青岛版数学八年级下册9.1《二次根式和它的性质》教案
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初中数学青岛版八年级下册高效课堂资料9.1《二次根式和它的性质》(2)教学目标一、知识与技能1.使学生掌握积的算术平方根和商的算术平方根的性质;2.使学生会用积的算术平方根和商的算术平方根的性质对式子进行化简;二、过程与方法1.通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力;2.体会从特殊到一般等学习数学的方法;三、情感态度和价值观1.学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性与创造性,体验发现的乐趣,并提高应用的意识;教学重点积的算术平方根和商的算术平方根性质的运用;教学难点二次根式中乘法与算术平方根性质的关系;教学方法教法引导发现式、类比探究法、讲练结合法学法自主性学习法、探究性学习法、合作交流法课前准备教师准备课件、多媒体;学生准备直尺、练习本;课时安排1课时教学过程一、导入新课你能说说这样做的依据吗?二、新课学习1.二次根式的性质 ;1.因为(a ≥0)表示a的算术平方根,0(0)a ≥≥2.并且它的平方等于a ,2(0)a a =≥即比较等式2(0)a a =≥0a a ()≥它们有哪些相同和不同结果相同,运算顺序不同。
例3、化简:(例4、化简:(27例3、解:0.1==2=3a ==例4、解:8756=⨯==2a ==例5、 化简:(解:9 11 ===32a==例6、化去下列各式根号里的分母:(解:======例7、把下列各式化成最简二次根式:(1(2(3解:(1==(2====(3===三、结论总结1.积的算术平方根;0,0)a b≥≥积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。
2.商的算术平方根;0,0)a b=≥〉商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根二次根式的被开方式中都不含分母,并且也都不含有能开得尽方的因式,像这样的二次根式称为最简二次根式。
特征:1、被开方数中不含分母;2、被开方数中不含能开尽方的因数或因式。
四、课堂练习1=,则x 满足的条件____;((21213121===-=、辨一辨()3、化简:(1(2(0)a ≥(3(0,0)a b ≥≥ 4.判断下列各式是否为最简二次根式?(4)1.解:-2≤x ≤3 2.解:××3.解:(12====2=(32=(4.解:××××√√=解: ×、×、×五、作业布置课本P.115第2,3题六、板书设计二次根式和它的性质导入新课积的算术平方根的性质例3例4。
教学设计课题二次根式和它的性质第1课时教学目标1、使学生了解二次根式的定义,明确二次根式()0a具a≥有双重非负性,会确定被开方数中字母的取值范围2、掌握二次根式的基本性质(a)2=a(a≥0)3、使学生能够灵活利用二次根式的双重非负性以及性质解决相关问题4、会逆用公式(a)2=a(a≥0)将多项式在实数范围内分解因式重点难点重点:1、明确二次根式()0a具有双重非负性,会确定被开方a≥数中字母的取值范围。
2、会利用二次根式的性质做相关计算。
难点:公式(a)2=a(a≥0)的逆用。
自学导读自学课本112页例1上方部分,完成以下问题:1.解决“交流与发现”(1)-(4)?这些式子在形式上有什么共同特征?2.什么样的式子是二次根式?能否举例说明? 目标一:二次根式的概念自学检测11.一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a,则正数x 叫做a 的__________,记作____。
2.形如____ 的式子叫做二次根式。
其中a 叫做_________。
3.下列各式是二次根式的有:跟踪练习1 说一说:下列各式是二次根式吗?自学导读0≤异号(2) 6, (3)() (5)()(7)m x,y自学课本112页例1--113页例2,完成以下问题:1.例1解决了一类什么样的问题?具体条件是什么?2. ()2(a ≥0)等于多少?为什么?3. (-3)2这样的式子如何计算?你还有什么疑问? 目标二:二次根式有意义的条件自学检测2:当a 分别取什么实数时,下列各式有意义?总结:二次根式有意义,则被开方式_____;若分式和二次根式混合,还要注意_________.跟踪练习2已知2,y =求x y 的值.目标三:二次根式的性质自学检测3 快速口答,归纳性质2224=.0.8=.的,所以的,所以归纳得出性质:()2= (a ≥0)。
跟踪练习3 计算:2222(1)(2)(3)(4)⎛⎛- ⎝⎝有效训练 计算:(((2222(1)(2)(3)(4)课堂小结:通过这一节课的学习,我学会了……, 我能…… 当堂检测1、下列各式中,是二次根式的是 ( )2)D A B C a ≥2x 的取值范围是______.3、计算:(22(1)(2)-拓展提升1、由)2 =a(a ≥0)可以得到a =2 (a ≥0),利用这个式子,可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式,如5=)2 ,2.5=2 ,等等.由此,可以把 x 2-5在实数范围内分解因式:x 2−5=x 2−2利用这种方法将下列各式在实数范围内分解因式:(1) a 2-10; (2) 4a 2-3.,a b 2的值。
青岛版八下数学9二次根式复习教学设计一. 教材分析青岛版八下数学9二次根式复习教材,主要内容包括:二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式在实际问题中的应用等。
通过复习,使学生掌握二次根式的基本概念、性质和运算方法,提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学习过二次根式的相关知识,对二次根式的概念、性质和运算方法有一定的了解。
但部分学生对二次根式的理解仍停留在表面,不能灵活运用到实际问题中。
因此,在复习过程中,要关注学生的学习差异,有针对性地进行教学。
三. 教学目标1.知识与技能:掌握二次根式的基本概念、性质和运算方法,提高解决实际问题的能力。
2.过程与方法:通过复习,培养学生独立思考、合作交流的能力,提高学生的数学思维水平。
3.情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的自信心,使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点:二次根式的性质、运算方法及其在实际问题中的应用。
2.难点:二次根式的混合运算,以及如何将二次根式应用于实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法,引导学生主动探究二次根式的性质和运算方法。
2.运用案例分析法,让学生学会将二次根式应用于实际问题。
3.采用小组合作学习法,培养学生之间的交流与合作能力。
4.利用多媒体辅助教学,提高课堂效果。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例,用于分析二次根式在实际问题中的应用。
2.准备课堂练习题,巩固所学知识。
3.制作多媒体课件,辅助教学。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用多媒体课件,展示一些实际问题,引导学生思考如何运用二次根式解决这些问题。
2.呈现(10分钟)回顾二次根式的基本概念、性质和运算方法,让学生明确本节课的学习目标。
3.操练(15分钟)针对二次根式的性质和运算方法,设计一些练习题,让学生独立完成。
教师巡回指导,解答学生的疑问。
4.巩固(10分钟)让学生分组讨论,总结二次根式的性质和运算方法。
初中数学青岛版八年级下册高效课堂资料9.1 二次根式和它的性质 教学设计【目标确定的依据】1.相关课程标准的陈述2.实数(6)了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算。
2.教材分析本章是在学习了有理式(整式、分式)的意义和运算、算术平方根、实数的基础上学习的,进一步学习最基本的也是最常用的无理式(无理式还包括n 次根式),即二次根式。
本章内容主要包括二次根式的概念、性质和运算,学过本章后,就把式的范围扩展到代数式。
二次根式的运算,既与实数及二次根式的概念、性质有关,又与学过的整式、分式的运算有着紧密的联系。
整式、分式的运算是二次根式运算的基础。
学习本章不仅为以后的解直角三角形、一元二次方程和二次函数等内容打下必要的基础,而且也为继续学习高中数学提供了知识准备。
3.学情分析学生在七年级已经学习了有理式,掌握了有理式的有关概念及其运算,学生对有理式已经有了深刻的了解。
通过本节课的学习,使学生从认识有理式到认识无理式,是对式的进一步扩充,教学中要让学生感受到无理式的客观存在。
所以依据《数学课程标准》,以教材特点和学生认知水平为出发点,确定以下本节的教学目标.【教学目标】1.通过交流与发现,了解二次根式的概念,理解a (a ≥0)的意义,会确定二次根式有意义的条件.2.会利用等式a a 2=)((a ≥0)计算二次根式的平方. 3.了解二次根式的性质,理解积与商的算术平方根的性质的推导过程,提高学生的符号意识和推理能力.4.了解最简二次根式的概念,会识别最简二次根式,会把二次根式化为最简二次根式.【教学重难点】重点:二次根式的性质与积与商的算术平方根的性质及应用. 难点:二次根式性质和积与商的算术平方根性质的应用.【课时安排】3课时第一课时【教学目标】1.通过交流与发现,了解二次根式的概念,理解a (a ≥0)的意义,会确定二次根式有意义的条件.2.通过例2的学习,学会利用等式a a 2=)((a ≥0),计算二次根式的平方. 3.通过交流与发现,会用积的算术平方根的性质化简,注意公式的正向与逆向运用.【教学重难点】重点:二次根式的性质与积的算术平方根的性质及应用难点:二次根式的性质与积的算术平方根的性质及应用【评价任务】1.通过具体的例子,找找二次根式,说说二次根式的有意义的条件2.通过典型练习,练练积的算术平方根附:板书设计9.1二次根式和它的性质1.二次根式2.二次根式的性质、积的算术平方根的性质3.类比思想【教学反思】。
教学内容9.1二次根式及其性质(2)教学目标210a a a=≥、掌握二次根式的基本性质:(),并会用来化简二次根式。
2、经历积的算术平方根的性质的推导过程,并运用这一性质进行化简。
教学重点运用二次根式的基本性质进行化简。
教学难点运用二次根式的基本性质进行化简。
教学准备相关题目课前预习1、积的算术平方根有什么性质?教学过程教学环节教师活动(教法)学生活动(学法)情境导入观察思考例题讲解回答问题:2112;(2);(3).aa aa+1、取什么实数时,下列各式有意义?()22222112302a a≥、计算,,(),的值,发现了什么?2、当时,的算术平方根是多少?你能得到一个等式吗?小结:20.a a a≥=当,点拨:利用上面的性质可以计算、化简一些二次根式。
学生回答问题。
学生自主学习,并回答问题。
师生分析,然后学生板书。
教学过程教学环节教师活动(教法)学生活动(学法)交流发现22a a a≥思考:当时,()与有什么区别与联系?22.a aa aa区别:()表示对先求算术平方根,然后再平方;表示先求的平方然后再求算术平方根。
联系:它们的运算结果都是2241310.254();.2ax练习:、计算:()();(2);(3)(4)49=_______,49_________;1625=_______,1625_________;3535(0,0ab a b a b⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⋅≥≥计算下面的算式,并比较它们的运算结果,你有什么发现?(1)(2)(3)与相等吗?为什么?一般地,)。
这就是说,积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。
8611251692246320354225.x y⨯⨯⨯练习:、化简:();();();()学生思考,并交流得到的答案。
学生做在练习本上。
学习自主学习,然后交流结论。
师生总结。
师生分析,然后板书。
学生做在练习本上。
教学过程教学环节教师活动(教法)学生活动(学法)巩固新知小结作业巩固练习:28623222422220.019(0).251692462035225211310.254();.23,,.a ax y a ba a aaxa b ca abc a b c a b≥⨯⨯⨯++≥-++++--+-1、化简:(1);(2)(3);(4);(5);(6);(7);(8)().2、计算:()();(2);(3)(4)、已知:是三角形的三边长,化简(b-c-)()()(c-)谈谈你有什么收获?P118习题9.1组第3题。
9.1 二次根式和它的性质(1)教学内容二次根式的概念及其运用教学目标知识与技能目标:(a≥0)的意义解答具体题目.过程与方法目标:提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.情感与价值目标:通过本节的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重难点关键12教法:1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链,使学生产生认知冲突,感悟新知,建立分式的模型,引导学生观察、类比、参与问题讨论,使感性认识上升为理性认识,充分体现了教师主导和学生主体的作用,对实现教学目标起了重要的作用;2、讲练结合法:在例题教学中,引导学生阅读,与平方根进行类比,获得解决问题的方法后配以精讲,并进行分层练习,培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法:1、类比的方法通过观察、类比,使学生感悟二次根式的模型,形成有效的学习策略。
2、阅读的方法让学生阅读教材及材料,体验一定的阅读方法,提高阅读能力。
3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换,达到取长补短,体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法采用不同的练习法,巩固所学的知识;利用教材进行自检,小组内进行他检,提高学生的素质。
媒体设计:PPT课件,展台。
课时安排:1课时。
教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题:问题1:已知反比例函数y=3x,那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________.问题2:如图,在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,∠C=90°,那么AB边的长是__________.B A C老师点评:问题1:横、纵坐标相等,即x=y,所以x2=3.因为点在第一象限,所以,所以所求).问题2:由勾股定理,得二、探索新知都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子,(a≥0)•的式子叫做二次根式,议一议:1.-1有算术平方根吗?2.0的算术平方根是多少?3.当a<0有意义吗?例1.下列式子,哪些是二次根式,、1xx>0)、、、1x y+(x≥0,y ≥0).分析0.x>0)、;不是二次根式、1x、1x y+.例2.当x分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,才能有意义.解:由3x-1≥0,得:x≥13当x≥13在实数范围内有意义. 三、应用拓展例3.当x +11x +在实数范围内有意义?分析11x +2x+3≥0和11x +中的x+1≠0. 解:依题意,得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①,得x≥-32由②,得x≠-1当x≥-32且x≠-111x +在实数范围内有意义.例4(1)已知,求xy的值.(答案:2)(2)=0,求a 2004+b 2004的值.(答案:25) 四、归纳小结 本节课要掌握:12.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 五、布置作业 一、选择题1.下列式子,是二次根式的是( )A .BCD .x 2.下列式子,不是二次根式的是( )ABCD.1x3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是()A.5 BC.15D.以上皆不对二、填空题1.形如________的式子叫做二次根式.2.面积为a的正方形的边长为________.3.负数________平方根.三、综合提高题1.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,•底面应做成正方形,试问:底面边长应是多少?2.当x是多少时,x+x2在实数范围内有意义?3.4.x有().A.0 个.B.1个.C.2个D.无数个5.已知a、b=b+4,求a、b的值.答案:一、1.A 2.D 3.B二、1(a≥0)23.没有三、1.设底面边长为x,则0.2x2=1,解答:2.依题意得:230xx+≥⎧⎨≠⎩,32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时,x+x2在实数范围内没有意义.3.134.B 5.a=5,b=-4板书设计:9.1 二次根式和它的性质(2)教学内容12.)2=a(a≥0).教学目标知识与技能目标:2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.过程与方法目标:2=a(a≥0);最后运用结论严谨解题.情感与价值目标:通过本节的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重难点关键12=a(a≥0)及其运用.2.难点、关键:是一个非负数;•用探究的方法导出)2=a(a≥0).教法:1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链,使学生产生认知冲突,感悟新知,建立分式的模型,引导学生观察、类比、参与问题讨论,使感性认识上升为理性认识,充分体现了教师主导和学生主体的作用,对实现教学目标起了重要的作用;2、讲练结合法:在例题教学中,引导学生阅读、类比,获得解决问题的方法后配以精讲,并进行分层练习,培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
第9章二次根式9.1.2 二次根式和它的基本性质一、导入激学甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是,那么S=_________.二、导标引学学习目标:1、掌握二次根式的基本性质。
2、能运用二次根式的基本性质对二次根式进行化简。
3、理解什么是最简二次根式,并会识别。
【学习重点】二次根式的基本性质。
【学习难点】能利用二次根式的基本性质进行化简与计算。
三、学习过程(一)导预疑学利用10分钟,阅读课本,按要求完成下列问题,小组讨论后找出疑难问题。
1.预学核心问题1、积的算术平方根2、商的算术平方根。
3、最简二次根式2.预学检测(1)计算:(2)计算:(3)化简:3.预学评价质疑通过预学,你学会了什么?还有什么疑问没有解决呢?请把它们写下来小组交流。
(二)导问互学问题一:探究积的算术平方根和商的算数平方根活动1 学习课本第114页的“交流与发现”探索二次根式的性质。
根据以前的学习计算下列各式。
1.(1= ,=;(2=,=;观察上面的结果,你发现了什么?不妨写出来:由此我们得到一个结论:一般地,用字母表示为: 用语言叙述为:活动2 类比“积的算术平方根”的学习,探究学习商的算术平方根。
思考:53与53相等吗?请你试着对上面的两个式子化简一下然后对照结果: 由此我们得到一个结论:一般地,用字母表示为: 用语言叙述为: 问题二:最简二次根式活动1 化简:(1)81121 (2) (3)24b a 知识小结:化简后的结果,被开方式中都不含分母,并且被开方式中不含有能开得尽方的因式,这样的二次根式称为最简二次根式。
活动2 把下列各式化成最简二次根式:(1)32 (2)3a b (a ≥0,b>0) (3) 想一想,化简二次根式时,如果被开方式中含有字母,并且分母不是完全平方式,怎样化去根号内的分母?(与同学交流)解决问题评价:(三)导根典学化简:()212--x x(四)导标达学目标一:1= ;= 。
初中数学青岛版八年级下册高效课堂资料9.1 二次根式和它的性质(3)【课标要求】本节课是在学习了二次根式的概念以及性质的基础上进一步学习二次根式的商的算术平方根的性质,和最简二次根式,在教材中处于重要的位置。
【教学目标】:1 .了解(0(a ≥0,b >0)。
最简二次根式的定义。
2 .会化简二次根式。
【教学重难点】重点:(a ≥0,b >0)难点:会化简二次根式【教学过程】一.新课导入:同学们,前面我们学习了这一节我们学习二次根式的性质,二次根式的性质包括积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质,我们这节课首先来学习积算术平方根的性质.下面我们来看本节课的学习目标.【设计意图】通过复习前面的知识,让学生对本单元知识有了一定的把握,为本节课的知识做铺垫。
二.探究过程自学课本P115—118页的内容,仔细阅读课本问题和例题,并完成下列填空题.【设计意图】以学生为主体,让学生自主探索问题,教师从旁协助,引导,给出二次根式的概念及 被开方数的要求,这样能够让学生对新知的把握更加到位一、探究一1、计算下面算式,并比较它们的运算结果,你有什么发现?(1)=94 ,=94 (2)=1625 ,1625= (3)53与53相等吗?为什么? 一般地,b a b a =(a ≥0,b >0)。
商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
2.例题例5 化简:(1)12181 (2) 4003 (3)24ab (4)21 练一练:化简b a b a =b a b a =(1)196144 (2) 950 (3)36128 【设计意图】通过例题的讲解,巩固了二次根式商的算术平方根的概念以及计算.探究二观察例5中化简后的格式,可以发现① ② 这样的二次根式称为最简二次根式。
例6 化去下列各式根号里的分母:(1)21 (2)b a 3 (3) 544 四.课堂小结.本节课你学到了哪些知识点、哪些数学思想,有哪些疑惑?【设计意图】让学生归纳梳理所学知识点和数学思想方法,形成知识网络。
青岛版八年级数学下册《第9章二次根式》教案设计9.1 二次根式和它的性质(1)教学目标【知识与能力】了解二次根式的定义,会判断一个式子是否是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。
【过程与方法】经历从具体情境中抽象出二次根式的过程。
【情感态度价值观】体会分类思想。
教学重难点【教学重点】二次根式的定义和有意义的条件。
【教学难点】二次根式的定义和有意义的条件。
课前准备无教学过程9.1 二次根式和它的性质(2)教学目标【知识与能力】10a a =≥(),并会用来化简二次根式。
2、经历积的算术平方根的性质的推导过程,并运用这一性质进行化简。
【过程与方法】经历二次根式性质推导过程。
【情感态度价值观】合教学内容渗透“转化”思想,发展学生的数学能力。
教学重难点【教学重点】运用二次根式的基本性质进行化简。
【教学难点】运用二次根式的基本性质进行化简。
课前准备无教学过程16.3 二次根式的加减第1课时教学目标【知识与技能】会进行二次根式的加减运算,利用二次根式的加减法解决生活实际问题.【过程与方法】经历由实际问题引入数学问题的过程,提高学生的抽象概括能力,进而掌握二次根式的加减运算方法.【情感态度】培养学生认真观察、思考的习惯,锻炼严谨细致、一丝不苟的科学精神.教学重难点【教学重点】二次根式的加减法运算方法.【教学难点】二次根式的加减法的实际应用.课前准备无教学过程一、情境导入,初步认识问题现有一块长7.5dm,宽5dm的木板,能否采用如图所示的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板?【教学说明】可借助多媒体(或幻灯片)展示木板,尝试截取两个正方形木块,并引导学生思考.解决问题的关键在哪里?如何解决?激发学生的学习兴趣和求知欲望.二、思考探究,获取新知让学生相互讨论,共同探究,寻求解决问题的方案.与此同时,教师可设置如下问题帮助学生进行理解和分析:1.两个正方形木块的边长分别是多少?2.最大正方形木板的边长与原长方形木板的宽5dm的大小如何?3.两个正方形木板的边长之和与长方形木板的长7.5dm的大小关系如何?你认为用什么办法来得出结论的?4.谈谈你获得结论的过程中的想法,你有哪些新的认识?在学生充分交流,二次根式的和,我们可以这样来计算:【教学说明】本环节教师要放手让学生自主探究,自主发现问题,并尝试解决问题,并能总结规律,形成认知.同时,教师应关注学生的完成情况,能否正确进行二次根式的化简,能否运用分配律将二次根式合并.【归纳结论】二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.三、典例精析,掌握新知【教学说明】以上两例,应让学生先独立完成,并分别选派两名中等成绩同学上黑板进行演算.教师巡视,了解全班学生的掌握情况,并对有困难的同学及时予以点拨,帮助他们加深对新知的理解.最后,师生共同评析黑板上的作业,教师还可适时将巡视中发现的问题展示给全班同学,达到理解新知的目的.例3 如图,实验中学计划在校园内修建一个正方形的花坛,在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池,设计者需要考虑有关的周长,如果小喷水池的面积为8m2,花坛的绿化面积为10m2,则花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米?分析:利用正方形的面积公式求出边长,再根据周长公式即可得解..【教学说明】本例展示了二次根式的加减在实际问题中的应用,在实际教学过程中,教师应引导学生进行合理分析,理清解题思路与步骤,再让学生自主完成解答过程.最后教师可以给出示范性解题过程,也可以用幻灯片展示学生的优秀作业及有代表性问题作业,让学生通过观察与反思,加深对知识的理解.四、运用新知,深化理解1.下列计算是否正确?为什么?5.先化简,再求值:【教学说明】学生自主完成上面前3个题,教师巡视,后两个题稍难,教师适当予以点拨.【答案】1.(1)不正确,两边不相等;(2)不正确,两边不相等;(3)正确.2.①和④;五、师生互动,课堂小结师生共同回顾本节主要知识点及需要注意的问题.(1)知识要点:二次根式加减的一般思路,①不是最简二次根式的,应化成最简二次根式;②相同的二次根式一定要进行合并.(2)需注意的问题:①应能将化简的二次根式化简后再进行计算,不要出数相加减,根式不变,不相同的二次根式不能进行加减,防止出现(3 2).16.3 二次根式的加减第2课时教学目标【知识与技能】1.会进行二次根式的乘、除、加、减混合运算;2.能用多项式的乘法公式进行二次根式的化简计算.【过程与方法】通过具体问题进一步体会有理数运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系,掌握二次根式混合运算方法.【情感态度】通过多项式乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用,体验迁移、化归思想,使学生进一步形成符号感,提高数学应用意识.教学重难点【教学重点】二次根式的混合运算.【教学难点】多项式的乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用方法.课前准备无教学过程一、情境导入,初步认识问题我们知道:(x+y)·xy=x·xy+y·xy=x2y+xy2,(2x2y+3xy2)÷xy=2x2y÷xy+3xy2÷xy=2x+3y,(x+y)(x-y)=x2-y2及(x+y)2=x2+2xy+y2,……试问:如果上述各式中的x,y分别代表着一个二次根式,我们会有哪些新的收获呢?【教学说明】引入上述关于多项式的乘除算式及乘法公式,进而提出新的问题的目的在于暗示二次根式的运算与多项式的运算之间的联系,激发学生的求知欲望和探究意识. 二、思考探究,获取新知探究1由(x+y)·z=x·z+y·z=xz+yz,你能求出的值吗?你是怎样做的?探究2由,你能求出的值吗?由此你有何发现?类似地,请解决以下几个小题.【教学说明】让全班同学共同参与探究,相互交流,在类比的过程中尝试给出问题的答案.教师巡视,予以点拨,肯定学生的成绩,并引导学生完善对二次根式混合运算的初步认识,最后师生共同给出问题的结果.【归纳结论】1.二次根式的混合运算与整式的运算方法完全相同,即先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号.2.在二次根式的运算中,多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用.三、典例精析,掌握新知例1 计算下列各题:分析:对算式的结构进行观察分析,运用二次根式加、减、乘、除的法则进行运算,需注意乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2的灵活运用.解:(1)原式=((÷÷;例2 已知,,求下列代数式的值.(1)x2+2xy+y2;(2)x2-y2.分析:由条件易知x-y=2,而需求代数式中的(1)可化为(x+y)2,(2)可化为(x+y)(x-y),因而整体代入更简洁些,当然直接代入求值也是可行的,只不过要复杂多了.解:∵,,∴x-y=2.(1)原式=(x+y)2=(2=12;(2)原式=(x+y)·(x-y)【教学说明】第1题可让学生自主完成,并选派三名代表上黑板进行演算.教师巡视,了解学生对二次根式混合运算的掌握情况,及时予以帮助,帮助学生更好地掌握新知识.最后全班同学分析三位代表的解答过程及结果,深化理解.第2题仍可让学生先自主探究,如果大部分学生选用直接代入求值时,教师仍应肯定他们的成绩,但需展示本例的最佳解题思路,达到融会贯通的目的.四、运用新知,深化理解3.(1)若a2b-ab2的值;(2)若,求x2+2x+2011的值.【教学说明】第1、2两题可让学生自主完成,然后相互交流,教师根据反馈情况,及时查漏补缺,优化课堂教学.第3题即可让学生尝试解决,也可由师生共同分析,形成解题思路后再由学生自主完善解题过程.3.(1)由,a·b=1得a2b-ab2=ab(a-b)=1×;(2)∵,∴,两边平方,得x2+2x+1=2.∴x2+2x=1.故x2+2x+2011=1+2011=2012.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你有哪些收获?你还有哪些疑惑?谈谈你的看法,并与同伴交流.【教学说明】教师以设问的形式和学生一道回顾本节主要知识及所涉及到的解题方法、技巧和数学思想方法,既是对知识的一次梳理,也是一次必要的提炼升华,完善认知.16.2 二次根式的乘除第1课时教学目标【知识与技能】a≥0,b≥0)a≥0,b≥0),并能运用它们进行化简计算.【过程与方法】经历探索二次根式乘法法则的过程,发展观察、归纳猜想、验证等能力.【情感态度】培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力,增强学好数学的信心. 教学重难点【教学重点】a≥0,b≥0)a≥0,b≥0).【教学难点】a≥0,b≥0).课前准备无教学过程一、情境导入,初步认识问题1 计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?问题2用你发现的规律填空,并用计算器进行验算.【教学说明】问题1通过被开方数都是完全平方数,让学生容易获取结果,发现规律.通过问题2的验证加深对规律的认识,为本节学习作好铺垫.上述两个问题均应由学生自主完成,相互交流,感受新知.二、思考探究,获取新知选几名学生口述所发现的规律,然后师生共同归纳:一般地,对二次根式的乘法规定:.【教学说明】对上述二次根式的乘法公式,教学时应引导学生关注其后面的附加条件a≥0,b≥0.三、典例精析,掌握新知【教学说明】让学生自主探究,独立完成,加深对二次根式乘法运算和化简方法的理解.教师巡视,对有困难的同学适时给予指导,最后可选派四名学生上黑板完成解答,师生共同评析,巩固所学新知识.【教学说明】在学生探索本题解答过程中,教师可补充说明,在本章中,如果没有特别说明,所有的字母都表示正数.四、运用新知,深化理解4.一个矩形的长和宽分别是10cm和22cm,求这个矩形的面积.5.一个底面为30cm×30cm的长方体容器中装满了水.现将一部分水倒入一个底面为正方形,高为10cm的铁桶中.当铁桶装满水时,容器内水面下降了20cm.铁桶的底面边长是多少厘米?【教学说明】学生自主完成,教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,帮助学生加深理解,对优秀者应予以表扬鼓舞,让学生体验成功的快乐.【答案】1.A2.(1)原式五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获和体会?谈谈你的想法,并与同伴相互交流.16.2 二次根式的乘除第2课时教学目标【知识与技能】a≥0,b>0(a≥0,b>0),能用它们进行化简计算,能将二次根式化为最简二次根式.【过程与方法】通过具体实例的探究活动,发现二次根式除法的规律,归纳出二次根式除法法则及其逆向等式,能用它们进行化简计算.【情感态度】让学生在独立思考的基础上,积极参与数学问题的讨论,勇于发表自己的观点,增强合作交流意识和能力.教学重难点【教学重点】a≥0,b>0(a≥0,b>0)的理解和应用.【教学难点】探索二次根式的除法法则.课前准备无教学过程一、情境导入,初步认识问题1 计算下列各式,观察计算结果,你能发现其中的规律吗?问题2 用你发现的规律填空,并用计算器进行验算:【教学说明】让学生自主探究,感受二次根式除法运算中所蕴含的规律性特征,获得二次根式相除的感性认识,导入新课.二、思考探究,获取新知想一想通过上述二次根式除法运算结果,联想到二次根式乘法运算法则,你的结果吗?与同伴交流.师生共同回顾思考,总结出二次根式a≥0,b>0(a≥0,b>0)的类似错误.三、典例精析,掌握新知【教学说明】教师给出例题后,让学生独立作业,同时分别选派四名同学上黑板演算.教师巡视,对学生演算过程中的失误及时予以指正,最后师生共同评析,让学生加深对二次根式除法的理解和掌握,并保留每道题的最后结果.议一议观察上述各题的最后结果,它们有什么特点?在学生相互交流过程中可感受到所有结果中的二次根式有如下两个特征:(1)被开方数中不含分母(或分母中不含二次根式);(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把具有上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.小练习:1.下列二次根式中,是最简二次根式的有_______(填序号).【教学说明】感受二次根式乘除在数学问题和实际生活中的应用,体会二次根式的乘除法在二次根式的化简中的重要作用.四、运用新知,深化理解【教学说明】让学生自主完成,加深对已学知识的复习,并检查对新学知识的掌握情况,对学生的困惑,教师应及时予以指导,并进行必要的反思.五、师生互动,课堂小结师生共同回顾:(1a≥0,b>0(a≥0,b>0)及其应用;(2)最简二次根式的意义.【教学说明】教师应让学生自由交流,总结本节课的知识要点,同时进行自我反思,提高认知,加深对所学知识的理解.。
青岛版数学八年级下册第9章《二次根式》教学设计一. 教材分析青岛版数学八年级下册第9章《二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等知识的基础上,进一步对根式的概念、性质和运算法则进行深入学习的内容。
本章内容主要包括二次根式的定义、性质、运算法则以及二次根式在实际问题中的应用。
通过本章的学习,使学生掌握二次根式的基本概念,了解二次根式的性质和运算法则,提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识,对根式的概念和性质有一定的了解。
但部分学生对于二次根式的理解可能还存在一定的困难,对于二次根式的运算法则和实际应用可能还不够熟练。
因此,在教学过程中,需要关注学生的个体差异,针对不同学生的学习情况,进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解二次根式的定义,掌握二次根式的性质和运算法则。
2.能够运用二次根式解决实际问题,提高学生的应用能力。
3.培养学生的逻辑思维能力,提高学生的学习兴趣。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算法则。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法,引导学生主动探究二次根式的定义、性质和运算法则。
2.运用实例分析法,让学生通过实际问题,理解二次根式的应用。
3.采用小组合作学习法,培养学生团队合作、交流分享的学习习惯。
六. 教学准备1.教学PPT、教案。
2.与二次根式相关的实际问题案例。
3.学生分组合作的准备。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用PPT展示一些与二次根式相关的实际问题,引导学生思考二次根式的实际应用,激发学生的学习兴趣。
2.呈现(10分钟)讲解二次根式的定义、性质和运算法则,让学生通过PPT和教材,理解并掌握二次根式的基本概念。
3.操练(10分钟)让学生通过PPT上的练习题,运用所学知识进行二次根式的运算,巩固所学内容。
4.巩固(10分钟)让学生分组合作,分析并解决PPT上的实际问题案例,提高学生运用二次根式解决实际问题的能力。
=_____,化简:2.《二次根式》之中考衔接1.下列各式1其中是二次根式的是(填序号). 2.有意义,则x 的取值范围是_______. 3.若y=5-x +x -5+2009,则x+y= 4.使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是( ) A.x>3B.x ≥3C. x>4D.x ≥3且x ≠45.2()x y =+,则x -y 的值为( )A .-1B .1C .2D .31.在根式) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 2.下列根式中,不是..最简二次根式的是( )oba ABC .D 1.在下列各组根式中,是同类二次根式的是() ABC2.已知最简二次根式b a=______,b=_______.1.若()2240a c --=,则=+-c b a .2.化简:21a -+的结果为( )A.4—2a B.0 C.2a —4 D.43.如果表示a ,b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简│a -b │的结果等于( )A .-2bB .2bC .-2aD .2a 4.已知a<02a │可化简为( )A .-aB .aC .-3aD .3a5.如图所示,实数a ,bb a6.若y x -+-324=0,则2xy= 。
1.,甲,乙两位同学的解法如下=====甲乙对于甲,乙两位同学的解法,正确的判断( ) A .甲,乙的解法都正确 B .甲正确,乙不正确 C .甲,乙都不正确 D .甲不正确,乙正确1.先化简,再求值:11()b a b b a a b ++++,其中a=12,b=12.2.已知实数x ,y 满足x 2+y 2-4x -2y+5=0的值为________3.)4.计算:(151.如果,则=_______.2.已知数a ,b=b -a ,则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b 3.=成立时,的取值范围是___________. 4.若互为相反数,则_______。
青岛版八下数学9.1二次根式和它的性质教学设计一. 教材分析《青岛版八下数学9.1二次根式和它的性质》这一节内容,主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。
教材通过生活实例和数学问题,引导学生认识和理解二次根式,并运用二次根式的性质进行简化运算。
本节内容是学生进一步学习二次根式的重要基础,也为后续学习二次根式的应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前,已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念,具备了一定的代数运算能力。
但学生对二次根式这一概念可能较为陌生,需要通过实例和问题,引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念,掌握二次根式的性质。
2.能够运用二次根式的性质进行简化运算。
3.培养学生的抽象思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.运用二次根式的性质进行简化运算。
五. 教学方法1.采用问题驱动法,通过生活实例和数学问题,引导学生认识和理解二次根式。
2.运用讨论法,让学生在小组内讨论二次根式的性质,培养学生的合作能力和表达能力。
3.采用练习法,让学生通过适量练习,巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和数学问题。
2.准备PPT,展示二次根式的概念和性质。
3.准备练习题,巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个生活实例,如计算一个物体的体积,引入二次根式的概念。
引导学生思考:如何简化这个计算过程?从而引出二次根式的性质。
2.呈现(10分钟)PPT展示二次根式的概念和性质,让学生直观地理解二次根式。
同时,通过例子说明二次根式的性质在实际计算中的应用。
3.操练(10分钟)让学生在小组内讨论如何运用二次根式的性质进行简化运算。
每组选择一个例子,进行演示和解释。
教师巡回指导,解答学生的疑问。
4.巩固(10分钟)让学生独立完成一些练习题,巩固所学知识。
教师及时批改,给予反馈,帮助学生纠正错误。
5.拓展(5分钟)引导学生思考:二次根式在实际生活中有哪些应用?让学生举例说明,拓宽学生的视野。
岛
版
初
中
数
9.1二次根式和它的性质(1)学
重
点
知
精选
掌握知识点,多做练习题,基础知识很重要!
青岛版初中数学和你一起共同进步学业
有成!教学内容
教学目标1、了解二次根式的概念。
2、掌握二次根式中字母的取值问题。
3、理解公式()2=a(a≥0),能利用公式化简二次根式。
a
教学重点会计算二次根式的平方。
教学难点会计算二次根式的平方。
教学准备相关题目
课前预习1、什么叫二次根式?
2、什么叫被开方式?
教学过程
教学环节教师活动(教法)学生活动(学
法)
情景导入交流发现复习:
1、举例什么叫算术平方根?
2.举例说明什么叫平方根?
山青林场有甲、乙两块正方形苗圃。
已知甲
苗圃的面积为S平方米。
1、如果乙苗圃的面积比甲苗圃大25平方
米,乙苗圃的边长是多少?
2、如果乙苗圃的面积为甲苗圃的2倍,乙苗
圃的边长是多少?
3、如果乙苗圃的面积与甲苗圃的面积比为
4:9,乙苗圃的边长是多少?
4、交流上面得到的答案有什么共同点?与学
过的算术平方根相比有什么共同点?
学生思考,然后
回答问题。
学生阅读题目,
然后讨论回答问
题。
点拨:
把式子()反过来,就得到学
然后板书。
师生总结。
2(0) a a a
=≥
相信自己,就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识,还要告诉学生学会生活。
数学思维
可以让他们更理性地看待人生。
《二次根式和它的性质》教案1 教学内容
二次根式的概念及其运用.
教学目标
a≥0)的意义解答具体题目.提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.
教学重难点关键
1
a≥0)的式子叫做二次根式的概念.
2
a≥0)”解决具体问题.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题:
问题1:已知反比例函数y=3
x
,那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是
___________.
问题2:如图,在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,∠C=90°,那么AB边的长是______ ____.
A
C
问题3:甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S2,那么S=_________.
老师点评:
问题1:横、纵坐标相等,即x=y,所以x2=3.因为点在第一象限,所以x
求点的坐标
.
问题2:由勾股定理得AB
问题3:由方差的概念得S
二、探索新知
a ≥0)的式子叫做二次根
式,
(学生活动)议一议:
1.-1有算术平方根吗?
2.0的算术平方根是多少?
3.当a <0
下列式子,哪些是二次根式,、1x x >0、
-1x y
+x ≥0,y ≥0).
;第二,被开方数是正数或0.
x >0)、(x ≥0,y ≥0);不是二次根
1x 1x y +. 例题解析
例1 当x 在实数范围内有意义?
分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x -1≥0才能有意义.
解:由3x -1≥0,得:x ≥13
当x ≥13在实数范围内有意义. 例2 计算
(1);)(215 (2);)-(2830. (3).
223)-( 三、应用拓展
当x 11x +在实数范围内有意义?
11x +在实数范围内有意义,必须同时满足中的≥0和。