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材料力学课件第六章 弯曲应力

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材料力学第6章-弯曲应力

材料力学第6章-弯曲应力
实心与非薄壁截面梁
a与c 点处－单向应力
单辉祖,材料力学教程
b 点处－纯剪切
32
薄壁截面梁
d
a 点处－纯剪切
c 与d 点处－单向应力
b 点处－ 与 联合作用
单辉祖,材料力学教程 33
梁的强度条件
梁的强度条件 弯曲正应力强度条件： 材料单向应力许用应力 max [ ] 弯曲切应力强度条件： 材料纯剪切许用应力 max [ ] 强度条件的应用 细长非薄壁梁 ( max max ) max [ ] 短而高梁、薄壁梁、 M 小 FS大的梁或梁段 max [ ] max [ ] 对一般薄壁梁，还应考虑 、 联合作用下的 强度问题（参见第 8 章中的强度理论） 单辉祖,材料力学教程
单辉祖,材料力学教程
28
例 3-2 已知梁段剪力FS，试分析铆钉的受力
单辉祖,材料力学教程
29
FS
F2 F1 2
单辉祖,材料力学教程
30
§4 梁的强度条件与合理强度设计
梁危险点处的应力状态 梁的强度条件
梁的合理强度设计
例题
单辉祖,材料力学教程
31
梁危险点处的应力状态
2 I z0 A y0 dA
A y0dA 0
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系 二者平行
16
I z I z0 Aa2
同理得：
单辉祖,材料力学教程
I y I y0 Ab2
例 题
例 2-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力t,max与压应力c,max

材料力学6章弯曲应力

材料力学6章弯曲应力

⑶胶合的梁
例题
30
§6.5 提高弯曲强度的措施
max M max [ ] W
㈠合理安排梁的受力情况
⑴合理布置支座
⑵合理布置载荷


⑶使载荷分散

33
㈡合理截面
⑴截面放置 ⑵合理的截面形状

Wz 用 A 来衡量截面形状的合理性和经济性
矩形
圆形
1 2 bh Wz 6 0.167h A bh 1 d3 W
dA
A 1
A1为侧面Pn1的面积
( M dM ) y1 M dM M dM * dA y dA sz 1 A1 A1 Iz Iz Iz * s 其中： z y1dA
A1
* Sz 距中性轴为z以外部分的面积对中性轴的静矩
18
同理： N1 M s * z Iz 顶面pr：Q=τbdx
max
3 ql 2 bh
max l 2 max h
对非薄壁细长梁：lh，σmaxτmax
∴弯曲正应力是控制梁的主要因素
29
结论：
⒈一般对非薄壁细长梁，只考虑弯曲正应 力强度即可。 ⒉要考虑弯曲正应力、弯曲剪应力的情况 ：
⑴梁的跨度较短，或在支座附近有较大 的载荷。 ⑵铆接焊接而成的工字梁。
s z ydA 0 Ayc
yc 0
1 ? ②
7
∴中性轴过形心
⒉∑My=0

A
(dA) z 0

E
A

yzdA 0
yzdA 0
A
y为对称轴 上式自然满足
8
⒊∑Mz=0

A
(dA) y M 0

第六章 弯曲应力

第六章 弯曲应力

近似公式:
Q
hb
47
腹板切应力的近似公式
因为: (1)腹板切应力近似为均匀分布;
(2)腹板负担了绝大部分剪力。
近似公式:
Q
hb
翼缘的切应力
特点
(1) 除了有平行于剪力Q的切应力 分量外，还有与剪力Q垂直的 切应力分量；
(2) 切应力数值与腹板的切应力相比较小。 48
箱形薄壁梁
假设 : t //
My
Iz
总结
假设 平面假设，单向受力假设
综合考虑三方面
( y) y
结论
( y) E ( y)
dA0 ydA M
A
A
中性轴位置：中性轴过截面形心
❖ 中性层曲率：1 M （Iz －惯性矩）
EI z （EIz －截面弯曲刚度）
正应力公式： ( y) My
Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
y2)
8
24
则，距中性层 y处的切应力公式为:
Q
[
B
(H
2
h2 )
b
h2 (
y 2 )]
Izb 8
24
切应力分布如图。
45
距中性层 y处的切应力公式为:
Q [ B (H 2 h2) b (h2 y2)]
Izb 8
24
切应力分布如图。
最大切应力发生在中性轴处
max
Q[ Izb
BH 2 8
由切应力互等定理，得
QS
* z
Izb
计算Sz*
可用公式
S
* z
A1
y1
S
* z
b( h 2
y) [y

材料力学课件第六章弯曲应力

材料力学课件第六章弯曲应力
第6章 弯曲应力
※ 梁的纯弯曲 ※ 纯弯曲时的正应力 ※ 横力弯曲时的正应力 ※ 弯曲切应力 ※ 提高弯曲强度的措施
第三章 扭 转
§6.1 梁的纯弯曲
横截面上同时存在弯矩和剪力
横力弯曲
横截面上只有弯矩并无剪力
纯弯曲
f1(M ) f2 (Q)
第三章 扭 转
aP P a
A
B
C
D
QP
x
P

a
2

h
2 4
2
b
a y
第三章 扭 转
附录 2. 惯性矩和惯性半径
一、惯性矩
z
定义：图形面积对某轴的二次矩
IzAy2dA , IyA z2dA
y
dA
z
工程中常把惯性矩表示为平面图形的
面积与某一长度平方的乘积, 即
O
y
Iz Az2i, IyAy2i
或
iy
Iy , A
iz
E E y
3. 静力学关系
M z
N A dA 0
(1 )
M yA zdA 0 (2 ) M zAy dA M (3 )
y z y
x
dA
E E y
第三章 扭 转
NxAdAAEρydA0
Sz 0
ydA 0
A
中性轴过形心
1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一 轴静矩的代数和，即：
n
n
Sz Aiyi , Sy Aizi
i1
i1
其中：Ai， yi， zi 分别代表第 i 个图形的面积和形心坐标， n为分割成的简单图形的个数。

材料力学第六章弯曲时的变形精品PPT课件

材料力学第六章弯曲时的变形精品PPT课件

1
(x)
(1| ww2|)32
(1| ww2|)32
M(x) EI
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0M 0
M 0
曲线向上凸时, w 0M 0w
w 0
M
M
因此, w 与 M 的正负号相同
O M 0 w 0
x
w (1 w2)32
两段梁的挠曲线方程分别为：
1 ( 0 x a)
挠曲线方程 EIw1 M1Fbl x
转角方程
EIwFb l
x2 2
C1
挠度方程 EIw1Fb lx63C1xD 1
2 (axl )
挠曲线方程 E Iw 2 M 2F b lxF (xa)
转角方程 挠度方程
E Iw 2 'F b lx 2 2F (x 2 a)2C 2 E Iw 2 F b lx 6 3 F (x 6 a )3 C 2 x D 2
转角
B
x
w挠度（
B
3、挠曲线 :梁变形后的轴线称为挠曲线 . 挠曲线方程为:
w f(x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B
转角
4、挠度与转角的关系：
tg w ' w '(x )
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
5、挠度和转角符号的规定
挠度:向上为正,向下为负.
转角:自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.

《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形

《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形
成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2

材料力学第6章弯曲应力

材料力学第6章弯曲应力

图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
引用记号

材料力学第6章 弯曲变形部分课件

材料力学第6章 弯曲变形部分课件

§6-2 挠曲线的微分方程
（ Differential equation of the deflection curve) 一、推导公式（Derivation of the formula)
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系（Relationship between the curvature of beam and the bending moment）
2
(4)
弯曲变形(Deflection of Beams)
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2
Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6 边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0
2 3
(4)
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 w A 和 w B 都等于0.
A
B
wA 0
在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.
A
wB 0
B
wA 0
A 0
弯曲变形(Deflection of Beams)
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
二、积分常数的确定 （Evaluating the constants of integration）
1.边界条件（Boundary conditions）
2.连续条件（Continue conditions）
弯曲变形(Deflection of Beams)

材料力学06-弯曲应力

材料力学06-弯曲应力

10
2. 纯弯曲和横力弯曲
纯弯曲 ( pure bending )
横力弯曲 ( transverse load bending )
11
3. 关于梁弯曲的假定 平截面假定
梁横截面在弯曲时始终 保持是一个平面，并始终与 轴线垂直。
纯弯曲： 精确 横力弯曲： 近似正确
F
12
单向受力假定
纵横截截面面上上的的正正应应力力y x= q0
( Hooke 定律 )

dx
17
2. 正应力公式推导
d y
静力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与
正应力的关系 )
dA

微内力元素 dA组成空间平行力系向截面
形心简化
z
dx
x
E 要结论
FN dA ; M y z dA ; Mz y dA .
z
d
d
z
d 2
d
z z
2
d
d
d
2
2
d
(a)
(b)
(c)
梁间无摩擦组合
（横截面上的弯矩由两梁均分）
26
动脑又动笔
撑杆跳过程中某时刻撑杆最小曲 率半径为 7.5m，纤维增强玻璃钢跳 杆直径为 40 mm，E = 120 GPa，求 此时杆中的最大正应力。
120 240 320 480 (MPa)
由弯曲曲率公式 1 M
c max
[ t ],[ c ] min
① 校核强度
② 设计截面尺寸
Wz

| M |max
[ ]
③ 计算许可载荷
| M |max Wz [ ]
32
q = 10 kN/m

材力06弯曲应力详解

材力06弯曲应力详解

M y
(sdA)z
A
Eyz
E
dA
A
yzdA EI yz 0
A
（Iyz＝0）
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
10
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y 2dA EI z M
A
1 Mz
EI z
… …(3)
由式（2）和（3）
s M y
x
Iz
...... (4)
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
1
主要内容
§6–1 梁的纯弯曲 §6–2 纯弯曲时的正应力 §6–3 横力弯曲时的正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 提高弯曲强度的措施
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
2
§6–1 梁的纯弯曲
弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t 正应力s
平面弯曲时横截面只有s
纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
平面弯曲时横截面既有s又有t
横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
例如：
P1
P2
纵向对称面
aP A
Q
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
B 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 x
x M
F
B
D
1m
FBY=10.5KN
弯矩图 M
弯矩图
2.5KN· m
X
2020/9/29
4KN·m
材料力学 第六章 弯曲应力
15
B截面和C截面应力分布规律图

工程力学教学课件 第6章 弯曲应力 PPT资料共79页

工程力学教学课件 第6章 弯曲应力 PPT资料共79页
第六章 弯曲应力
1
目录
回顾与比较
内力
应力
F
A
T
IP
M
?
?
FAy
FS
2
目录
第六章 弯曲应力
§6–1 概述 §6–2平面图形的几何性质 §6–3 弯曲正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 梁的强度计算 §6–6 提高梁强度的主要措施 §6–7 弯曲中心 §6–8 组合梁
3
胶 缝 F Is1 zS bz *616 30 6 0 1 0 4 2 3 6 0 0 40 0 1 21.1M 1 P
36
§6–5 梁的强度计算
梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。 对于等截面梁
⒈ 正应力强度条件：
max
Mmax Wz
上边缘。
26
30
P=50kN
P=20kN
A
DB
C
0.3m 0.3m 0.2m
5.5kN.m
⊕
C
z
y1 y2

38.2mm 71.8mm
110
○－
Iz 5.73 16 0mm 4
D截c ,面m : aM x Iz D y 2 5 4.7 kN5 .m.5 1 3 6 1 0 1 30 1 0 27.8 1 1 3 0 1 6 0 6.9 8 MP
⊕
○－
z
C
110
z1
4kN.m
解：画梁的弯矩图； 确定中性轴的位置。
y111 130 1 0 1 30 5 0 3 3 0 0 8 8 0 0 7 03.2 8 mm
y211 y0 17.8 1mm

材料力学第六章弯曲应力

材料力学第六章弯曲应力

根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz 和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得
Iz
Iy

Ip 2
πd4 64
d
而弯曲截面系数为
Wz Wy
Iz d
Iy d
πd3
32
22
o
z
ry
z dA
y
(3) 空心圆截面
由于空心圆截面的面积Ａ等于大圆的面积AD减去小圆
(即空心部分)的面积Ad故有
上式中的EIz称为梁的抗弯刚度（对Z轴）。显然，由 于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。
将上式代入得出的式子
E y r
即得弯曲正应力计算
公式：
My Iz
应用此式时，如果如图中那样取 y 轴向下为正的坐标系来定义式中 y 的正 负，则在弯矩 M 按以前的规定确定其正 负的情况下，所得正应力的正负自动表 示拉应力或压应力。但实际应用中往往 直接根据横截面上弯矩的转向及求正应 力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正 应力为拉应力还是压应力；在此情况下 可以把式中的 y 看作求应力的点离中性 轴 z 的距离。
d2
y2
h
y1
Ox
x
d1
y b
1. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC 和yC的惯性矩 IxC，IyC 及惯性积 I xC yC ，现需导出该截面对于 与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。 截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为 xb和y a。
t,max

Myt,max Iz
c,max

Myc,max Iz

材料力学第6章-弯曲应力概要

材料力学第6章-弯曲应力概要
Iz
21
M y 正应力在横截面上的分布规律
I
22
6.1.2 横截面上的正应力公式 3. 正应力公式使用注意点
M y
Iz
（1）弹性范围内使用
M y
Iz
（2）由所考虑位置处拉
压性质直接确定应力正负
纯弯曲
M (x)y
Iz
横力弯曲
（3）L/h﹥5时，横力弯曲梁的
A
y dA
E
Sz
0
x Sz 0 重要结论：中性轴必定过形心
E E y
2) 第二式：
M y
z dA
A
E
A
y zdA
E
I yz
0
平面弯曲条件： I yz 0 y轴是形心主惯性轴
弯曲发生在各截面的形心主惯性轴 y 所组成的平面内
19
2. 正应力公式推导
y
静力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与正
（4）ρ/h≥5的曲梁弯曲正应力计算可近似 用公式，其误差在工程允许的范围内
M EI W W
23
M (x)y Iz
分析和讨论
梁在有的区段是中性层上侧受拉而下侧受 压，有的区段则是上侧受压而下侧受拉。这 种情况与弯矩图有什么规律性的联系？
M M
x
x
结论 弯矩坐标向上为正的规定使弯矩图始终画在梁的受压
确定中性轴位置 中性层曲率表达式及正应力表达式
15
2. 正应力公式推导
d y
几何关系 ( 平截面假设 )
mn dx d mn ( y)d
z
dx
dx
x
mn mn ( y)d d
mn
d
y
d y
m' n'

材料力学课件 弯曲应力(孙)

材料力学课件 弯曲应力(孙)
mm，钢的密度为： 7.8g/cm³ ，液体的密度为：1g/cm³,液面 高0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。 解： q — 均布力
L g A2L 2 g A g A g mg Vg A q 1 1 1 1 2 2 L L L
1 D 1g [R2 R2( sin )] 2 g 2
[例4-3] 计算1-1,2-2截面的剪力和弯矩。
20kN
1
20 kN m
2
10 kN m
解：
A
C
RA 50kN RB 10kN
B
0 .5 m
RA
1m
1
0 .5 m
D 2
11:
Q1 20 RA 10 0.5 25kN
1m
1m
RB
RB 101.5 25kN
M1 201.5 RA 0.5 10 0.5 0.25 6.25kN m
RB 1.5 101.5 0.75 20 6.25kN m
2 2 :自己算2 - 2截面的Q2和M 2 Q2 20 50 101.5 RB 10 0.5 15kN
M M ( x)
剪力方程 (equation of shearing force) 弯矩方程 (equation of bending moment)
Q Q( x) 的图线表示 M M ( x) 的图线表示
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
[例4-4] 求下列各图示梁的内力方程并画力图。 P L 解：①求支反力 MO YO Q(x) x Q(x) M ( x) P
剪力图上某点处的切线斜率 等于该点处荷载集度的大小。

材料力学第四版课件 第六章 弯曲变形

材料力学第四版课件 第六章 弯曲变形
)F
ql
3
()
2
24 EI
Fl ()
(q
A
16 EI
3
q
A

ql

Fl
2
( )
24 EI
16 EI
例6.5：图示外伸梁，其抗弯刚度为EI,求B截 面的转角和C截面的挠度.
2
2
l
EIw 2 M 2 F
x F ( x a)
2
转角方程
b x F ( x a) C2 l 2 2
3 3
b x F ( x a) C 2x D 2 挠度方程 EIw 2 F l 6 6
F A a l C b B
(3)确定积分常数 边界条件： 在 x = 0 处, w1 0 在 x = l 处, w2 0 C点的连续条件： 在 x = a 处， w1 w2 , w1 w2 再将边界条件和连续条件分别代入 AC与CB的转角方程与闹曲轴方程中。
F B
当 x 0 时 ： q 0， w 0
q
w 1 EI
1 EI
( FLx
1 2
2
1 2
Fx
2
C)
3
(
FLx

1 6
Fx
Cx D )
4.根据边界条件确定积分常数
当 x 0 时 ： q 0， w 0
解得
C 0; D 0
5.得到转角方程和挠度方程，计算B截面的 挠度和转角
B
(4) 根据边界条件求积分常数 当x=0 和 x=l 时, w = 0
EIq EIw
EIw ql 12 x
3

材料力学——梁的弯曲应力PPT课件

材料力学——梁的弯曲应力PPT课件


M x 90KN
M C 90 1 60 1 0.5 60kNm
12
可得挠曲线的曲率方程：
M EI z
1
为常数，挠曲线 是一条圆弧线
EIz ——抗弯刚度。
正应力的计算公式为 横截面上最大正应力为
My s Iz
s max
Mymax M M Iz I z / ymax Wz
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。 13
平放：
1 1 2 3 hb , Wz hb Iz 12 6
若h>b, 则
Wz Wz 。
15
d z
Iz

64
d 4,
Wz

32
d 3,
D
d z
Iz

64
(D d )
4 4

64
D4 (1 4 )
Wz

32
d ( ) D
D3 (1 4 )
﹡简单截面的惯性矩
矩形截面
y I z y dA h y bdy b 2 3 A
2 h 2 2
h 3 2 h 2
bh 12
3
园形截面
14
矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放：
z h
b
b h z´
1 3 1 2 I z bh , Wz bh 12 6
19
385 106 Pa 385MPa
例 题
y q=60KN/m
120
求: 1.C 截面上K点正应力
180

(精品)材料力学课件：弯曲应力

(精品)材料力学课件：弯曲应力

危险点： a 点处: 纯剪切
c , d 点处: 单向应力
b 点处: , 联合作用
18
二、梁的强度条件
• 弯曲正应力强度条件：
max
M Wz
max
[ ]
max：最大弯曲正应力
[] ：材料单向应力许用应力
•弯曲切应力强度条件：
max
F SS z ,max I z
max
[ ]
max ： 最大弯曲切应力 [] ： 材料纯剪切许用应力
FS
(y)
横截面两侧边缘的各点： //侧边； 一般梁横截面窄而高；
yz
假设 (y)的
分布形式
横截面上各点： //侧边， 沿截面宽度方向均匀分布
y
4
利用分离体平衡来求横截面上的切应力( q 0 的情况)
M
M+dM
(y)
FS
FS
F1
z dA F2
dx
b
y
dx
F1
dA
x方向平衡： F1 ( y) b dx F2
Fs
x
t
z
dx y
dx
(s)
F1
'(s)
F2
S
10
工字形与盒形等薄壁梁的弯曲切应力：
工字形梁的弯曲切应力 腹板： //腹板侧边，均匀分布。
b/2
b/2
翼缘： //翼缘侧边，均匀分布。
翼缘 分析方法：分离体平衡
h0/2 h/2 h/2
h0/2
FS 腹板
C
z
( y) FS Sz ( )
Iz b 翼缘：
h2 ) (h2
4 y2 )]
盖板与腹板的交接处：
应力分布较复杂，有应力集中现象
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y2 z h 1 2 b
yC C zC O y
b1 z y2 2 4h 2 b S y dA h 2 (1 2 ) dy A2 0 2 b 15
y2 2hb A dA h(1 2 )dy A 0 b 3
b
第三章 扭
转
三、组合图形的静矩和形心
第6章
弯曲应力
※ 梁的纯弯曲 ※ 纯弯曲时的正应力 ※ 横力弯曲时的正应力
※ 弯曲切应力
※ 提高弯曲强度的措施
第三章 扭 转
§6.1
梁的纯弯曲
a A C
横截面上同时存在弯矩和剪力
P
P
D
a B
横力弯曲
横截面上只有弯矩并无剪力
Q
P
纯弯曲
P
x
M
Pa
f1 ( M ) f 2 (Q)
第三章 扭 转
别校核:
t max t , c max c
第三章 扭
转
P
例题1 两矩形截面梁，尺寸和材料的许 用应力均相等，但放置如图(a)、 (b)。按弯曲正应力强度条件确定 两者许可载荷之比 P1／P2＝？
A l
B
P1
P2
z
h
z
b
(a)
第三章 扭 转
(b)
解：
P
max 1
yc
270
C2 C C1
300
yC y
30
I yC I yc I yc 2.05 108 (mm 4 )
I zC
1 1 3 30 300 270 503 7.03 107 (mm 4 ) 12 12
转
第三章 扭
§6.3
横力弯曲时的正应力
y My E Iz
4 2 2
①
y
h
d③
③
h
b
（3）计算组合图形的形心惯性矩
bh3 πd 4 πh 2 d 2 I y I y1 I y2 I y3 12 64 64
第三章 扭 转
例题7
试计算T形截面的形心主惯性矩。
50
z
解：（1）确定形心及形心主惯性轴。
A1 z1 A2 z2 zc A1 A2 300 30 0 50 270 150 300 30 50 270 90(mm )
A

又
y z
2 2
2
O
y
I p 2 d A ( y2 z2 ) d A I z I y
A A
第三章 扭
转
例题4
求图示矩形对对称轴y 、z 的惯性矩。
z
解：取微分面积如图示
I y z dA
2 A
2 h 2
h
z bdz
2
h 2
dz z
bh 3 12
z
Sz y d A ,
A
Sy z d A
A
y yC C zC
dA z
分别为图形对z 轴和 y 轴的静矩。
二、形心
O y
由平面图形的形心公式:
yC

A
yd A A , zC
zd A
A
A
Sz yc , A
轴过形心
zC
Sy A
S z yC A ,
第三章 扭
S y zC A
1
EI z 抗弯刚度
My E Iz y
横截面应力分布:
第三章 扭
转
结 论:
中性轴过横截面的形心
Sz 0
中性层的曲率公式:
M EI z
1
正应力计算公式:
y My E Iz
应用条件:
max p
第三章 扭
转
附录 一、静矩
1. 静矩和形心
2 A
O
2
yc dA 2a yc dA a
2 A A
A dA
I zc a 2 A
第三章 扭 转
z
zC y b yC dA C a z
平行移轴公式：
I y I yC b A
2
zC yC y
I z I zC a A
2
I yz I yC zC abA
M max 1 Wz1
Pl 12 bh 6
A l
B
max 2
M max 2 Wz 2
P2l 2 hb 6
P1
P2
z
h
由 max 1 max 2 [ ] 得:
P1 h P2 b
第三章 扭 转
b
(a)
(b)
例题 2 已知：P=10kN，a =1.2m [σ]=10MPa，h/b =2 试：选择梁的截面尺寸。
同理可得：
y
h 2
b
hb Iz 12
第三章 扭
3
转
例题5
求图示圆平面对y 、z 的惯性矩。
z
解：由上一章可知
πd 4 2 Ip d A A 32 I p Iy Iz 又
d
C y
Iy Iz
πd 4 Iy Iz 64
第三章 扭 转
附录 一、惯性积
3. 惯性积
z y
b h2 2 a 2 4
h 2
a
y
h 2
b
第三章 扭
转
附录 一、惯性矩
2.
惯性矩和惯性半径
z y
定义：图形面积对某轴的二次矩
dA z
I z y2 d A , I y z2 d A
A A
工程中常把惯性矩表示为平面图形的
面积与某一长度平方的乘积, 即 或
O y
O
第三章 扭
转
例题6
求图示图形对其形心轴 y 的惯性矩。
h
4 4 4 4
d
h
h
d③
h
b
第三章 扭
转
解：（1）将图形分割为三部分 （2）计算三部分对形心主惯
h 4 4 4 4
z
性轴的形心惯性矩。
h
d
②
C
bh 3 I y1 12
I y 2 I y3 πd h πd 64 4 4 πd 4 πh 2 d 2 64 64
第三章 扭 转
强度计算
max
M max M max ymax Iz W
b
Iz W 抗弯截面系数 ymax
bh3
h
z
bh 2 12 W h 6 2
d
z
W
d 4
d
64
d 3
32
2
第三章 扭
转
强度条件为：
max
M max W
对于脆性材料,由于其抗拉和抗压强度不等,则应分
长也不缩短的那层。
中性轴：中性层与横截面 的交线。
： 中性层的曲率半径。
第三章 扭
转
距中性层为 y 处的纤维 bb的 线应变：
( y) d d d

第三章 扭
y

转
2. 物理关系
再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。
E E
第三章 扭 转
2 A
O
a
y
I y c z c y c z c dA
A
y y c a , z zc b
第三章 扭
转
z
I zc yc dA
2 A
z y b
zC yC dA C
y y c a , z zc b
I z y dA
2 A
zC yC a z y
( yc a ) dA
1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一
轴静矩的代数和，即：
S z Ai yi ,
i 1
n
S y Ai zi
i 1
n
其中：Ai， yi， zi 分别代表第 i 个图形的面积和形心坐标，
n为分割成的简单图形的个数。 2、组合图形的形心坐标
Sz yc A
第三章 扭 转
(4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形
心主惯性矩。
第三章 扭
转
附录
4. 平行移轴公式
z zC y b yC dA
2
I y z dA
A
I z y 2 dA
A
I y z y zdA
A
zC yC
C
I y c z c dA
2 A
I z c y c dA
定义：图形对一对相互垂直的轴的矩
dA z
I yz yz d A
A
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐 标轴是对称轴，则平面图形对该对坐 标系的惯性积必等于零。
O dA
z dA
y
I yz yz d A 0
A
O
y
第三章 扭
转
二、几个主要定义
(1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的
O
y
dy
y
hb 2 4 b1 z y2 2 4h 2 b S y dA h 2 (1 2 ) dy A2 0 2 b 15
y2 2hb A dA h(1 2 )dy A 0 b 3
b
第三章 扭
转
z
Sy 2 Sz 3 yC b, zC h, A 8 A 5