(完整版)§8.5逻辑代数公式化简习题2-2017-9-10

2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
附加公式二： 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为 x·f和
x·f的逻辑或。 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为（x+f）和
（x+f）的逻辑与。
利用附加公式一，可以改写为：
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：化简函数 AB BD （A B）(A B)(B E)
2.1.2 逻辑代数的基本公式
基本公式验证方法： 真值表 利用基本定理化简公式 例：真值表验证摩根定律
A B A B A＋B A＋B A B 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 10 1 1 0 0 11 0 0 0 0
A______•____B______
__ __
A B
__ __
A B A • B
2.1.2 逻辑代数的基本公式
真值表 利用基本定理化简公式 例：证明包含律
AB AC BC AB AC
证明：
AB（C C） AC(B B ) BC(A A) 1律、互补律 ABC ABC ABC ABC ABC ABC 分配律 ABC ABC ABC ABC 重叠律 AB AC 分配律、互补律
比较两种方法，应用反演规则比较方便。
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
例题：求下列函数的反函数 1、F AB CD 2、F A B BCD
2.1.3 逻辑代数的基本规则
3、对偶规则
如果将逻辑函数F 中所有的“”变成“+”,“+”变
成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”, 则所得到的新
A
F
A1 F
非门 （A是输入，F是输出）

= AB + AB ⋅ AB ⋅ C = AB + ( A + B)( A + B)C = AB + ABC + ABC
= AB(C + C ) + ABC + ABC = ABC + ABC + ABC + ABC
=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）
卡诺图简化法
例3 用卡诺图化简
F(A B,C, D =∑ (0,1 2,5, 6, 7,8,9,13 , ) m , ,14)
AC D
B C
BD
11
AC
F = AC+ AD+ B +B + ACD D C
AD
10
例10：某逻辑函数输入是8421 10：某逻辑函数输入是8421BCD码，其逻辑表达式为： 码 其逻辑表达式为： 8421 L（A,B,C,D）=∑ （1,4,5,6,7,9）+∑ （10,11,12,13,14,15） （ , ）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15） 用卡诺图法化简该逻辑函数。 用卡诺图法化简该逻辑函数。 画出4变量卡诺图。 号小方格填入1 解：（1）画出4变量卡诺图。将1、4、5、6、7、9号小方格填入1； 10、11、12、13、14、15号小方格填入 号小方格填入× 将10、11、12、13、14、15号小方格填入×。 合并最小项，如图（ ）所示。注意， 方格不能漏。 （2）合并最小项，如图（a）所示。注意，1方格不能漏。×方格 根据需要，可以圈入，也可以放弃。 根据需要，可以圈入，也可以放弃。 写出逻辑函数的最简与—或表达式 或表达式: （3）写出逻辑函数的最简与 或表达式: 如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为： 如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为：

公式化简习题：1、用公式化简法将C B BC BC A ABC A ++++=F 化为最简与或式。

(要求化简过程)解：F=A +ABC +ABC̅̅̅̅+BC +B ̅C =A (1+BC )+ABC̅̅̅̅+BC +B ̅C =A+A BC̅̅̅̅+BC +B ̅C =A(1+BC̅̅̅̅)+BC+B ̅C =A+C(B+B̅) =A+C2、用公式化简法将AB B A B A C B A Y ++=),,(化为最简与或式(要求写出过程)。

解：Y (A,B,C )=AB̅+A ̅B +AB =A (B +B̅)+A ̅B =A +A̅B =A +B3、用公式化简法将)(),,(C A B B A C B A Y +++=化为最简与或式(要求写出过程)。

解：Y (A,B,C )=AB ̅+B +(A +C̅)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ =AB̅+B +A ̅C =A +B +C4、用公式化简法将BD A CD B A D C B A Y ++=),,,(化为最简与或式(要求写出过程)。

解：Y (A,B,C,D )=A +B̅CD +A ̅BD =A +BD +B̅CD =A +D (B +B̅C ) =A +D (B +C )=A +BD +CD5、用公式化简法将D C A ABD CD B A D C B A Y ++=),,,(化为最简与或式(要求写出过程)。

解：Y (A,B,C,D )=AB̅CD +ABD +AC ̅D =AD(B̅C +B +C ̅) =AD(B +C +C̅) =AD (B +1)=AD卡诺图化简习题：1. 用卡诺图法化简函数Y(A 、B 、C 、D)= ∑m(1,2,5,6,9)+ ∑d(10,11,12,13,14,15)。

式中d 表示无关项，求其最简与或表达式。

(要求圈出过程)卡诺图如下：2. 用卡诺图法化简函数Y(A 、B 、C 、D)=，求其最简与或表达式(要求圈出过程)。

Y=ABCD+ABC+ABD+BCD+BCD
解:
Y = ABCD + ABC + ABD + BCD+BCD =为加(1,4,5,6,9,11,12,14)
Y = BD + ABC + AC D + ABD
2、Y = ABC1AB+ADf+AB1CD+AB1C
解：
Y = AB + AC+AD
一、利用逻辑代数的基本公式和常用公式化简下列齐式:
(2)AB+AC+BC = (^AB+X+K=(QA0C+(A4-^a =^X+MC+K+ABC =
(^AC+ABC+BC+ABC =GO) AC+ABC+ACD+CD =
二、证明等式：AB + AB = A B + AB
证明：
^ii=A^BAB =(A + B)(A + B)= AA + AB + AB + BB = AB + AB = /Eii
3、乙=a'bC+a + b + c +(AbG
解：乙=1
4、Y}=ABf^AC^BfC
解：r, = A B + AC
5、Y}=A(BCy-}-ABC，
解：Y}=AB ^-ACf
6、Y = A BC + ABC'+ABC!+BC
解：Y = AB + BC
7、F =(AB + BC)+(BC + AB)

6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）⼀、逻辑函数的化简将⼀个逻辑表达式变得最简单、运算量最少的形式就叫做化简。

由于运算量越少，实现逻辑关系所需要的门电路就越少，成本越低，可靠性相对较⾼，因此在设计逻辑电路时，需要求出逻辑函数的最简表达式。

由此可以看到，函数化简是为了简化电路，以便⽤最少的门实现它们，从⽽降低系统的成本，提⾼电路的可靠性。

通常来说，我们化简的结果会有以下五种形式为什么是这五种情况，这个跟我们实现的逻辑电路的元器件是有关系的。

在所有的逻辑电路中，都是通过与、或、⾮三种逻辑电路来实现的，之前说过逻辑“与或”、“或与”、“与或⾮”组合逻辑电路是具有完备性的，也就是说能够通过它们不同数量的组合能够实现任何电路。

通过不同的“与或”电路组成的电路，最后化简的表达式就是“与或”表达式，其他同理。

⼆、将使⽤“与或”表达式的化简表达式中乘积项的个数应该是最少的表达了最后要⽤到的与门是最少的，因为每⼀个乘积项都需要⼀个与门来实现。

同时也对应了或门输⼊端的个数变少，有2个与项或门就有2个输⼊端，有3个与项或门就有3个输⼊端。

所以第⼀个条件是为了我们的与门和或门最少。

每⼀个乘积项中所含的变量个数最少它是解决每⼀个与门的输⼊端最少。

逻辑函授的化简有三种⽅法三、逻辑函数的代数化简法3.1 并项法并项法就是将两个逻辑相邻（互补）的项合并成⼀个项，这⾥就⽤到了“合并律”将公因⼦A提取出来合并成⼀项，b和b⾮相或的结果就等于1，所以最后的结果就是A。

吸收法是利⽤公式“吸收律”来消去多余的项3.3 消项法消项法⼜称为吸收律消项法3.4 消因⼦法（消元法）3.4 配项法左边的例⼦⽤到了⽅法1，右边的例⼦⽤到了⽅法2。

3.5 逻辑函数的代数法化简的优缺点优点：对变量的个数没有限制。

在对定律掌控熟练的情况下，能把⽆穷多变量的函数化成最简。

缺点：需要掌握多个定律，在使⽤时需要能够灵活应⽤，才能把函数化到最简，使⽤门槛较⾼。

第8 章§8.5 逻辑代数公式化简习题2例题1：Y ABC ABC AB（一）考核内容1、第8 章掌握逻辑运算和逻辑门；掌握复合逻辑运算和复合逻辑门；掌握逻辑函数的表示方法；掌握逻辑代数的基本定理和常用公式；掌握逻辑函数的化简方法。

8.6 逻辑函数的化简8.6. 1 化简的意义1、所谓化简就是使逻辑函数中所包含的乘积项最少，而且每个乘积项所包含的变量因子最少，从而得到逻辑函数的最简与–或逻辑表达式。

逻辑函数化简通常有以下两种方法：（1）公式化简法又称代数法，利用逻辑代数公式进行化简。

它可以化简任意逻辑函数，但取决于经验、技巧、洞察力和对公式的熟练程度。

（2）卡诺图法又称图解法。

卡诺图化简比较直观、方便，但对于5 变量以上的逻辑函数就失去直观性。

2、逻辑函数的最简形式同一逻辑关系的逻辑函数不是唯一的，它可以有几种不同表达式，异或、与或、与或非—非、与非—与非、或与非、与或非、或非—或非。

一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式 5 种表示形式。

（1）与或表达式：Y =AB +AC（2）或与表达式：Y = ( A +B)( A +C)=AB +AB=B（2）、吸收法：利用公式A +AB =A ，吸收掉多余的乘积项。

例题2：Y =AB +AD +BE=A +B +AD +BE=A +B（3）、消去法：利用公式A +AB =A +B ，消去乘积项中多余的因子。

例题3：Y =AB +AC=A +B +AC=A +B +C（4）、配项消项法：利用公式AB +AC +BC =AB +AC ，在函数与或表达式中加上多余的项——冗余项，以消去更多的乘积项，从而获得最简与或式。

例题4：Y =AB +ADE +BD=AB +BD +ADE +AD=AB +BD +AD(E + 1)=AB +BD +AD（3）与非-与非表达式：Y =⋅AC =AB +BD （4）或非-或非表达式：Y =A +B +A +C（5）与或非表达式：Y =AB +AC3、公式化简法（1）、并项法：利用公式AB+AB=A，把两个乘积项合并起来，消去一个变量。

对应规律：原变量 1 反变量 0
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
0123456
7
m0
m1 m2 m3 m4
m5
m6 m7
4. 最小项标准表达式
任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成， 都可以表示成为最小项之和的形式。
2. 最小项的性质：
ABC 000 001 010 011 100 101 110 111
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 01
分配律 A BC ( A B) ( A C)
(3) A AB ( A A)( A B) A B
(4) AB AC BC AB AC
左 AB AC ( A A) BC A AB A AB AC ABC ABC AB AC
推论
AB AC BCD AB AC
(5) AB AB A B AB
AB A B
A B AB
左 AB AB ( A B) ( A B)
A A A B AB B B A B AB 即 A B = A⊙B 同理可证 A⊙B A B
六、关于异或运算的一些公式
异或 A B AB AB 同或 A⊙B AB A B
0000 0
00
0
0010 0
01
0
0100 0
10
0

1+A=1 1+A+B+C+D+EFG=1
第一章 数字电路基础
2.反演法则
由原函数求反函数的过程叫反演。
对任意一个逻辑函数F，若把式中所有0→1，1→0，＋→∙，∙→＋，原变量换为反变 量，反变量换为原变量，并保证原来的运算顺序，则所得的新函数即为原函数的反函 数。
求函数 L=AC+的B反D函数。 求函数 L=A×B+C的+反D函数。
AB BC AB AC
（消去1个冗余项 BC）
BC AB AC
（再消去1个冗余项 AB）
解法2：
L AB BC BC AB AC
（增加冗余项 AC ）
AB BC AB AC
（消去1个冗余项 BC）
AB BC AC
（再消去1个冗余项 AB）
（利用A AB A B）
A BC CB BD DB
（利用A AB A）
A BC(D D) CB BD DB(C C ) （配项法）
A BCD BC D CB BD DBC DBC
（利用A AB A）
A BC D CB BD DBC
对合律
A A
根据下面的逻辑函数表达式画出逻辑图。
L AB AC BC CB BD DB ADE(F G)
L A C D CB BD
§1.4 逻辑函数的公式化简法
第一章 数字电路基础
一、逻辑函数表达式的几种形式
F AB AC
A BA C
三、常用的公式化简法
公式化简逻辑函数就是用逻辑代数的基本公式 和常用公式消去多余的乘积项和每个乘积项中的多 余因子。

AB BC
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2019/1/10
第五节 逻辑函数的化简
根据公式
A A 1
( A A) ，
可在逻辑函数式中的某一项乘
然后拆成两项分别与其他项合并。 [例2.5.13]： Y
BC AC AB
( A A)BC AC AB
ABC ABC AC AB
Y A( BC ) ABC [例2.5.3]： A(( BC ) BC ) A
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第五节 逻辑函数的化简
[例2.5.4]：用并项法将
Y BCD BCD BCD BCD
化简为最简与-或表达式。 解： Y BCD BCD BCD BCD
AB AC
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2019/1/10
第五节 逻辑函数的化简
综合法
[例2.5.14]：
Y AC BC BD CD A( B C ) ABCD ABDE
AC BC BD CD A( BC ) ABCD ABDE AC ( BC A( BC )) BD (CD ABCD) ABDE
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2019/1/10
第五节 逻辑函数的化简
5.配项法 根据公式
A A A
可在逻辑函数式中重复写入某一项。 [例2.5.12]： Y
ABC ABC ABC
ABC ABC ABC ABC
AB(C C ) ( A A)BC
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未来发展方向与挑战
新技术与新应用
随着技术的不断发展，数字电路设计面临着 新的挑战和机遇，需要不断探索新的设计方 法和工具，以适应新的需求。
复杂系统设计
随着系统规模的扩大和复杂性的增加，需要研究更 加高效的设计方法和算法，以应对复杂系统的设计 挑战。
人工智能与自动化
人工智能和自动化技术的发展为数字电路设 计提供了新的思路和方法，可以进一步提高 设计的效率和智能化水平。
02
利用逻辑代数基本原理，可以分析组合逻辑电路的输入和输出
关系，简化电路结构。
通过公式化简，可以将复杂的逻辑表达式转换为简单的形式，
03
便于理解和应用。
时序逻辑电路的分析与设计
01
02
03
时序逻辑电路由触发器 和逻辑门电路组成，具
有记忆功能。
利用逻辑代数基本原理 ，可以分析时序逻辑电 路的状态转移和输出特
分配律与结合律
分配律
A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C，(A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C
结合律
(A+B)+C=A+(B+C)，(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)
公式化简的步骤与技巧
利用分配律和结合律化简
利用吸收律和消去律化简
利用吸收律和消去律简化表达式 ，消除冗余项。
利用分配律和结合律将表达式重 组，便于化简。
在自动化控制系统中，逻辑代数用于描述和优化控制逻辑。
逻辑代数的发展历程
起源
逻辑代数由英国数学家乔治·布尔（George Boole ）在19世纪中叶提出。
发展
随着电子技术和计算机科学的进步，逻辑代数在 20世纪得到了广泛的应用和发展。

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数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.逻辑函数的表示方法
逻辑真值表；逻辑表达式；逻辑图；卡诺图 (1) 逻辑真值表
以上面的举重裁判电路为例
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 0 0 1 1 1
第15页
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
四、逻辑代数的基本定理
1. 代入定理
在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若 以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则 等式仍然成立。 例: 代入定理证明德•摩根定理也适用于多变 量的情况。 解：
A ( B C) A ( B C) A B C A ( B C) A ( B C) A B C
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.“或”门
输入、输出端能实现或运算的电路叫做“或 门”。或门的符号也就是或运算的符号。 逻辑式： F=A+B+C 逻辑符号： A B C
1
F
注1.常见的有二输入或门，三输入或门、四输入或 门等。 注2.常把或门的一个输入端作门的控制端，当控制 端为“0”时，或门打开，为“1”时，或门功能禁 止。
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数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
§2.1 逻辑代数的基本原理
数字电路要研究的是电路的输入输出之间的 逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的 研究工具是逻辑代数（布尔代数）。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大 写字母A、B、 C、…表示，逻辑变量的取值只有两 种，即逻辑0和逻辑1。 0和1称为逻辑常量。但必 须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义， 它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符 号，代表事物矛盾双方的两种对立的状态。

第8章 §8.5 逻辑代数公式化简习题1（一）考核内容1、第8章掌握逻辑运算和逻辑门；掌握复合逻辑运算和复合逻辑门；掌握逻辑函数的表示方法；掌握逻辑代数的基本定理和常用公式；掌握逻辑函数的化简方法。

8.5 逻辑代数基本定律 8.5.1基本定理1、逻辑代数中的变量和常量常量：是写出0和1数字的量，或者已知电平的高低状态。

变量：是用字母表示的，有可能为0也可能为1 2、基本定理自等律 A A =⋅1； A A =+0 0-1律 00=⋅A ； 11=+A交换律 A B B A ⋅=⋅； A B B A +=+结合律 )()(C B A C B A C B A ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ； )()(C B A C B A C B A ++=++=++ 分配律 C A B A C B A ⋅+⋅=+⋅)(； )()(C A B A C B A +⋅+=⋅+ 互补律 0=⋅A A ； 1=+A A 重叠律 A A A =⋅； A A A =+A A A A A =⋅⋯⋅⋅⋅ A A A A A =+⋅⋅⋅+++反演律(又称摩根定律) BA ⋅=A +B （或⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅C B A C B A ）B A B A ⋅=+(或⋅⋅⋅⋅⋅=+++C B A C B A )还原律A A =3、证明：11=+A变量A 可能为0也可能为1，当A=1，1111=+=+A ；当A=0，1101=+=+A 4、证明分配律： )()(C A B A C B A +⋅+=⋅+BCA BCBC A BC AB AC A BC AB AC AA C A B A +=+++=+++=+++=+⋅+)1()()(5、练习证明：CD A D A C A +=+⋅+)()(6、证明重叠律 A A A =⋅变量A 可能为0也可能为1，当A=1，111=∙=⋅A A ；当A=0，000=∙=⋅A A 7、摩根定律证明：用真值表证明8.5.2 逻辑函数的化简常用公式1、合并律 A B A AB =+证明：A A B B A B A AB =∙=+=+1)( 2、吸收律 (1)A AB A =+(2) B A B A A +=+(1)证明：A A B A AB A =∙=+=+1)1( (2)证明：B A B A A A B A A +=+⋅+=+)()(3、添加律 C A AB BC C A AB +=++ 3.1添加律证明：CA AB BC A C AB BC A ABC C A AB BCA A C A AB BC C A AB +=+++=+++=+++=++)1()1()(3.2添加律分析：§8.5 逻辑代数公式化简自测题1一、基本定理填空自等律 =⋅1A ( ) ； ) (0=+A 0-1律 ) (0=⋅A ； ) (1=+A交换律 ) (=⋅B A ； ) (=+B A结合律 C C B A ⋅=⋅⋅ )( ； ) (+=++A C B A 分配律 )()(+⋅=+⋅B A C B A ； ) ( ) (⋅=⋅+C B A 互补律 ) (=⋅A A ； ) (=+A A 重叠律)(=⋅A A ； ) ()(=⋅⋯⋅⋅⋅A A A A A ) (=+A A)(=+⋅⋅⋅+++A A A A 反演律(又称摩根定律)) (=⋅B A 或 ) (=⋅⋅C B A ; ) (=+B A ; 或) (=++C B A ;还原律 ) (=A二、证明题1、证明： )()(C A B A C B A +⋅+=⋅+2、用真值表证明摩根定律：3、证明： A B A AB =+4、证明： (1)A AB A =+(2)B A B A A +=+5、证明：C A AB BC C A AB +=++。

逻辑代数化简练习一、选择题1.以下表达式中符合逻辑运算法则的是。

A.C ·C=C2B.1+1=10C.0<1D.A+1=12. 逻辑变量的取值１和０可以表示：。

A.开关的闭合、断开B.电位的高、低 C.真与假 D.电流的有、无3. 当逻辑函数有n 个变量时，共有个变量取值组合？A.n B.2n C.n 2D.2n4. 逻辑函数的表示方法中具有唯一性的是。

A .真值表 B.表达式 C.逻辑图 D.卡诺图5.F=A B +BD+CDE+A D=。

A.D BA B.D B A)( C.))((D B D A D.))((D B D A 6.逻辑函数F=)(B AA= 。

A.BB.AC.B AD.BA7．求一个逻辑函数F 的对偶式，可将F 中的。

A .“·”换成“+”，“+”换成“·”B.原变量换成反变量，反变量换成原变量C.变量不变D.常数中“0”换成“1”，“1”换成“0”E.常数不变8．A+BC=。

A .A+B B.A+C C.（A+B ）（A+C ） D.B+C9．在何种输入情况下，“与非”运算的结果是逻辑0。

A ．全部输入是0 B.任一输入是0 C.仅一输入是0 D.全部输入是 110．在何种输入情况下，“或非”运算的结果是逻辑0。

A ．全部输入是0 B.全部输入是 1 C.任一输入为0，其他输入为1 D.任一输入为 1二、判断题（正确打√，错误的打×）1．逻辑变量的取值，１比０大。

（）。

2．异或函数与同或函数在逻辑上互为反函数。

（）。

3．若两个函数具有相同的真值表，则两个逻辑函数必然相等。

（）。

4．因为逻辑表达式A+B+AB=A+B成立，所以AB=0成立。

（）5．若两个函数具有不同的真值表，则两个逻辑函数必然不相等。

（）6．若两个函数具有不同的逻辑函数式，则两个逻辑函数必然不相等。

（）7．逻辑函数两次求反则还原，逻辑函数的对偶式再作对偶变换也还原为它本身。

逻辑代数和逻辑函数化简.
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 9、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左