定积分第一节定积分的概念及性质

定积分定积分与不定积分是两个不同的概念，前者是数，后者是函数族，但两者之间有着密切的联系．§1 定积分的概念与性质【目的要求】1、了解定积分的定义；2、了解定积分的性质、定积分存在的必要条件和充分条件；3、会熟练应用第一中值定理和估值定理．【重点难点】定积分的概念与定积分的性质．【教学内容】一、定积分概念引例1. 曲边梯形的面积在初等数学中，已经解决了圆、三角形、矩形、梯形等平面图形的面积问题，而对由任意曲线所围成的一般平面图形的面积计算问题尚未解决，其原因是用初等数学方法解决这类问题相当困难. 下面将介绍一种求曲边梯形的面积的方法，有了这种方法就可以解决一般封闭图形的面积问题.例1所谓曲边梯形，是指由连续曲线()(()0)y f x f x=≥，x轴以及直线==所围成的图形（如图6-1所示）. 现计算它的面积A.,x a x b图6-1分析从图中可以看出，当()a b上为常数时，图形变成矩形，其y f x=在[,]面积为：面积=底⨯高.而对于一般的曲面梯形，其高度是变化的，因而不能直接按矩形面积公式来求，然后，由于()y f x =在区间[,]a b 上的变化是连续，在很小的一段区间上它的变化量非常小. 因此，通过分割曲边梯形的底边[,]a b ，将整个曲边梯形分成若干个小曲边梯形，而每个小曲边梯形的底边长度非常小，并且其面积近似于一个小矩形的面积. 然后，将这些小矩形的面积相加，就是整个曲边梯形面积的近似值. 当然，随着分割的份数增多，近似程度越来越高.当无限分割[,]a b ，令每个小曲边梯形的底边长度趋于0，那么整个近似值的极限就是我们要求的曲边梯形的面积.先将详细过程叙述如下：(1) 分割：把区间[,]a b 任意分成n 份，设分点为012···n a x x x x b =<<<<=，于是每个小曲边梯形的长度为1i i i x x x -∆=-.过每个分点做x 轴的垂线，则可把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，再设每个小曲边梯形面积为i A .(2) 取近似：对于第i 个小曲边梯形，在其底边1[,]i i x x -上任取一点i ξ，并以()i f ξ为高作矩形，并用该矩形的面积近似替代每个小曲边梯形的面积，即()i i i A f x ξ≈⋅∆，其中1,2,,i n =.(3) 求和：将所有小矩形的面积求和，即得到原曲边梯形的近似面积1()ni i i A f x ξ==⋅∆∑.(4) 取极限：无限分割区间[,]a b ，使所有小区间的长度趋于0. 为此，记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆⋅⋅⋅∆.当λ趋向于0时，1()ni i i A f x ξ==⋅∆∑的极限就是曲边梯形的面积A ，即1lim ()ni i x i A f x ξ→==⋅∆∑.2. 成本问题例 2 某公司对其产品的变化情况满足如下关系式：()5003xf x =-.其中x 表示该产品的数量；()f x 表示当产品数量为x 时，在增加一个单位产品所增加的成本（即边际函数）. 试求当产品从300件增加到900件时该公司所增加的成本C .分析 如同本教材前面章节对边际函数所描述的那样，在经济和商务中遇到的函数自变量往往取正整数，其函数值也是离散型的. 为数学处理方便，下面将其连续化，转化成具有连续倒数的函数来处理. 这是许多结果只能看成近似的，但不影响对实际问题的分析.(1) 分割： 该公司产品产量从300件增加到900件，将其连续化，把区间[300,900]任意分成n 份，设分点为012300900n x x x x =<<<<=.(2) 取近似：考虑产量从1i x -增加到i x 时所增加的成本，1()i f x -作为边际成本在1i x -的值表示当产量为1i x -时增加单位产量所增加的成本. 当产品数量增加i x ∆单位时，所增加的成本为1()i i f x x -⋅∆.(3) 求和：当产量从300增加到900时，所增加的总成本为11()ni i i f x x -=⋅∆∑.(4) 取极限：为了更精确估计，同样可设12max{,,,}n x x x λ=∆∆∆，当λ趋向于0时，所增加的总成本为101lim ()ni i i C f x x λ-→==∆⋅∆∑.二、定积分定义抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，我们就可以抽象出下述定积分的定义.定义 1.1 设函数()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点012···n a x x x x b =<<<<=，把区间[,]a b 分成n 个小区间01121[,],[,],,[,]n n x x x x x x -⋅⋅⋅，各个小区间的长度依次为1102211,,,n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-⋅⋅⋅∆=-.在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ1()i i i x x ε-≤≤，作函数值()i f ε与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆(1,2,,)i n =⋅⋅⋅，并作和1()ni i i S f x ξ==∆∑.记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆⋅⋅⋅∆，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称函数()f x 在区间[,]a b 上可积，并称这个极限I 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作()d ba f x x ⎰，即()d baf x x ⎰=I =01lim ()ni i i f x λξ→=⋅∆∑，其中()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间.根据积分定义，例1中的曲边梯形的面积A 是函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，即()d ba A f x x =⎰；例2中当产量从300件增加到900件时，所增加的成本为900300()d C f x x =⎰.关于定积分，作以下几点说明：(1) 函数()f x 在区间[,]a b 上可积是指积分()d ba f x x ⎰存在，即无论区间如何分割以及i ξ如何选取，01lim ()ni i i f x λξ→=⋅∆∑始终存在.(2) 定积分表示一个数值，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用何字母表示无关，即有()d ()d ()d ()d bb b baaaaf x x f y y f t t f u u ===⎰⎰⎰⎰.(3) 在定义中，记号()d b af x x ⎰只有当a b <时才有意义，而当a b =或a b >是没有意义的.但为以后计算及应用方便起见，规定：()d 0aaf x x =⎰， ()d ()d ()b aabf x x f x x a b =->⎰⎰.(4) 几何意义：定积分()d b af x x ⎰的几何意义为由曲线()y f x =，x 轴及直线x a =，x b =所围成的封闭图形在x 轴上方与下方面积的代数和，其中x 轴上方面积为正，下方面积为负.对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在区间[,]a b 上满足怎样的条件，()f x 在[,]a b 上一定可积？这个问题我们不作深入讨论，而只给出以下两个充分条件.定理 1.1 设函数()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积.定理 1.2 设函数()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积.最后，举一个按定义计算定积分的例子. 例 3 利用定义计算定积分120d x x ⎰.解 因为被积函数2()f x x =在区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所 以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关. 因此，为了便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i ix n=，1,2,1i n =-；这样，每个小区间1[,]i i x x -的长度1i x n∆=，1,2,i n =；取i i x ξ=，1,2,i n =.于是，得和式22111()n nniiii i i i i i f x x x x ξξ===⋅∆=∆=∆∑∑∑=2231111nn i i i i n n n ==⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭∑∑=311(1)(21)6n n n n ⋅++① =111(1)(2)6n n ++.当0λ→即n →∞时，取上式右端的极限. 由定积分的定义，即得所要计算的积分为1220011111d lim lim (1)(2)63ni i n i x x x n n λξ→→∞==∆=++=∑⎰. 二、定积分基本性质由定积分的定义与极限运算法则和性质，可以推出下列定积分的基本性质和积分中值定理（下面所涉及的函数在没说明情况下均表示在讨论区间上可积）.1．定积分的基本性质 性质 1[]()()d ()d ()d bbbaaaf xg x x f x x g x x±=±⎰⎰⎰. 对有限个函数1()f x ，2()f x ，,()n f x 亦成立，即[]12()()() d bn afx f x f x x ±±±⎰12()d ()d ()d b b bn aaa f x x f x x f x x =±±±⎰⎰⎰.性质 2 若k 为常数，则()d ()d bbaak f x x k f x x =⎰⎰.性质 3 （区间可加性）()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.若()f x 连续且c 介于a 与b 之间，即a b c <<时，该性质从几何意义看是显然的，当不介于a 与b 之间，该性质仍然成立. 因为当a b c <<时，()d ()d ()d cb c a a b f x x f x x f x x =+⎰⎰⎰， ()d ()d ()d bc c a a bf x x f x x f x x =-⎰⎰⎰.因为 ()d ()d cba cf x x f x x =-⎰⎰，所以()d ()d (()d bcbaacf x x f x x f x x=--⎰⎰⎰ ()d()d cb acf x x f x x =+⎰⎰. 当c a b <<时，可类似证明.性质 4 如果在区间[,]a b 上，有()()f x g x ≤，则()d ()d ()bbaaf x xg x x a b ≤<⎰⎰.性质 5 （估值定值）如果函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值分别为M 与m ，则()()d ()()ba mb a f x x M b a a b -≤≤-<⎰，即 ()d baf x xm M b a≤≤-⎰.证 因为()m f x M ≤≤，由性质4得d ()d d bb baaam x f x x M x ≤≤⎰⎰⎰，再由性质2和d b ax b a =-⎰，即有 ()()()d b am b a f x xM b a-≤≤-⎰. 估计定值的几何意义是曲边梯形面积介于以区间[,]a b 为底，以最小纵坐标为高的矩形面积与以最大纵坐标为高的矩形面积之间. 性质5可用来估计积分值的大致范围.性质 6 （积分中值定理）设函数()y f x =在区间[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在一点()a b ξξ≤≤，使()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰.证 因为()y f x =在[,]a b 上连续，由闭区间上连续函数的性质可知，()y f x =在[,]a b 上必存在最大值M 和最小值m .若a b =，显然.若a b <，利用性质5，并将不等式除以b a -，得1()d ba m f x x Mb a≤≤-⎰. 根据闭区间上连续函数的介值定理，在[,]a b 上至少存在一点，使得1()()d ba f f x xb aξ=-⎰. 即()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰. 几何意义（见图6-2）是在曲边梯形底边上至少存在一点ξ，使得该曲边梯形面积等于同一底边、髙为()f ξ的矩形面积.图 6-2其中，1()()d baf f x x b a ξ=-⎰称为函数()y f x =在区间[,]a b 上的平均值.。

定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用一． 定积分的定义A ）定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n 个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作和式：)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有→∆∑=ini ixf 1)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做⎰b adx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。

例：求曲边图形面积：3x y =的图像在[]1,0∈x 间与1=x 及x 轴围成的图形面积。

注：1、有定义知道⎰ba dx x f )(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即⎰badx x f )(=⎰badu u f )(=⎰badt t f )(2、定义中的0→λ不能用∞→n 代替3、如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：⎩⎨⎧=中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。

可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。

以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

第五章定积分5.1 定积分的概念与性质数学与统计学院武忠祥12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分bx x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ3) 合knk kx f ∆∑=1)(ξ≈A1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ3) 合knk kx f ∆∑=1)(ξ≈A 4) 精},,max{21n x x x d ∆∆∆= knk kd x f ∆∑=→1)(lim ξ=A两个问题的共性：1) 求解具有同样特征的量2) 解决问题的思想方法和步骤相同3) 都归结为同样数学结构的和式极限的计算体现在两个方面：(1)都是分布在区间上的量，且对区间具有可加性；(2)量是非均匀分布在区间上的.思想方法都是四步：分、匀、和、精，核心都是匀、精，在均匀分布时都采用积运算.都是乘积的和式的极限，只是函数的表示不同罢了.12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质1）定义（定积分）],,[b a 任意划分bx x x x x a n n =<<<<<=-1210 1）分],,[1k k k x x -∈ξ任取.)(k k x f ∆ξ做乘积2）匀3）合knk kx f ∆∑=1)(ξ时怎样选取怎样划分如果无论0,,],[→d b a k ξk nk kx f ∆∑=1)(ξ4）精趋于同一常数，⎰b adx x f )(knk k d x f ∆=∑=→)(lim 1ξ2 定积分的定义,],[)(上的有界函数是定义在设b a x f .],[)(上可积在则称b a x f=⎰b ax x f d )(k nk k d x f ∆∑=→1)(lim ξ；代替所以不能用不等价与）0,01→∞→+∞→→d n n d 注：2）两个任意性；.],[)()(3有关和仅与）b a x f dx x f ba⎰.],[称为积分区间b a 积分是处理均匀量的积运算在处理相应非均匀量中的发展⎰=baxx f A d )(⎰=batt v s d )(积分上限积分下限被积函数积分变量被积式积分和时，b a >⎰b a dx x f )(时，b a =0)(=⎰badx x f ②补充规定：①⎰-=abdxx f )(曲边梯形面积曲边梯形面积的负值1A2A 3A 2）定积分的几何意义abxyo)(x f y =,)(变号x f ⎰>ba dx x f x f )(,0)(A =⎰<b a dx x f x f )(,0)(A-=312)(A A A dx x f b a--=⎰x120.x d x ⎰例4 计算定积分3）定积分存在的条件可积的充分条件可积有界可积性计算上连续；在],[)()1b a x f .],[)()2断点上只有有限个第一类间在b a x f knk k bad x f dx x f ∆=∑⎰=→1)(lim )(ξ个子区间的右端点，则有12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质],[b a R 3.定积分的性质Riemann积分R b a R g f ∈∈βα,],,[,],[b a R g f ∈+βα⎰⎰⎰+=+ba b ab a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([βαβα1）线性性质：设，则且I Ic b a ∈,,2)对区间的可加性：设是有限闭区间，)(I R f ∈⎰⎰⎰+=b a ca b c dx x f dx x f dx x f )()()(且，则k b c k k k c a x f x f ∆+∆=∑∑)()(],[],[ξξk b a k x f ∆∑)(],[ξ证设,b c a <<。

定积分的基本概念与性质定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍定积分的基本概念、计算方法以及一些重要性质。

一、定积分的基本概念定积分是指在给定区间上某一函数的积分运算。

具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。

在每个小区间上取一个样本点ξi，并计算出该点的函数值f(ξi)。

然后，将每个小区间的函数值与对应的Δx乘积相加，得到Σf(ξi)Δx。

当其中的Δx趋近于0且取样本点数n趋向于无穷大时，得到的极限值即为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记为∫[a, b]f(x)dx。

二、定积分的计算计算定积分可以利用定积分的性质以及一些基本积分公式。

其中，常用的计算方法有：几何法、分部积分法、换元积分法等。

几何法是通过对定积分的几何意义进行理解来进行计算。

例如，计算函数f(x)=x在区间[a, b]上的定积分，可以将其表示为对应曲线下方的面积。

根据不同曲线形状，可以将区间划分成不同的几何图形，计算各个图形的面积，并将其相加得到结果。

分部积分法是利用积分运算的乘法规则，将待求的定积分转化为另一个不定积分的形式。

通过选择适当的u(x)和v(x)，利用公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，可以将原定积分转化为带有初等函数的不定积分。

换元积分法是通过引入新的变量进行变换，使得求解定积分问题简化。

假设有一个函数f(g(x))，利用链式法则可以得到d[f(g(x))]/dx =f'(g(x))*g'(x)。

通过令u=g(x)，则有du=g'(x)dx，可以将定积分∫f(g(x))g'(x)dx 转换为∫f(u)du，此时就可以利用基本的不定积分公式进行计算。

三、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。

一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。

牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。

要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。

被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。

定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。

二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。

在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。

定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。

尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。

例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。

可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。

但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。

在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。

后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。

定积分的概念和性质公式定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积或者曲线围成的面积，以及求解一些几何体的体积。

本文将介绍定积分的概念、性质以及相关的公式。

一、定积分的概念在数学中，定积分可以看作是无穷小量的累加，它的计算结果是一个数值。

定积分的概念可以通过求解函数和坐标轴之间的面积来解释。

设对于连续函数y=f(x)在区间[a,b]上，我们将它与x轴围成的平面区域分割成多个无穷小的矩形，其宽度为Δx。

我们分别计算每个矩形的面积，将这些面积相加，然后取极限得到的结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。

表示为：∫[a,b]f(x) dx = limΔx→0 Σf(x_i)Δx其中，Σ表示求和，f(x_i)表示在每个小矩形的高度，Δx表示每个小矩形的宽度。

二、定积分的性质1.线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，k为常数，则有：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b]k*f(x)dx = k*∫[a,b]f(x)dx2.区间可加性质：设函数f(x)在区间[a,b]和[b,c]上可积，则：∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx3.估值性质：设f(x)在区间[a,b]上非负可积，c是[a,b]上的任意一点，则有：f(c)*(b-a) ≤ ∫[a,b]f(x)dx ≤ M*(b-a)其中，M为f(x)在[a,b]上的最大值。

4.小于等于零性质：设函数f(x)在区间[a,b]上非负可积并且在[a,b]上恒大于等于0，则有：∫[a,b]f(x)dx ≤ 0 当且仅当f(x)恒为零。

5.平均值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则存在一个点c使得：∫[a,b]f(x)dx = f(c)*(b-a)三、定积分的计算公式1.基本积分法则：∫k dx = kx + C （k为常数）∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）2.叠加性质：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3.替换法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(g(x))g'(x)在区间[g(a),g(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)]f(u)du ，其中u=g(x)4.分部积分法则：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx5.换元法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(u)u'(x)在区间[u(a),u(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(u(x))u'(x)dx = ∫[u(a),u(b)]f(u)du6.常用积分表：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsin(x) + C∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x)-x + C总结：定积分是微积分的关键概念之一，通过对函数和坐标轴之间的面积进行累加，计算结果为一个数值。

第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质 一、定积分问题举例设()y f x =在区间[],a b 非负、连续．由直线x a =、x b =、0y =及曲线()y f x =所围成的图形（如图所示）称为曲边梯形．在区间[],a b 中插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<= ，把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -它们的长度依次为1102211,,,.n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-∆=-在区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，则可按下式近似计算曲边梯形的面积A ：()()()()11221.nn n i i i A f x f x f x f x ξξξξ=≈∆+∆++∆=∆∑如记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆∆ ，则 ()01lim .ni i i A f x λξ→==∆∑二、定积分的定义定义 设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入1n -若干个分点 0121,n n a x x x x x b -=<<<<<=把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,,,n n x x x x x x - ，各个小区间的长度依次为1102211,,,.n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-∆=-在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作和()1.ni i i S f x ξ==∆∑记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆∆ ，如果当0λ→时，和S 的极限总存在，且闭区间[],a b 的分法及点i ξ的取法无关，那么称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()ba f x dx ⎰，即()()01lim ,nbiiai f x dx I f x λξ→===∆∑⎰ 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[],a b 叫做积分区间．如果()f x 在[],a b 上的定积分存在，那么就说()f x 在[],a b 上可积．定理1 设()f x 在区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积．定理2 设()f x 在区间[],a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[],a b 上可积． 定积分的几何意义．在[],a b 上()0f x ≥时，定积分()ba f x dx ⎰表示由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积；在[],a b 上()0f x ≤时，定积分()baf x dx ⎰表示由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积的相反数．在[],a b 上()f x 既取得正值又取得负值时，定积分()baf x dx ⎰表示x 轴上方图形面积减去下方图形面积所得之差．习题5-13.利用定积分的几何意义，证明下列等式：（1）121xdx =⎰；证 根据定积分的几何意义，定积分12xdx ⎰表示由直线2y x =、1x =及x 轴围成的图形的面积，该图形是三角形，底边长为1，高为2，因此面积为1，即12 1.xdx =⎰（2）4π=⎰；证 根据定积分的几何意义，定积分⎰表示的是由曲线y x 周、y轴围成的在第一象限内的图形的面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有.4π=⎰（3）sin 0xdx ππ-=⎰；证 由于函数sin y x =在区间[]0,π上非负，在区间[],0π-上非正．根据定积分的几何意义，定积分sin xdx ππ-⎰表示曲线[]()sin 0,y x x π=∈与x 轴所围成的图形1D 的面积减去曲线[]()sin ,0y x x π=∈-与x 轴所围成的图形2D 的面积，显然图形1D 与2D 的面积是相等的，因此sin 0.xdx ππ-=⎰（4）2202cos 2cos xdx xdx πππ-=⎰⎰．证 由于函数cos y x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上非负．根据定积分的几何意义，定积分cos xdxππ-⎰表示曲线c o s 0,2y x xπ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与x 轴所围成的图形1D 的面积加上曲线cos ,02y x x π⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与x 轴和y 轴所围成的图形2D 的面积，而图形1D 的面积和图形2D 的面积显然相等，因此2202cos 2cos .xdx xdx πππ-=⎰⎰。