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高一数学总复习学案 必修2第三章：直线与方程一、知识点 倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；…. 直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：00y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠. 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP .特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d ，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =二、直线方程对应练习 一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y x B.052=-+y x C. 052=-+y x D. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ）A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，切sin cos 0θθ+=则a,b 满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或210、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 12. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜013. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1C.2D. 22 14. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________。
章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．解决截距问题不忽略“0”的情形解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点：(1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论．2．弄清直线的倾斜角与斜率关系在解决由直线的斜率求其倾斜角的范围问题时，先求出直线的斜率k 的取值范围，再利用三角函数y ＝tan x 的单调性，借助函数的图象，确定倾斜角的范围．3．不要忽视斜率不存在的情况(1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l 1∥l 2⇔k 1＝k 2求解，忽略k 1，k 2不存在的情况，就会导致漏解．(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1求解，要注意其前提条件是k 1与k 2必须同时存在.专题一 直线的倾斜角与斜率问题直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度，倾斜角α与斜率k 的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起高度重视．(1)对应关系．①当α≠90°时，k ＝tan α；②当α＝90°时，斜率不存在． (2)单调性．当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k 由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0)．经过A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，(x 1≠x 2)两点的直线的斜率公式是k ＝y 2－y 1x 2－x 1，应用时注意其适用的条件是x 1≠x 2，当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在．[例1] 已知坐标平面内的三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，3＋1)． (1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的取值范围． 解：(1)由斜率公式，得 k AB ＝1－11－（－1）＝0，k BC ＝3＋1－12－1＝3，k AC ＝3＋1－12－（－1）＝33.因为tan 0°＝0，所以AB 的倾斜角为0°；因为tan 60°＝3，所以BC 的倾斜角为60°； 因为tan 30°＝33，所以AC 的倾斜角为30°. (2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕点C 旋转，当直线CD 由CA 逆时针转到CB 过程中，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在△ABC 的边AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤33，3.归纳升华求直线斜率的方法1．定义法．已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α.2．公式法．若直线过两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．数形结合法．已知一条线段AB 的端点及线段外一点P ，求过点P 的直线l 与线段AB 有交点的情况下l 的斜率，若直线PA ，PB 的斜率均存在，则步骤为：①连接PA ，PB ；②由k ＝y 2－y 1x 2－x 1求出k PA ，k PB ；③结合图形即可写出满足条件的直线l 的斜率的取值范围．[变式训练] (1)如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P(3，2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3，2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是0°、锐角还是钝角．(2)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________．(1)解：由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率，则k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.由k 1>0知，直线l 1的倾斜角是锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角是钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角是0°.(2)解析：直线AB 的斜率k ＝tan 135°＝－1， 则y ＋34－2＝－1，解得y ＝－5. 答案：－5专题二 直线的平行与垂直问题1．两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2斜率都存在，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；斜率不存在时单独考虑，即k 1，k 2中有一个为零，另一个不存在，则两条直线垂直；若k 1，k 2均不存在，则两直线平行或重合．2．当两条直线给出一般式时，平行与垂直关系利用系数关系解决．即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[例2] 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值：(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a(a －1)＋(－b)·1＝0，即a 2－a －b ＝0.① 又因为点(－3，－1)在l 1上，所以－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2.(2)因为l 1∥l 2，且l 2的斜率为1－a ，所以l 1的斜率也存在，且a b ＝1－a ，即b ＝a1－a .故l 1和l 2的方程可分别表示为 l 1：(a －1)x ＋y ＋4（a －1）a ＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋a 1－a＝0. 因为原点到l 1与l 2的距离相等， 所以4⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪a 1－a ，所以a ＝2或a ＝23.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.归纳升华考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择；一是直线方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在y 轴上的截距来处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y 轴上的截距来处理，也可直接利用系数处理．[变式训练] 已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l 1与经过点P(0，－1)和点Q(a ，－2a)的直线l 2互相垂直，求实数a 的值．解：l 1的斜率k 1＝3a －01－（－2）＝a.当a≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －（－1）a －0＝1－2aa .所以l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a·1－2aa＝－1，得a ＝1.当a ＝0时，P(0，－1)，Q(0，0)，这时直线l 2为y 轴， A(－2，0)，B(1，0)，这时直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2. 故实数a 的值为0或1. 专题三 距离问题解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，三种距离是高考考查的热点，公式见下表：解：①当在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx(k≠0)，即kx －y ＝0.由已知，得|3k －1|k 2＋1＝2，整理得7k 2－6k －1＝0，解得k ＝－17或1，所以所求直线方程为x ＋7y ＝0或x －y ＝0.②当在两坐标轴上的截距相等且不为0时，直线的斜率为－1，设直线为x ＋y ＋C ＝0(C≠0)，由已知得|4＋C|2＝2，解得C ＝－6或C ＝－2.所以所求直线方程为x ＋y －6＝0或x ＋y －2＝0.综上，所求直线方程为x ＋7y ＝0或x －y ＝0或x ＋y －6＝0或x ＋y －2＝0.归纳升华1．求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．2．对于与坐标轴平行(或重合)的直线x ＝a 或y ＝b ，求点(x 0，y 0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d ＝|x 0－a|或d ＝|y 0－b|.3．若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解．[变式训练] 直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：①当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y ＝kx(k≠0)，由点到直线的距离公式可得|4k －3|k 2＋1＝32，解得k ＝－6±3214.故所求直线的方程为y ＝⎝⎛⎭⎫－6±3214x. ②当直线不经过坐标原点时， 设所求方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0，由题意可得|4＋3－a|2＝32， 解得a ＝1或a ＝13.故所求直线的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0. 综上可知，所求直线的方程为y ＝⎝⎛⎭⎫－6±3214x 或 x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0. 专题四 数形结合思想的应用数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决：[例4] 已知点M(3，5)，在直线l ：x －2y ＋2＝0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小．解：由点M(3，5)及直线l ：x －2y ＋2＝0，可求得点M 关于l 的对称点M 1(5，1)， 同理可得点M 关于y 轴的对称点M 2(－3，5)，如图所示．根据M 1，M 2两点可得直线M 1M 2的方程为x ＋2y －7＝0. 令x ＝0，得直线M 1M 2与y 轴的交点Q ⎝⎛⎭⎫0，72， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －7＝0，x －2y ＋2＝0，得两直线的交点P ⎝⎛⎭⎫52，94. 所以点P ⎝⎛⎭⎫52，94与点Q ⎝⎛⎭⎫0，72即为所求．归纳升华利用直接求解法比较烦琐时，可从图形方面考虑，利用数形结合的方法来求解，从而使问题变得形象、直观，利于求解．[变式训练] 求y ＝x 2－x ＋1－x 2＋x ＋1的值域． 解：原式可变形为 y ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34， 它表示动点P(x ，0)到点A ⎝⎛⎭⎫12，32和点B ⎝⎛⎭⎫－12，32的距离之差，如图所示，即y ＝|PA|－|PB|.由于||PA|－|PB||<|AB|＝1，所以|y|<1，即－1<y<1. 所以该函数的值域为(－1，1)．。
3．3.4 两条平行直线间的距离1．掌握两条平行直线间距离的定义．2．会求两条平行直线间的距离．两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两条平行直线间__________的长叫做这两条平行直线间的距离．(2)求法：转化为求__________的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．【做一做】 两条平行直线x ＋y ＋2＝0与x ＋y －3＝0的距离等于( ) A.52 2 B.22 C ．5 2 D. 2答案：(1)公垂线段 (2)点到直线【做一做】 A两条平行直线间的距离公式剖析：对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.当直线l 1∥l 2时，它们的方程可以化为以下形式：直线l 1：A x ＋B y ＋D 1＝0，直线l 2：A x ＋B y ＋D 2＝0. 在直线l 1上任取一点P(x 0，y 0)，则有l 1：A x 0＋B y 0＋D 1＝0，即A x 0＋B y 0＝－D 1.所以点P 到直线l 2的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋D 2|A 2＋B 2＝|－D 1＋D 2|A 2＋B 2＝|D 1－D 2|A 2＋B 2， 即直线l 1，l 2的距离d ＝|D 1－D 2|A 2＋B 2.(1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：①把直线方程化为直线的一般式方程；②两条直线方程中x ，y 系数必须分别相等．(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两条平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．(3)当两条直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合方法来解决．①两条直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则两条平行直线间的距离d ＝|x 2－x 1|；②两条直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则两条平行直线间的距离d ＝|y 2－y 1|.题型一：求两条平行线间的距离【例1】 求两条平行线l 1：3x ＋4y －5＝0和l 2：6x ＋8y －9＝0间的距离．反思：求两条平行直线间距离有两种思路：①利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算，如本题解法一．②利用两条平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，如本题解法二． 题型二：两条平行直线间距离公式的应用【例2】 平行于直线x －3y ＝0，且与其距离为3的直线l 的方程是__________． 反思：求平行于直线A x ＋B y ＋C ＝0的直线方程时，常设为A x ＋B y ＋m ＝0(m ≠C)，利用待定系数法来解决．有关平行直线间距离问题，常利用两条平行直线间的距离公式列出方程来解决．题型三：易错辨析易错点 利用两条平行直线间的距离公式求距离时，常忽略方程的系数【例3】 求两条平行直线l 1：3x ＋4y ＋2＝0，l 2：12x ＋16y －8＝0之间的距离．错解：d ＝|2－(－8)|32＋42＝105＝2. 错因分析：错解中，没有把l 2的方程化为3x ＋4y ＋m ＝0的形式，导致出错．反思：使用两条平行线间的距离公式求距离时，应把直线方程化为一般式，同时要使两个直线方程中x ，y 的系数对应相等．答案：【例1】 解：解法一：在直线l 1：3x ＋4y －5＝0上任取一点，不妨取点P (0，54)， 则点P 到直线l 2：6x ＋8y －9＝0的距离即为两条平行直线间的距离．因此d ＝|0×6＋8×54－9|62＋82＝110. 解法二：把l 2：6x ＋8y －9＝0化为3x ＋4y －92＝0， 由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|－5－(－92)|32＋42＝110. 【例2】 x －3y ＋6＝0或x －3y －6＝0【例3】 正解：l 2：12x ＋16y －8＝0可化为3x ＋4y －2＝0，根据两条平行线间的距离公式，可得d ＝|2－(－2)|32＋42＝45.1．直线46x y -＝1与y ＝32x ＋1之间的距离为( )A.13B.13C.2D．242．平行直线x－y＝0与x－y＋m＝0，则实数m＝__________.3．直线l与两条平行直线l1：x－3y＋1＝0，直线l2：x－3y＋5＝0的距离相等，则直线l的方程是__________．4．两条平行线3x＋4y＋5＝0与6x＋a y＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝__________.5．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．答案：1．B 2.±2 3.x－3y＋3＝0 4.105．解：设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0(m≠6)，由两条直线的距离为2＝2.则m＝32或m＝－20，故所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.。
【导语】如果把⾼中三年去挑战⾼考看作⼀次越野长跑的话，那么⾼中⼆年级是这个长跑的中段。
与起点相⽐，它少了许多的⿎励、期待，与终点相⽐，它少了许多的掌声、加油声。
它是孤⾝奋⽃的阶段，是⼀个耐⼒、意志、⾃控⼒⽐拚的阶段。
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⾼⼆频道为你整理了《⾼⼀数学必修⼆各章知识点总结》，学习路上，为你加油！ 【第⼀章空间⼏何体】 1.1空间⼏何体的结构 1.2空间⼏何体的三视图和直观图 阅读与思考画法⼏何与蒙⽇ 1.3空间⼏何体的表⾯积与体积 探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积 实习作业 ⼩结 复习参考题 【第⼆章点、直线、平⾯之间的位置关系】 2.1空间点、直线、平⾯之间的位置关系 2.2直线、平⾯平⾏的判定及其性质 2.3直线、平⾯垂直的判定及其性质 阅读与思考欧⼏⾥得《原本》与公理化⽅法 ⼩结 复习参考题 【第三章直线与⽅程】 3.1直线的倾斜⾓与斜率 探究与发现魔术师的地毯 3.2直线的⽅程 3.3直线的交点坐标与距离公式 阅读与思考笛卡⼉与解析⼏何 ⼩结 复习参考题 【第四章圆与⽅程】 4.1圆的⽅程 阅读与思考坐标法与机器证明 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直⾓坐标系 信息技术应⽤⽤《⼏何画板》探究点的轨迹：圆 ⼩结 复习参考题 【函数知识点】 ⼀、定义与定义式： ⾃变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的⼀次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正⽐例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0) ⼆、⼀次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正⽐例，⽐值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、⼀次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出⼀次函数的图像——⼀条直线。
因此，作⼀次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
2019-2020学年度最新人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3-1-1.1.1倾斜角与斜率学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能．思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同．梳理(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．知识点二 直线的斜率与倾斜角的关系思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案 不同，因为32≠22.思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？ 答案 存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 梳理 (1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)斜率与倾斜角的对应关系知识点三 过两点的直线的斜率公式直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．类型一 直线的倾斜角例1 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140°答案 D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.反思与感悟(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.类型二直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P (－3,1)，Q (－3,10)．解 (1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°. 反思与感悟 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.跟踪训练2 如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解 设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率． 由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°.类型三 直线的倾斜角、斜率的应用 命题角度1 三点共线问题例3 如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值． 解 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ， 即1－m 4＝74，∴m ＝－6.反思与感悟 斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．跟踪训练3 已知倾斜角为90°的直线经过点A (2m,3)，B (2，－1)，则m 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 由题意可得2m ＝2，解得m ＝1. 命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围例4 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围． 解 如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4 已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围． 解 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③正确．2．若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 A解析 tan 45°＝2－31－m，得m ＝2.3．若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m 的值为 ．答案92解析 设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ，则由斜率公式，得k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ， 即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.4．经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 ．(其中m ≥1) 答案 (0°，90°]解析 当m ＝1时，倾斜角α＝90°， 当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.5．已知交于点M (8,6)的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5,3)，求这四条直线的倾斜角． 解 l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]C ．和x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 答案 D解析 倾斜角是直线向上方向与x 轴的正方向所成的角，故选项A 不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，故选项B 不正确；当直线与x 轴平行时，倾斜角为0°，故选项C 不正确．2．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150° 答案 D解析 两直线垂直时，它们的倾斜角相差90°，由l 1的倾斜角为60°知，l 2的倾斜角为150°. 3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 A解析 由题意知k ＝2＋3－24－1＝33，∴直线的倾斜角为30°.4．已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．60°或120° D ．30°或150°答案 C解析 由题意知|tan α|＝3， 即tan α＝3或tan α＝－3， ∴直线l 的倾斜角为60°或120°.5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A ．(1,3)、(5,7)、(10,12)B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5)C ．(0,2)、(2,5)、(3,7)D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7)答案 C 解析A 、B 、D 三个选项中三点均共线．6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 答案 D解析 由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0， 且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2.7．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( ) A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α答案 D解析 如图所示，当l 方向向上的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 方向向上的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.8．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．0答案 A解析 如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.二、填空题9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于 ． 答案12解析 由于A ，B ，C 三点共线，所以此直线的斜率既可用A ，B 两点的坐标表示，也可用A ，C 两点的坐标表示，于是有22－a ＝2－b 2，由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab ，得1a ＋1b ＝12.10．已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线PA 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为 ． 答案 (3,0)或(0,3)解析 由题意知k PA ＝－1，若P 点在x 轴上，则设P (m,0)，则0－2m －1＝－1，解得m ＝3；若P点在y 轴上，则设P (0，n )，则n －20－1＝－1，解得n ＝3，故P 点的坐标为(3,0)或(0,3)．11．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 ． 答案 (－2,1)解析 由题意知，k AB ＝2t －(1＋t )3－(1－t )＝t －1t ＋2.因为直线的倾斜角为钝角， 所以k AB ＝t －1t ＋2<0，解得－2<t <1.12．若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为 ． 答案 [0°，45°]∪(90°，180°)解析 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1. 若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°)，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；当tan α<0时，90°<α<180°.∴α∈[0°，45°]∪(90°，180°)．三、解答题13．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (m －2,1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？(3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？解 (1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45>0， 解得m >－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45<0， 解得m <－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角．四、探究与拓展14．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．若D 为△ABC 的边AB 上一动点，则直线CD 的斜率k 的取值范围为( )A ．[33，3] B ．[0，33]∪[3，＋∞) C ．[33，＋∞) D ．[3，＋∞)答案 A15．已知坐标平面内三点P (3，－1)，M (6,2)，N (－3，3)，直线l 过点P .若直线l 与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．解考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2，，由题意知tan α1＝1，tan α2＝－33故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的倾斜角为150°，根据倾斜角的定义知符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°.。
必修二数学第三章知识点归纳必修二数学第三章的主要知识点归纳如下：1. 余弦定理：用于计算三角形的边长和角度。
余弦定理表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，其中c是对边的边长，a和b是与对边夹角相邻的两边的边长，C是夹角。
2. 正弦定理：用于计算三角形的边长和角度。
正弦定理表示为：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C分别为三角形的角度，a、b、c分别为对应的边长。
3. 合角公式：两角的和的正弦、余弦、正切关系公式。
例如：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB，cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB，tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)。
4. 二次函数：函数的一种形式，表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，a 不等于0。
二次函数的图像是抛物线，开口方向取决于a的正负。
5. 判别式：二次函数的判别式用于判断二次方程的根的性质。
判别式表示为Δ = b^2 - 4ac，当Δ大于0时，方程有两个不等实根，当Δ等于0时，方程有一个重根，当Δ小于0时，方程无实根。
6. 因式分解：将二次函数拆解为两个一次函数的乘积。
根据二次函数形式及反推求解法，可以得到二次函数的因式分解形式。
7. 配方法：一种求解二次方程的方法，通过改变二次函数的形式，使其变为一个完全平方后进行因式分解。
该方法适用于二次方程的判别式大于0。
8. 平移变换：对函数图像进行水平或垂直方向的平移，改变函数的图像位置。
平移变换表达式为f(x + h) + k，其中h为水平方向平移量，k为垂直方向平移量。
9. 轴对称：函数图像以某条直线为对称轴，两边关于该轴对称。
二次函数的对称轴方程为x = -b/ 2a，其中a、b为二次函数的系数。
这些是必修二数学第三章的主要知识点，希望对你有帮助！。
高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. ．．．．．4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k = y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线的平行① 若两条直线的斜率都存在，则：k1 = k2 = L1∥L2或者．．L1与L2重合② 两条不重合直线平行的判定条件：⑴ 两条直线的斜率都不存在；⑵ 两条直线的斜率存在，且k1 = k2．．．（若已知两条直线的斜率存在且平行，则应k1 = k2 且纵截距不相等；若已知两条直线的斜率不存在且平行，则应横截距不相等）2、两条直线垂直①若两条直线的斜率都存在，则：k1 k2 = - 1 = L1 ⊥ L2 ．．．．．②两条直线垂直的判定条件：⑴ 两条直线：一条斜率不存在，另外一条k =0 ；⑵ 两条直线的斜率存在：k1 k2 = - 1 3、利用系数来判断平行与垂直★ 已知L1: A1x+B1y+C1=0 , L2 : A2x+B2y+C2=0 那么：① A1B2-A2B1=0两条直线平行或重合．．．．两条直线相交③ A1A2 + B1B2 = 0．．② A1B2-A2B1 ≠0两条直线垂直．．★ 如果已知两条直线的一般式方程，则可以通过系数关系求解相应的参数的值。
数学·必修2(人教A版)
直线与方程
1．直线与方程．
(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
(3)能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
(4)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系．
(5)能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
(6)探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
2．平面解析几何初步的学习中，同学们的学习将经历如下的过程：
首先，将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题．其次，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，要不断地体会“数形结合”的思想方法．。
必修二数学第三章知识点总结归纳学好数学要善于总结自己掌握的数学的解题方法，只有这样你才能够真正掌握了数学的解题技巧。
做到总结和归纳是学会数学的关键。
下面是整理的必修二数学第三章知识点归纳，仅供参考希望能够帮助到大家。
必修二数学第三章知识点归纳1直线方程形式一般式：Ax+By+C=0(AB≠0)斜截式：y=kx+b(k是斜率b是x轴截距)点斜式：y-y1=k(x-x1)(直线过定点(x1,y1))两点式：(y-y1)/(x-x1)=(y-y2)/(x-x2)(直线过定点(x1,y1)，(x2,y2))截距式：x/a+y/b=1(a是x轴截距,b是y轴截距)做题过程中，点斜式和斜截式用的最多(两种合占90%以上)，一般式属于中间过渡形态。
在与圆及圆锥曲线结合的过程中，还要用到点到直线距离公式。
2直线方程的局限性各种不同形式的直线方程的局限性：(1)点斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直线;(2)两点式不能表示与坐标轴平行的直线;(3)截距式不能表示与坐标轴平行或过原点的直线;(4)直线方程的一般式中系数A、B不能同时为零。
数学直线和圆知识点1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围;直线方向向量的意义(或)及其直线方程的向量式((为直线的方向向量)).应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况?2.知直线纵截距，常设其方程为或;知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或知直线过点，常设其方程为.(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是。
