第六章 弯曲应力

Iz
200 303 12
200 30 (170 15 139)2
301703 30170 (139 170)2
12
2
z y1
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A
B
2m
3m
20kNm
P=20kN D
C 1m
+ 10kNm
(3) 求最大拉应力与最大压应力
F2 2 bh / 3 2 106 100 150 10 6 / 3 10000 N 10kN
4.按胶合面强度条件计算许可载荷
g
FQ
S
* Z
IZb
F3b
h 3
2
bh3 b
4F3 3bh
g
12
F334 106 4
3825N 3.825kN
h3 9
h3 1125106 9 h 3 91125106 0.216m 取 : h 216 (mm) b 2 h 144 (mm)
3
例
FQ
F l
悬臂梁由三块木板粘
50 接而成。跨度为1m。胶 z50 合面的许可剪应力为 50 0.34MPa，木材的〔σ〕
100
= 10 MPa，[τ]=1MPa，
分析B、C两截面（最大正负弯矩所在面）
B截面
| Lmax || C max |
C截面
| Lmax || C max |
显然
| C max B || C maxc |
20kNm
C
B
+ 10kNm
+
–
–
+

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第六章 弯曲应力
上一讲回顾（12）
•梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。 y My s •正应力公式： s E E Iz M Iz s max •最大正应力： Wz Wz y S z ydA, S y zdA •静矩：
A A
•惯性矩与惯性积 ：

50
a
F l
a
a = ? [ F ] 最大.
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第六章 弯曲应力
配重降低最大弯矩作用分析
M
Pa Pa F P
F a
P
l
a
a
l
a
M
Fl/4 +
M
Fl/4-Pa Pa
+
Pa
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第六章 弯曲应力
弯拉（压）组合分析
A F
l 2
q
B
C
l 2
F
C
FN M max
sN

sM
y
sN sM

20 kN 20 kN
C
D
解：计算截面形心 与惯性矩
A
B
1m
3m
1m
yC 139mm I z 40.3 106 mm 4
M 图:

10kN m

20kN m
200
为校核梁的强度，需计算 B截面a点的拉应力与b点 压应力，C截面b点拉应力
a
30
y1
z
170
yC
b 30
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3. 弯矩计算 或
EI z
bd 2s max M s max W 1.14kNM 6

称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解：
由弯曲曲率公式 可得：
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式：
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max

基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设，纵向纤维间无正应 力。

中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知，梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层，称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。

材料力学
第6章 弯曲应力
§6-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 y y E E x Mz 三、静力学方面
（1） Fx 0
（2） My 0
b
z x
y
h
σ dA
y
z y
dA 0
A
A
ydA 0
中性轴（z轴）为形心轴.
zdA 0
A A
1 M ( x) ( x) EI z
正应力：
M ( x) y Iz
最大的正应力：
max
M ( x) Wz
材料力学
第6章 弯曲应力
§6-3 横力弯曲时梁的正应力及正应力强度条件 二、正应力强度条件
h
b
z
d
z
强度条件
max ≤[ ]
1、塑性材料 [ t ]=[ c ]=[ ] y y M 截面一般关于中性轴对称 max = max ≤[ ] Wz M max yt ≤[ t ] 2、脆性材料 t max = I z z 形心 M max yc cmax = ≤[ c ] Iz y 3、三种类型的强度计算 截面一般关于 M max ≤[ ] （1）强度校核 max 中性轴不对称 Wz M （2）设计截面 Wz ≥ max （3）求许可荷载 M max ≤Wz [ ] [ ]
故横截面上任一点处的纵向线应变 与它到中性层的距离y成正比.
材料力学
第6章 弯曲应力
§6-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 一、几何方面 变形现象 变形规律 两点假设 y o x 几何方程 二、物理方面 单向受力假设，利用胡克定律 y ρ dθ E E 与y成正比，而与z无关. 1 2 1 2 正应力沿高度方向呈线性分布， dx o'2 o1 o2 而沿宽度方向均匀分布. o' 1 y y a' b' a b 中性层的位置还不知道，未知， 1 2 1 2