10矩阵位移法(李廉锟_结构力学)

2
6 EI F 2 l
1e 1 e M e 2 EI y 2
l
x
19
F EA / l 1
e x1
EI l
Fxe2 EA / l 2
y
e
x u 1
e 2
12 EI M e 6 EI 1 Fye1 3 l2 l l EI 1
2
e 2
12 EI F 3 l
F
e
M 1e e M 2

e
1e e 2
连续梁单元的杆端无线位移。
6
2）平面刚架单元
F
e x1
Fye 1
F
e y1
Fxe 1 1e M 1e M 1
x
e
2
v1e 1
1
u1e
v
e 1
x
e 2
y
y
单元杆端力
同理有
{}e [T ]{}e
[T ]称为单元坐标转换矩阵。14对于平面桁架单元，其单元坐标转换矩阵为：
cos sin [T ] 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos
单元局部坐标系
结构整体坐标系
8
3）桁架单元
F
e
Fxe 1 e Fy1 e Fx 2 F e y2

e
u1e e v1 e u2 v e 2
F
e
Fxe1 e Fy1 e Fx 2 F e y2
e e e e Fxe , Fye1 , u1 , v2 , Fxe2 , Fye2 , u2 , v2 1

2
1 i1 2i23
2 i2 2i22
2 i2
4i23 3
F1
4i1 2i1 0 1
F2 = 2i1 4i1+4i2 2i2 2
传统位移法 根据每个结点位移 对附加约束上的约束
F3
0 2i2 4i2 3
{F}=[K]{}
力{F}的贡献大小进 行叠加而计算所得。
7
一、 单元集成法的力学模型和基本概念
一、矩阵位移法的基本思路
矩阵位移法的两个基本步骤是 （1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，
单元 分析
整体 分析
任务
建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵
由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵
意义 用矩阵形式表示杆 件的转角位移方程
单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量”进行“换码重排位”。
单元
(1) (2)
1 (1)
[k] = (2)
4i1 2i1
2i1 4i1

1
=
1 2
12 3
1 40i1 20i1 0
1
[K] = 2
20i1
40 i1
0
30 0 0
单元
(1) (2)
2 (1)
[k] = (2)
2i1
0
2
[k] =
4i2 2i2 2i2 4i2
12 [K] =
00 0
0 4i2 2i2 0 2i2 4i2
2i1 44i1i+1 4i2 20i2 0 20i2 40i2
4i1 2i1 0
整体刚度矩阵: [K]= 2i1 4(i1+i2) 2i2

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土木工程专业系列教材—结构力学
出版社 科技分社 出版社 科技分社
矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结 点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本 未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行 结构分析的基本要点是： 1）结构离散化
将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个 结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截 面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相 连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这 一步骤.
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确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些 编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的 单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别 是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。
E1 I E2 I 3 1 2 2 5 EI1 3 4 EI2 4 5 6 6 7 8 1 2 3 6 7 8 1 9 2 3 4 5 4 7 5
土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社14出版社科技分社土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社jvjiejnfujjfqmjjiuifnqfiviiimxiejyjixjjmjufxjyjfvjivfyixifuimiioyef11f55f33f66f22yxf44xoyij1f12f233f44f55ff66a单单单单单单单单单单单c整整单单单单单单单单单eb单单单单单单单单单d整整单单单单单单单15出版社科技分社约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号f和和表示当参照系为单元坐标系时还需在表示当参照系为单元坐标系时还需在f和和上添加上划线即用和以示区别
x y (2) x
(1)
(2)

第10章矩阵位移法复习思考题1．矩阵位移法的基本思路是什么？答：矩阵位移法的基本思路：（1）单元分析单元分析是指将结构先分解为有限个较小的单元，即离散化，在较小的范围内分析单元的内力与位移之间的关系，建立单元刚度矩阵或单元柔度矩阵。

（2）整体分析整体分析将将单元分析中的各单元集合成原来的结构，要求各单元满足原结构的几何条件（包括支承条件、结点处的变形连续条件）和平衡条件，建立整个结构的刚度方程或柔度方程，以求解原结构的内力和位移。

（3）支承条件引入支承条件，修改结构原始刚度方程。

（4）求解解算结构刚度方程，求出结点位移，计算各单元杆端力。

2．试述矩阵位移法与传统位移法的异同。

答：矩阵位移法与传统位移法的异同点：（1）相同点传统位移法的基本原理，是以在小变形的基础的结构体系中，内力是可以叠加的，位移也是可以叠加的，而矩阵位移法是按传统位移法的基本原理运用矩阵计算内力和位移的方法。

因此矩阵位移法和传统位移法的基本原理在实质上是一致的。

（2）不同点①矩阵位移法中一般考虑杆件轴向变形的影响，传统位移法忽略杆件的轴向变形；②矩阵位移法一般在计算机上进行计算，可以解决大型复杂问题；传统位移法的计算手段一般是手算，只用来解决简单问题。

3．矩阵位移法中，杆端力、杆端位移和结点力、结点位移的正负号是如何规定的？答：杆端力沿局部坐标系的、的正方向为正，杆端弯矩逆时针为正；杆端位移的正负同杆端力和弯矩。

结点力沿整体坐标系x、y的正方向为正，结点力偶逆时针为正；结点位移的正负同结点力和力偶。

4．为何用矩阵位移法分析时，要建立两种坐标系？答：因为单元刚度矩阵是建立在杆件的局部坐标系上的，但对于整体结构，各单元的局部坐标系可能不尽相同，在研究结构的几何条件和平衡条件时，需要选定一个统一的坐标系即为整体坐标系，另外按局部坐标系建立的单元刚度矩阵可以通过坐标转换到整体坐标系中，从而得到整体坐标系中的单元刚度矩阵。

故建立两种坐标系使矩阵位移法的思路更清晰，物理意义更明确，且不会影响计算结果。