第七章 第五节

同步检测训练一、选择题1．(2009·陕西师大附中二模)在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点⎝⎛⎭⎫52，32有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最长的弦为a n ，其中公差d ∈⎣⎡⎦⎤16，13，那么n 的集合是( )A ．{3,4,5}B ．{4,5,6}C ．{3,4,5,6}D ．{4,5,6,7}答案：D解析：圆x 2＋y 2＝5x 的圆心为⎝⎛⎭⎫52，0，半径52，过点⎝⎛⎭⎫52，32有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，它等于与过⎝⎛⎭⎫52，32的直径垂直的弦的长度，则a 1＝2254－94＝4，最长的弦长为a n ，它的长度为直径，则a n ＝5，d ＝a n －a 1n －1＝1n －1，又公差d ∈⎣⎡⎦⎤16，13，则16≤1n －1≤13，4≤n ≤7，n 的集合是{4,5,6,7}，故选D. 2．(2009·广东重点中学)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎦⎤0，14C.⎝⎛⎭⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 答案：A解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14，故选A.3．(2009·广西柳州三模)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．[0,1＋2]C ．[1－2，1＋2]D ．[2－1，2＋1] 答案：C解析：曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ即x 2＋(y ＋1)2＝1与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，则圆心到直线的距离|a －1|2≤1，那么实数a 的取值范围是[1－2，1＋2]，故选C.4．(2009·石家庄一模)过圆x 2＋y 2＝1上一点P 作切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2B ．3 C.2 D. 3 答案：A解析：设切线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则圆心到切线的距离11a 2＋1b 2＝1，1a 2＋1b 2＝1，|AB |＝a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)(1a 2＋1b 2)＝2＋b 2a 2＋a 2b2≥2，故选A. 5．(2009·西城4月)与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)＝4 答案：C解析：圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0的圆心为(－1,1)，半径为2，过圆心(－1,1)与直线x －y －4＝0垂直的直线方程为x ＋y ＝0，所求圆的圆心在此直线上，排除A 、B ，圆心(－1,1)到直线x －y －4＝0的距离为62＝32，则所求圆的半径为2，故选C.6．(2009·安阳)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6 答案：C解析：由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得|OA →＋OB →|2＝|OA →－OB →|2，OA →·OB →＝0，OA →⊥OB →，三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，|a |2＝2，a ＝±2，故选C.7．(2009·河南实验中学3月)若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定 答案：C解析：直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则1a 2＋b2<1，a 2＋b 2>1，点P (a ，b )在圆C 外部，故选C.8．(2009·湖北荆州质检二·8)已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，|OA →＋OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，－2]∪[2，2)B ．(－2,2)C ．[－2，2]D ．(－2，2] 答案：A解析：由|OA →＋OB →|≥AB →＝|OA →－OB →|得|OA →＋OB →|2≥|OA →－OB →|2，OA →·OB →≥0,0<∠AOB ≤π2，三角形AOB 为等腰直角三角形或顶角为锐角的等腰三角形，圆心到直线的距离1≤d <2，1≤|m |2<2，那么实数m 的取值范围是(－2，－2]∪[2，2)．故选A.二、填空题 9．(2009·朝阳4月)已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是________． 答案：相交解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2,1)在直线上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ，即x 2＋y 2＝9，且22＋12<9，(2,1)在圆O 内，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是相交，故填相交．10．(2008·福建)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是________．答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)解析：把圆的参数方程化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1， 由已知直线与圆相离， ∴|3×1＋4×(－2)＋m |5>1，解得m <0或m >10，故填(－∞，0)∪(10，＋∞)． 11．(2008·湖南文)将圆x 2＋y 2＝1沿x 轴正向平移1个单位后得到圆C ，则圆C 的方程是____________；若过点(3,0)的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率是________．答案：(x －1)2＋y 2＝1 33或－33解析：因为圆平移后半径不变，圆心变化，所以圆心(0,0)向右平移1个单位后得到点(1,0)，即平移后的圆心C .所以圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.设l 的方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0. 则|k －3k |1＋k 2＝1，∴k ＝±33. 三、解答题12．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．解：∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等， ∴切线的斜率是±1或过原点． 切线不过原点时，设切线方程为y ＝－x ＋b 或y ＝x ＋c ，分别代入圆C 的方程得2x 2－2(b －3)x ＋(b 2－4b ＋3)＝0或2x 2＋2(c －1)x ＋(c 2－4c ＋3)＝0，由于相切，则方程有等根，∴Δ1＝0，即[2(b －3)]2－4×2×(b 2－4b ＋3)＝－b 2＋2b ＋3＝0， ∴b ＝3或－1， Δ2＝0，即[2(c －1)]2－4×2×(c 2－4c ＋3)＝－c 2＋6c －5＝0. ∴c ＝5或1，当切线过原点时，设切线为y ＝kx ，即kx －y ＝0. 由|－k －2|k 2＋1＝2，得k ＝2±6.∴y ＝(2±6)x ，故所求切线方程为：x ＋y －3＝0，x ＋y ＋1＝0，x －y ＋5＝0，x －y ＋1＝0，y ＝(2±6)x . 13．已知曲线C ：x 2＋y 2－4ax ＋2ay －20＋20a ＝0. (1)证明：不论a 取何实数，曲线C 必过定点；(2)当a ≠2时，证明曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上； (3)若曲线C 与x 轴相切，求a 的值． (1)证明：曲线C 的方程可变形为 (x 2＋y 2－20)＋(－4x ＋2y ＋20)a ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－20＝0－4x ＋2y ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2， 点(4，－2)满足C 的方程，故曲线C 过定点(4，－2)． (2)证明：原方程配方得(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2，∵a ≠2时，5(a －2)2>0，∴C 的方程表示圆心是(2a ，－a )，半径是5|a －2|的圆．设圆心坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ay ＝－a ，消去a 得y ＝－12x ，故圆心必在直线y ＝－12x 上．(3)解：由题意得5|a －2|＝|a |，解得a ＝5±52.14．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率是1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：假设存在直线l 满足题设条件，设l 的方程为y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)，则AB 中点N 是两直线x －y ＋m ＝0与y ＋2＝－(x －1)的交点即N (－m ＋12，m －12)，以AB 为直径的圆经过原点， ∴|AN |＝|ON |，又CN ⊥AB ，|CN |＝|1＋2＋m |2，∴|AN |＝9－(3＋m )22.又|ON |＝⎝⎛⎭⎫－m ＋122＋⎝⎛⎭⎫m －122，由|AN |＝|ON |，解得m ＝－4或m ＝1.∴存在直线l ，其方程为y ＝x －4或y ＝x ＋1. 15.如右图，圆O ：x 2+y 2=16与x 轴交于A 、B 两点，l 1、l 2是分别过A 、B 点的⊙O 的切线，过此圆上的另一点P (P 点是圆上任一不与A 、B 重合的点)作此圆的切线，分别交l 1、l 2于C 、D 点，且AD 、BC 两直线的交点为M .(1)当P 点运动时，求切点M 的轨迹方程；(2)判断是否存在点Q (a ,0)(a >0)使得Q 点到轨迹上的点的最近距离为72.若存在，求出所有这样的点Q ；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则x 20＋y 20＝16，切线CD 为x 0x ＋y 0y ＝16.由A (－4,0)，B (4,0)，得C (－4，16＋4x 0y 0)，D (4，16－4x 0y 0)．∴直线AD ：y ＝4－x 02y 0(x ＋4)，直线BC ：y ＝－4＋x 02y 0(x －4)，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .代入x 20＋y 20＝16，得x 2＋4y 2＝16. ∵点P 与A 、B 都不重合，∴y ≠0.故所求的轨迹方程是x 2＋4y 2＝16(y ≠0)． (2)存在．假设存在满足条件的点Q (a,0)，则d ＝(x －a )2＋y 2＝123(x －43a )2＋16－43a 2(－4<x <4)，则当－4<43a <4，即0<a <3时，d min ＝1216－43a 2＝72，解得a ＝323.当a ≥3时，因为－4<x <4，此时d 不存在最小值．综上，存在这样的点Q ，其坐标为(323，0)．。