工程力学B(二)第11讲第六章弯曲应力-强度条件

τ σ
4 减小应力集中。尽量避免截面尺寸沿梁的急剧变化。尽量 减小应力集中。尽量避免截面尺寸沿梁的急剧变化。 使用圆角过渡。 使用圆角过渡。
局部考虑
1.截面的放置 截面的放置 与 2.同样面积下 最大 同样面积下W最大 同样面积下
〉
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为什么？ 为什么？
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常见梁截面的 Wz /A 值 Wz /A 的值 大与小，哪个好？为什么？ 大与小，哪个好？为什么？
W ( x) =
M ( x)
[σ ]
二、变截面梁与等强度梁
横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。 横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F
x
F
b
h(x )
z
y
l
h1
hmax
σ max =
M ( x) = [σ ] W ( x)
W ( x) =
M ( x)
[σ ]
bh 2 6 Fx M ( x ) = Fx, h = 常数，由 Wz = 知h ( x ) = 6 b[σ ]
由τ max =
hmax =
6 Fl b[σ ]
3 Fs 3F 知h1 = 2 bh 2b[τ ]
三、梁的合理受力 梁的合理受力
1.支座位置 合理布置支座位置，使 M max 尽可能小 支座位置 合理布置支座位置，
q L
qL2 40
M
2 qL 8
x
q L/5 L/5
M
2 −qL 50
x
2.加载方式 加载方式——合理布置外力作用，使 M max 尽可能小 合理布置外力作用， 加载方式 合理布置外力作用
Fl 当载荷位于梁跨度中间时， 当载荷位于梁跨度中间时，弯矩最大 Wz ≥ = 3.0 × 10 − 4 m 3 4[σ ]
3 校核梁的剪切强度
No 22工字刚截面的 I z S z ,max = 0.189, 腹板厚度δ = 7.5mm。
τ max =
F Iz S z , max
δ
= 1.411× 107 Pa = 14.1MPa < [τ ]
形梁尺寸及所受荷载如图所示, 例 T形梁尺寸及所受荷载如图所示 已知 σ]e=100MPa，[σ]t=50MPa， 形梁尺寸及所受荷载如图所示 已知[σ ，σ ， [τ]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左侧截面 点的正应 左侧截面E点的正应 τ ， ， × 左侧截面 切应力； 校核梁的正应力 切应力强度条件。 校核梁的正应力、 力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。 40 1kN 1kN/m
P M L/2 P M L/4 3L/4 P=qL
对称
PL/4
x
L/2 3PL/16 x
M
qL2/10 x
L/5
4L/5
四、用超静定梁
2 qL 8
q L
M
x
超静定梁
q M
9qL2/512
x
− qL2 32
L/2
L/2
第六节 双对称截面梁的非对称弯曲 一、弯曲正应力分析
m
Fy
x
C Mz
z
m
z C
m
σ c ,max
σ l ,max
第五节 梁的合理强度设计
1 选择合理的截面形状，使用较小的截面面积，获得较大抗弯截 选择合理的截面形状，使用较小的截面面积， 面系数的截面。 面系数的截面。 2 对抗拉与抗压强度相同的塑性材料梁，采用对中性轴对称的截 对抗拉与抗压强度相同的塑性材料梁， 而对于抗拉强度低于抗压强度的脆性材料梁， 面。而对于抗拉强度低于抗压强度的脆性材料梁，采用中性轴偏 于手拉一侧的截面。 于手拉一侧的截面。 3 注意腹板应具有一定的厚度。 注意腹板应具有一定的厚度。
在一般细长的非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。 在一般细长的非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。 因此通常只需按弯曲正应力强度条件进行分析。 因此通常只需按弯曲正应力强度条件进行分析。而对于薄壁截面梁与弯 矩较小而剪力较大的梁，如短而高的梁、集中载荷作用在支座附近的梁， 矩较小而剪力较大的梁，如短而高的梁、集中载荷作用在支座附近的梁， 则不仅应考虑弯曲正应力强度条件， 则不仅应考虑弯曲正应力强度条件，而且还应该考虑弯曲切应力强度条 件。
该梁满足强度要求
第五节 梁的合理强度设计
理论和实践说明：设计梁的主要依据是弯曲正应力强度条件。 理论和实践说明：设计梁的主要依据是弯曲正应力强度条件。所 以梁的强度与材料性质、横截面形状与尺寸、 以梁的强度与材料性质、横截面形状与尺寸、外力引起的弯矩有 关。
一、梁的合理截面形状
1 选择合理的截面形状，使用较小的截面面积，获得较大抗弯截 选择合理的截面形状，使用较小的截面面积， 面系数的截面。 面系数的截面。 2 对抗拉与抗压强度相同的塑性材料梁，采用对中性轴对称的截 对抗拉与抗压强度相同的塑性材料梁， 而对于抗拉强度低于抗压强度的脆性材料梁， 面。而对于抗拉强度低于抗压强度的脆性材料梁，采用中性轴偏 于手拉一侧的截面。 于手拉一侧的截面。
10
E
yc
A
C
B
40
z
1m
1m
1
1m
10
FS (kN)
0.25 _ 0.75
+
解： 1)求支座反力： FA = 0.25kN，FC = 1.75kN
0.5 M (kN.m) + 0.25 _
2)作梁的FS、M图如右： FS , C左 = −0.75kN，FS , C右 = 1kN M C = −0.5kN • m，M B = 0.25kN • m
l/2
F
例
A
a
l
C
B
z
NO.16
解：
1)σ C = Eε C = 210 ×109 × 400 × 10 −6 = 84 × 10 6 Pa = 84MPa
M C = FB (l − a ) = 0.25F Q ∴ F = 47.4 ×103 N = 47.4kN M C 0.25F 0.25F σ C = W = W = 141×10 −6 z z 1 2) M max = FL = 17.8kN • m 4 M max 17.8 ×103 σ max = = = 126 ×106 Pa = 126MPa < [σ ] Wz 141× 10 −6
M C y E 0.5 ×103 × 7.5 ×10 −3 3)σ E = = = 20.6MPa (拉) Iz 18.2 ×10 4 × 10 −12
τE =
* FS , C左 S z
I zb
0.75 ×103 × (400 × 12.5 ×10 −9 ) = = 2.1MPa 4 −15 18.2 ×10 ×10 × 10
已 知 16 号 工 字 钢 Wz=141cm3 ， l=1.5m ， a=1m ， [σ]=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘 点沿轴向贴一应变片 σ ， ，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片 测得C点轴向线应变 并校核梁正应力强度。 ，测得 点轴向线应变 ε c = 400×10 −6 ,求F并校核梁正应力强度。 求 并校核梁正应力强度
如图所示简易起重机梁，用工字钢制成。若载荷F=20KN， 例 如图所示简易起重机梁，用工字钢制成。若载荷 ， 并可沿梁轴移动（ η< ），梁的跨度 η<l 梁的跨度l=6m，许用应力 并可沿梁轴移动（0<η<l），梁的跨度 ， [σ]=100MPa,许用切应力[τ]=60MPa,试选择工字钢型号 =100MPa,许用切应力[τ]=60MPa,试选择工字钢型号。 [σ]=100MPa,许用切应力[τ]=60MPa,试选择工字钢型号。
二、 弯曲切应力强度条件
最大弯曲切应力发生在横截面上中性轴上各点处， 最大弯曲切应力发生在横截面上中性轴上各点处，而该点的弯曲正应力 为零。因此最大弯曲切应力作用处于纯剪切状态。 为零。因此最大弯曲切应力作用处于纯剪切状态。
τ max
Fs ,max S z ,max Fs S z , max ≤ [τ ] = I δ ≤ [τ ] 对于等截面梁：τ max = I zδ z max
解：1 内力分析
弯矩图
Fy
A
a
Mz
a x
a B x
Fa
My
Fz
z
2a
2 Fa
x
y
第六节 双对称截面梁的非对称弯曲
2 应力分析
d
b
e
M zA
z
σ max
C
h
M yA
x a
M zA 6 × 2 Fa 6 × Fa = + = + 2 Wy Wz hb bh 2 M yA
σ max = 1.465 ×108 Pa = 146.5MPa
f
y
2 强度校核
σ max ≤ [σ ], 符合弯曲强度要求
如图所示工字钢吊车梁，当起吊时，由于被吊物体位置偏斜， 例 如图所示工字钢吊车梁，当起吊时，由于被吊物体位置偏斜，致使 载荷偏离梁的铅垂对称面。若载荷F=20KN，偏斜角α=5度，梁跨度 载荷偏离梁的铅垂对称面。若载荷 ，偏斜角α=5度 l=4m，许用应力[σ]=150MPa，试根据弯曲强度条件选择工字钢型号。 l=4m，许用应力[σ]=150MPa，试根据弯曲强度条件选择工字钢型号。 [σ]=150MPa
y
中性轴
y
'
中性轴上取任意点坐标 （y , z ），则
σ=
z
M yz Iy
−
Mzy = 0, 即 Iz
M yz Iy
z'
Mzy − =0 Iz