【KS5U推荐】高中数学破题致胜微方法(双曲线进阶性质)：共轭双曲线+Word版含解析【KS5U+高

由双曲线上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦点半径，简称焦半径。

双曲线的焦半径是一个非常重要的几何量，从双曲线的第二定义可以推导出双曲线的焦半径公式。

在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，常利用焦半径公式把问题转化，简化运算过程。

先看例题： 例：已知点P （x 0，y 0)在双曲线22a x －22by = 1 （a ＞0，b ＞0)上，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点.若点P 在右半支上，则| PF 1｜ =e x 0+ a ,| PF 2| =e x 0－a ;若点P 在左半支上，则| PF 1| =－(e x 0+ a ） ,| PF 2｜=－（e x 0－a )，其中e 是双曲线的离心率。

证明:双曲线22ax －22by = 1 (a ＞0，b ＞0）上的两焦点F c F c 1200()()-，、，，相应的准线方程分别是x a c x a c=-=22和双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于双曲线的离心率，若点P 在右半支上， 则122200|PF ||PF |e e a a x x c c==+-，。

化简得12|PF |a ex |PF |ex a =+=-，.同理可证若点P 在左半支上，则| PF 1｜ =－（e x 0+ a ) ，| PF 2｜ =－（e x 0－a ）。

.整理： 已知点P （x 0，y 0)在双曲线22a x －22by = 1 (a ＞0,b ＞0)上，F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦点。

若点P 在右半支上，则｜ PF 1| =e x 0+ a ，｜ PF 2| =e x 0－a ；若点P 在左半支上，则｜ PF 1｜ =－（e x 0+ a ） ，｜ PF 2| =－(e x－a )，其中e 是双曲线的离心率.焦点在y 轴上的双曲线类似处理。

再看一个例题，加深印象 例点A (x 0，y 0）在双曲线2x 4－2y 32= 1 的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则x 0=________。

高三复习数学双曲线知识点推论在高中数学的学习中，双曲线是一个重要的知识点。

双曲线不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在物理学和工程学中也有着重要的地位。

高三学生即将面临数学高考，这时候复习双曲线的知识点和推论就显得尤为关键。

双曲线是一类特殊的曲线，其定义是在平面上选取两个不相交的直线l1和l2作为双曲线的渐近线，然后取一个定点F（称为焦点），对于双曲线上的任意一点M，其到焦点F的距离与到直线l1的距离之差等于到直线l2的距离之差。

数学中常用的双曲线有两种，分别是正双曲线和负双曲线。

首先，我们来讨论一下双曲线的基本性质。

正双曲线的两个渐近线之间的距离是一个常数，我们称之为双曲线的长轴。

长轴的一半称为双曲线的半长轴。

正双曲线的焦点到中心的距离称为焦距。

对于负双曲线，定义同样适用，只是焦点到中心的距离是负值。

这些概念在解题时非常重要，可以帮助我们快速确定双曲线的一些性质。

双曲线还有一个重要的性质是对称性。

以双曲线的中心为原点，双曲线的对称轴对于双曲线上的任意一点M，M关于对称轴的对称点M'仍然在双曲线上。

这个性质可以方便我们求解一些求对称点坐标的问题。

另外，双曲线还有一个重要的应用就是求解双曲线的标准方程。

对于给定的双曲线，我们可以通过已知焦点、渐近线或者顶点等信息来确定双曲线的方程。

这在高考中也是一个常考的问题。

记住双曲线的标准方程和相关的公式是非常有必要的。

除了基本性质和标准方程，我们在学习双曲线时还需要了解一些重要的推论。

其中一条重要的推论是双曲线的渐近斜率。

对于一条正双曲线，其渐近斜率等于±b/a，其中a和b分别表示双曲线的半长轴和半焦距。

这个推论的应用广泛，可以方便我们在图中确定渐近线的方程。

双曲线的离心率也是一个重要的推论。

对于正双曲线，离心率的定义是e=c/a，其中c表示焦距，a表示半长轴。

离心率可以帮助我们判断双曲线的形状，并在解题时起到重要作用。

在解题中，我们还可以通过双曲线的性质和推论来求解一些问题。

第08讲双曲线的标准方程与几何性质【知识积累】1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F1F2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.2．双曲线的标准方程和几何性质x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a，则0＜2a＜|F1F2|，这一条件不能忽略．①若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；②若2a＞|F1F2|，则点M的轨迹不存在；③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝2tan 2b θ，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①a ＝b ；②e；③渐近线互相垂直； 7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.【专项训练】题型一：双曲线的方程例1、双曲线的焦点在x 轴上，且a +c =9，b =3，则双曲线的标准方程为________． 【答案】x 216−y 29=1解：因为a 2+b 2=c 2，b =3，a +c =9，解得c =5，a =4． 所以双曲线的标准方程x 216−y 29=1．故答案为x 216−y 29=1．训练1、经过点P (3,154)，Q (−163,5)的双曲线的方程是_______．【答案】y 29−x 216=1解：设双曲线方程为x 2m+y 2n=1(mn <0)，∵P ，Q 两点在双曲线上， ∴{9m+22516n =1,2569m+25n=1,解得{m =−16,n =9.∴所求双曲线的标准方程为y 29−x 216=1．训练2、已知双曲线的一个焦点坐标为(√6,0)，且经过点(−5,2)，则双曲线的标准方程为( )A. x 25−y 2=1B. y 25−x 2=1C. x 225−y 2=1 D. x 24−y 22=1【答案】A【解答】解：设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)， ∵双曲线的一个焦点坐标为(√6,0)，且经过点(−5,2)， ∴{25a 2−4b 2=1a 2+b 2=6，得a =√5，b =1， ∴双曲线的标准方程为x 25−y 2=1，故选A ．例2、双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的√2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A. x 24−y 24=1 B. y 24−x24=1 C. y 24−x28=1 D. x 28−y 24=1 【答案】B解：由题意得方程组{a =2,2a +2b =√2·2c,a 2+b 2=c 2,得a =2，b =2． ∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的标准方程为y 24−x 24=1．故选B ．训练1、已知双曲线x 2m−y 2m+6=1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程是( ) A.x 22−y 24=1 B.x 24−y 28=1 C. x 2−y 28=1 D.x 22−y 28=1【答案】D 解：双曲线x 2m−y 2m+6=1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，可得4√m =2√m +6，解得m =2， 则双曲线的标准方程是：x 22−y 28=1．故选：D ．训练2、设m 是常数，若点F(0,5)是双曲线y 2m−x 29=1的一个焦点，则m = ．【答案】16【解答】解：由点F(0,5)可知该双曲线y2m −x29=1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m+9=52，解得m=16．例3、在方程mx2−my2=n中，若mn<0，则方程表示的曲线是()A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线【答案】D【解答】解：∵mx2−my2=n中，∴两边都除以n，得x2nm −y2nm=1，∵mn<0，得nm<0，可得曲线的标准方程形式是y2−nm−x2−nm=1，−nm>0，∴方程mx2−my2=n(mn<0)表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．故选D．训练1、已知曲线C：x2m2+2+y2m=1(m∈R)，则下列结论正确的是()A. 若m<0，则曲线C表示双曲线B. 曲线C可能表示一个圆C. 若曲线C是椭圆，则其长轴长为2√mD. 若m=1，则曲线C中过焦点的最短弦长为2√33【答案】AD解：由题意，若m<0，根据双曲线的定义可知曲线C表示双曲线，故A正确；因为m2−m+2>0对任意的m恒成立，所以曲线C不可能表示一个圆，故B错误；若曲线C是椭圆，则m>0，由B选项分析可知，椭圆C:x2m2+2+y2m=1的焦点在x轴上，所以其长轴长为2√m2+2，故C错误；若m=1，则曲线C为椭圆，方程为x23+y2=1，焦点坐标为(±√2,0)，若过焦点的直线斜率为0时，此时该直线截椭圆C的弦长为2√3；若过焦点的直线斜率不为0时，不妨设该直线过椭圆C 的右焦点，方程为x =ny +√2，与椭圆C 的两个交点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由{x 23+y 2=1x =ny +√2，可得(n 2+3)y 2+2√2ny −1=0，则有{Δ=8n 2+4(n 2+3)=12(n 2+1)>0y 1+y 2=−2√2nn 2+3y 1y 2=−1n 2+3, |AB |=√1+n 2|y 1−y 2|=√1+n 2·√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√1+n 2·√(−2√2n n 2+3)2−4×(−1n 2+3)=√1+n 2·2√3(n 2+1)n 2+3=2√3·n 2+1n 2+3=2√3(1−2n 2+3)⩾2√33， 当n =0时，上式不等式可取等号，即|AB |min =2√33， 综上，可知椭圆C:x 23+y 2=1中过焦点的最短弦长为2√33，故D 正确；故选AD ．例4、一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2−8x +12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A. 抛物线B. 圆C. 双曲线的一支D. 椭圆【答案】C解：设圆O:x 2+y 2=1，圆心O(0,0)，半径r 1=1; 设圆C:x 2+y 2−8x +12=0，(x −4)2+y 2=4， 记圆心C(4,0)，半径r 2=2; 设动圆圆心为P ，半径为r ， 则{|PO |=r +1|PC |=r +2, 所以|PC |−|PO |=1<|CO |=4，所以P 点在C ，O 为焦点的双曲线的一支上． 故选C ．题型二：三角形面积和周长问题例1、已知双曲线C:x 28−y 28=1的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，A(0,4)，当△MAF 的周长最小时，△MAF 的面积为______． 【答案】12解：设双曲线的右焦点为F′，由双曲线定义可得|MF|=2a +|MF′|=4√2+|MF′|，∴△MAF 的周长为|AF |+|MF |+|MA |=4√2+4√2+|MF′|+|MA | ⩾8√2+|AF′|=8√2+4√2=12√2，等号成立时，A ，M ，F′三点共线，且M 在A ，F′之间， 直线AF′的方程为x +y =4，联立方程{x +y =4x 2−y 2=8，解得，x =3，y =1，得M(3,1)则S △MAF =S △AFF′−S △MFF′=12×8×4−12×8×1=12， 得△MAF 的面积为12． 故答案为12．训练1、已知双曲线的焦点为F 1(−4,0)，F 2(4,0)，且该双曲线过点P(6,2√2)． (1)求双曲线的标准方程；(2)若双曲线上的点M 满足MF 1⊥MF 2，求△MF 1F 2的面积． 【答案】解：(1)设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，由F 1(−4,0)，F 2(4,0)，且该双曲线过点P(6,2√2)，可得2a =√(6+4)2+(2√2)2−√(6−4)2+(2√2)2=4√3， ∴a 2=(2√3)2=12，又c =4，∴b 2=42−(2√3)2=4， ∴双曲线的标准方程为x 212−y 24=1；(2)由||MF 1|−|MF 2||=4√3,|MF 1|2+|MF 2|2=|F 1F 2|2=64， 得|MF 1|⋅|MF 2|=(|MF 1|−|MF 2|)2−(|MF 1|2+|MF 2|2)−2=8，∴S △MF 1F 2=12|MF 1|⋅|MF 2|=4．题型三：离心率例1、双曲线x 2−y 2=1的离心率为______ ． 【答案】√2【解析】解：根据题意，双曲线的方程为x 2−y 2=1，变形可得x 21−y 21=1，则a =1，b =1， 则有c =√1+1=√2， 则其离心率e =ca =√2，故答案为：√2．训练1、已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(2√2,1)，且与椭圆x24+y2m2=1有相同的顶点，则该双曲线的离心率为()A. √5B. √52C. 2√55D. 2【答案】B解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x24+y2m2=1有相同的顶点，∴a=2．又∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(2√2,1)，代入求得b=1，则c=√5，∴该双曲线的离心率e=ca =√52．故选B．例2、已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，过点F1且倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A，B.若|AF2|=|BF2|，则双曲线C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √5【答案】A解：解：如图，取AB中点M，连接F2M，∵|AF2|=|BF2|，∴F2M⊥AB，设|AF2|=|BF2|=x，∵|AF2|−|AF1|=2a，∴|AF1|=x−2a，又|BF1|−|BF2|=2a，∴|BF1|=x+2a，∴|AB|=|BF1|−|AF1|=4a，∴|AM|=|BM|=2a，∴|F1M|=|BF1|−|BM|=x，由勾股定理，知|F2M|=√(F1F2)2−(MF1)2=√(BF2)2−(BM)2，即|F2M|=√4c2−x2=√x2−4a2，解得x2=2a2+2c2，∴|F2M|=√2c2−2a2=√2b2，∴tan∠MF1F2=|F2MF1M |=√2b2√2a2+2c2=√33，结合c2=a2+b2，可得c2=2a2，即离心率e=√2．故选A．训练1、已知A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且2|AF|=|CF|，则该双曲线的离心率是()A. 53B. √173C. √172D. 94【答案】B【解析】解：设双曲线的另一个焦点为E，由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，令|BF|=|AE|=m，|AF|= n，|CF|=2n，由双曲线的定义有，|CE|−|CF|=|AE|−|AF|=2a，∴CE=2n+2a在直角三角形EAC中，m2+(3n)2=(2n+2a)2，代入2a=m−n，化简可得m=4n，又m−n=2a得n=23a，m=83a，在直角三角形EAF中，m2+n2=(2c)2，即为49a2+649a2=4c2，可得e=ca=√173．故选：B．训练2、已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点为F1,F2，过F2的直线交双曲线右支于A,B，若BF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且cos∠F1AF2=45，则双曲线的离心率为()A. √2B. 32C. √52D. √102【答案】D解：设|AF 1|=m ，BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且cos∠F 1AF 2=45， 则|BF 1|=35m ，|AB|=45m ，|BF 2|=35m −2a,|AF 2|=m −2a,则|AF 2|+|BF 2|=|AB|⇒m =5a△BF 1F 2中，由勾股定理得 9a 2+a 2=4c 2⇒e =√102，故选D ．训练3、设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N.若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|=|NF 2|，则双曲线的离心率为( )A. √6B. √5C. √3D. √2【答案】C 【解析】解：可得△MNF 2为等腰直角三角形， 设|MF 2|=|NF 2|=m ，则|MN|=√2m ， 由|MF 2|−|MF 1|=2a ，|NF 1|−|NF 2|=2a ， 两式相加可得|NF 1|−|MF 1|=|MN|=4a ， 即有m =2√2a ，在直角三角形HF 1F 2中可得 4c 2=4a 2+(2a +2√2a −2a)2， 化为c 2=3a 2， 即e =ca =√3． 故选C ．例3、设a >1，则双曲线x 2a 2−y 2(a+1)2=1的离心率e 的取值范围是( )A. (√2,2)B. (√2,√5)C. (2,5)D. (2,√5)【答案】B解：∵双曲线方程为x 2a 2−y 2(a+1)2=1， ∴c = √2a 2+2a +1∴e=ca =√2+1a2+2a=√(1a+1)2+1，又∵a>1，∴0<1a<1∴1<1a+1<2∴1<(1+1a)2<4∴√2<e<√5．故选B．训练1、已知F1、F2为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为右支上任意一点，若|PF1|2|PF2|的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围为()A. (1,2]B. (1,3]C. [2,3]D. [3,+∞)【答案】B【解析】解：由定义知：|PF1|−|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2||PF1|2 |PF2|=(2a+|PF2|)2|PF2|=4a2|PF2|+4a+|PF2| ≥8a，当且仅当4a 2|PF2|=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号设P(x0,y0)(x0≤−a)由焦半径公式得：|PF2|=−ex0−a=2aex0=−3ae=−3ax0≤3又双曲线的离心率e>1∴e∈(1,3]故选：B．训练2、已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e1e 2的最大值为( )A. 3B. 2C. 4√33 D. 2√33【答案】D解：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为第一象限的点，如图： 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a 1，|PF 1|−|PF 2|=2a 2， ∴|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2． 设|F 1F 2|=2c ，在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2=π3，由余弦定理得，4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)cos π3，化简得a 12+3a 22=4c 2，即1e 12+3e 22=4，∴1e 12+3e 22=4≥2√3e 12e 22，∴1e1e 2≤2√33， 当且仅当e 1=√22,e 2=√62时，等号成立，则1e1e 2的最大值为2√33， 故选D ．题型四：渐近线例1、双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程为 ．【答案】y =±2x解：由题意得，a =1，b =2， 双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程为y =±2x ，故答案为：y =±2x ．训练1、设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的虚轴长为2，焦距为2√3，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±2xC. y =±√22x D. y =±12x【答案】C解：由已知得到b =1,c =√3,a =√c 2−b 2=√2， 因为双曲线的焦点在x 轴上， 故渐近线方程为y =±ba x =±√22x ；故选：C ．训练2、已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√52，则C 的渐近线方程为( )A. y =±14xB. y =±13x C. y =±12xD. y =x【答案】C 解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√52， 则有e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=54，即b 2a 2=14，即有b a =12，又由双曲线的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为：y =±12x ； 故选：C ．例2、已知双曲线C 1与双曲线C 2:x 22−y 26=1的渐近线相同，且双曲线C 1的焦距为8，则双曲线C 1的方程为 ．【答案】x 24−y 212=1或y 212−x 24=1解：当C 1的焦点在x 轴时，设出所求的双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1，(a >0,b >0)， 依题意可知{ba =√3a 2+b 2=16，求得a =2，b =2√3，∴双曲线的方程为：x 24−y 212=1．当C 1的焦点在y 轴时，设出所求的双曲线的方程为y 2m 2−x 2n 2=1，(m >0,n >0)， 则{mn =√3m 2+n 2=16，求得n =2，m =2√3，所以双曲线的方程为y 212−x 24=1， 故答案为x 24−y 212=1或y 212−x 24=1．训练1、已知双曲线x2+ny2=1(n∈R)与椭圆x26+y22=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为．【答案】y=±√3x解：根据题意，椭圆的方程为x26+y22=1与双曲线有相同的焦点，且c=√6−2 =2，即焦点坐标为(±2,0)，若双曲线x2+ny2=1的焦点坐标为(±2,0)，则有n<0，且1+(− 1n )=4，解得n=−13，因此双曲线的标准方程为：x2−y23=1，所以该双曲线的渐近线方程为y=±√3x．故答案为y=±√3x．例3、点P(0,1)到双曲线y24−x2=1渐近线的距离是()A. √5B. √55C. 2√55D. 5【答案】B【解析】解：根据题意，双曲线的方程为：y24−x2=1，则其渐近线方程为：y=±2x，即2x±y=0，点P(0,1)到2x−y=0的距离d=√4+1=√55，故选：B．训练1、在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为√32c，则其离心率的值是__________．【答案】2【解答】解：不妨设双曲线的一条渐近线方程为y=bax，所以√a2+b2=b=√32c，所以b2=c2−a2=34c2，得c=2a，所以双曲线的离心率e=ca=2．故答案为2．例4、设F 1和F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点，若点P(0,2b)、F 1、F 2是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是 ( )A. y =±√3xB. y =±√217xC. y =±√33x D. y =±√213x【答案】C解：由双曲线的对称性可知，直角顶点为P ，在等腰三角形PF 1F 2中，由|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，得c 2+4b 2+c 2+4b 2=4c 2，化简得8b 2=2c 2，即4b 2=c 2，把c 2=a 2+b 2代入4b 2=c 2，得3b 2=a 2，即b 2a 2=13，则双曲线的渐近线方程为y =±√33x. 故选C ． 训练1、已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A. x 24−y 212=1 B. x 212−y24=1 C. x 23−y 2=1D. x 2−y 23=1 【答案】D【解析】由题意可得{c =2,c 2=a 2+b 2,ba=tan60°=√3,解得a 2=1，b 2=3，故双曲线方程为x 2−y 23=1.故选D ．例5、双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点．以O 为圆心a 为半径的圆与PF 1相切于点M ，且|PM |=|F 1M |，则该双曲线的渐近线为( )A. y =±2xB. y =±xC. y =±√3xD. y =±3x【答案】A解：如图，连接PF 2、OM ，∵M 是PF 的中点，∴OM是△PF1F2的中位线，，且|PF2|=2|OM|=2a，根据双曲线的定义，得|PF1|−|PF2|=2a，∴|PF1|=|PF2|+2a=4a，∵PF1与以原点为圆心a为半径的圆相切，∴OM⊥PF1，可得PF2⊥PF1，△PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即得(4a)2+(2a)2=|F1F2|2，∴(2c)2=|F1F2|2=20a2，解得c2=5a2，即b2=c2−a2=4a2，得b=2a．由此得双曲线的渐近线方程为y=±2x．故选A训练1、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，以点P(b,0)为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MPN=90∘，则C的离心率为()A. √2B. √3C. √52D. √72【答案】A解：不妨设双曲线C的一条渐近线bx−ay=0与圆P交于M，N，因为∠MPN=90°，所以圆心P到bx−ay=0的距离为：2√a2+b2=b2c=√22a，即2c2−2a2=√2ac，又e=ca>1，解得e=√2．故选：A．训练2、已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为( )A. x 24−y 212=1 B. x 212−y24=1 C. x 23−y 29=1D. x 29−y 23=1 【答案】C解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线，其方程为y =ba x ，即bx −ay =0，F(c,0)，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，作FE ⊥CD 交CD 于点E ，显然ACDB 是直角梯形， 又F 是AB 的中点，EF =d 1+d 22=3，EF =bc √a 2+b 2=b ，所以b =3，双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，可得ca =2，可得：a 2+b 2a 2=4，解得a =√3．则双曲线的方程为：x 23−y 29=1．故选C ．题型五：几何性质综合应用 例1、设O 为坐标原点，F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点.若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2=60∘，|OP|=√7a ，则( )A. 双曲线的方程可以是x 22−y 2=1 B. 双曲线的渐近线方程是√2x ±y =0 C. 双曲线的离心率为√3 D. △PF 1F 2的面积为√3a 2【答案】BC解：如图，∵O 为F 1F 2的中点，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，即|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos60°=4|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，又∵|OP |=√7a.∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=28a 2.①又由双曲线的定义得||PF 1|−|PF 2||=2a ，∴(|PF 1|−|PF 2|)2=4a 2，即|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|·|PF 2|=4a 2.② 由①−②得|PF 1|·|PF 1|=8a 2，∴|PF 1|2+|PF 2|2=20a 2． 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos60°=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，∴8a 2=20a 2−4c 2，即c 2=3a 2． 又∵c 2=a 2+b 2，∴b 2=2a 2，即ba =√2．又双曲线的渐近线方程为√2x ±y =0.双曲线的离心率为√3， 双曲线的方程可以是x 2−y 22=1，故A 错，B 正确，C 正确．△F 1PF 2的面积S =12|PF 1||PF 2|sin60°=12·8a 2·√32=2√3a 2，故D 错误．故选：BC ．例2、已知点P 在双曲线C:x 216−y 29=1上，F 1、F 2是双曲线C 的左、右焦点，若ΔPF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( )A. 点P 到x 轴的距离为203 B. |PF 1|+|PF 2|=503 C. ΔPF 1F 2为钝角三角形D. ∠F 1PF 2=π3【答案】BC 【解答】解：由已知a =4，b =3，c =5，因为P 在双曲线上，F 1、F 2是双曲线C 的左、右焦点，ΔPF 1F 2的面积为20， 所以12|y P |·2c =5|y P |=20， 所以|y P |=4，|x P |=203，对于A ，点P 到x 轴的距离为4，A 错误;对于B ，由对称性，不妨设P(203,4)，因为F 1(−5,0)，F 2(5,0)，所以|PF 1|+|PF 2|=√(203−(−5))2+(4−0)2+√(203−5)2+(4−0)2=503，即B 正确;对于C ，由对称性，不妨设P(203,4)，由双曲线的定义有|PF 1|−|PF 2|=8， 结合|PF 1|+|PF 2|=503，解得|PF 1|=373,|PF 2|=133，所以在ΔPF 1F 2中，由余弦定理得cos∠F 1F 2P =|F 1F 2|2+|PF 2|2−|PF 1|22|F 1F 2|·|PF 2|=100+1699−136992|F 1F 2|·|PF 2|<0，所以∠F 1F 2P 为钝角，所以C 正确;对于D ，由对称性，不妨设P(203,4)，由C 判断过程知，|PF 1|=373,|PF 2|=133，则S ΔPF 1F 2=12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=48118×sin∠F 1PF 2=20，所以sin∠F 1PF 2=360481≠√32，所以，所以D 错误．故选BC ．训练1、如图，F 1，F 2是双曲线C 1:x 2−y 23=1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点，设C 2方程为x 2a 2+y 2b 2=1，则有( ) A. a 2+b 2=4B. △AF 1F 2的内切圆与轴相切于点(1,0)C. 若|F 1F 2|=|F 1A|，则C 2的离心率为23 D. 若AF 1⊥AF 2，则椭圆方程为x 27+y 23=1 【答案】BCD 【解答】解：由双曲线C 1:x 2−y 23=1可得c =√1+3=2，可得a 2−b 2=c 2=4，故A 错误;设△AF1F2的内切圆的圆心为与边AF1，F1F2，F2A相切于N，M，K′可得|AN|=|AK|，|F1M|=|F1N|，|F2M|=|F2K|，而|AF1|−|AF2|=2，即|F1N|−|F2K|=|F1M|−|F2M|=2，又|F1M|+|F2M|=4，解得|F2M|=1，|F1M|=3，可得M的横坐标为1，即的横坐标为1，故B正确;椭圆C2中，|F1A|−|F2A|=2，|F1A|+|F2A|=2a，可得2|F1A|=2a+2，由|F1F2|=|F1A|=2c=4，则2×4=2a+2，解得a=3．则C2的离心率e=ca =23，故C正确;若AF1⊥AF2，可得(a+1)2+(a−1)2=4c2=16，又c=2，b2=a2−c2，解得a=√7，b=√3，则椭圆的方程为x27+y23=1，故D正确．故选BCD．训练2、已知双曲线C:x24−y2b2=1(b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C上，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，则双曲线C的焦距为__________．【答案】4√2解：设点P(x0,y0),∵k PA⋅k PB=1，∴y0x0+2⋅y0x0−2=y02x02−4=1∵点P在双曲线C上，∴x024−y02b2=1,y02x02−4=b24,∴b24=1,b=2,∴双曲线C的焦距为2√4+b2=4√2．故答案为4√2．。

高中数学双曲线解题技巧总结引言本文旨在总结高中数学中关于双曲线解题的基本技巧和方法。

双曲线作为数学中的重要概念，应用广泛，掌握解题技巧对于学生来说至关重要。

双曲线的定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，其定义可以通过焦点和准线的性质来描述。

在数学中，双曲线被广泛应用于几何推导、物理问题等领域。

双曲线的基本性质1. 双曲线有两个焦点，分别称为焦点F1和焦点F2。

焦点与曲线的准线之间的距离称为焦距。

2. 曲线上的任意点到两个焦点的距离之差等于一个常数，这个常数称为双曲线的离心率。

离心率大于1表示双曲线的形状更加扁平，离心率小于1表示双曲线的形状更加尖锐。

双曲线的方程双曲线的方程可以有多种形式，常见的有标准方程和一般方程两种形式。

下面以标准方程为例，介绍解题技巧。

标准方程形式：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别表示曲线在x轴和y轴方向的半轴长。

解题技巧1. 初步了解问题，确定曲线类型：根据问题中给出的信息，确定曲线是否为双曲线。

2. 确定焦点和离心率：通过已知条件，确定双曲线的焦点和离心率。

3. 求解方程：将已知信息代入标准方程中，求解未知量。

4. 确定曲线的性质：根据已求得的方程，确定曲线的形状、焦点和离心率。

5. 进一步解题：根据问题要求，进一步求解相关的变量或问题。

示例问题1. 已知双曲线的焦点为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，离心率为2/3，求双曲线方程。

2. 已知双曲线的方程为(x^2 / 9) - (y^2 / 16) = 1，求焦点和离心率。

结论通过掌握双曲线的基本性质和解题技巧，我们能够更加灵活地应用数学知识解决相关问题。

希望本文所提供的双曲线解题技巧能够对高中数学研究有所帮助。

参考资料。

双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。

在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。

一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。

当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。

2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。

（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。

（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。

（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。

二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。

（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。

2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。

在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。

今天我们研究待定系数法求双曲线的标准方程。

根据双曲线焦点是在x 轴上, 还是在y 轴上，设出相应形式的双曲线标准方程，然后根据条件分别确定关于a,b,c 的方程组，解出后代入方程。

先看例题：例：已知双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l :y =2x +10双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -= 解：根据直线的性质可知：渐近线b y x a=与直线l 平行，又直线过(-5,0)，即为焦点坐标。

可得方程组22225ba c c ab 解得25a 220b故选A 。

整理：中心在原点, 焦点分别在x 轴上, y 轴上的双曲线标准方程分别为22221(0,0)-=>>x y a b a b2222-1(00)=>>，y x a b a b根据已知条件列方程组求解，解得a ，b 的值确定双曲线方程。

再看一个例题，加深印象例：求与椭圆x y 2294152+=有公共焦点，并且离心率为的双曲线的标准方程。

解：由椭圆方程知：a b c ===325，，∴焦点())1255F F -，，， 设双曲线的标准方程为：2222111x y a b -= 由已知条件得：1111122211152512c a c b a c a b ⎧=⎪=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪⎪=+⎩ 双曲线的标准方程2214-=x y总结：1.待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2、b 2的值，即“先定型，再定量” 。

2.先定型：是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式。

3.再定量：是指确定a ，b 的具体数值，常根据条件列方程组求解．练习：1.已知点P (0,6)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点的连线互相垂直，且与两个顶点连线的夹角为π3.求双曲线的方程． 2.求与双曲线x y M 22941921-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪有共同渐近线，且经过点，的双曲线的标准方程。

双曲线高考知识点双曲线是高中数学中的一个重要内容，涉及到曲线的方程、性质以及应用等方面。

下面，我们将详细介绍双曲线的相关知识点。

一、双曲线的定义与基本性质双曲线是一种独特的曲线，它和椭圆、抛物线以及直线构成了二次曲线的四个基本类型。

双曲线的方程可以表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或者x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1（以中心为原点的情况）。

1. 双曲线的焦点与准线双曲线与焦点和准线密切相关。

焦点是双曲线上的一点，可以用来确定双曲线的形状和位置。

准线是双曲线的一条渐近线，具有特殊的性质。

双曲线两个焦点之间的距离为2c，准线与中心的距离为ae。

2. 双曲线的对称性双曲线具有与坐标轴相关的对称性。

双曲线关于x轴和y轴分别对称，也关于原点对称。

二、双曲线的图像与分类通过选择不同的参数，双曲线可以呈现出不同的形状。

根据双曲线的方程，我们可以将其分为以下几种类型：1. 水平方向的双曲线当双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1时，a^2 > b^2，双曲线的长轴与x轴平行。

2. 垂直方向的双曲线当双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1时，a^2 < b^2，双曲线的长轴与y轴平行。

三、双曲线的应用双曲线广泛应用于数学和物理学等领域，特别是在电磁学和光学中有重要的应用。

1. 超越双曲函数双曲函数是双曲线的重要应用之一。

它包括双曲正弦函数sinh(x)、双曲余弦函数cosh(x)以及双曲正切函数tanh(x)等。

这些函数在数学和物理中都有着广泛的应用。

2. 焦点和准线的应用双曲线的焦点和准线在物理光学中有着重要的应用。

例如，双曲线反射镜就是基于双曲线的焦点和准线性质来设计的，可以用来改变光线的方向和聚焦光线。

四、双曲线的解析几何在解析几何中，双曲线与直线、圆等几何图形之间存在着密切的关系，可以通过解析几何的方法来研究双曲线的性质。

1. 双曲线的判别式确定一个二次曲线是否是双曲线可以使用双曲线的判别式D=b^2-a^2，其中a和b分别是双曲线的参数。

双曲线大题解题思路摘要：1.双曲线概念及性质回顾2.双曲线大题常见类型与解题思路3.解题技巧与策略4.实例分析与解答正文：在高中数学中，双曲线是一个重要的几何对象，其性质和应用广泛，高考中也常常出现相关的大题。

为了更好地应对这类题目，下面我们将对双曲线大题的解题思路进行梳理。

一、双曲线概念及性质回顾双曲线是一个平面曲线，它的每个点到两个给定点的距离之差等于一个常数。

这个常数称为双曲线的离心率。

根据离心率的不同，双曲线可以分为两类：椭圆、双曲线和抛物线。

双曲线具有以下几个重要性质：1.双曲线的两个焦点距离为定值，记作2c。

2.双曲线的离心率e（0<e<1）与焦距之间的关系：e = c/a，其中a为双曲线的半轴长。

3.双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x，其中b为双曲线的半焦距。

二、双曲线大题常见类型与解题思路1.求解双曲线方程：根据题意，通过待定系数法、椭圆与双曲线性质转化等方法求解双曲线方程。

2.求解双曲线焦点坐标、离心率：利用双曲线性质，建立方程组求解。

3.探究双曲线与直线的位置关系：分析直线的斜率、截距与双曲线的关系，判断直线与双曲线的位置关系。

4.双曲线与参数方程：将双曲线方程转化为参数方程，利用参数方程求解问题。

5.双曲线与几何变换：平移、旋转等几何变换对双曲线性质的影响。

三、解题技巧与策略1.熟悉双曲线性质，善于转化和灵活运用。

2.分类讨论思想：根据题目的特点，对不同情况进行分类讨论。

3.数形结合：结合图形，直观分析问题。

4.方程与不等式：熟练掌握双曲线与方程、不等式的关系。

四、实例分析与解答以下为一个高考真题实例：已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a>b>0，点P(x, y)在双曲线上，且满足x + y = 2。

求点P到双曲线左焦点的距离。

解析：根据双曲线方程，可以得到a、b、c的关系，进而求得左焦点坐标。

将点P的坐标代入距离公式，即可求得答案。

双曲线曲线解题技巧和方法综合(经典)1.概述本文将介绍双曲线曲线解题的经典技巧和方法。

双曲线是数学中常见的曲线类型，解题时需要掌握一些基本的技巧和方法。

2.双曲线的特点双曲线的方程通常具有以下形式：\[x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1\] 或\[x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1\]，其中\(a\)和\(b\)是常数。

双曲线的特点包括：- 双曲线在原点有渐近线，其方程为\(y = \pm \frac{b}{a}x\)。

可以利用渐近线的存在来确定双曲线的位置和形状。

- 双曲线有两条对称轴，分别与\(x\)轴和\(y\)轴重合。

对称轴可用于确定双曲线的中心和方向。

- 双曲线的焦点和准线也是其重要特征，通过计算焦点和准线的位置，可以更好地理解双曲线的性质。

3.双曲线的解题技巧和方法在解题过程中，可以采用以下技巧和方法来处理双曲线相关的问题：3.1 理解双曲线的方程对于给定的双曲线方程，首先要理解其形式和性质。

通过观察方程中的系数和常数项，可以判断曲线的形状、中心、方向等属性。

3.2 确定渐近线和对称轴根据双曲线方程，可以计算出渐近线和对称轴的方程。

这些信息有助于确定双曲线的位置和形状。

3.3 计算焦点和准线双曲线的焦点和准线是其重要特征，可以通过一定的计算方法来确定它们的位置。

焦点和准线的位置可以进一步帮助理解双曲线的性质。

3.4 利用基本的几何关系在解题过程中，利用双曲线的基本几何关系是很有用的。

例如，通过确定曲线上的特定点的坐标，可以计算出其他关键点的坐标。

4.实例分析为了更好地理解双曲线解题的技巧和方法，这里给出一个实例分析。

例题：已知双曲线方程为\(\frac{{x^2}}{{9}} - \frac{{y^2}}{{4}} = 1\)，求出焦点和准线的位置，并画出曲线的草图。

解析：通过观察方程，可以确定该双曲线的中心为原点，横轴上的半轴长为3，纵轴上的半轴长为2。

利用方程可以计算出焦点的位置为\((\pm3, 0)\)，准线的位置为\(y = \pm\frac{2}{3}x\)。