尺规作图:画等角、垂线及平行线
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如何画出平行线和垂直线?
画出平行线和垂直线是数学中基本的几何作图技巧,它们有着特定的构造方法。
下面将介绍如何画出平行线和垂直线的步骤。
一、平行线的画法:
1. 给定一条直线l和一点P,在点P处作一条不与直线l相交的直线m。
2. 使用直尺在直线l上任选一点A,然后将直尺放在点A上,调整直尺的位置,使之与直线m相交于点B。
3. 在点B处作一条与直线l平行的直线n。
4. 直线n与直线l就是平行线。
二、垂直线的画法:
1. 给定一条直线l和一点P,在点P处作一条不与直线l相交的直线m。
2. 使用直尺在直线l上任选一点A,并将直尺放在点A上。
3. 使用量角器,在直线m上在点P处作一个角,使之与直尺上的直线l相交于点B。
4. 在点B处作一条与直线l垂直的直线n。
5. 直线n与直线l就是垂直线。
需要注意的是,为了画出准确的平行线和垂直线,需要使用准确的工具(如直尺、量角器)和仔细的操作。
另外,还可以利用已知的平行线或垂直线来画出新的平行线或垂直线。
例如,已知两条平行线l和m,可以通过作一条与l垂直的直线来得到与m平行的线。
熟练掌握画平行线和垂直线的方法,可以更好地解决与几何相关的问题。
画平行线和垂直线是几何学中重要的基本技巧,也是学习更高级几何学和应用数学的基础。
通过实际操作和练习,可以提高准确性和效率。
中考尺规作图专题复习(含答案)尺规作图定义:用无刻度的直尺和圆规画图,中考中常见画的图是线段的垂线,垂直平分线,角平分线、画等长的线段,画等角。
1.直线垂线的画法:【分析】:以点C为圆心,任意长为半径画弧交直线与A,B两点,再分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径画圆弧,分别交直线l两侧于点M,N,连接MN,则MN即为所求的垂线2.线段垂直平分线的画法【分析】:作法如下:分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径画圆弧,分别交直线AB两侧于点C,D,连接CD,则CD即为所求的线段AB的垂直平分线.3.角平分线的画法【分析】1.选角顶点O为圆心,任意长为半径画圆,分别交角两边A,B点,再分别以A,B为圆心,大于12AB的长为半径画圆弧,交H点,连接OH,并延长,则射线OH即为所求的角平分线.4.等长的线段的画法直接用圆规量取即可。
5.等角的画法【分析】以O为圆心,任意长为半径画圆,交原角的两边为A,B两点,连接AB;画一条射线l,以上面的那个半径为半径,l的顶点K为圆心画圆,交l与L,以L为圆心,AB 为半径画圆,交以K为圆心,KL为半径的圆与M点,连接KM,则角LKM即为所求.备注:1.尺规作图时,直尺主要用作画直线,射线,圆规主要用作截取相等线段和画弧;2.求作一个三角形,其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的;3.当作图要满足多个要求时,应逐个满足,取公共部分.例题讲解例题1.已知线段a,求作△ABC,使AB=BC=AC=a.解:作法如下:①作线段BC=a;(先作射线BD,BD截取BC=a).②分别以B、C为圆心,以a半径画弧,两弧交于点A;③连接AB、AC.则△ABC 要求作三角形.例2.已知线段a 和∠α,求作△ABC ,使AB=AC=a ,∠A=∠α.解:作法如下:①作∠MAN=∠α;②以点A 为圆心,a 为半径画弧,分别交射线AM ,AN 于点B ,C. ③连接B ,C.△ABC 即为所求作三角形.例3.(深圳中考)如图,已知△ABC ,AB <BC ,用尺规作图的方法在BC 上取一点P ,使得PA +PC =BC ,则下列选项中,正确的是(D )【解析】由题意知,做出AB 的垂直平分线和BC 的交点即可。
初中几何尺规作图总结归纳在初中数学学习中,几何部分是一个复杂而又有趣的内容。
其中,几何尺规作图是一个重要的知识点,通过使用尺规和直尺进行各种图形的构建和分析。
在本文中,我将对初中几何尺规作图进行总结和归纳,从理论到实践,为大家提供一个全面的了解。
理论基础几何尺规作图的基础是尺规和直尺。
在进行尺规作图时,我们需要使用一支尺子和一根没有刻度的直尺。
尺规的长度一般为15cm或30cm,在作图时要注意尺规的摆放和固定,以确保精确度和准确性。
作图步骤尺规作图的步骤一般分为三个部分:已知条件、构图、证明。
已知条件:根据题目给出的已知条件,我们首先要明确图形的特征和要求。
这是解决问题的起点,只有明确了已知条件,我们才能正确地进行后续的构图和证明。
构图:根据已知条件,我们需要使用尺规和直尺进行图形的构建。
构图时,要注意使用正确的工具和技巧,例如画垂线、平行线等。
同时,要保持手的稳定和准确的测量,以确保最终的作图结果正确无误。
证明:在完成构图后,我们需要对所得图形进行证明。
证明的过程中,需要运用尺规作图的基本原理和性质,进行推理和论证。
通过合理的推导过程,我们可以得出图形的性质和结论,进一步巩固和应用几何知识。
基本作图方法1. 作点:通过特定的条件,我们可以通过尺规作图的方式,在平面上标出一个点。
常见的作点方法有:作单位线段、作等分线段、作垂直平分线等。
2. 作线段:通过已知条件,我们可以使用尺规和直尺作出特定长度的线段。
作线段的方法包括:作单位线段的倍数、作等线段、作半线段等。
3. 作角:在几何尺规作图中,我们可以通过作线段和作弧的方式来构建特定的角度。
常见的作角方法有:作等角、作垂直角、作等分角等。
4. 作垂线和平行线:作垂线和平行线是几何尺规作图中常用的方法之一。
通过作垂线和平行线,我们可以解决很多与角度和线段有关的问题。
几何尺规作图的应用几何尺规作图在实际生活中有着广泛的应用。
例如,在建筑设计中,我们可以通过几何尺规作图来绘制房屋的平面图和立体图。
平行线的性质及尺规作图(基础)知识讲解【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1:两直线平行,同位角相等;性质2:两直线平行,内错角相等;性质3:两直线平行,同旁内角互补.要点诠释:(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”.(2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.要点诠释:(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线的距离.(2) 两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变,即平行线间的距离处处相等.要点三、尺规作图1. 定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.要点诠释:(1)只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题.(2)直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上面画刻度.(3)圆规可以开至无限宽,但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度.2.八种基本作图(有些今后学到):(1)作一条线段等于已知线段.(2)作一个角等于已知角.(3)作已知线段的垂直平分线.(4)作已知角的角平分线.(5)过一点作已知直线的垂线.(6)已知一角、一边做等腰三角形.(7)已知两角、一边做三角形.(8)已知一角、两边做三角形.【典型例题】类型一、平行线的性质1.已知:如图,AB∥DC,点E是BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AE⊥DE.【思路点拨】过E作EF∥AB,再由条件AB∥DC,可得EF∥AB∥CD,根据平行线的性质可得∠1=∠5,∠4=∠6,然后可得∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°,进而得到结论.【答案与解析】证明:过E作EF∥AB,∵AB∥DC,∴EF∥AB∥CD,∴∠1=∠5,∠4=∠6,∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°,∴AE⊥DE.【总结升华】此题主要考查了平行线的性质,关键是掌握两直线平行,内错角相等.举一反三:【变式】如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则∠2= .【答案】140°.【解析】如图,∵l1∥l2,∴∠3=∠1=40°,∵∠α=∠β,∴AB∥CD,∴∠2+∠3=180°,∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°.故答案为140°.类型二、两平行线间的距离2.如图所示,直线l1∥l2,点A、B在直线l2上,点C、D在直线l1上,若△ABC的面积为S1,△ABD的面积为S2,则( ) .A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.不确定【答案】B【解析】因为l1∥l2,所以C、D两点到l2的距离相等.同时△ABC和△ABD有共同的底AB,所以它们的面积相等.【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合.举一反三:【变式】如图,在两个一大一小的正方形拼成的图形中,小正方形的面积是10平方厘米,阴影部分的面积为平方厘米.【答案】5 (提示:连接BF,则BF∥AC)类型三、尺规作图3.已知:∠AOB.利用尺规作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=2∠AOB.【思路点拨】先作一个角等于∠AOB,在这个角的外部再作一个角等于∠AOB,那么图中最大的角就是所求的角.【答案与解析】作法一:如图(1)所示,(1)以点O圆心,任意长为半径画弧,交OA于点A′,交OB于点C;(2)以点C为圆心,以CA′的长为半径画弧,•交前面的弧于点B′;(3)过点B′作射线O B′,则∠A′O′B′就是所求作的角.作法二:如图(2)所示,(1)画射线O′A′;(2)以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;(3)以点O′为圆心,以OC的长为半径画弧,交O′A•′于点E;(4)以点E为圆心,以CD的长为半径画弧,交前面的弧于点F,再以点F为圆心,•以CD 的长为半径画弧,交前面的弧于点B′;(5)画射线O′B′,则∠A′O′B′就是所求作的角.【总结升华】本题考查作一个倍数角等于已知角,需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部.•作法一在已知角的基础上作图较为简便一些.类型四、平行的性质与判定综合应用4.如图所示,AB∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=( )A.180° B.270° C.360° D.540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB,∵ CD∥AB,∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行,同旁内角互补)又∵ EF∥AB∴ EF∥CD.(平行公理的推论)∴∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行,同旁内角互补)又∵∠ACE=∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的推论的综合应用,利用“两直线平行,同旁内角互补,”可以得到∠BAC +∠ACE+∠CEF=360°.举一反三:【变式】如图所示,如果∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°,则AB与EF的位置关系.【答案】平行。
中考尺规作图专题复习(含答案)尺规作图定义:用无刻度的直尺和圆规画图,中考中常见画的图是线段的垂线,垂直平分线,角平分线、画等长的线段,画等角。
1.直线垂线的画法:【分析】:以点C为圆心,任意长为半径画弧交直线与A,B两点,再分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径画圆弧,分别交直线l两侧于点M,N,连接MN,则MN即为所求的垂线2.线段垂直平分线的画法【分析】:作法如下:分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径画圆弧,分别交直线AB两侧于点C,D,连接CD,则CD即为所求的线段AB的垂直平分线.3.角平分线的画法【分析】1.选角顶点O为圆心,任意长为半径画圆,分别交角两边A,B点,再分别以A,B为圆心,大于12AB的长为半径画圆弧,交H点,连接OH,并延长,则射线OH即为所求的角平分线.4.等长的线段的画法直接用圆规量取即可。
5.等角的画法【分析】以O为圆心,任意长为半径画圆,交原角的两边为A,B两点,连接AB;画一条射线l,以上面的那个半径为半径,l的顶点K为圆心画圆,交l与L,以L为圆心,AB 为半径画圆,交以K为圆心,KL为半径的圆与M点,连接KM,则角LKM即为所求.备注:1.尺规作图时,直尺主要用作画直线,射线,圆规主要用作截取相等线段和画弧;2.求作一个三角形,其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的;3.当作图要满足多个要求时,应逐个满足,取公共部分.例题讲解例题1.已知线段a,求作△ABC,使AB=BC=AC=a.解:作法如下:①作线段BC=a;(先作射线BD,BD截取BC=a).②分别以B、C为圆心,以a半径画弧,两弧交于点A;③连接AB、AC.则△ABC 要求作三角形.例2.已知线段a 和∠α,求作△ABC ,使AB=AC=a ,∠A=∠α.解:作法如下:①作∠MAN=∠α;②以点A 为圆心,a 为半径画弧,分别交射线AM ,AN 于点B ,C. ③连接B ,C.△ABC 即为所求作三角形.例3.(深圳中考)如图,已知△ABC ,AB <BC ,用尺规作图的方法在BC 上取一点P ,使得PA +PC =BC ,则下列选项中,正确的是(D )【解析】由题意知,做出AB 的垂直平分线和BC 的交点即可。
课题 :24.4.3 尺规作图(3)画垂线【教学目标】:1、使学生掌握作线段的垂直平分线,过一点作已知直线垂线的两种基本作图;2、继续训练学生用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤,认识它的正确性、合理性;3、培养学生探索问题、解决问题的方法,经历如何画线段的垂直平分线,体验利用画线段垂直平分线的方法为基础,画过一点作已知垂线的作图。
【重点难点】:1、重点:让学生掌握过一点作直线的垂线,作直线的垂直平分线的基本方法;2、难点:理解作图的理论依据。
【教学过程】:一、复习1、什么叫做尺规作图?(限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图) 2、用尺规作图(1)作线段,使它等于已知线段的长; (2)作角,使它等于已知角;①让学生在练习本上画任意长的线段和任意角。
②提问学生口述作法,教师在黑板上操作尺规画图,或教师口述作图步骤,让学生按老师的口述,操作尺规作图。
作线段:已知线段a ,作射线AC ,以A 为圆心,在AC 上截取A B a =,AB 就是所求作的;作角:已知A O B ∠,作射线''O A ,以O 为圆心,以任意长为半径作弧,分别交OA 、OB 于D 、C 两点,以'O 为圆心,以OC 为半径作弧,交''O A 于'C ,以点'C 为圆心,以CD 长为半径作弧,交前弧于'D ,经过'D 作射线''O B ,'''A O B ∠就是所求的角。
3、什么垂直平分线?(过线段的中点,垂直这条线段的直线) 4、线段垂直平分线有哪些特征?(线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;反过来,到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)二、做一做如图,如图24.4.6,已知线段AB ,画出它的垂直平分线.提示:由线段垂直平分线的特征能否为你提供一些作图的依据。
若有学生懂得画,请他上台展示;若讨论没有结果的话,教师示范。
专题12尺规作图题型总结题型解读|模型构建|通关试练本专题主要对初中阶段的一般考查学生对基本作图的掌握情况和实践操作能力,并且在作图的基础上进一步推理计算(或证明)。
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
尺规作图是中考必考知识点之一,复习该版块时要动手多画图,熟能生巧!本专题主要总结了五个常考的基本作图题型,(1)作相等角;(2)作角平分线;(3)作线段垂直平分线;(4)作垂直(过一点作垂线或圆切线);(5)用无刻度的直尺作图。
模型01作相等角①以∠α的顶点O为圆心,以任意长为半径作弧,交∠α的两边于点P,Q;②作射线O'A';③以O'为圆心,OP长为半径作弧,交O'A'于点M;④以点M为圆心,PQ长为半径作弧,交③中所作的弧于点N;⑤过点N作射线O'B',∠A'O'B'即为所求作的角.原理:三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形对应角相等延伸:作平行线模型02作角平分线①以O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA,OB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③过点O作射线OP,OP即为∠AOB的平分线.原理:三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形对应角相等延伸:2到两边的距离相等的点②作三角形的内切圆模型03作线段垂直平分线①分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径,在AB两侧作弧,分别交于点M和点N;②过点M,N作直线MN,直线MN即为线段AB的垂直平分线.原理:到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上延伸:①到两点的距离相等的点②作三角形的外接圆3找对称轴(旋转中心)4找圆的圆心模型04作垂直(过一点作垂线或圆切线)(点P在直线上)①以点P为圆心,任意长为半径向点P两侧作弧,分别交直线l于A,B两点;②分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧交于点M;③过点M,P作直线MP,则直线MP即为所求垂线.原理:等腰三角形的“三线合一”,两点确定一条直线延伸:确定点到直线的距离(内切圆半径)(点P在直线外)①以点P为圆心,大于P到直线l的距离为半径作弧,分别交直线l于A,B两点;②分别以A,B为圆心,以大于AB的长为半径作弧交于点N;③过点P,N作直线PN,则直线PN即为所求垂线.原理:到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上模型05仅用无刻度直尺作图无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定,三角形中位线定理,矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合,熟练掌握相关性质是解题关键.模型01作相等角考|向|预|测做相等角该题型近年主要以解答题形式出现,一般为解答题型的其中一问,难度系数较小,在各类考试中基本为送分题型。