二次根式及其性质

八年级下册数学二次根式笔记
一、二次根式的定义
1. 二次根式：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。

2. 二次根式的性质：非负性，即被开方数是非负数。

二、二次根式的性质和运算法则
1. 二次根式的乘法运算法则：√a × √b = √(a×b)（a≥0，b≥0）。

2. 二次根式的除法运算法则：√a ÷ √b = √(a÷b)（a≥0，b>0）。

3. 二次根式的乘方运算法则：√a^n = a^(n/2)（a≥0，n是正整数）。

4. 二次根式的加减运算法则：同类二次根式可以进行加减运算。

三、二次根式的化简
1. 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2；a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。

2. 平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

3. 完全立方公式：a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3。

4. 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。

5. 二次根式化简的一般步骤：去括号、合并同类项、化简。

四、二次根式的应用
1. 在实际问题中，经常需要求解一些与二次根式有关的数学问题，如长度、面积、体积等。

2. 在数学证明中，二次根式也经常被用来证明一些重要的数学定理，如勾股定理、毕达哥拉斯定理等。

五、练习与巩固
为了更好地掌握二次根式的知识，需要多做一些练习题，通过练习巩固所学知识。

可以参考教材上的练习题或找一些相关的练习册进行练习。

在练习过程中，要注意解题的思路和方法，掌握各种运算法则和公式的应用，提高解题的速度和准确性。

初中数学二次根式知识点整理二次根式是初中数学中的重要知识点之一，也是数学学习中的基础。

它包含了平方根、分数指数和有理化的相关内容。

掌握了二次根式的知识，对于解决问题和提高数学能力具有重要的作用。

下面将对二次根式的相关知识点进行整理和总结。

一、二次根式的定义与性质二次根式是指具有形如√a（其中a≥0）的表达式。

其中，a被称为被开方数，√a被称为二次根式的根号部分。

除此之外，我们还需要了解以下性质：1. 二次根式的值是非负的实数或零：√a≥0；2. 二次根式的值大于零的情况下，可以化简：√a=0，a=0；二、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算当被开方数相同时，二次根式的加减可以合并为一个根号内的运算，即√a±√a=2√a。

当被开方数不同但可以合并时，可以通过有理化的方法进行化简，具体操作如下：例如：√3+√12=√3+√(4×3)=√3+2√3=3√3；再例如：√8-√32=√(4×2)-√(16×2)=2√2-4√2=-2√2；2. 二次根式的乘除运算二次根式的乘法运算可以通过根式的合并和简化进行：例如：√2×√3=√(2×3)=√6；类似地，二次根式的除法运算可以通过根式的合并和简化进行：例如：√20÷√4=√(20÷4)=√5；需要注意的是，对于根号内含有非完全平方数的情况，需要通过化简为最简根式。

例外：对于根号内含有互质数的情况，乘法运算可以直接合并；例如：√7×√5=√(7×5)=√35；而除法运算同样可以进行简化：例如：√28÷√7=√(28÷7)=√4=2；三、二次根式的有理化有理化是将含有根号的式子转化成不含根号的式子，常用的方法有以下两种：1. 乘以去根号因式：当分母含有根号时，可以乘以分母的共轭形式，即乘以√a-√b；例如：1/（√2+√5）×（√2-√5）=√2-√5；2. 利用平方的性质进行有理化：当分母是二次根式时，可以通过平方的性质进行有理化；例如：1/√3=√3/（√3×√3）=√3/3；需要注意的是，有理化后的结果通常会更便于计算和使用。

基础知识
1、二次根式的定义：
我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的。

算术平方根；另一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数围，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数围有意义．
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果，具有以下特点：
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平
方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的性质【例7】计算
【例8】
【例9】【练一练】
4、
5、
6、7、
8、
题型三积的算数平方根的性质【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简【例题精析】
【例15】
【例16】【例17】【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。

初中二次根式知识点总结二次根式是初中数学的一个重要内容，它涉及到实数的非负数平方根、根式的性质、根式的乘除法、根式的加减法等内容。

以下是关于二次根式的重要知识点总结：1. 二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。

其中，a是实数。

2. 非负数的平方根：对于任何非负数a，都有实数平方根，记作√a。

3. 根式的性质：√a² = a（a表示a的绝对值）。

√ab = √a × √b（当a≥0，b≥0时）。

√(a/b) = √a / √b（当a≥0，b>0时）。

4. 根式的乘除法：当两个根式相乘或相除时，可以直接对它们的被开方数进行乘除运算。

例如：√a × √b = √(a×b)，√a / √b = √(a/b)。

5. 根式的加减法：当两个根式相加或相减时，需要先将它们化为最简二次根式，然后再对被开方数进行加减运算。

例如：√a + √b 和√a - √b 不能直接合并，除非它们有相同的被开方数。

6. 最简二次根式：满足以下三个条件的二次根式被称为最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式没有重复；被开方数中不含有分母；根号内没有剩余的被开方数。

7. 负数的平方根：负数没有实数平方根。

在实数范围内，只有非负数有实数平方根。

8. 无理数：无法表示为两个整数的比的数被称为无理数。

常见的无理数包括π和√2等。

9. 代数运算：在二次根式的运算中，经常需要使用代数的基本运算规则，如分配律、结合律等。

以上是关于二次根式的重要知识点总结。

在学习二次根式时，需要理解并掌握这些知识点，以便能够正确地进行二次根式的运算和化简。

二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。

其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。

性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a 3、4、 反过来:56、最简二次根式：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根9、二次根式化运算及化简：①先化成最简 ②合并同类项二次根式中考试题精选一.选择题：1.【05宜昌】化简20的结果是 （ ）.A. 25B.52C. .D.54 2.【05南京】9的算术平方根是 （ ）.A.-3B.3C.± 3D.813.【05南通】已知2x <, ）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（ ）.A.B. C. D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（ ）.A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确8.【05杭州】设22a b c ===,则,,a b c 的大小关系是: （ ）. (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】4的平方根是（ ）. A. 8B. 2C. ±2D. ±210.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）. A.24B.12C.32D.1811.【05南平】下列各组数中，相等的是（ ）.A.(-1)3和1B.(-1)2和-1C.|-1|和-1 和112.【05宁德】下列计算正确的是（ ）.A 、x 2·x 3＝x 6B 、(2a 3)2＝4a 6C 、(a －1)2＝a 2－1D 、 4 ＝±213.【05毕节―a 的正整数a 的值有( ).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）.A ．3B ．– 3C ．1D ．– 115.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是 ( ). A ．aa b ++b a b+=1 B ．1÷b a×a b=1 C +1 D ．21()a b +·22a b a b--=1a b+二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b, 那么a , b 的值分别是 。

二次根式的3个基本性质
二次根式是由一个二次多项式除去x，剩下的部分称为二次根式，一般形式如
ax²+bx+c=0。

其中a、b、c都是实数，a≠0，这里我们就来看看关于二次根式的三个基本
性质。

首先，二次根式的解可以用公式求出。

根据二次公式的方程式ax²+bx+c=0的解的公
式可以由a、b、c求得：x=（-b±根号(b²-4ac)）/2a。

其次，二次根式的解存在特殊的规律。

比如，当根号(b²-4ac)＞0时，二次根式的解
的个数为2；当根号(b²-4ac)=0时，二次根式的解只有1个；而当根号(b²-4ac）＜0时，就没有二次根式的解了。

最后，二次根式与通项式之间存在联系。

当然，如果通项式有两个或两个以上的系数，就可以将其分解为二次根式。

也就是说，任意一个通项式，都可以分解为多个二次根式来
求解。

比如，ax²+bx+cx+d=0可以分解为(ax+d)(cx+ss)(bx+d)=0，这时a、b、c、d四个
系数就可以分成三个部分，分别为(ax+d)、(cx+d)、(bx+d)，而每一个部分的形式分别为ax²+dx+0，cx²+dx+0和bx²+dx+0，就都可以用二次根式的解法来求解了。

总的来说二次根式具有三个基本性质：第一，可以用公式求解；第二，存在特定的规律；第三，与通项式之间存在联系，允许将复杂的通项式分解为多个二次根式。

专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。

A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a-C ．32a-D ．23a -例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B．1C ．7D ．±1练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．B ．1C ．2D ．5例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C．x ＞2D ．x ≠2练习1．（2022·全国·九年级专题练习）函数y =x 的取值范围是（ ）A ．x ≥2B ．x ＞﹣2C ．x ≤2D ．x ＜2练习2．（2022·全国·九年级专题练习）函数y 中自变量x 的取值范围是（）◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

二次根式的总结二次根式是数学中的一种常见形式，它可以表示为一个含有平方根的代数表达式。

在代数学中，二次根式是一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将从不同角度介绍二次根式的定义、性质以及在实际问题中的应用。

一、二次根式的定义二次根式是指含有平方根的代数表达式，通常可以写成√a的形式，其中a是一个非负实数。

二次根式可以分为整式二次根式和分式二次根式两种形式。

整式二次根式是指分母为整数的二次根式，如√2、√3等；分式二次根式是指分母为其他代数式的二次根式，如1/√2、1/√3等。

二、二次根式的性质1. 二次根式可以进行加减乘除运算。

在加减运算中，只有当二次根式的根指数和被开方数相同才能进行合并；在乘法运算中，可以通过化简或因式分解进行计算；在除法运算中，可以通过有理化的方法将分母中的二次根式消去。

2. 二次根式可以进行化简。

当二次根式的被开方数可以被分解成两个平方数的乘积时，可以进行二次根式的化简。

3. 二次根式的大小可以比较。

对于两个非负实数a和b，如果a > b，则√a > √b；如果a < b，则√a < √b。

三、二次根式的应用1. 几何问题中的应用：二次根式可以用来表示几何图形的边长、面积、体积等。

例如，在计算正方形的对角线长度时，可以使用二次根式来表示。

2. 物理问题中的应用：二次根式可以用来表示物理量之间的关系。

例如，在计算自由落体运动中物体的位移、速度、加速度等时，常常会涉及到二次根式的运算。

3. 经济问题中的应用：二次根式可以用来表示经济指标之间的关系。

例如，在计算某种商品的价格弹性时，常常会使用二次根式来表示价格的变动和需求量的变动之间的关系。

总结：二次根式作为一种重要的代数表达式，具有广泛的应用。

通过对二次根式的定义、性质和应用的介绍，我们可以更好地理解和应用二次根式。

在实际问题中，合理运用二次根式可以简化计算、解决复杂的数学问题，为各个领域的研究和实践提供了有力的工具。

二次根式的性质与运算二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。

在数学中，二次根式是一种常见的数学表达式，它具有一些特定的性质与运算规则。

本文将探讨二次根式的性质与运算，帮助读者更好地理解和运用二次根式。

1. 二次根式的简化与化简二次根式可以通过简化和化简来使得表达更简洁、易读。

简化是指通过寻找因式分解或者找到平方数的形式来减少根号下的数字。

例如，√12可以简化为2√3。

化简是指将数的乘方分解成不包含二次根式的形式。

例如，√16可以化简为4。

2. 二次根式的加减运算在进行二次根式的加减运算时，需要满足被加减数的被开方数相同。

例如，√2 + √3无法进行直接运算，但可以通过换元化简为(√2 + √3)(√2 + √3)。

运用公式(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²，可以得到√2 + √3 = √2 +√3 + (√2)(√3)。

因此，二次根式的加减运算可以转化为求和的形式。

3. 二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以通过将两个二次根式相乘，并通过关键的化简步骤来简化最终结果。

例如，√2 * √3 = √6。

如果需要计算更复杂的二次根式乘法，可以利用公式√a * √b = √(ab)进行化简。

4. 二次根式的除法运算二次根式的除法运算也是通过适当的化简步骤来求解。

例如，√6 /√2 = √3。

类似于乘法运算，可以利用公式√a / √b = √(a/b)进行化简。

5. 二次根式的幂运算二次根式也可以进行幂运算，即将二次根式的指数设置为非负整数。

例如，(√2)² = 2。

值得注意的是，在进行幂运算时，需要将指数应用于根号内的数字，并对结果进行简化。

6. 二次根式的有理化有理化是将二次根式与分母中的二次根式相消，使得根号仅出现在被开方数中。

例如，将分数1/√3有理化，可以通过乘以√3 / √3进行，得到√3 / 3。

综上所述，二次根式具有许多特定的性质与运算规则。