逻辑代数的化简

数字电路逻辑代数化简
数字电路是现代电子设备中的重要组成部分，它们由逻辑门和
触发器等基本元件组成，用于处理和传输数字信号。

在数字电路中，逻辑代数化简是一项重要的技术，它可以帮助简化逻辑电路的设计，减少元件的数量，提高电路的性能和可靠性。

逻辑代数化简是利用布尔代数的原理，通过逻辑运算的规则，
将复杂的逻辑表达式简化为最简形式的过程。

这个过程可以通过代
数方法、卡诺图法等多种技术来实现。

逻辑代数化简的目标是找到
一个等价的最简化的逻辑表达式，以实现电路的最小化设计。

在数字电路的设计中，逻辑代数化简具有以下重要作用：
1. 减少元件数量，通过逻辑代数化简，可以将逻辑表达式简化
为最简形式，从而减少电路中的逻辑门数量，降低成本和功耗。

2. 提高电路性能，简化后的逻辑电路通常具有更快的响应速度
和更小的延迟，从而提高电路的性能。

3. 减少设计复杂性，简化后的逻辑表达式更易于理解和维护，
减少了设计的复杂性，提高了电路的可靠性。

逻辑代数化简是数字电路设计中不可或缺的一环，它的应用可以使电路设计更加高效和可靠。

随着数字电路的不断发展和应用，逻辑代数化简技术也将继续发挥重要作用，为电子设备的性能提升和成本降低提供强大支持。

化简逻辑表达式的两种方法
一、化简逻辑表达式的两种方法
1、用逻辑代数的方法：
逻辑代数是一种研究逻辑运算的代数化方法，它注重同类的因素合并成一项，若合并后的表达式和原表达式所表达的意义相同，则称此运算为化简。

用逻辑代数的方法来化简逻辑表达式，主要有三步：（1）使用逻辑乘除法和逻辑加括号法，将指定的逻辑表达式归
结成标准形式。

（2）使用合取范式和析取范式，进行逻辑替换，把可以合并的
项合并起来，使表达式简单易懂。

（3）根据合取定义和析取定义，继续合并，直到化简完毕。

2、用布尔代数的方法：
布尔代数是一种逻辑运算的代数，它将逻辑运算定义为一种操作，操作的运算结果可以是“真”和“假”的两种可能性。

使用布尔代数的方法来化简逻辑表达式，可以按照如下步骤：
（1）将逻辑表达式中的各个子式根据布尔代数中的定义转换成
有限的真值表式，也就是如01、0011、1111等等。

（2）利用真值表的合取规则，将真值表式中的项进行合并，最
终得到简化后的真值表式。

（3）根据简化的真值表式，化简出原来逻辑表达式中所包含的
逻辑操作关系，从而得出最终的结果。

- 1 -。

逻辑代数化简主要内容：逻辑代数化简的方法；利用逻辑代数的基本运算法则和卡诺图进行化简。

重点难点：卡诺图法化简的方法。

逻辑代数化简由逻辑状态表直接写出的逻辑式及由此画出的逻辑图，一般比较复杂；若经过简化，则可使用较少的逻辑门实现同样的逻辑功能。

从而可节省器件,降低成本，提高电路工作的可靠性。

利用逻辑代数变换，可用不同的门电路实现相同的逻辑功能。

化简方法公式法卡诺图法例1： 化简 1. 应用逻辑代数运算法则化简(1) 并项法 CAB C B A C B A ABC Y+++=)()(B B C A B B AC +++=C A AC +=A=例2： 化简 CB C A AB Y++=(2) 配项法)(A A C B C A AB +++=C B A C A C AB AB +++=CA AB +=BA B A A +=+例3： 化简CB AC B A ABC Y ++=(3) 加项法 ABC C B A C B A ABC +++=ACBC +=CB C B A ++=)(CB C B A +⋅=CB A +=(4) 吸收法吸收B A AB +=C B AC B A Y++=例4： 化简例5： 化简Y =ABC +AB D +A BC +CD +BD =ABC +A B C +CD +AB +BD =AB +A B C +CD +BD =AB +B C +CD +BD=AB +CD +B (C +D )=AB +CD +BCD)(D AD B CD C B A ABC ++++=吸收吸收 吸收 B CD AB ++=CDB +=吸收2. 应用卡诺图化简卡诺图:是与变量的最小项对应的按一定规则排列的方格图，每一小方格填入一个最小项。

(1) 最小项：对于n输入变量有2n种组合, 其相应的乘积项也有2n 个，则每一个乘积项就称为一个最小项。

其特点是每个输入变量均在其中以原变量和反变量形式出现一次，且仅一次。

逻辑代数的常⽤化简公式
1. 交换律： A+B=B+A;---@1 AB=BA;---@2
2. 结合律： (A+B)+C=A+(B+C);---@3 (AB)C=A(BC);---@4
3. 分配律： A(B+C)=AB+BC;---@5 A+BC=(A+B)(A+C);---@6
4. 吸收率： A+AB=A;---@7 A(A+B)=A;---@8
5. 其他常⽤：A+!AB=A+B;---@9 A(!A+B)=AB@10
以上逻辑运算基本定律中，恒等式⼤多是成对出现的，且具有对偶性。

⽤完全归纳法可以证明所列等式的正确性，⽅法是：列出等式的左边函数与右边函数的真值表，如果等式两边的真值表相同，说明等式成⽴。

但此⽅法较为笨拙，下⾯以代数⽅法证明其中⼏个较难证明的公式。

@7式证明：A+AB=A(1+B)=A;
@8式证明：A(A+B)=AA+AB=A+AB=A;由七式易得；
@6式证明：
A+BC=(A+AB)+BC;此处由@7式可得A=A+AB;
=A+AB+BC=A+B(A+C);此处由@5式可得AB+BC=B(A+C);
=A+AC+B(A+C);此处由@7式可得A=A+AC;
=A(A+C)+B(A+C);
=(A+B)(A+C); 得证。

@9式证明： A+!AB=A(1+B)+!AB;
=A+AB+!AB;
=A+B(A+!A);
=A+B;得证。

数电逻辑代数化简技巧
数电逻辑代数化简是在数字电路设计中常用的一种技巧，通
过化简布尔代数表达式，可以简化电路的结构，减少器件的数量，提高电路的性能。

以下是数电逻辑代数化简的一些常见技巧：
1.逻辑运算律：逻辑运算律是化简布尔代数表达式的基础，
包括交换律、结合律、分配律、德摩根定律等。

熟练掌握这些
运算律可以帮助我们快速进行化简。

2.卡诺图法：卡诺图是一种图形化的工具，用于帮助我们分
析和化简布尔代数表达式。

通过将变量的状态进行排列组合，
并将对应结果写入卡诺图中，可以找出表达式中的最小项或最
小项组合，从而进行化简。

3.最小项和最大项：在代数化简中，我们常常使用最小项和
最大项来表示布尔代数表达式。

最小项是指在布尔代数表达式
中只有一个变量为真，其他变量为假的项。

最大项则是在布尔
代数表达式中只有一个变量为假，其他变量为真的项。

4.公式规则：我们可以根据特定的公式规则进行化简。

例如，若两个最小项仅相差一个变量的状态，则可以使用合并法则将
它们化简为一个更简单的布尔表达式。

5.真值表法：对于复杂的布尔表达式，我们可以先构造出真值表，然后根据真值表的规律进行化简。

这种方法适用于表达式较为复杂的情况，但相对于其他方法来说，计算量较大。

总而言之，数电逻辑代数化简是一种对布尔代数表达式进行简化的方法，在数字电路设计中有着重要的作用。

准确应用这些化简技巧，可以帮助我们简化电路结构，提高电路性能，以及减少成本和故障率。

一：布尔代数的基本公式公式名称公式1、0-1律A*0=0 A+1=12、自等律A*1=A A+0=A3、等幂律A*A=A A+A=A4、互补律A*A=0 A+A=15、交换律A*B=B*A A+B=B+A6、结合律A*（B*C）=（A*B）*C A+（B+C）=（A+B）+C7、分配律A（B+C）=AB+AC A+BC=（A+B）（A+C）8、吸收律1（A+B）（A+B）=A AB+AB=A9、吸收律2A（A+B）=A A+AB=A10、吸收律3A（A+B）=AB A+AB=A+B11、多余项定律（A+B）（A+C）（B+C）=（A+B）（A+C）AB+AC+BC=AB+AC12、否否律（）=A13、求反律AB=A+B A+B=A*B下面我们来证明其中的两条定律：（1）证明：吸收律1第二式AB+AB=A左式=AB+AB=A（B+B）=A=右式（因为B+B=1）（2）证明：多余项定律AB+AC+BC=AB+AC左式=AB+AC+BC=AB+AC+BC（A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB（1+C）+AC（1+B）=AB+AC=右式证毕注意：求反律又称为摩根定律，它在逻辑代数中十分重要的。

二：布尔代数的基本规则代入法则它可描述为逻辑代数式中的任何变量A，都可用另一个函数Z 代替，等式仍然成立。

对偶法则它可描述为对任何一个逻辑表达式F，如果将其中的“+”换成“*”，“*”换成“+”“1”换成“0”，“0”换成“1”，仍保持原来的逻辑优先级，则可得到原函数F的对偶式G，而且F与G互为对偶式。

我们可以看出基本公式是成对出现的，二都互为对偶式。

反演法则有原函数求反函数就称为反演（利用摩根定律），我们可以把反演法则这样描述：将原函数F中的“*”换成“+”，“+”换成“*”，“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，长非号即两个或两个以上变量的非号不变，就得到原函数的反函数。

逻辑函数的代数（公式）化简法代数化简法的实质就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以求得函数式的最简与或式。

因此化简时，没有固定的步骤可循。

现将经常使用的方法归纳如下：①吸收法：根据公式A+AB=A 可将AB 项消去，A 和B 同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。

()F A A BC A BC D BC =+⋅⋅+++例：化简()()()()()()F A A BC A BC D BCA A BC A BC D BCA BC A BC A BC D A BC=+⋅⋅+++=+++++=+++++=+解:现将经常使用的方法归纳如下：②消因子法：利用公式A+AB=A +B 可将AB 中的因子A 消去。

A 、B 均可是任何复杂的逻辑式。

1F A AB BEA B BE A B E=++=++=++例：2()F AB AB ABCD ABCDAB AB AB AB CDAB AB AB ABCDAB AB CD=+++=+++=+++=++现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(1)：运用公式A B +AB=A 可以把两项合并为一项，并消去B 和B 这两个因子。

根据代入规则，A 和B 可以是任何复杂的逻辑式。

例：化简F BCD BCD BCD BCD=+++()()()()F BCD BCD BCD BCDBCD BCD BCD BCD BC D D BC D D BC BC B=+++=+++=+++=+=现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(2)：利用公式A+A=1可以把两项合并为一项，并消去一个变量。

例：1()1F ABC ABC BCA A BC BCBC BC =++=++=+=现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(2)：利用公式A+A=1可以把两项合并为一项，并消去一个变量。

例：2()()()()F A BC BC A BC BC ABC ABC ABC ABCAB C C AB C C AB AB A=+++=+++=+++=+=现将经常使用的方法归纳如下：例：1()()()()()(1)(1)()F AB AB BC BCAB AB C C BC A A BCAB ABC ABC BC ABC ABCAB ABC BC ABC ABC ABC AB C BC A AC B B AB BC AC=+++=+++++=+++++=+++++=+++++=++④配项法:将式中的某一项乘以A+A 或加A A ，然后拆成两项分别与其它项合并，进行化简。

一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。

常用方法有：①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。

②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。

③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。

⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。

二、卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。

逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。

1.表示最小项的卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。

具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。

用卡诺图表示逻辑函数：方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。

2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。

方法二：根据函数式直接填卡诺图。

用卡诺图化简逻辑函数：化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。

化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。

如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。

注意：卡诺图中所有的1 都必须圈到，不能合并的1 单独画圈。

说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。

合并最小项的原则：1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。

2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。

3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。

卡诺图化简法的步骤：画出函数的卡诺图;画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。

6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）⼀、逻辑函数的化简将⼀个逻辑表达式变得最简单、运算量最少的形式就叫做化简。

由于运算量越少，实现逻辑关系所需要的门电路就越少，成本越低，可靠性相对较⾼，因此在设计逻辑电路时，需要求出逻辑函数的最简表达式。

由此可以看到，函数化简是为了简化电路，以便⽤最少的门实现它们，从⽽降低系统的成本，提⾼电路的可靠性。

通常来说，我们化简的结果会有以下五种形式为什么是这五种情况，这个跟我们实现的逻辑电路的元器件是有关系的。

在所有的逻辑电路中，都是通过与、或、⾮三种逻辑电路来实现的，之前说过逻辑“与或”、“或与”、“与或⾮”组合逻辑电路是具有完备性的，也就是说能够通过它们不同数量的组合能够实现任何电路。

通过不同的“与或”电路组成的电路，最后化简的表达式就是“与或”表达式，其他同理。

⼆、将使⽤“与或”表达式的化简表达式中乘积项的个数应该是最少的表达了最后要⽤到的与门是最少的，因为每⼀个乘积项都需要⼀个与门来实现。

同时也对应了或门输⼊端的个数变少，有2个与项或门就有2个输⼊端，有3个与项或门就有3个输⼊端。

所以第⼀个条件是为了我们的与门和或门最少。

每⼀个乘积项中所含的变量个数最少它是解决每⼀个与门的输⼊端最少。

逻辑函授的化简有三种⽅法三、逻辑函数的代数化简法3.1 并项法并项法就是将两个逻辑相邻（互补）的项合并成⼀个项，这⾥就⽤到了“合并律”将公因⼦A提取出来合并成⼀项，b和b⾮相或的结果就等于1，所以最后的结果就是A。

吸收法是利⽤公式“吸收律”来消去多余的项3.3 消项法消项法⼜称为吸收律消项法3.4 消因⼦法（消元法）3.4 配项法左边的例⼦⽤到了⽅法1，右边的例⼦⽤到了⽅法2。

3.5 逻辑函数的代数法化简的优缺点优点：对变量的个数没有限制。

在对定律掌控熟练的情况下，能把⽆穷多变量的函数化成最简。

缺点：需要掌握多个定律，在使⽤时需要能够灵活应⽤，才能把函数化到最简，使⽤门槛较⾼。

逻辑函数的公式化简法逻辑代数的八个基本定律01律01律交换律结合律分配律(1)A1= A (2)A0= 0 (5)AB= BA (7)A(BC)= (AB) C (3)A+0= A (4)A+1= 1 (6)A+B= B+A (8)A+(B+C)= (A+B)+C(9)A(B+C)= AB+AC (10)A+(BC)= (A+B)(A+C) 0互补律(11) A A = 重叠律(13)AA= A 反演律否定律(17 )Α =(12) A + A =(14)A+A= A1(15) AB = A + BA(16) A + B = A B逻辑代数的常用公式逻辑函数的公式化简法(1)并项法运用公式A + A = 1 ,将两项合并为一项，消去一个变量，如例. Y1 = AB + ACD + A B + A CD= ( A + A ) B + ( A + A )CD = B + CD练习1. 练习1. Y2= BC D + BCD + BC D + BCD= BC ( D + D ) + BC ( D + D )= BC + BC = B= A( BC + BC ) + A( BC + BC )= ABC + ABC + ABC + ABC = AB(C + C ) + AB(C + C )练习2. 练习2. Y3= AB + AB = A( B + B ) = A(2)吸收法吸收法将两项合并为一项，运用公式A+AB=A,将两项合并为一项，消去将两项合并为一项多余的与项。

多余的与项。

例. Y1 = ( A B + C ) ABD + AD= ( A B + C ) B AD + AD = AD[]练习1.Y2 = AB + ABC + ABD + AB (C + D ) 练习1.= AB + AB C + D + (C + D ) = AB[]练习2. 练习2. Y3 = ( A + BC ) + ( A + BC )( A + B C + D)= A + BC(3)消去法消去法运用公式A + A B = A + B,或AB + A C + BC = AB + A C增加必要的乘积项，消去多余的因子例.Y1 = A + A CD + A BC= A + CD + BC练习1. 练习1. Y2 = A + AB + BE= A + B + BE = A+ B + E练习2. 练习2.Y3 = AC + AB + B + C= AC + AB + B C= AC + B C(4)配项法配项法先通过乘以A + A = 1或加上A + A = A ,增加必要的乘积项，再用以上方法化简，如：例. Y1 = AB + A B + BC + B C= AB + A B (C + C ) + BC + B C ( A + A )= AB + A BC + A BC + BC + AB C + A B C= ( AB + AB C ) + ( A BC + BC ) + ( A BC + A B C )= AB + BC + A C练习1. 练习1.Y2 = A BC + A BC + ABC= ( A BC + A BC ) + ( A BC + ABC )= A B (C + C ) + ( A + A) BC= A B + BC练习2. 练习2.Y3 = AB + AC + BCD= AB + AC + BCD ( A + A) = AB + AC + ABCD + ABCD= AB + AC小结逻辑函数的公式化简法A 并项法：将两项合并为一项，并项法：+ A = 1 ,将两项合并为一项，消去多余的项吸收法：吸收法：+ AB = A ,将两项合并为一项，消去将两项合并为一项， A 多余的项A 消去法：消去法：+ AB = A + B , AB + AC + BC = AB + A C 将两项合并为一项，将两项合并为一项，消去多余的项A 配项法：配项法：+ A = 1或加上A + A = A ,再利用以上的方法做题作业P34页2-5,(2)(3)(4)(5)。

应用逻辑代数运算法则化简下列各式在逻辑代数中，我们经常需要对逻辑表达式进行化简，以简化逻辑运算的复杂性。

下面我们将应用逻辑代数的运算法则来化简一些逻辑表达式。

1.根据分配律化简表达式：(A+B)*(A+C)根据分配律，我们可以将表达式展开为：A*A+A*C+B*A+ B*C根据恒等律和交换律，我们可以得到简化后的表达式：A+(A*C) +(B*A)+B*C进一步应用恒等律和交换律，最终得到简化后的表达式：A+AC+ BA+BC2.化简表达式：(A+B)*(A'+B')根据德摩根定律，我们可以得到：(A*A')+(A*B')+(B*A') +(B*B')根据恒等律和零律，我们可以进一步简化为：0+(A*B')+(B* A')+0根据交换律和恒等律，最终得到简化后的表达式：AB'+BA'3.化简表达式：(A+B)*(A+B')*(A'+B)根据分配律，我们可以将表达式展开为：(A*A'+A*B+B* A'+B*B')*(A'+B)根据恒等律和归并律，我们可以进一步简化为：(0+A*B+B* A'+0)*(A'+B)根据恒等律和分配律，最终得到简化后的表达式：(AB+BA')* (A'+B)进一步应用分配律和恒等律，可以化简为：ABA'+ABB+BA'A'+ BA'B根据恒等律和交换律，最终得到简化后的表达式：AB+AB'+BA' +BA'B通过应用逻辑代数的运算法则，我们成功地对给定的逻辑表达式进行了化简。

化简后的表达式更加简洁，易于理解和使用，提高了逻辑运算的效率。