第一节定积分的概念

第五章定积分5.1 定积分的概念与性质数学与统计学院武忠祥12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分bx x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ3) 合knk kx f ∆∑=1)(ξ≈A1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ3) 合knk kx f ∆∑=1)(ξ≈A 4) 精},,max{21n x x x d ∆∆∆= knk kd x f ∆∑=→1)(lim ξ=A两个问题的共性：1) 求解具有同样特征的量2) 解决问题的思想方法和步骤相同3) 都归结为同样数学结构的和式极限的计算体现在两个方面：(1)都是分布在区间上的量，且对区间具有可加性；(2)量是非均匀分布在区间上的.思想方法都是四步：分、匀、和、精，核心都是匀、精，在均匀分布时都采用积运算.都是乘积的和式的极限，只是函数的表示不同罢了.12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质1）定义（定积分）],,[b a 任意划分bx x x x x a n n =<<<<<=-1210 1）分],,[1k k k x x -∈ξ任取.)(k k x f ∆ξ做乘积2）匀3）合knk kx f ∆∑=1)(ξ时怎样选取怎样划分如果无论0,,],[→d b a k ξk nk kx f ∆∑=1)(ξ4）精趋于同一常数，⎰b adx x f )(knk k d x f ∆=∑=→)(lim 1ξ2 定积分的定义,],[)(上的有界函数是定义在设b a x f .],[)(上可积在则称b a x f=⎰b ax x f d )(k nk k d x f ∆∑=→1)(lim ξ；代替所以不能用不等价与）0,01→∞→+∞→→d n n d 注：2）两个任意性；.],[)()(3有关和仅与）b a x f dx x f ba⎰.],[称为积分区间b a 积分是处理均匀量的积运算在处理相应非均匀量中的发展⎰=baxx f A d )(⎰=batt v s d )(积分上限积分下限被积函数积分变量被积式积分和时，b a >⎰b a dx x f )(时，b a =0)(=⎰badx x f ②补充规定：①⎰-=abdxx f )(曲边梯形面积曲边梯形面积的负值1A2A 3A 2）定积分的几何意义abxyo)(x f y =,)(变号x f ⎰>ba dx x f x f )(,0)(A =⎰<b a dx x f x f )(,0)(A-=312)(A A A dx x f b a--=⎰x120.x d x ⎰例4 计算定积分3）定积分存在的条件可积的充分条件可积有界可积性计算上连续；在],[)()1b a x f .],[)()2断点上只有有限个第一类间在b a x f knk k bad x f dx x f ∆=∑⎰=→1)(lim )(ξ个子区间的右端点，则有12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质],[b a R 3.定积分的性质Riemann积分R b a R g f ∈∈βα,],,[,],[b a R g f ∈+βα⎰⎰⎰+=+ba b ab a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([βαβα1）线性性质：设，则且I Ic b a ∈,,2)对区间的可加性：设是有限闭区间，)(I R f ∈⎰⎰⎰+=b a ca b c dx x f dx x f dx x f )()()(且，则k b c k k k c a x f x f ∆+∆=∑∑)()(],[],[ξξk b a k x f ∆∑)(],[ξ证设,b c a <<。

第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质 一、定积分问题举例设()y f x =在区间[],a b 非负、连续．由直线x a =、x b =、0y =及曲线()y f x =所围成的图形（如图所示）称为曲边梯形．在区间[],a b 中插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<= ，把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -它们的长度依次为1102211,,,.n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-∆=-在区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，则可按下式近似计算曲边梯形的面积A ：()()()()11221.nn n i i i A f x f x f x f x ξξξξ=≈∆+∆++∆=∆∑如记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆∆ ，则 ()01lim .ni i i A f x λξ→==∆∑二、定积分的定义定义 设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入1n -若干个分点 0121,n n a x x x x x b -=<<<<<=把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,,,n n x x x x x x - ，各个小区间的长度依次为1102211,,,.n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-∆=-在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作和()1.ni i i S f x ξ==∆∑记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆∆ ，如果当0λ→时，和S 的极限总存在，且闭区间[],a b 的分法及点i ξ的取法无关，那么称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()ba f x dx ⎰，即()()01lim ,nbiiai f x dx I f x λξ→===∆∑⎰ 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[],a b 叫做积分区间．如果()f x 在[],a b 上的定积分存在，那么就说()f x 在[],a b 上可积．定理1 设()f x 在区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积．定理2 设()f x 在区间[],a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[],a b 上可积． 定积分的几何意义．在[],a b 上()0f x ≥时，定积分()ba f x dx ⎰表示由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积；在[],a b 上()0f x ≤时，定积分()baf x dx ⎰表示由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积的相反数．在[],a b 上()f x 既取得正值又取得负值时，定积分()baf x dx ⎰表示x 轴上方图形面积减去下方图形面积所得之差．习题5-13.利用定积分的几何意义，证明下列等式：（1）121xdx =⎰；证 根据定积分的几何意义，定积分12xdx ⎰表示由直线2y x =、1x =及x 轴围成的图形的面积，该图形是三角形，底边长为1，高为2，因此面积为1，即12 1.xdx =⎰（2）4π=⎰；证 根据定积分的几何意义，定积分⎰表示的是由曲线y x 周、y轴围成的在第一象限内的图形的面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有.4π=⎰（3）sin 0xdx ππ-=⎰；证 由于函数sin y x =在区间[]0,π上非负，在区间[],0π-上非正．根据定积分的几何意义，定积分sin xdx ππ-⎰表示曲线[]()sin 0,y x x π=∈与x 轴所围成的图形1D 的面积减去曲线[]()sin ,0y x x π=∈-与x 轴所围成的图形2D 的面积，显然图形1D 与2D 的面积是相等的，因此sin 0.xdx ππ-=⎰（4）2202cos 2cos xdx xdx πππ-=⎰⎰．证 由于函数cos y x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上非负．根据定积分的几何意义，定积分cos xdxππ-⎰表示曲线c o s 0,2y x xπ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与x 轴所围成的图形1D 的面积加上曲线cos ,02y x x π⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与x 轴和y 轴所围成的图形2D 的面积，而图形1D 的面积和图形2D 的面积显然相等，因此2202cos 2cos .xdx xdx πππ-=⎰⎰。