结构力学：第十章 矩阵位移法

材料性质如下： l 5m, bh 0.5m 1m(截面尺寸） A 0.5m 2 , I 1 4 m 24
EA l 0 0 ke EA l 0 0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l
e
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结构力学
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F e TF e
其中，
0 0 0 cos a sin a 0 sin a cos a 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 T 0 0 0 cos a sin a 0 0 0 0 sin a cos a 0 0 0 0 0 0 1
§ 10-8 桁架及组合结构的整体分析
结构力学
3
§ 10-1 概述
结构矩阵分析方法是电子计算机进入结构力学 领域而产生的一种方法。它是以传统结构力学作为 理论基础、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算 机作为计算手段、三位一体的方法。 与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析 中也有矩阵力法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。 矩阵位移法由于具有易于实现计算过程程序化的优点 而广为流传，本章只对矩阵位移法进行讨论。矩阵位 移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称 为杆件结构的有限元法。
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E , A, I
结构力学
6
在局部坐标系中：
矩阵形式：

k的单位转角引起的j端弯矩用
k jk 表示，k端弯矩用 k kk 表示，放在劲度矩阵第二列；
k(1)k(2)k(3) k kk jjj
k kk jk k 2 4ii
2i 4i
21
K1是 1 1自由度发生单1自 位由 转度 角引 在起的刚
位移法用结点的平衡
K1
1.位移法作结点位移引起的单位内力（弯矩、剪力） 图 矩阵位移法将结点位移引起的杆端力放在单元劲度 矩阵中。
2.位移法从结点位移引起的单位内力（弯矩、剪力） 图中取出结点作为脱离体，由脱离体的力平衡条件 求得附加约束反力，即整体劲度系数。
矩阵位移法由单元劲度矩阵集合成整体劲度矩阵。
10
位移法和矩阵位移法求自由项系数的方法有何不同？
11
背：位移法矩阵位移法整体结点位移正负号规定？
整体结点位移，矩阵位移法中与整体坐标方向一 致为正。位移法中角位移顺钟向为正，线位移无 规定。
12
第二专题： 只有转角未知量的连续梁的矩阵位移法
13
用位移法和矩阵位移法求图示连续梁的杆端弯矩
FP1 FP FP2 2FP ql FP
14
背：位移法和矩阵位移法的基本系-结点转角处附加刚臂
K21kk(2j) 2i
23
K12是2自由度发生单1自 位由 转度 角引 在起的刚
位移法用结点的平衡
K12的形成
矩阵位移法：与1和2自由度都 有关的单元单元只有(2)单 元，1自由度对应(2)单元的 j端，2自由度对应(2)单元 的k端，故：
K12k(j2k) 2i
24
K22是2自由度发生单2自 位由 转度 角引 在起的刚
5
背：为什么矩阵位移法比位移法可能有更多的独立的 结点线位移作为基本未知量?

3
土木工程专业系列教材—结构力学
出版社 科技分社 出版社 科技分社
矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结 点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本 未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行 结构分析的基本要点是： 1）结构离散化
将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个 结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截 面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相 连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这 一步骤.
6
土木工程专业系列教材—结构力学
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确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些 编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的 单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别 是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。
E1 I E2 I 3 1 2 2 5 EI1 3 4 EI2 4 5 6 6 7 8 1 2 3 6 7 8 1 9 2 3 4 5 4 7 5
土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社14出版社科技分社土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社jvjiejnfujjfqmjjiuifnqfiviiimxiejyjixjjmjufxjyjfvjivfyixifuimiioyef11f55f33f66f22yxf44xoyij1f12f233f44f55ff66a单单单单单单单单单单单c整整单单单单单单单单单eb单单单单单单单单单d整整单单单单单单单15出版社科技分社约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号f和和表示当参照系为单元坐标系时还需在表示当参照系为单元坐标系时还需在f和和上添加上划线即用和以示区别
x y (2) x
(1)
(2)

矩阵位移法和位移法的异同引言矩阵位移法和位移法是结构力学中常用的分析方法，用于计算结构的变形和应力。

它们在工程领域广泛应用，可以帮助工程师设计和优化各种结构。

本文将介绍矩阵位移法和位移法的基本原理、计算步骤以及它们之间的异同。

矩阵位移法矩阵位移法是一种基于刚体平衡原理和弹性力学理论的结构分析方法。

它通过建立结构的刚度矩阵和载荷向量的关系方程组，求解未知节点位移，从而得到结构的变形、应力等参数。

原理矩阵位移法基于以下两个基本原理： 1. 刚体平衡原理：结构在平衡状态下，任何一个节点受力的合力为零。

2. 弹性力学原理：结构内部材料满足胡克定律，即应力与应变成正比。

计算步骤矩阵位移法主要包括以下几个步骤： 1. 建立单元刚度矩阵：根据单元的几何形状和材料性质，通过积分或近似方法计算出单元的刚度矩阵。

2. 组装整体刚度矩阵：将所有单元的刚度矩阵按照节点自由度的顺序组装成整体刚度矩阵。

3. 施加边界条件：根据实际情况，确定某些节点的位移或受力边界条件。

4. 求解位移向量：根据结构的平衡方程和边界条件，建立节点位移与载荷之间的关系方程组，并求解未知节点位移。

5. 计算应力和变形：根据已知位移和单元刚度矩阵，计算结构中各个点的应力和变形。

优点矩阵位移法具有以下优点： 1. 精确性高：通过建立精确的刚度矩阵和载荷向量关系方程组，可以得到精确的结构变形和应力分布。

2. 适用范围广：适用于各种结构类型，包括梁、板、壳等。

3. 可扩展性强：可以通过增加单元数量或自由度来提高计算精度。

位移法位移法是一种基于虚位移原理的结构分析方法。

它通过假设结构发生微小位移，建立虚位移与内力的关系，从而求解结构的变形和应力。

原理位移法基于以下两个基本原理： 1. 虚位移原理：假设结构发生微小位移，使得结构内部势能函数最小。

2. 弹性力学原理：结构内部材料满足胡克定律，即应力与应变成正比。

计算步骤位移法主要包括以下几个步骤： 1. 建立虚位移场：根据虚位移原理，建立虚位移场，并将其表示为一组未知系数乘以已知基函数的形式。

u
e i
、u
e j
时，Δlij

u
e j
uie ，由胡克
定律得杆件轴向变形的刚度方程为
Fxei


EA l
(u
e j
uie )

EA l
uie

EA l

u
e j

Fxej

EA l
(u
e j
uie )


EA l

uie

EA l

u
e j

（a）
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11:04

F56
F66

4EI l
6
F36

2EI l
6
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对于杆系结构，矩阵位移法因易于编制通用的计算程序。
理论基础：位移法 ；分析工具：矩阵 ； 计算手段：计算机
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§10-1 概述
结构力学
三、矩阵位移法的思路 ：
1）离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端 位移的关系。
2）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移
的关系。 任务
意义
它可记为 {Fe} [Ke ]{δe} （10-6a）
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§10-2 单元刚度矩阵
结构力学
其中 ui 1 vi 1 i 1 u j 1 v j 1 j 1
e
]



EA
l
0

0
0

P
P1
YP1
M P1
X P 2 YP 2
M P2
T
e F e {P} P (2)整体座标单元的等效结点荷载{P} e e e T
P T P
(3) 结构的等效结点荷载{P}
x
y
3
2
4.8kN/m 1 C
4
1
3 2.5m 2.5m A
x
8kN
2 B
5m
1 1 2 2 3 1 3 2 0 0 4 0 0 0 0 4 T 2 2 5 2 P T FP 4 0 2 90 5
[k] e （3）计算整体座标系中的单元刚度矩阵 [k] =
e
[T]T
k [T]
e
8
0 单元1和3 1 的座标转换 0 T 矩阵 0 0） （=90 0 0
1 0 0 0 0 0 0
[k]1 = [k] 3 = [T]T k
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 6.94 2.31 0 6.94 0 0 0 1 2.31 0 83.3 0 0 83.3 0 0 27.8 6.94 0 13.9 6.94 1 -3× [T] =10 2.31 0 6.94 2.31 0 6.94 0 83.3 0 0 833 0 6.94 0 13.9 6.94 0 27.8 0
§10-6
结构体系刚度方程：
等效结点荷载 {F}= [K]{} ………………(1)
表示结点位移{}和结点力{F}之间的关系，反映了结构的刚度性质，而

实际工程案例分析
总结词
为了验证矩阵位移法的有效性，可以通过实际工程案例 进行分析。通过与实验结果的对比，可以评估方法的精 度和可靠性。
详细描述
选取具有代表性的实际工程案例，如高层建筑、大跨度 桥梁等，利用矩阵位移法进行计算，并将结果与实验数 据进行对比。通过对比分析，可以评估矩阵位移法的精 度和可靠性，为该方法在实际工程中的应用提供依据。 同时，也可以针对不同工程案例的特点，对矩阵位移法 进行优化和改进，提高其适用性和计算效率。
05
矩阵位移法的优缺点
优点
精确度高
矩阵位移法基于严格的数学推导，能 够精确地计算出结构的位移和内力， 尤其适用于复杂结构的分析。
适用性强
矩阵位移法可以处理多种类型的载荷 ，包括静载、动载以及温度载荷等， 适用范围广泛。
便于计算机化
矩阵位移法的计算过程可以通过计算 机程序实现，便于进行大规模的结构 分析。
多尺度方法
将矩阵位移法应用于多尺度问题 ，考虑不同尺度之间的相互作用 和影响，为复杂系统提供更准确 的模拟结果。
THANKS
感谢观看ts
目录
• 引言 • 矩阵位移法的基本概念 • 矩阵位移法的实施步骤 • 矩阵位移法的应用实例 • 矩阵位移法的优缺点 • 未来展望与研究方向
01
引言
什么是矩阵位移法
矩阵位移法是一种数值分析方法，用 于求解线性方程组和解决各种数值计 算问题。
它通过将原问题转化为矩阵形式，利 用矩阵运算来求解未知数，具有高效 、精确和灵活的特点。
并行计算
利用并行计算技术，将计算任务分解为多个子任务，同时运行在多 个处理器上，加快计算速度。
智能优化
结合人工智能和机器学习技术，自动调整算法参数，实现自适应优 化，提高算法的效率和稳定性。

4、单位矩阵
单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示 ，如
1 0 I = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
5、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若 此处 A-1 则 AB = C 称为矩阵 A 的逆矩阵。
-
12EI l3 6 EI - 2 l 0 12EI l3 6 EI - 2 l
为了程序的标 准化和通用性， 不采用特殊单 元，只用一般 单元，如果结 构有特殊单元， 可以通过程序 由一般单元来 形成.
4 EI M ie l = 2 EI M e j l
第10章 矩阵位移法
任 务
单元 分析 整体 分析
建立杆端力与杆端位
意 义
用矩阵形式表示
移间的刚度方程，形
成单元刚度矩阵 由变形条件和平衡条 件建立结点力与结点 位移间的刚度方程， 形成整体刚度矩阵
杆件的转角位移
方程 用矩阵形式表示 位移法基本方程
平面结构一般单元：
指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件 两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。
e
1
1
v1 = 0
e
2
2
一个或几个已
知为零，则该 单元称为特殊 单元，其刚度 方程是一般单 元刚度方程的 特例。
0 12EI l3 6 EI l2 0 12EI l3 6 EI l2
u2 = 0 v2 = 0
0 0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l u1 v1 1 u 2 v2 2

矩阵位移法和位移法的异同矩阵位移法和位移法是结构力学中常用的计算方法，它们在分析结构的变形和受力方面起着关键作用。

尽管它们有相似之处，但在许多方面也存在着差异。

先来看一下它们的相似之处。

矩阵位移法和位移法都是基于结构的刚度矩阵进行计算的。

它们可以帮助我们确定结构的位移、应力和力的分布情况。

通过这些计算，我们可以评估结构的稳定性和安全性。

然而，矩阵位移法和位移法在实际应用过程中存在一些明显的差异。

首先，位移法是一种近似计算方法，它通过将结构离散为若干个小单元来估计结构的总体响应。

这种方法的主要优点是计算简单、易于理解和使用。

但是，位移法忽略了结构的局部效应，这可能导致一些误差。

同时，位移法在处理非线性材料和复杂结构时也会遇到困难。

相比之下，矩阵位移法是一种精确的计算方法，它使用结构的刚度矩阵来计算结构的响应。

矩阵位移法能够准确地考虑结构的整体刚度和局部效应，并且在处理非线性材料和复杂结构时也更为灵活。

然而，矩阵位移法的计算过程较为复杂，需要一定的计算能力和专业知识。

在实际应用中，选择何种方法取决于具体情况。

如果我们只是对结构进行初步分析或设计，位移法可能已经足够满足需求。

但是，如果我们需要更精确的计算和分析，或者处理复杂的结构和非线性材料，那么矩阵位移法就是更好的选择。

可以说，选择合适的方法是根据具体情况进行综合考虑的结果。

无论选择哪种方法，都需要注意一些常见的问题。

首先，计算过程中需要正确地确定结构的边界条件和荷载情况。

其次，应谨慎选择材料的性质和参数，以确保计算的准确性。

此外，需要对计算结果进行合理的评估和验证，以确认其合理性和可靠性。

总之，矩阵位移法和位移法都是结构力学中常用的计算方法，它们在实际应用中有各自的优缺点。

选择合适的方法需要根据具体情况进行综合考虑，并结合工程实践和经验进行判断。

无论选择哪种方法，都要注意计算过程的准确性和结果的可靠性。

只有这样，我们才能有效地应用这些方法来分析和设计结构。

{δ e } u ie vie { F e } F xie
i e u je
F yie M
e i
v je
je
F yje M
e j
F xje

T
华北理工大学建筑工程学院建筑力学教学部
（25/190）10:42
结构力学‐2
华北理工大学建筑工程学院建筑力学教学部
（a）
华北理工大学建筑工程学院建筑力学教学部
（27/190）10:42
§10-2 单元刚度矩阵
杆端横向位移△ij正负 号规定:使杆的j 端绕 i 端 作顺时针转时为正值。 Δij (vje vie ) 由两端固定等截面 直杆的转角位移方程有
结构力学‐2
6 EI e 4 EI e 6 EI e 2 EI e M 4i i 2i 6i i 2 v j j 2 vi l l l l l e e (v j vi ) 6 EI e 2 EI e 6 EI e 4 EI e e e e M j 2i i 4i j 6i i 2 v j j 2 vi l l l l l e 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI F yi 3 vie 2 i e 3 v je 2 je l l l l e 12 EI e 6 EI e 12 EI e 6 EI e F yj 3 vi 2 i 3 v j 2 j （b） l l l l
华北理工大学建筑工程学院建筑力学教学部 （23/190）10:42
§10-1 概述
重点：矩阵位移法基本思想 •化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件，杆件称作单元。 单元的连接点称作结点。 对单元和结点编码. 基本未知量:结点位移

第十章矩阵位移法§10-1 概述前面介绍的内力或位移的求解方法：力法、位移法，以及静定结构的一些求解方法（结点法、取隔离体的方法）理论上对未知量的数量没有限制，但若未知量较多，工作量太大，而实际当中的结构往往比较复杂，且多为超静定结构，所以这些方法不适合求解这些复杂的问题。

本章所介绍的矩阵位移法就是利用计算机解决结构内力和位移分析（称为有限元法—Finite Element Method，FEM）的理论基础。

·利用计算机解决结构内力和位移分析的优点：1、计算机处理问题速度快，而且计算准确；2、静定结构和超静定结构的处理方法是一样的。

·利用计算机解决结构内力和位移分析的缺点：1、只能进行数值计算，无法进行公式推导。

2、部分问题不易处理,例如:·矩阵位移法的思路：先进行单元（这里指单个杆件）分析，再进行整体分析，具体过程如下：§10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵：将杆件端点（结点）的力和位移联系在一起的一个矩阵，类似于弹簧刚度kxF 。

一、基本符号考虑一个等直杆，编号为○e，杆两端的结点编号为j i,（i可以大于j，也可以小于j），并建立局部坐标系（x轴沿杆件的轴线，，从x到y逆时针转90o，某量值上方的“-”表示局部坐标系下的量）如图：例如：123414变形前以及变形后的杆件如图：u F Nje M e图中各符号的含义： 变形前：直杆j i , 变形后：弯曲杆'',j i杆端轴向力：eNj e Ni F F ,（沿x 为正，而不是拉为正、压为负） 杆端横向力：e Sje Si F F ,（沿y 为正）杆端弯矩：e je i M M ,（逆时针为正，注意：有些教材规定顺时针为正） 杆端沿轴向位移：ej e i u u ,（沿x 为正） 杆端沿横向位移：e je i v v ,（沿y 为正） 杆端转角：ej ei ϕϕ,（逆时针为正）二、杆端力和杆端位移间的关系(思路：单个位移分别考虑，然后再综合) 1.1=ei u 引起的杆端力j (j ’)ll2.1=ej u 引起的杆端力j i j ’(i ’)ll3.1=ei v 引起的杆端力vi e 6EI 26EI l 24.1=ej v 引起的杆端力6EI 26EI l 2e=15. 1=eiϕ引起的杆端力4EIl2EI lφ6. 1=ejϕ引起的杆端力六个杆端位移同时存在时，根据叠加原理有，e j e j e i e i e j e je j e i e i e Sj e je i e Nj e je j e i e i e i e je j e i e i e Si eje i eNi lEI v l EI l EI v l EI M l EI v l EI l EI v l EI F u l EA u l EA F l EI v l EI l EI v l EI M l EI v l EI l EI v l EI F u l EA u l EA F ϕϕϕϕϕϕϕϕ46266126122646612612222323222323+-+=-+--=+-=+-+=+-+=-=写成矩阵形式，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=eje je j eiei ei e je Sje Nje ie Sie Niv u vu l EI l EI lEI l EI l EI l EI l EI l EI l EA lEAl EI l EI l EI l EI l EI lEI l EIl EI l EA lEAM F F M F F ϕϕ460260612061200000260460612061200000222323222323——称为单元的刚度方程 虚线的作用：1)将两个结点的内力量、位移量分开；2)未被虚线分开的量在总体坐标系中也是相邻的，每一小块(称为子块)作为一个完整（整体）小矩阵处理。

l
v1
.
L1
0
u2
６EI
l２
v2
２
4EI
l
刚度矩阵：行数＝杆端力列向量分量数
列数＝杆端位移列向量分量数
记忆： 小子块—— 12 -- 6 -- 6 -- 4 （主）
12-- 6 -- 6 -- 2 （副） 4、5 行、列，除主元素外，均为负值
行——杆端力（X、Y、M） 列——杆端位移（u、v、φ）
0
0L
dn
对称矩阵：An*n，aij=aji
正定矩阵：特征值都大于零的实对称矩阵
充要条件：所有的主子式都大于零 即 |Ai|>0
正交矩阵：AT=A-1
a11
分块矩阵：
A
a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
B11
B21
B12
B22
其中：B11
a11
a21
B21 a31
Mj FNj FSj
φj uj vj
F e FNi
FSi
Mi
FNj
FSj
T
Mj
X1
Y1
M1
X2
Y2
T
M2
e ui vi i u j v j j T
4、刚度方程——杆端力与杆端位移的刚度关系
F e K e e （10－2）
（表8－1）*
(10 – 1)刚度方程
EA
l
X1
——排列顺序：i→j
刚度系数 kij （物理意义） ——对应杆端位移δj＝1时，
引起对应δi方向的杆端力Fi。
5、单元刚度矩阵的性质
（1）物理意义
单刚——表示单元杆端力与杆端位移的刚度关系