1.2 二次根式的性质(二)

二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。

本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。

它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。

二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。

当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。

2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。

3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。

4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。

2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。

四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。

通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。

2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。

通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。

3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。

二次根式的性质二次根式是数学中的一个重要概念，也是代数学中的一个常见表达式。

它们具有一些特殊的性质，我们来详细探讨一下。

一、定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

这里√称为根号，a称为被开方数。

当然，a可以是一个整数、小数或者分数。

二、性质1. 非负性：二次根式的被开方数a必须是非负实数，即a≥0。

因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。

2. 唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。

这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。

例如，√9=3，√25=5，√36=6，等等。

3. 运算性质：（1）加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。

当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。

例如，√a + √a = 2√a，√25 - √16 = √9 = 3。

（2）乘法：二次根式可以进行乘法运算。

两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。

例如，√a × √b = √(ab)，2√3 × 3√5 = 6√15。

（3）除法：二次根式可以进行除法运算。

两个二次根式相除时，被开方数相除，根号下的系数也可以相除。

例如，√a ÷ √b = √(a/b)，6√15 ÷ 3√5 = 2√3。

4. 化简与整理：（1）化简：有时候二次根式可以化简为更简单的形式。

例如，√4 = 2，√9 = 3，等等。

化简的关键是找到被开方数的平方因子，然后将依次提取出来。

（2）整理：有时候需要将二次根式按照一定的规则整理，使得表达式更具可读性。

例如，将√3 × 2√5整理为2√15，将5√a + 3√a整理为8√a，等等。

3. 近似值：对于无理数的二次根式，我们可以用近似值来表示。

这里的近似值可以使用小数形式或者分数形式。

四、应用二次根式是数学中广泛应用的一个概念，它在几何、代数、物理等领域都有重要作用。

1. 几何：二次根式在几何中常常用来表示线段的长度。

初中精品试卷1.2 二次根式的性质（ 2）同步练习课内练习A 组1．下列运算正确的是（ ）A ． 52 42 = 52 - 42 =5-4=1B ． ( 16)( 25) =16 × 25 =-4 ×（-5）=20C ． (5)2(12)2 = 5 +12=17 D ． 42 7= 42×7=4 7131313 13 132．下列化简错误的是（）A ． 5 =5 = 5 B ． 0.010.49 = 0.01 × 0.49 =0.1 ×0.7=0.0799 3C ． 2=2 = 1 14D ． 11=1·1=1×1 =17 7 74949 773． 169 196 =______;4． 423 =_______;5．5=________;36． ( 18)( 24) =_____;7． 0.001 =________;8．1 1=_______．2 39．（1） 5 =________； （2） 103 =_________．810．（ 1） 1( 8) 2 =_______； （2） 8.1 102 =________．17B 组11．计算：211=________;12．化简： 152302 =_______．3413．?已知等腰三角形的底边长为 10cm ，?腰为 13cm ，?则此等腰三角形的面积为________cm 2．0.9 169 14．-=________．3.619615．在△ ABC 中，∠ C=Rt ∠，若 AB=8 ，BC=1，则 AC=_______．16．在直角坐标系中，已知点A （1，-2），B （5，-7），C （ 5， -2）是三角形的三个顶点，求 AB 的长．课外练习A 组1．判断题（对的打 “∨”，错的打 “×”）（ 1） (3.14)2=3.14-（ ）（2） 3252=32×5 5=135 5 （ ）（ 3）1 1 8 8 （ ）（ ）5( 5) 25 （ ）8 888552．化简： 169 121 4 =_________;3．化简： (2.5 103 )(1.6 105 ) =_________．4．化简：16 =________;1255．化简 52结果正确的是（）5A ．110B ． 25 10C ． 2D ． 1056．计算：32 的值为（ ）25A ．32B ．32C ．36D ．8 62887．化简：11=________;808． ( 8 ) 2 ( 2 ) 2=_________;15159．化简：332=________．4 2710．已知△ ABC 中，∠ C=Rt∠，若 AC=5cm，BC=4cm，求 AB 的长．B 组11．化简： 132392 =________;912．化简： 1.6105=________．8.11013．已知等边三角形的边长为4 2 cm，则它的高为______cm．14．在如图的 4×4 方格内画△ ABC ，使它的顶点都在格点上，?三条边长分别为1125 ，4，3222．5参考答案【课内练习】1．D 2．D3．1824．4 35．1156．12 3 37．1108．169．（1）110 （2）10 10 ? 1006410．（ 1）15（2）9 1011．1312．15 5 17313．6014．- 1315．3716．41 28【课外练习】1．（1）× （2）× （3）×（4）∨2．2863．2×1044．455．D 6．B 257．958．2159．1610．41 cm 2015311．131012．40013．26 914．如图所示513。

二次根式性质二次根式是高中数学中的一个重要概念，它是指含有二次根号的数。

在学习二次根式的过程中，我们需要了解其性质和应用。

本文将介绍二次根式的性质，并探讨其在实际生活中的应用。

首先，让我们回顾一下二次根式的定义。

二次根式是形如√a或a^0.5的数，其中a是一个正实数。

当我们计算二次根式时，需要注意以下几个性质。

首先，二次根式可以进行加减乘除运算。

对于两个二次根式，如果它们的根号内的数相同，那么只需要将它们的系数相加或相减即可。

例如√2 + √2 = 2√2，√3 - √3 = 0。

如果根号内的数不同，我们无法直接进行加减运算，但可以通过有理化来化简。

具体而言，需要将根号内的数进行因式分解，并利用公式(a + b)(a - b) = a^2 - b^2将其转化为差的平方。

例如√3 + √2可以有理化为√6 + 1。

其次，二次根式的乘法可以通过指数运算进行简化。

如果我们有两个相同的二次根式相乘，例如√2 × √2，可以利用指数运算的规律，将它们转化为2的平方根，即2。

同样地，如果我们有两个不同的二次根式相乘，例如√2 × √3，可以将其转化为√6。

除了基本的加减乘除运算性质外，二次根式还具有一些特殊的性质。

其中最重要的就是有理化。

当二次根式出现在分母部分时，我们一般需要进行有理化处理。

具体而言，可以通过乘以分母的共轭形式，将分母中的二次根式转化为有理数。

例如1/√2可以有理化为√2/2。

现在让我们来看一些实际生活中的应用。

二次根式在物理学和工程学中广泛应用。

例如，在计算力学问题中，我们常常需要使用二次根式来计算速度、加速度和力的大小。

此外，二次根式也可以应用于电路分析、声学和天文学等领域。

在电路分析中，二次根式可以用于计算电压、电流和电阻等参数。

通过使用二次根式，我们可以更准确地描述电路的特性，并进行电路设计和故障诊断。

在声学中，二次根式可以应用于波长、频率和声强度等参数的计算。

二次根式的概念与性质二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。

本文将介绍二次根式的概念、计算方法以及其性质。

通过对二次根式的深入理解，读者将能够更好地应用它解决实际问题。

一、二次根式的概念在代数学中，二次根式是指一个被平方的数的根。

普遍形式下，二次根式可以表示为√a，其中a为一个非负实数。

二次根式可以分为有理二次根式和无理二次根式两类。

当a为有理数的平方时，二次根式是一个有理数；当a为无理数的平方时，二次根式是一个无理数。

二、二次根式的计算计算二次根式时，可以运用以下几种常见方法：1. 提取因式法当二次根式的被开方数具有完全平方因式时，可以利用提取因式法进行计算。

例如：√16 = √(4×4) = 42. 合并同类项法当二次根式的被开方数可以分解为多个相同的完全平方数时，可以利用合并同类项法进行计算。

例如：√12 = √(4×3) = 2√33. 分解因式法当二次根式的被开方数不能直接提取完全平方因式时，可以利用分解因式法进行计算。

例如：√20 = √(4×5) = √4×√5 = 2√5三、二次根式的性质二次根式具有以下几个性质：1. 乘法性质：对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a × √b。

2. 除法性质：对于任意非负实数a和b（b≠0），有√(a/b) = √a / √b。

3. 加法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a + √b也是一个二次根式。

例如：√2 + √2 = 2√24. 减法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a - √b也是一个二次根式。

例如：√5 - √25. 乘方性质：对于任意非负实数a和整数n（n为奇数），有（√a）^n = a^(n/2)。

例如：（√2）^3 = 2^（3/2）= 2√2四、应用举例二次根式在几何学中有广泛的应用。

第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念【知识与技能】是一个非负数.【过程与方法】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.≥0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入,初步认识问题（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2，则它的宽为_______m；（2）面积为S的正方形的边长为_______；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=.______【教学说明】设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知思考的式子，这些式子有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.a≥0）形式的式子称.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a≥0表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判断二次根式应关注两点：（1；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.例2当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教学说明】对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突a中a≥0及a≥0的双重非负性特征.四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根________（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,你获得哪些解决二次根式问题的方法?你还有哪些问题?请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾知识,反思问题,共同发展提高.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.教师创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质【知识与技能】理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算.【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】2a=a（a≥0）2a（a≥0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索2a=a（a≥02a（a≥0）的结论.一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，.猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：2=a（a≥0）.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.（a≥0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1计算：（1））2；（2）（2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（22a进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.。

二次根式的性质及其应用资料编号:202208180656一、二次根式的性质二次根式具有三条非常重要的性质:双重非负性、转化性和自身性.（1）双重非负性对于二次根式,：①≥0; ②≥0.a a a （2）转化性.可以理解为:二次根号下面的平方可以转化为底数的绝对值.a a =2（3）自身性（≥0）.()a a =2a 一、二次根式性质的应用双重非负性的应用 二次根式的双重非负性主要用于求参数的值或取值范围.目前,我们在初中阶段先后共学习了三类非负数:绝对值、偶次幂和二次根式（≥a a 0）,它们都具有非负性.如果几个非负数的和等于0,那么这几个非负数分别等于0. 已知二次根式求解参数的值或取值范围时,根据被开方数的非负性列出不等式进行求解.这里要求同学们要熟练掌握不等式或不等式组的解法.我们会遇到一些化简问题,问题中含有二次根式,而化简问题往往需要用到参数的取值范围,这个范围有时就来自于二次根式中被开方数的非负性,学生应充分挖掘这个条件. 例1. 若代数式在实数范围内有意义,则的取值范围是__________.10+x x x 分析 该代数式中含有二次根式,其被开方数为非负数,又考虑到二次根式处于分母的位置,故其被开方数只能大于零,据此列出关于的一个不等式.x 本题中还出现了零指数幂,根据其底数不等于列出关于的另一个不等式.两个不等式x 组成的不等式组的解集即为的取值范围.x 解:由题意可得:,解之得:且 ⎩⎨⎧≠>+001x x 1->x 0≠x∴的取值范围是且.x 1->x 0≠x 例2. 已知都是实数,且满足,则_________.b a ,21221--+-=a a b =b a 分析 根据二次根式被开方数的非负性可以说明这样一个事实:如果二次根式与B A -都有意义,那么.A B -B A =解:由题意可知:,解之得:. ⎩⎨⎧≥-≥-012021a a 21=a ∴2-=b ∴.4212=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a 例3. 已知均为实数,且,求的值.c b a ,,()012112=++++-c b a c b a ,,分析 本题考查非负数的性质,二次根式是我们在初中阶段学习的第三类非负数.此类a 问题要注意过程的书写规范.解: ∵ ()012112=++++-c b a ≥0,≥0,≥0 1-a 1+b ()212+c ∴012,01,01=+=+=-c b a ∴.12,1,1-=-==c b a 例4. 已知实数满足,求的值.a a a a =-+-2023202222022-a 分析 本题难度较高,学生不知道该从哪里下手,实际上,根据二次根式的非负性,可以求出的取值范围,由此范围去掉绝对值,并对等式条件进行整理,可以发现解决问题的途径. a 解:由题意可得:≥02023-a 解之得:≥2023a ∴a a a =-+-20232022∴20222023=-a ∴()2220222023=-a∴220222023=-a ∴.202320222=-a 例5. 关于代数式的说法正确的是【 】43+-x （A ）当时有最大值 （B ）当时有最小值0=x 0=x （C ）当时有最大值（D ）当时有最小值 4-=x 4-=x 分析 本题考查二次根式的非负性,可利用不等分析法解决问题.解法一: 显然,二次根式有最小值0,此时,且有最大值,最大值为4+x 4-=x 43+-x 3.∴当时,该代数式有最大值3,选择答案【 C 】.4-=x 解法二: ∵≥0,当时取等号 4+x 4-=x ∴≤0 4+-x ∴≤343+-x ∴当时,该代数式有最大值3.4-=x 转化性的应用二次根式的转化性常用于二次根式的化简.二次根式的转化性告诉我们,二次根号下面的平方可以转化为底数的绝对值,具体如下:. ()()⎩⎨⎧≤-≥==002a a a a a a 在对二次根式进行化简时,先转化为,再根据的符号去掉绝对值,以达到最终2a a a 化简二次根式的目的. 例6. 实数在数轴上的对应点A 、B 的位置如图,化简.b a ,()22b a b b a ---+解:由数轴可知:,且. a b <<00<+b a ∴()22b a b b a ---+()b a b b a ---+-=()()ba ba b b a b a b b a +-=+-+--=------=2例7. 已知,则__________. 01<<-a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-414122a a a a 解: ∵01<<-a ∴ a aa a <<+1,01∴ 414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a aaa a a a a a a a a a a a a a a 1111111122-+--=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. a2-=点评 两个重要的结论:①当时,;②当时,. 01<<-a 01<<a a 10<<a a a 10<<例8. 已知为任意实数,化简.x 961222++++-x x x x 分析 在利用转化性对二次根式进行化简时,需要用到参数的取值范围,必要时需对参数的取值范围进行分类讨论.解:961222++++-x x x x ()()()31313122--+-=++-=++-=x x x x x x 分为三种情况:①当≤时x 3-原式;()2231--=--+-=x x x②当时13<<-x 原式;()431=--+-=x x ③当≥1时x 原式.()2231+=--+-=x x x 自身性的应用二次根式的自身性常用于二次根式的运算.例9. 计算:()()222121323-++-解:原式121318-++= 43121318=++=例10. 下列结论正确的是【 】（A ） （B ） ()662-=--()932=-（C ） （D ） ()16162±=-251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解:对于（A ）,,故（A ）正确; ()6662-=--=--对于（B ）,,故（B ）错误; ()332=-对于（C ）,,故（C ）错误;()1616162=-=-对于（D ）,,故（D ）错误. 251625162-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴选择答案【 A 】.。