椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆是平面内与两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个定点被称为椭圆的焦点，椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。
另外，椭圆也可以被定义为平面内一个点到一个定直线距离与到一个定点距离之比等于常数的轨迹。
这个定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，这个常数是椭圆的离心率。
需要注意的是，当两个定点之间的距离等于常数时，椭圆的轨迹是线段，而当两个定点之间的距离小于常数时，椭圆的轨迹不存在。
椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在x轴上的形式，另一种是焦点在y轴上的形式。
这些方程可以用来确定椭圆的形状和位置。
需要注意的是，椭圆的焦点位置可以通过方程中分母的大小来判断。
如果分母中x的系数大于y的系数，那么焦点在y轴上，反之则在x轴上。
如果椭圆过两个定点，但焦点位置不确定，可以设椭圆方程为mx+ny=1，其中m和n都是正数。
在解题时，需要牢记椭圆的几何性质。
例如，如果一个点到椭圆的左焦点的距离是到右焦点距离的两倍，那么这个点的横坐标可以通过解方程得到。
又例如，如果一个点在椭圆上，那么它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
1.椭圆的基本性质椭圆方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别为长轴和短轴长。
椭圆的中心在原点(0,0)处，长轴与x轴平行。
椭圆的顶点分别为(a,0)。
(-a,0)。
(0,b)。
(0,-b)，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，焦距为2c。
椭圆的准线方程为y=±(b/a)x，通径方程为y=kx或x=h，其中k和h为常数。
椭圆关于x轴和y轴对称，且具有中心对称性。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长，即PF1 + PF2 = 2a。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之差等于该点到准线的距离，即PF1 - PF2 = 2b。
椭圆上点的横坐标的范围为-x ≤ x ≤ x，纵坐标的范围为-y ≤ y ≤ y。
2.典型练1) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知长轴位于x轴上，长轴长为8，短轴位于y轴上，短轴长为6，焦点在x轴上，焦点坐标为(5,0)和(-5,0)，求离心率e、左顶点坐标、下顶点坐标和椭圆上点的横坐标的范围、纵坐标的范围以及x+y的取值范围。
椭圆的方程式
椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y²/b²=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²=1，（a>b>0）。
其中a²-c²=b²，推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点F为焦点）。
不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。
顶点：焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）；短轴顶点：（0，b），（0，-b）；焦点在Y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a）；短轴顶点：（b,0），（-b，0）。
扩展资料
椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。
离心率范围：0<e<1。
离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。
椭圆与双曲线知识点集合椭圆和双曲线是平面内的两种点的轨迹。
椭圆是指与两个定点F1和F2的距离的和等于常数（大于|F1，F2|）的点的轨迹，这两个点被称为椭圆的焦点。
双曲线是指与两个定点F1和F2的距离的差的绝对值等于常数（大于且小于|F1，F2|）的点的轨迹，这两个点被称为双曲线的焦点。
椭圆和双曲线的定义中，参数2a的范围限制符号不同。
对于椭圆，焦点在x轴上或y轴上，有P={M||MF1|+|MF2|=2a}(2a>|F1F2|)；对于双曲线，焦点在x轴上或y轴上，有P={M||MF1|-|MF2|=2a}(0<2a<|F1F2|)。
标准方程是表示椭圆和双曲线的一种方式。
在求标准方程时，一定要考虑焦点位置，即焦距|F1F2|=2c。
椭圆和双曲线的长轴和短轴的长度关系为a2=b2+c2和c2=a2+b2.几何含义是|x|≤a，|y|≤b，或者|x|≤b，|y|≤a，或者|x|≥a，y∈R。
椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，椭圆没有渐近线，双曲线有两条渐近线。
椭圆和双曲线的顶点和长轴、短轴的长度可以通过求解标准方程得到。
长轴和短轴分别被称为实轴和虚轴，实轴的长度为2a，虚轴的长度为2b。
离心率是描述椭圆和双曲线形状的一个参数，其取值范围为c∈(0,1)和c∈(1,∞)。
离心率越大，椭圆或双曲线越扁，离心率越小，椭圆或双曲线越圆（椭圆）或开口越小（双曲线）。
在平面内，对于一个点到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e。
这是第一定义。
第二定义是，对于平面内到定点F的距离与到定直线l的距离之比为（<e<1）的点的轨迹是椭圆，其中F在l外。
F是椭圆的一个焦点，而l是焦点F对应的准线。
同样地，当常数（ee1）时，点的轨迹是双曲线。
F是双曲线的一个焦点，而l是焦点F对应的准线。
焦点可以在x轴上或y轴上。
椭圆的准线在两侧，而双曲线的准线在两支之间。
准线方程如下：左准线x a2/c，右准线x a2/c下准线y c2/b，上准线y c2/b左焦半径|PF1|a ex，右焦半径|PF2|a ex下焦半径|PF1|a ey，上焦半径|PF2|a ey左焦半径|PF1||a ex|，右焦半径|PF2||a ex| 下焦半径|PF1||a ey|，上焦半径|PF2||a ey| 焦准距p b2/c焦半径公式是焦半径取值范围[a-c,a+c]左焦点弦|AB|2a e(x1x2)，右焦点弦|AB|2a e(x1x2)下焦点弦|AB|2a e(y1y2)，上焦点弦|AB|2a e(y1y2)左|AB||2a e(x1x2)|，右|AB||2a e(x1x2)|下|AB||2a e(y1y2)|，上|AB||2a e(y1y2)|焦点弦为长轴时最长，长为2a；焦点弦为通径时最短，长为2b2/a；同侧焦点弦为通径时最短，长为2b2/a；异侧焦点弦为实轴时最短，长为2a。
2024届高二（上）期中考试椭圆专题训练第I 卷（选择题）一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）1.已知椭圆2212516x y +=上的点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则P 到另一焦点的距离为（ ） A. 2B. 3C. 5D. 72.椭圆22110064x y +=的焦点为1F ，2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）A B C D ．6433.在椭圆2214520x y +=上有一点P ，1F 、2F 是椭圆的左右焦点，12F PF △为直角三角形，则这样的点P有（ ） A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个4.已知椭圆G ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的右焦点为F (32,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB的中点坐标为(2,2-)，则G 的方程为（ ）A ．1143222=+y x B ．1203822=+y x C ．1304822=+y xD ．1183622=+y x5.已知椭圆2243x y +=1内有一点P （1，-1），F 为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP |+2|MF |取得最小值，则点M 坐标为 （ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1⎫-⎪⎪⎝⎭，1⎛⎫- ⎪⎝⎭6.已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且PF 1//Q F 2. 若|PF 1|＋|QF 2|≥b ，则C的离心率的取值范围是（ ）A.(0，12] B.[12，1) C.(01)7.已知圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝1，圆N ：（x +1）2+y 2＝1，直线l 1，l 2分别过圆心M ，N ，且l 1与圆M 相交于A ，B 两点，l 2与圆N 相交于C ，D 两点，点P 是椭圆3422y x +＝1上任意一点，则PD PC PB PA ⋅+⋅的最小值为（ ）A ．7B ．9C ．6D ．88.已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点M 在直线l ：x ＝－a ，上运动，若∠F 1MF 2的最大值为60°，则椭圆C的离心率是（ ）A.13B.12二、多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）9.已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为 （ ） A ．22110084x y +=B ．221259x y += C ．22110084y x +=D ．221259y x +=10.已知点()11,0F -，()21,0F ，设动点P 到直线2x =的距离为d ，若2PF d =（ ）A ．点P 的轨迹是以12F F 为直径的圆B ．点P 的轨迹曲线的离心率等于2C ．点P 的轨迹方程为2212x y +=D ．12PF F △的周长为定值11.已知椭圆()2221024x y b b+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +的最大值为5，则（ ）A ．椭圆的短轴长为B ．当22AF BF +最大时，22AF BF =C D ．AB 的最小值为312.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右端点分别为1A ，2A ，点P ，Q 是椭圆C 上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且1212PA PA k k ⋅=-，则下列说法正确的有 （ ）A. 椭圆C 的离心率为2B. 椭圆C 的离心率不确定C. 11PA QA k k ⋅的值受点P ，Q 的位置影响D. 12cos A PA ∠的最小值为13-第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 . 14.椭圆221169x y +=内，过点()2,1M 且被该点平分的弦所在的直线方程为 ．15.曲线22194x y +=上点到直线280x y -+=距离的最小值为 ．16.已知点()0,2P ，椭圆221168x y +=上两点()11,A x y ，()22,B x y 满足AP PB λ=（R λ∈），则112312x y +-+222312x y +-的最大值为 ．四、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18-22题每小题12分,共70分）17.已知椭圆221259x y +=的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若1218PF PF =．求证：12PF PF ⊥．18.已知椭圆2222:1(0y x E a b a b+=>>的焦距为点在椭圆E 上． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线1y kx =+与椭圆E 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN ∆面积的取值范围．19.已知椭圆C ：22a x +22b y ＝1（a ＞b ＞0）的焦距为22，且过点P （2，33）．（1）求C 的标准方程；（2）过C 的右焦点的直线l 与C 交于A ，B 两点，C 上一点M 满足OA ＝34OM +OB ，求|OM |．20.设O 为坐标原点，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为45，离心率为552，直线l ：y ＝kx +m （m ＞0）与C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P （0，1），4-=⋅PB PA ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．21.已知点Q （2，1）在椭圆C ：2222by a x +＝1（a ＞b ＞0）上，且点Q 到C 的两焦点的距离之和为42．（1）求C 的方程； （2）设圆O ：x 2+y 2＝58上任意一点P 处的切线l 交C 于点M ，N ，求|OM |•|ON |的最小值．22.已知椭圆C ：2222by a x ＝1（a ＞b ＞0）的焦距为23，点M （3,21）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y ＝kx +m （k ＞0，m ＞0）与椭圆C 交于P ，Q 两点，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率之和为0（其中O 为坐标原点）．①求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标； ②求△OPQ 面积的最大值．试卷答案1.B解：根据椭圆定义可知，P 到两个焦点的距离之和为10522=⨯=a ，所以P 到另一个焦点的距离为1073-=.故选：B. 2.C解：易得226c a b =-=．设11PF r =，22PF r =，则1220r r +=．在12PF F △中，由余弦定理得()222121222cos60c r r rr =+-︒， 即()222121212121214434003r r rr r r rr rr =+-=+-=-，则122563r r =， 所以1212112563643sin 6022323PF F S r r =︒=⨯⨯=△． 设点P 到x 轴的距离为d ，则1212162PF F S F F d d =⨯⨯=，故64363d =，解得3239d =．故选：C ．3.D解：①当1PF x ⊥轴时，有两个点P 满足条件；同理，当2PF x ⊥轴时，有两个点P 满足条件；②2025b ==，225c a b =-=，c b ∴>．∴以原点O 为圆心、5为半径的圆与椭圆相交于四个点，这四个点都满足条件．综上可知：能使△12F PF 为直角三角形的点P 共有8个．故选：D ． 4.D解：设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则，两式作差得：，整理可得．设线段AB 的中点为，即，另一方面，k OM ＝﹣1，所以，，所以，，解得，故椭圆G 的方程为．故选：D ．5.A解：因为椭圆方程为2243x y +=1，所以椭圆得离心率12e =，设点M 到椭圆右准线的距离为d ，根据椭圆第二定义有：12MF e d ==，所以2d MF =，所以2MP MF MP d +=+表示椭圆上一点M 到椭圆内定点P 和到椭圆右准线的距离之和，当MP 垂直于右准线时，2MP MF +取得最小值.此时M 的纵坐标为-1，代入椭圆方程2243x y +=1，求得M 的横坐标为263.所以点M 坐标为263⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,-1，故B ，C ，D 错误.故选：A.6.C7.C 解：由圆的方程可得：M （﹣1，0），N （1，0），由椭圆的方程可得：椭圆的左右焦点恰好为M ，N ，可得|PM |+|PN |＝2a ＝4，|PN |∈[a ﹣c ，a +c ]， 所以|PN |∈[1，3]，＝﹣，＝﹣，|MA |＝|ND |＝1， •+•＝（+）•（+）+（+）•（+）＝2﹣2+2﹣2＝（2a ﹣|PN |）2+|PN |2﹣2＝2|PN |2﹣8|PN |2+14＝2（|PN |﹣2）2+6，设y ＝2（|PN |﹣2）2+6，|PN |∈[1，3]，函数先减后增，所以|PN |＝2时y min ＝6，故选：C ． 8.C9.BD解：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以2104a c =⎧⎨=⎩，解得54a c =⎧⎨=⎩，又225169b =-=，所以当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为221259x y +=；当椭圆的焦㤐在y 轴上时，椭圆的标准方程为221259y x +=，故选：BD10.BC 解：设(),Px y ，则()2221PF x y =-+，2d x =-，所以由解：设(,)P x y ，则2222(1)x y b a=-，因为12(,0),(,0)A a A a -，所以1222222A P A Py y y b k k x a x a x a a⋅=⋅==-+--，因为1212PAPA k k ⋅=-，所以2212b a -=-，所以2212b a =，所以离心率2e ===，所以A 正确，B 错误；因为点P ，Q 是椭圆C 上关于原点对称的两点，所以四边形12A PA Q 为平行四边形，所以12A Q PA k k =，因为1212PAPA k k ⋅=-，所以1112PA QA k k ⋅=-，不受P ，Q 位置影响，所以C 错误；设1221,PA A PA A αβ∠=∠=，由题意得1tan tan 2αβ⋅=，则有12A PA παβ∠=--， 所以12tan tan tan tan()tan()1tan tan A PA αβπαβαβαβ+∠=--=-+=-≤--，当且仅当tan tan αβ=时取等号，即当αβ=时，即当点P 为短轴的端点时12A PA ∠最大，此时12cos A PA ∠最小，1212A PA A PO ∠=∠，111sin AO A PO A P∠===，所以2121121cos cos 212sin 1233A PA A PO A PO ∠=∠=-∠=-⨯=-，所以D 正确，故选：AD. 13.()3,11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭解：由题意得1021m m m ⎧->⎪⎨->-⎪⎩，解10m ->可得1m 或1m <-；解21m m ->-可得302m <<或0m <；综上可得m 的取值范围是()3,11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：()3,11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 14.98260x y +-= 解：设直线与椭圆的两个交点为()()1122,,,A x y B x y ，因为,A B 在椭圆上，所以2211222211691169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22221212161699x x y y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以22122212916y y x x -=--，所以12121212916y y y y x x x x -+⋅=--+，所以1292216ABk ⨯⋅=-⨯，所以98AB k =-，所以AB 的方程为：()9128y x -=--，即98260x y +-=， 故答案为：98260x y +-=.20x y m -+=与22194x y +=相切，联立整理可得2225164360y my m -+-=，217+ 解：由AP PB λ=知,,A B P 三点共线，当直线AB 的斜率不存在时，(0,(0,A B -，此时112312x y +-+22231224x y +-=.当直线AB 的斜率存在时，设:2AB y kx =+，联立2221168y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)880k x kx ++-=， 1212122284,()41212k x x y y k x x k k+=-+=++=++，设AB 的中点()00,M x y ，则002242,1212k x y k k =-=++，消去参数k 可得()2200112x y +-=，其中00y >；令002cos 1sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，其中2,2k k θπ≠π-∈Z ，则点()00,M x y 到直线23120x y +-=的距离为()22cos 3sin 917cos 91313d θθθϕ+-+-==所以91713d+≤；因为由梯形的中位线性质可得,A B 到直线23120x y +-=的距离之和为点()00,M x y 到直线23120x y +-=的距离的2倍. 所以112312x y +-+22231221318217x y d +-=≤+.综上可得112312x y +-+222312x y +-的最大值为18217+.17.证明：由椭圆的定义可知：12210PF PF a +==，()22212121221003664PF PF PF PF PF PF +=+-=-=，2221244464F F c ==⨯=．因此2221212PF PF F F +=，从而12PF PF ⊥．18.解：（1）由题意可得222222231314c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2241a b ==⎧⎨⎩∴椭圆E 的方程为2214y x +=． （2）()11,M x y ，()22,N x y ，由22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()224230k x kx ++-=，∴12224k x x k +=-+，12234x x k =-+① 则MON 的面积为()2212122123424k S x x x x k +=+-=+，令23k t +=，则3t ≥，22211t S t t t ==++， 函数1y t t =+在[3,)t ∈+∞上单调递增，∴1433t t +≥，∴23012t t<≤+，∴MON ∆面积的取值范周是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 19.解：（1）设焦距为2c ，则，设椭圆左右交点分别为F 1，F 2，则，∴，即，则b＝1，∴椭圆方程为；（2）由＝+得，，①当直线l：y＝0时，，舍去；②设直线l：，直线OM：x＝my，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x并整理可得，由韦达定理可得，∴＝，联立，解得，得到，依题意可得，，解得，∴．20.解：（1）设椭圆的右焦点为F1，则OM为△AFF1的中位线，所以，所以，因为，所以，所以，所以椭圆C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0，所以△＞0，，所以，＝，因为，所以（x1，y1﹣1）·（x2，y2﹣1）＝x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣4，所以，整理得：3m2﹣m﹣10＝0，解得：m＝2或（舍去），所以直线l过定点（0，2）．21.解：（1）由题意可得+＝1，且2a＝4，解得a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为+＝1；（2）当直线MN的斜率不存在时，可设切线方程为x＝，代入椭圆x2+4y2＝8，可得M（，），N （，﹣），则•＝0，且|OM|•|ON|＝；当直线MN的斜率存在时，设切线的方程为y＝kx+m，由切线与圆x2+y2＝相切，可得＝，化为5m2＝8+8k2，由y＝kx+m与椭圆方程联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣8＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝（1+k2）•+km（﹣）+m2，代入m2＝，可得•＝0，即OM⊥ON，由OP⊥MN，所以|OM|•|ON|＝|OP|•|MN|＝|MN|，而|MN|＝•＝•＝•＝•＝＝•≥，当k＝0时，上式取得等号．所以|OM|•|ON|的最小值为•＝．22解：（1）由题意可得2c＝2，+＝1，c2＝a2﹣b2，解得：a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）①证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，整理可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以△＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，可得m2＜1+4k2，x1+x2＝﹣，x1x2＝，设直线OP，PQ，OQ的斜率为k1，k，k2，因为直线OP，PQ，OQ的斜率之和为0，所以k1+k+k2＝0，即++k＝++k＝3k+＝3k+m•＝＝0，所以m2＝3，由m＞0，所以m＝，所以直线l恒过定点（0，）；②由①可得：|PQ|＝•＝，原点到直线的距离d＝＝，所以S△POQ＝|PQ|•d＝＝＝，因为+，当且仅当＝时，即4k2﹣2＝3，即k2＝时取等号，所以S△POQ≤1，即△OPQ面积的最大值为1．。
