6x2－6，令g′(x)>0，得x<－1或x>1；令g′(x)<0，得－1<x<1，列表如下.x (－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值t 极小值t－8要满足题意，则需t＝0或t＝8，故选D.【规避易错】g(x)的图象与x轴有2个交点，有2种可能：①极大值恰好为0；②极小值恰好为0.注意考虑全面．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．对点练4(1)已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P 的坐标为()A．(1,3)B．(－1,3)C．(1,3)或(－1,3)D．(1，－3)(2)(2022·新高考全国Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．解析：(1)设切点坐标为P(x0，y0)，∵f′(x)＝3x2－1，直线x＋2y－1＝0的斜率为－1 2，∴f′(x0)＝3x20－1＝2，∴x20＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴y0＝x30－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为(1,3)或(－1，3)．(2)设切线的切点坐标为(x0，y0)．令f(x)＝(x＋a)e x，则f′(x)＝(x＋1＋a)·e x，所以f′(x0)＝(x0＋1＋a)e x0.因为y0＝(x0＋a)ex0，切线过原点，所以f′(x0)＝y0x0，即(x0＋1＋a)ex0＝x0＋a ex0x0.整理，得x20＋ax0－a＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0.答案：(1)C(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)维度3导数几何意义的综合应用典例5(1)(2021·新高考全国Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y＝e x的两条切线，则此题为当年压轴题，数形结合可迅速判断.由于y＝e x的凹凸性，只有在y＝e x和x轴之间的点(a，b)才符合题意．()A．e b＜a B．e a＜bC．0＜a＜e b D．0＜b＜e a(2)(2024·江西南昌模拟)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x ＋1相切，则a＝()A．4B．8C．2D．1解析：(1)设切点为(x0，y0)，y0＞0，y′＝e x，则切线方程为y－b＝e x0(x－a)，由0－b＝e x0x0－a，0＝e x0得ex0(1－x0＋a)＝b，则由题意知关于x0的方程ex0(1－x0＋a)＝b有两个不同的解．设f(x)＝e x(1－x＋a)，则f′(x)＝e x(1－x＋a)－e x＝－e x(x－a)由f′(x)＝0得x＝a，所以当本例的解法，转化为y＝b和y＝e x(1－x＋a)有两个不同交点，而研究后面函数单调性和极值是关键．x＜a时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝e a(1－a＋a)＝e a，当x＜a时，a－x＞0，所以f(x)＞0，当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，函数f(x)＝e x(1－x＋a)的大致图象如图所示，因为f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，所以0＜b＜e a.故选D.(2)y＝x＋ln x的导数为y′＝1＋1x，曲线y＝x＋ln x在x＝1处的切线斜率k＝2，则曲线y ＝x＋ln x在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由于切线与曲线y＝ax2＋(a ＋2)x＋1相切，【仔细分析】很简单，即直线y＝2x－1与二次函数相切.此题并非传统的公切线问题．＝ax2＋a＋2x＋1，＝2x－1，得ax2＋ax＋2＝0，又a≠0，两曲线相切有一切点，所以Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.故选B.解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解．(2)设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f x 1－gx 2x 1－x 2.对点练5二次函数f (x )＝x 2－2x ＋2与g (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ＞0，b ＞0)在它们的一个交点处的切线互相垂直，则1a ＋4b的最小值为()A.53 B.74C.116 D.185解析：设该交点为(x 1，y 1)，因为f ′(x )＝2x －2，所以f ′(x 1)＝2x 1－2，因为g ′(x )＝－2x ＋a ，所以g ′(x 1)＝－2x 1＋a ，因为两函数在交点处的切线互相垂直，所以(2x 1－2)·(－2x 1＋a )＝－1，又y 1＝x 21－2x 1＋2＝－x 21＋ax 1＋b ，分别化简得－2x 21＋2x 1＋ax 1＝a －12，2x 21－2x 1－ax 1＝b －2，两式左右两边相加并整理得a ＋b ＝52，因此1a ＋4b ＝251a ＋4b (a ＋b )＝255＋b a ＋4a b ≥25×5＋2b a ·4a b ＝185，当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝106，a ＝56时取等号，即所求最小值为185.故选D.答案：D。

§3.2导数的应用1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 概念方法微思考1．“f (x )在区间(a ，b )上是增函数，则f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立”，这种说法是否正确？ 提示 不正确，正确的说法是：可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．2．对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示 必要不充分题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( √ ) (2)函数的极大值一定大于其极小值．( × )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ ) 题组二 教材改编2．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值 答案 C解析 在(4,5)上f ′(x )>0恒成立，∴f (x )是增函数． 3．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________． 答案 (0，＋∞)解析 由f ′(x )＝e x －1>0，解得x >0，故其单调递增区间是(0，＋∞)． 4．当x >0时，ln x ，x ，e x 的大小关系是______． 答案 ln x <x <e x解析 构造函数f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x－1，可得x ＝1为函数f (x )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f (x )≤f (1)＝－1<0，所以ln x <x .同理可得x <e x ，故ln x <x <e x .5．现有一块边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 答案227a 3 解析 容积V ＝(a －2x )2x,0<x <a2，则V ′＝2(a －2x )×(－2x )＋(a －2x )2＝(a －2x )(a －6x )，由V ′＝0得x ＝a 6或x ＝a 2(舍去)，则x ＝a 6为V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时V max ＝227a 3.题组三 易错自纠6．函数f (x )＝x 3＋ax 2－ax 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－3,0]解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax －a ≥0在R 上恒成立，即4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ≤0，即实数a 的取值范围是[－3,0]．7．(2018·铁岭质检)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．答案 －4解析 f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，且f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ≤0的解集为 [－1,4]，∴－1,4是方程f ′(x )＝0的两根， 则a ＝(－1)×4＝－4.8．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，m ＝________.答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.9．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫32，4解析 f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3－2a <0，f ′(2)＝8－2a >0，解得32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.第1课时 导数与函数的单调性题型一 不含参函数的单调性1．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 答案 B解析 由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2(x ≠0)，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 故选B.2．函数f (x )＝x ·e x －e x ＋1的递增区间是( )A ．(－∞，e)B ．(1，e)C ．(e ，＋∞)D ．(e －1，＋∞)答案 D解析 由f (x )＝x ·e x －e x ＋1，得f ′(x )＝(x ＋1－e)·e x ， 令f ′(x )>0，解得x >e －1，所以函数f (x )的递增区间是(e －1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调递减区间是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，1e 解析 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . 4．(2018·赤峰调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是______________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2， 即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 题型二 含参数的函数的单调性例1 已知函数f (x )＝x 2e－ax－1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．解 根据题意可得，当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当a ≠0时，f ′(x )＝2x e －ax＋x 2(－a )e－ax＝e－ax(－ax 2＋2x )．因为e－ax>0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a.①当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上有g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤0，2a 上有g (x )≥0， 即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增．②当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤2a ，0上有g (x )≤0， 即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )单调递减．综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)； 当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，2a ； 当a <0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2a ，0. 思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 跟踪训练1 讨论函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x 的单调性．解 函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )． ①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a <0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． 综上所述，当a ＝0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增．题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小或解不等式例2 (1)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3，若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b ) D ．f (b )<g (a )<0答案 A解析 因为函数f (x )＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时，a ∈(0,1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0. 由g (2)＝ln 2＋1>0，g (b )＝0得b ∈(1,2)， 又f (1)＝e －1>0，所以f (b )>0.综上可知，g (a )<0<f (b )．(2)已知定义域为R 的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0.若a ＝f (e )e ，b ＝f (ln 2)ln 2，c ＝f (3)3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <a <cB ．a <c <bC ．a <b <cD ．c <a <b答案 D解析 设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，又当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )<0，即函数g (x )在区间(－∞，0)内单调递减．因为f (x )为R 上的偶函数，所以g (x )为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，所以函数g (x )在区间(0，＋∞)内单调递减．由0<ln 2<e<3，可得g (3)<g (e)<g (ln 2)，即c <a <b ，故选D.(3)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足xf ′(x )－f (x )<0，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数．若2f (m －2 019)>(m －2 019)f (2)，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,2 019) B ．(2 019，＋∞) C ．(2 021，＋∞) D ．(2 019,2 021) 答案 D解析 令h (x )＝f (x )x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2.∵xf ′(x )－f (x )<0，∴h ′(x )<0， ∴函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∵2f (m －2 019)>(m －2 019)f (2)，m －2 019>0， ∴f (m －2 019)m －2 019>f (2)2，即h (m －2 019)>h (2)． ∴m －2 019<2且m －2 019>0， 解得2 019<m <2 021.∴实数m 的取值范围为(2 019,2 021)．(4)设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是__________________． 答案 (－∞，－2)∪(0,2)解析 ∵当x >0时，⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝x ·f ′(x )－f (x )x 2<0，∴φ(x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x <2时，φ(x )>0， 此时x 2f (x )>0. 又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数．故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)． 命题点2 根据函数单调性求参数例3 (2018·辽阳质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解．设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可． 而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 所以G (x )min ＝－1. 所以a >－1.又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]， 所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 引申探究1．本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围． 解 因为h (x )在[1,4]上单调递增， 所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立， 所以当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x 恒成立，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．本例(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围． 解 h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )<0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a >－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集． (2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．跟踪训练2 (1)已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，都有f ′(x )sin x <f (x )cos x ，则( ) A.3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1) C.2f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π4 D.3f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π3答案 A解析 令g (x )＝f (x )sin x，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x，由已知g ′(x )<0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， ∴g ⎝⎛⎭⎫π4>g ⎝⎛⎭⎫π3， 即f ⎝⎛⎭⎫π422>f ⎝⎛⎭⎫π332，∴3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3. (2)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(0,3] 答案 A解析 ∵f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x，∴由f ′(x )≤0，解得0<x ≤3，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.(3)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 函数f ′(x )＝ax＋2x ＋a －6.①若函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上单调递增，则f ′(x )＝ax ＋2x ＋a －6≥0在(0,3)上恒成立，即a ≥6x －2x 2x ＋1＝－2⎣⎡⎦⎤(x ＋1)＋4x ＋1－5在(0,3)上恒成立，令函数g (t )＝t ＋4t ，t ∈(1,4)，则g (t )∈[4,5)，∴a ≥2；②若函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上单调递减，则f ′(x )＝ax ＋2x ＋a －6≤0在(0,3)上恒成立，即a ≤6x －2x 2x ＋1＝－2⎣⎡⎦⎤(x ＋1)＋4x ＋1－5在(0,3)上恒成立，函数g (t )＝t ＋4t ，t ∈(1,4)，则g (t )∈[4,5)，∴a ≤0，∴当函数f (x )在(0,3)上不是单调函数时，实数a 的取值范围是(0,2)．用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能： ①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．例 已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．解 g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x＝(2ax －1)(x －1)x . ∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1.当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a， 若12a <1，即a >12， 由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a， 由g ′(x )<0，得12a<x <1； 若12a >1，即0<a <12， 由g ′(x )>0，得x >12a或0<x <1， 由g ′(x )<0，得1<x <12a， 若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)答案 A 解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x(x >0)， ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2．(2018·锦州调研)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )答案 C解析 由题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，因为a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，故选C.3．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 利用导数与函数的单调性进行验证．f ′(x )>0的解集对应y ＝f (x )的增区间，f ′(x )<0的解集对应y ＝f (x )的减区间，验证只有D 选项符合．4．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 答案 A 解析 因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A. 5．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立， 故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．6．(2018·呼和浩特质检)若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a >1C ．a ≤1D ．0<a <1 答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－2ax －1，由已知得3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立，即a ≥32x －12x 在(0,1)内恒成立，令g (x )＝32x －12x， 又当x ∈(0,1)时，g (x )＝32x －12x的值域为(－∞，1)， ∴a ≥1.7．(2018·满洲里质检)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a答案 C解析 由题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，1)上为增函数．又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1， 因此有f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即c <a <b .8．(2018·营口调研)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________．答案 {x |x <－1或x >1}解析 设F (x )＝f (x )－12x ， ∴F ′(x )＝f ′(x )－12， ∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0， 即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12， ∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即不等式的解集为{x |x <－1或x >1}．9．已知函数f (x )＝x ln x －ax 2在(0，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则ln x －2ax ＋1≤0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥ln x ＋12x 在(0，＋∞)上恒成立．令g (x )＝ln x ＋12x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝－ln x 2x 2，令g ′(x )>0，解得0<x <1，令g ′(x )<0，解得x >1，故g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故g (x )max ＝g (1)＝12，故a ≥12. 10．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是____________．答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x， 则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0.则当x >0时，g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0， 故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0<x <1时，由g (x )>g (1)＝0，得f (x )x >0，所以f (x )>0；在(－∞，0)上，当x <－1时，由g (x )<g (－1)＝0，得f (x )x<0，所以f (x )>0.综上知，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．11．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求实数k 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)f ′(x )＝1x －ln x －k e x(x >0)． 又由题意知f ′(1)＝1－k e＝0，所以k ＝1. (2)f ′(x )＝1x －ln x －1e x(x >0)． 设h (x )＝1x－ln x －1(x >0)， 则h ′(x )＝－1x 2－1x<0， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，所以f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，所以f ′(x )<0.综上，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．12．已知函数f (x )＝b e x －1(b ∈R ，e 为自然对数的底数)在点(0，f (0))处的切线经过点(2，－2)．讨论函数F (x )＝f (x )＋ax (a ∈R )的单调性．解 因为f (0)＝b －1，所以过点(0，b －1)，(2，－2)的直线的斜率为k ＝b －1－(－2)0－2＝－b ＋12，而f ′(x )＝－b e x ，由导数的几何意义可知，f ′(0)＝－b ＝－b ＋12， 所以b ＝1，所以f (x )＝1e x －1. 则F (x )＝ax ＋1e x －1，F ′(x )＝a －1e x ， 当a ≤0时，F ′(x )<0恒成立；当a >0时，由F ′(x )<0，得x <－ln a ，由F ′(x )>0，得x >－ln a .故当a ≤0时，函数F (x )在R 上单调递减；当a >0时，函数F (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．13．定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f (2)f (1)<16 B ．4<f (2)f (1)<8 C ．3<f (2)f (1)<4 D ．2<f (2)f (1)<3 答案 B解析 ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0， 令g (x )＝f (x )x 2， ∴g (x )＝f (x )x 2在(0，＋∞)上单调递增，∴f (2)22>f (1)12， 又由2f (x )<3f (x )，得f (x )>0，即f (2)f (1)>4. ∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0， 令h (x )＝f (x )x 3， ∴h (x )＝f (x )x 3在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (2)23<f (1)13，即f (2)f (1)<8. 综上，4<f (2)f (1)<8. 14．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a . 由题意知，f ′(x )>0在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上有解，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.15．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g (x )＝2x 3－6x 2＋4，则g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫199100＝________. 答案 0解析 g ′(x )＝6x 2－12x ，∴g ″(x )＝12x －12，由g ″(x )＝0，得x ＝1，又g (1)＝0，∴函数g (x )的对称中心为(1,0)，故g (x )＋g (2－x )＝0，∴g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫199100＝g (1)＝0. 16．已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x (a >0)，讨论函数f (x )的单调性． 解 f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝(ax －1)(x －1)x(x >0)， ①当0<a <1时，1a>1， 由f ′(x )>0，解得x >1a或0<x <1， 由f ′(x )<0，解得1<x <1a. ②当a ＝1时，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立．③当a >1时，0<1a<1， 由f ′(x )>0，解得x >1或0<x <1a， 由f ′(x )<0，解得1a<x <1. 综上，当0<a <1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞和(0,1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； 当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >1时，f (x )在(1，＋∞)和⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减．。