与焦点弦相关的问题

焦点弦公式及其应用焦点弦公式及其应用论文关键词：焦点弦公式,应用在近年来的高考数学试题中，经常出现圆锥曲线焦点弦问题．用常规方法解决这类问题时，由于解题过程复杂，运算量较大，所以很容易出现差错．为了准确而迅速地解决圆锥曲线焦点弦问题．我们可以利用下面介绍的焦点弦公式．设圆锥曲线的离心率为，焦准距为,过焦点的弦AB与主轴(即椭圆长轴、双曲线实轴、抛物线对称轴)的夹角为θ,则可以推导出弦AB的长度公式，简称焦点弦公式．特别当离心率时，焦点弦公式还可以化简．１、当时,圆锥曲线为椭圆, ；２、当时，圆锥曲线为抛物线, ．图1下面对焦点弦公式进行证明．证法一如图1,设椭圆C:焦点为,过焦点F的弦AB的倾斜角为,当时,弦AB在直线L:上．由直线L和椭圆C的方程可得．设点A、B的坐标分为和，则．由焦半径公式得弦AB的长度为∵焦准距为,∵．当时，公式也成立．对于双曲线和抛物线用同样的方法可以证明．证法二设圆锥曲线的离心率为，焦准距为，则极坐标方程为，过焦点的弦AB与x轴的夹角为θ．当时，如图2．∵，．∵．即．当时，同理可以推得．利用焦点弦公式，可以巧妙地解决与圆锥曲线焦点弦有关的各种问题．现在分别举例如下．一、在椭圆中的应用例1 （2008年高考安徽卷文科22题）已知椭圆，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4．（∵）求椭圆C的方程；（∵）已知过点F1(－2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.，求证：（∵）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求的最小值．解：（∵）由已知得，又，所以．故所求椭圆C的方程为．（∵）因为直线AB倾斜角为，，，，。

由焦点弦，可得=得证．（∵）因为直线AB倾斜角为，则DE与轴的夹角可表示为。

因而，，。

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。

圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。

焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。

本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。

定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。

（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。

证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。

由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。

（1）当焦点内分弦时。

如图1，，所以。

图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

如图2，，所以。

图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。

若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。

例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。

过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。

例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。

例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。

例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。

抛物线焦点弦问题河北省武安市第一中学郅武强抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一．弦长问题：例斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交A .B两点，求线段AB 的长。

分析：利用弦长公式12d x =-能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运根据抛物线的定义，11AF x =+同理 21BF x =+于是得122AB AF BF x x =+=++由题已知{214y x y x=-=消去y 得2610x x -+=故126x x += ∴628AB =+= 注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：12AB x x p =++或12AB y y p=++。

二. 通径最短问题：例：已知抛物线的标准方程为22y px =，直线l 过焦点，和抛物线交与A.B 两点，求AB 的最小值并求直线方程。

解：①如果直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2px =2A B p =②如果斜率存在，不妨设斜率为k ，则直线的方程为(2p y k x =-，与抛物线方程联立方程组得22( 2y pxp y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2 04k p k x k p p x -++=若0k ≠ 则222440k p p ∆=+>1222px x p k +=+则1222222p p AB x x p p p p k k =++=++=+当k →∞时 AB最小即min 2AB p = 此时 2px =三．两个定值问题：例：过抛物线22y px =的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1x 、2x 、1y 、2y ，求证：2114p x y =，212y y p =-。

证明：①联立22( 2y px p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2 0(04k p k x k p p x k -++=≠2124p x x =同理消去y 可得 212y y p =-；②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；③斜率不存在时，2114p x y = ，212y y p =-同样是定值；从上所述：2114p x y =，212y y p =-四．一个特殊直角问题：过抛物线22(0 y px P =>的焦点F 的直线与抛物线交与A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线的准线上的射影分别是1A ，1B 求证：1190A FB ︒∠=。

抛物线焦点弦问题抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一．弦长问题：例 斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交A .B 两点，求线段AB 的长。

分析：利用弦长公式12d x =-能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运根据抛物线的定义，11AF x =+同理 21BF x =+于是得122AB AF BF x x =+=++由题已知{214y x y x=-=消去y 得2610x x -+=故126x x += ∴628AB =+= 注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：12AB x x p=++或12AB y y p=++。

二.通径最短问题：例：已知抛物线的标准方程为22y px =，直线l 过焦点，和抛物线交与A.B 两点，求AB 的最小值并求直线方程。

解：①如果直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2px =2A B p =②如果斜率存在，不妨设斜率为k ，则直线的方程为()2p y k x =-，与抛物线方程联立方程组得22()2y pxp y k x ==-⎧⎨⎩ 消去y 得22222(2)04k p k x k p p x -++=若0k ≠ 则222440k p p ∆=+> 1222px x p k +=+则1222222p pAB x x p p p p k k =++=++=+当k →∞时 AB最小 即min 2AB p = 此时 2px =三．两个定值问题：例：过抛物线22y px =的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1x 、2x 、1y 、2y ，求证：2114p x y =，212y y p =-。

证明：①联立22()2y px p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2)0(0)4k p k x k p p x k -++=≠2124p x x =同理消去y 可得 212y y p =-；②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；③斜率不存在时，2114p x y = ，212y y p =-同样是定值； 从上所述：2114p x y =，212y y p =-四．一个特殊直角问题：过抛物线22(0)y px P =>的焦点F 的直线与抛物线交与A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线的准线上的射影分别是1A ，1B 求证：1190A FB ︒∠=。

过抛物线焦点弦的最小值问题例题：已知抛物线 y2 =2px(p .0)，过焦点的直线交抛物线于 A 、B 两点，则弦|AB|的最小值。

解法一：当斜率k 存在时，设直线AB 为y=k(x-上) 2«y =k(x-号)得 k 2x 2 -(k 2p+2p)x + — k 2 =0y 2 =2px42 即：X j X 2 ， 过焦点弦 |AB|= x 1 x 2 p4由题意可知x 1 0, x 2 - 0,为• x 2丄2 . x 1x 2由于积是定值，当且仅当x^x 2时即为-时能取等号，所以当斜率k 不存在， 2 此时这条直线就垂直于 x 轴，过焦点的弦|AB|最小即通径最小。

最小值为 2p.解法二：设直线的倾斜角为 二，斜率存在时，则直线为y= tan (x-—)2 八曲(-2 y2 =2px 2得 tan 次-(ptan) 2 p)x tan - 0 2=2p(1 +2psin 2当sin 2r=i 时，|AB|有最小值即2p,此时斜率不存在，倾斜角二评价：解法一是用不等式思想求最值方法，当然用两根这积是也可以解法到求两根之积。

这种是确定动直线的位置关系来求最值的情况的。

解法二是建立函数关系式，用函数思想求最值。

这是两种不同方法来分析最值问题的。

这种方法是建立函数关系式来求最值问题。

在这方面题型有两种分析思想：一是能否确定动的位置关系来判断取最值的问题。

(如 解法一型)，二是所求与已知建立一个函数关系式，用函数求最值或范围的方法。

这是我们解决中学数学问题时常用的解题思想。

X i代入 过焦点弦|AB|= x 1 x 2 p 2，即线段AB 为通径。

精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

焦点弦的八大结论焦点弦是一种常见的数学问题，它的研究有助于我们更深入地理解数学中的一些重要概念和定理。

在这篇文章中，我们将讨论焦点弦的八大结论，了解它们分别是什么以及它们的意义。

最后，我们还将介绍焦点弦在实际应用中的一些例子。

一、焦点弦与抛物线的关系抛物线是一种经典的二次函数图像，它的形状是一个开口朝上或朝下的U字形曲线。

而焦点弦则是经过抛物线焦点的一条线段，根据抛物线的性质，焦点弦与抛物线的顶点在同一条直线上。

二、焦点弦的长度焦点弦的长度等于抛物线顶点到焦点的距离的两倍，这个结论很容易证明，只需要利用抛物线的定义式和距离公式即可得出。

三、焦点弦的中点焦点弦的中点恰好落在抛物线的准线上，这个结论也很容易证明，只需要利用抛物线的对称性即可。

四、焦点弦的垂线焦点弦的垂线恰好与抛物线相切，并且与抛物线准线垂直，这个结论涉及到了抛物线的切线和法线的概念。

五、抛物线对称性抛物线的对称轴恰好与焦点弦重合，这个结论是由于焦点弦的中点在对称轴上。

六、焦距的作用焦点弦和焦距有着密切的关系，焦点弦的长度等于焦距的两倍，这个结论是逆向推导出来的，也就是我们通过焦距来求出焦点弦的长度。

七、焦点弦的作用焦点弦在数学中有着重要的作用，它可以用来推导一些抛物线的性质，例如抛物线的切线和法线。

此外，在工程中，焦点弦也有广泛的应用，它可以用来设计一些光学系统和声学系统。

八、应用实例我们举个例子，考虑一个天线系统，它的辐射方向呈现出一条抛物线形状，我们可以通过焦点弦来设计这个天线系统的形状和大小，以达到最优的信号接收和传输效果。

类似的应用还包括椭圆镜头和声学降噪系统等。

综上所述，焦点弦是一个重要的数学问题，它在抛物线的研究和实际应用中有着广泛的应用。

理解焦点弦的八大结论有助于我们更深入地理解抛物线的概念和性质，同时也为我们提供了一些实际应用的思路和方法。

因此，学习和掌握焦点弦的八大结论是非常有益的。

焦点专题10 解析几何中的焦点弦问题【基础盘点】1、直线方程的确定：两点式:112121y y x x y y x x --=--,点斜式:00()y y k x x -=-, 斜截式:y kx b =+,截距式:1x ya b+=,一般式:0ax by c ++=;2、圆方程的确定：标准式:222()()x a y b R -+-=,一般式:220x y Dx Ey F ++++=,单位圆:221x y +=;3、直线与圆的位置关系：相交：d r <(或0∆>),①弦长公式：l = ②直线平分圆周：直线过圆心;相切：d r =(或0∆=),①切线方程：点斜式;相离：d r >(或0∆<),①圆周上的点到直线的最小距离 min d d r =-,②圆周上的点到直线的最大距离max d d r =+;5、标准方程：椭圆：22221x y a b +=(或22221y x a b +=),其中222c a b =-,双曲线:22221x y a b -=(或22221y x a b -=),其中222c a b =+,渐近线:22220x y a b-=,等轴双曲线：222x y a -=(e ⇔=⇔渐近线互相垂直),抛物线：22y px =(或22x py =),其中一次项为对称轴,焦点与2p有关;6、焦点弦(过焦点的弦)：椭圆：焦点弦MN 与长轴重合时最长,与长轴垂直时最短, 双曲线：焦点弦MN 与实轴垂直时最短,没有最长的焦点弦, 抛物线：焦点弦MN 与对称轴垂直时最短,没有最长的焦点弦,7、焦点三角形：椭圆：点M 在椭圆上,12212tan ()2F F M b F MF θθ==∠△S ,双曲线：点M 在双曲线上,12212()tan2F F M b F MF θθ==∠△S ,抛物线：由于仅有一个焦点,不能构成焦点三角形,8、与焦点相关的三角形：椭圆：①直线l 过焦点1F ,与椭圆交于两点,A B ,则2ABF △的周长为4a (两次用定义),当直线l 垂直于长轴时,2ABF △的面积最大,为222ABF S b e =△, ②直线l 过椭圆中心O ,与椭圆交于两点,A B , 则2ABF △的面积的最大值为122B F B S bc =△(由2ABF =△S 22OF A OF B S S +△△得),双曲线：①直线l 过焦点1F ,与双曲线左支交于两点,A B ,则当直线l 垂直于实轴时,2ABF △的面积最小,为222ABF S b e =△,抛物线：①直线l 过焦点F ,与抛物线22(0)y px p =>交于两点1122(,),(,)A x y B x y ,有如下结论:(i)12AB x x p =++(两次用定义);(ii)以AB 为直径的圆与准线相切(由定义及梯形的中位线得);(iii)2124p x x =,212y y p =-(由方程组法得);(iv)AOB ∠为钝角(由21212304OA OB x x y y p ⋅=+=-< 得);(v)AOB △的面积为AOB S =△(由AOB AOF BOF S S S =+△△△得,其中k 为直线l 的斜率);②若点A 、B 在抛物线22(0)y px p =>上,且0OA OB ⋅= ,则直线AB 与对称轴的交点为定点(2,0)p ,在焦点的右侧.9、圆锥曲线问题的常用解法:①定义法,②数形结合法,③方程组法(待定系数法、∆法、求根公式法、韦达定理法).【例题精选】焦点1、直线、圆方程的求法【例1】求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过两点(1,2)A 、(2,3)B ; (2)过两点(1,2)A 、(1,3)B ; (3)过点(1,2)A -,斜率为2-; (4)斜率为2-,在y 轴上的截距为1-;(5)斜率为2-,在x 轴上的截距为1-; (6)在x 轴上的截距为1-,在y 轴上的截距为2; (7)与直线10x y ++=平行,且过点(1,2)A ; (8)与直线210x y ++=垂直,且过点(1,2)A .【例2】求满足下列条件的圆的方程：(1)圆心为(1,2)A , (2)圆心为(1,2)A ,且经过点(2,1)B ; (3)以两点(1,0)A 、(1,2)B 为直径; (4)经过三点(1,0)A 、(2,1)B 、(1,2)C ; (5)经过点(2,1)B ,且与x 轴切于点(1,0)A ;(6)圆心在直线1y x =+上,且与y 轴切于点(0,2);焦点2、直线与圆的位置【例3】1、判断下列直线l 与圆O 的位置关系： (1)直线:2l y x =，圆22:2210O x y x y +--+=;(2)直线:l x y +=22:1O x y +=;(3)直线:2l x y +=，圆22:1O x y +=.2、已知圆22:(1)(1)1C x y -+-=及圆C 外一点(2,3)P . (1)直线l 过点P ，且与圆C 相切,求直线l 的方程;(2)若点(3,2)M ,点Q 是圆C 上一动点,求PMQ △的面积的最小值;(3)过点(122N ++作圆C 的切线,求切线的方程; (4)若过点11(,)22H 的直线l 与圆C 交于两点A 、B,且点H 平分线段AB,求直线l 的方程;(5)若过点1(1,)2G 的弦AB 、MN 互相垂直,求四边形AMBN 面积的最大值.【题情捉摸】(1)若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为 ，由1d =得k = ,从而得直线l 的方程，再考虑直线l 的斜率不存在的情形；(2)可得直线MP 的方程为 ，圆心到直线MP 的距离为 ， 所以圆周上的点到直线MP 的最小距离为 ，而MP = ,进而得解； (3)可知点N 在圆上，于是斜率CN k = ,得切线的斜率k = ,由点斜式可求得切线的方程为 ；(4)可得CH k = ，于是直线l 的斜率k = ,由点斜式可求得直线l 的方程为 ；(5)设圆心C 到AB 、MN 的距离分别为1d 、2d ,则2212d d += ，而所求的面积12S AB MN =⋅= ，用基本不等式可求其最大值.焦点3、圆锥曲线的标准方程【例4】1、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x 轴上，2,1a b ==; (2)2,1a b ==; (3)以12(1,0),(1,0)F F -为焦点，且过点M ;(4)1,b e ==(e 为离心率).2、求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)与椭圆22143x y +=有相同焦点，离心率互为倒数； (2)一条渐近线为2y x =，且实轴长为4.3、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(1,0)F ； (2)准线为1y =； (3)焦点到顶点的距离为1； (4)过点(1,2)P .焦点4、焦点三角形【例5】椭圆2221(1)x y a a+=>的一个焦点为1F ,点P 在椭圆上,且1OP OF =(O 为坐标原点),则1OPF △的面积S =A.2B.1C.12D.14【题情捉摸】如图由1OP OF =知12OP OFOF ==， 即1OPF △与2OPF △均为等腰三角形，设它们的底角分别为α、β，则22αβ+= ,即αβ+= ,由焦点三角形的面积公式得12F PF S =△ ,而O 为12F F 有S = .焦点5、与焦点相关的问题【例6】已知椭圆中心E 在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过(2,0)A -、(2,0)B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点.(1)求椭圆E 的方程:(2)若直线:1l x my =+与椭圆E 交于M 、N 两点,点F 为椭圆E 的左焦点,则FMN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及直线l 的方程,否则,说明理由.【题情捉摸】(1)设椭圆方程为22221(0,0),x y a b a b+=>>将点(2,0)A -、3(1,)2C 代入解得2a = ,2b = ，从而得椭圆E 的方程；(2)画出椭圆E ，两次用定义得FMN △的周长为 ，设FMN △的内切圆的半径为R ，有1()2FMN S MN MF NF R =++=△ ，要R 最大，即要F M N S △最大，设11(,)M x y 、22(,)N x y (120,0y y ><),则12121122FMN S FH y FH y y y =⋅+⋅=-△，再用方程组法求12y y -的最大值即可.焦点6、圆锥曲线综合问题【例7】已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最小距离为2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.当点(,)P m n 在椭圆．．C 上运动时,直线l 与圆O 是否恒相交于两个不同的点A 、B ？,若相交,试求弦长AB 的取值范围,否则说明理由.【题情捉摸】(1)定点F 与k 的取值无关，将所给直线整理为0A k B ⋅+=的形式为 ，由00A B =⎧⎨=⎩得定点F 为 ，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中得c = ,又2a c -=，得a = ,进而得b = ,从而得椭圆C 的标准方程；(2)考虑圆心O 到直线l 的距离d = ，又222212516m n m n =+<+，从而d 1,即直线l 与圆O 相交，又AB == ，由2212516m n +=，消去n ，再求AB 最大值与最小值即可.【真题回顾】1、(2010广东文)若圆心在x 轴上、5O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++=2、(2010广东文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A ．45 B ．35 C ．25 D ．153、(2009广东文)以点(2，－1)为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是________4、(2009广东文)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，两个焦点 分别为F 1和2F ，椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C ：2224210()x y ky y k ++--=∈R 的圆心为点k A .(1)求椭圆G 的方程; (2)求∆12k A F F 面积;(3)问是否存在圆k C 包围椭圆G ？请说明理由.5、(2010广东文)已知曲线2n C y nx =：，点(,)(0,0)n n n n n P x y x y >>是曲线n C 上的点(n=1,2,…).(1)试写出曲线n C 在点n P 处的切线n l 的方程，并求出n l 与y 轴的交点n Q 的坐标; (2)若原点(0,0)O 到n l 的距离与线段n n P Q 的长度之比取得最大值，试求试点n P 的坐标(,n n x y );(3)设m 与k 为两个给定的不同的正整数，n x 与n y 是满足(2)中条件的点n P 的坐标，证明：1sn =<(1,2,)s =…【参考答案】【例1】(1)1y x =+；(2)1x =；(3)2y x =-；(4)21y x =--； (5)22y x =--；(6)220x y ++=；(7)30x y +-=；(8)2y x =.【例2】(1)22(1)(2)3x y -+-=；(2)22(1)(2)2x y -+-=；(3)22(1)(1)1x y -+-=； (4)222210x y x y +--+=；(5)22(1)(1)1x y -+-=；(6)22(1)(2)1x y -+-=. 【例3】1、(1)相交；(2)相切；(3)相离.2、(1)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3(2)y k x -=-，即320kx y k -+-=，由直线l 与圆C 相切，得圆心(1,1)到直线l 的距离1d =，1=，解得34k =，有直线l 为33(2)4y x -=-，即3460x y -+=， 当直线的斜率不存在时，则直线l 的方程为2x =， ∴直线l 的方程为3460x y -+=或2x =； (2)∵(3,2)M 、(2,3)P ，则1MP k =-， ∴直线MP 的方程为2(3)y x -=--，即50x y +-=；圆心C 到直线MP的距离d ==Q 到直线MP1-，又MP =PMQ △的面积的最小值为121)22PMQ S =⨯=△；(3)∵点N 在圆C 上，1CN k =，得切线的斜率1k =-，∴所求的切线方程为(1[(122y x -+=--+，即2x y +=+ (4)由题意知CH AB ⊥，而1121112CH k -==-，得直线l 斜率1k =-，∴直线l 的方程为11()22y x -=--，即1x y +=； (5)设圆心C 到AB 、MN 的距离分别为1d 、2d ,则221214d d +=, 四边形AMBN的面积1122S AB MN =⋅=⋅=221217(1)(1)244d d ≤-+-=-=.【例4】1、(1)2214x y +=； (2)2214x y +=或2214y x +=； (3)由1222a MF MF =+=+=得a =, 又1c =，2222221c a b b a c =-⇒=-=，即椭圆的标准方程为2212x y +=； (4)由1,b e ==得22222214334a c a c a c ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪⎩，有2221b a c =-=，∴椭圆的标准方程为2214x y +=或2214y x +=； 2、(1)∵22143x y +=的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，离心率为12， ∴所求双曲线的焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，离心率为2，设双曲线的方程为22221x y a b-=，则1,2c c a ==，有12a =，∴22234b c a =-=，∴双曲线的方程为2211344x y -=； (2)由2y x =得2204y x -=，设所求的双曲线方程为224y x -=λ(λ≠0)， 当λ>0时，有2214x y -=λλ，则4=⇒λ=4，所求方程为22116x y -=4， 当λ<0时，有2214y x -=-λ-λ，则4=⇒λ=-1，即2214y x -=， ∴所求的双曲线方程为22116x y -=4或2214y x -=. 3、(1)24y x =；(2)24x y =-；(3)122p p =⇒=，∴抛物线的标准方程为24y x =±或24x y =±； (4)若焦点在x 轴上，设抛物线的标准方程为22y px =，它过点(1,2)P ，∴422p p =⇒=，即所求的方程为24y x =，若焦点在y 轴上，设抛物线的标准方程为22x py =，它过点(1,2)P ，∴1144p p =⇒=，即所求的方程为212x y =， ∴抛物线的标准方程为24y x =或212x y =.【例5】C 设另一焦点为2F ,由1OP OF = 得12OP OF OF ==,∴1FOP ∆与2F OP ∆均为等腰三角形,∴1290F PF ∠= , 又122PF PF a +=,∴22212122(2)()PF PF a PF PF ⋅=-+ 2222(2)(2)4()4a c a c =-=-=,1212112F PF S PF PF ∆=⋅=,∴11210.52OPF F PF S S ∆∆==【例6】解:(1)设椭圆方程为22221(0,0),x y a b a b+=>>将点(2,0)A -、3(1,)2C 代入椭圆E的方程,得22241,9141,a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得224,3a b ==, ∴椭圆E 的方程22143x y +=; (2)如图,设FMN △内切圆的半径为R ,则1()2FMN S MN MF NF R =++=△ 1[()()]42MF MH NF NH R R +++=, 当FMN S △最大时,R 也最大,FMN △内切圆的面积也最大, 设11(,)M x y 、22(,)N x y (120,0y y ><),则12121122FMN S FH y FH y y y =⋅+⋅=-△, 由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得22(34)690m y my ++-=,解得12334m y m -+=+22334m y m --=+∴FMNS =△令t =,则1t ≥,且221m t =-, 有2212121213(1)4313FMN t t S t t t t===-+++△,令1()3f t t t =+,则21()3f t t '=-,当1t ≥时,()0f t '>,()f t 在[1,)+∞上单调递增,有()(1)4f t f ≥=,1234FMN S ≤=△, 即当1t =,0m =时,4R 有最大值3,得max 34R =,这时所求内切圆的面积为916π, ∴存在直线:1l x =,FMN △的内切圆的面积最大值为916π. 【例7】(1)由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩, 解得F(3,0)， 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,则22232c a c a b c =⎧⎪-=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆C 的方程为2212516x y +=; (2)因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+,从而圆心O 到直线 :1l mx ny +=的距离1d r =<=. 所以直线l 与圆O 恒相交于两个不同的点A 、B. 这时弦长AB 为AB ===由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则AB ∈, 即直线l 被圆O截得的弦长的取值范围是. 1．D 2.B 3．2225(2)(1)2x y -++= 4.解：(1)设椭圆G 的方程为：22221x y a b+= (0a b >>)半焦距为c;则212a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩,解得6a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ , 22236279b a c ∴=-=-= 所求椭圆G 的方程为：221369x y +=. (2 )点K A 的坐标为(),2K -1212112222K A F F S F F =⨯⨯=⨯=V (3)若0k ≥，由2260120215120k k ++--=+>可知点(6，0)在圆k C 外，若0k <，由22(6)0120215120k k -+---=->可知点(6-，0)在圆k C 外; ∴不论K 为何值圆k C 都不能包围椭圆G.5.解：(1)可得2n n y nx =，又2y nx '=，∴切线的斜率2n k nx =，∴切线n l 的方程为2()n n y y n x x -=-，即222n n n y y nx x nx -=-，而2n n y nx =，得切线n l 的方程为20n n nx x y y --=，令0x =，得n y y =-， ∴n l 与y 轴的交点n Q 的坐标为(0,)n y -;(2)原点O 到n l的距离d =n n P Q =n n d K P Q =， 则222222(41)(4)n n n n y K n x x y =++，由2n n y nx =，得2n n y x n =， ∴222221681(41)(4)n n n n n n n y ny K y n y ny ny y n==++++=21116168n n n n y n y ≤=++， 当且仅当2116n n n y y =，即1(0)4n n y y n =>，代入2n n y nx =，得1(0)2n n x x n =>时，14=，11(,)24n P n n ; (3)由(2)得11(,)24n P n n，则==， 不防设1m k >≥，则1s s n n ===∑=12s n ==+++ ，=<= ①1,2,)s <== ，0)++<+++= ② 由①②得12+++<=即11,2,)s n s =<= .。

焦点弦的八大结论
焦点弦是一种几何学中的概念，它是指一个圆上的两个点和这个圆的直径所构成的直线。

焦点弦有着许多有趣的性质和结论，下面我们来一一探讨。

一、焦点弦平分圆周角
焦点弦所构成的直线平分圆周角，这是焦点弦最基本的性质之一。

这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。

二、焦点弦垂直于半径
焦点弦与圆的直径垂直，这是焦点弦的另一个重要性质。

这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。

三、焦点弦平分圆的面积
焦点弦所构成的直线平分圆的面积，这是一个非常有趣的结论。

这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。

四、焦点弦是圆的切线
焦点弦是圆的切线，这是一个非常重要的结论。

这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。

五、焦点弦的长度等于圆的直径
焦点弦的长度等于圆的直径，这是一个非常简单的结论。

这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。

六、焦点弦的长度等于两个切线之和
焦点弦的长度等于两个切线之和，这是一个非常有趣的结论。

这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。

七、焦点弦的长度等于两个切线之差
焦点弦的长度等于两个切线之差，这是一个非常有趣的结论。

这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。

八、焦点弦的长度等于两个半径之积除以焦距
焦点弦的长度等于两个半径之积除以焦距，这是一个非常有趣的结论。

这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。

焦点弦是一个非常有趣的几何学概念，它有着许多有趣的性质和结论。

通过研究焦点弦，我们可以更好地理解圆的性质和几何学的基本原理。

[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若是过抛物线的焦点的弦。

设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）；（2）4221p x x =221p y y -=证明：如图，（1）若的斜率不存在时，AB 依题意,221px x ==4221p x x =∴若的斜率存在时，设为则AB ,k ⎝⎛=:k y AB ()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k 综上：.4221p x x =∴.4221p x x =（2），p y x p y x 2,2222211==Q ,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴<（2）另证：设与联立，得2:pmy x AB +=px y 22=22122,02p y y p pmy y -=∴=--知识点2：若是过抛物线的焦点的弦。

设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）（2）设直线的倾斜角为;21p x x AB ++=AB α证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21（2）若由（1）知,2,90210p x x ===则α2p AB ==若联立，得px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k ，而，(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴αtan =k ()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴知识点3：若是过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与AB ()022>=p px y F AB 抛物线的准线相切。

问题探究8已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点22143x y +=1F 1F 实常数，使恒成立.并由此求∣AB λAB FA FB λ=∙问题探究9已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F C ，D 两点，且，是否存在实常数，使12l l ⊥λAB + 四边形ABCD 面积的最小值和最大值.问题探究10已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点22143x y +=1F F 线交轴于点D ，是否存在实常数，使x λAB F λ=问题探究11已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F 交轴于点G ，点在直线上的射影分别是4x =-x ,A B 2l N D ，是否存在实常数，使恒成立.λ1GD DF λ=问题探究12已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F 别为椭圆的左、右顶点，动点满足P ,PA AD PC λμ== 椭圆焦点弦端点连线与相应准线的交点N 、共线备用课件双曲线焦点弦端点点则三点共线备用课件抛物线焦点弦端点点则三点共线处）备用课件问题探究13已知双曲线，为双曲线之左焦点，过点的直线22131x y -=1F 1F 分别为双曲线的左、右顶点，动点满足,C D P 1PA AD λ= 试探究是否为定值.22,,QA AC QB BD λμ==1PF Q ∠椭圆焦点弦端点连线与相应准线的交点1NF ⊥备用课件双曲线焦点弦端点点D 连线与相应准线的交点则NF备用课件抛物线焦点弦端点点D 连线与相应准线的交点则NF 无穷远处）备用课件问题探究14已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F C ，D 两点，直线：，直线AD 交直线于点2l 4x =-2l 并证明之.问题探究15已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F 1,l l C ，D 两点，直线：，直线AD 交直线于点P ，试证明3l 4x =-3l问题探究16已知椭圆，过点的直线分别交椭圆于22184x y +=(2,0)N 12,l l 线AD 与直线CB 交于点P ，试证明点P 的轨迹为直线问题探究17已知椭圆，点为椭圆之左焦点，过点的直线22184x y +=1F 1F 设直线AB 与轴于点，试求y M 11,,MA AF MB BF λμ==问题探究18 已知方向向量为的直线过点和椭圆(1,3)e = l (0,23)A -焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足：C O B 圆的方程；⑵设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为C E C 12,F F ，求的值. 222EF F T λ= 12λλ+。

抛物线中焦点弦的有关问题------新疆实验中学强少华一直以来，焦点弦都是《圆锥曲线》中的重要知识点，也是高考中的热点问题，针对“抛物线的几何性质”这节课，笔者认为，教师在讲完之后，可适当延伸一些有关“焦点弦”的问题：知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。

设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）4221p x x =；（2）221p y y -=证明：如图，（1）若AB 的斜率不存在时，依题意,221px x ==4221p x x =∴若AB 的斜率存在时，设为,k 则⎭⎝⎛-=2:x k y AB ()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k.4221p x x =∴ 综上：.4221p x x =（2）接上，py x p y x 2,2222211==Θ，,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2:p my x AB +=与px y 22=联立，得 22122,02p y y p pmy y -=∴=--知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。

设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α，则2pAB 证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21（2）若,2,90210p x x ===则α由（1）知α2sin 22pp AB == 若px y p x k y AB 2,2:,902=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α联立，得 ()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴，而αtan =k ，()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴ 知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

第32讲抛物线的焦点弦问题【方法总结】直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目．【典例1】如图，过抛物线y 2＝2PX(P>0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线L 作垂线，垂足分别为M 1、N 1(Ⅰ)求证：FM 1⊥FN 1:(Ⅱ)记△FMM 1、、△FM 1N 1、△FN N 1的面积分别为S 1、、S 2、，S 3，试判断S 22＝4S 1S 3是否成立，并证明你的结论。

【解析】证法1：由抛物线的定义得11,,MF MM NF NN 1111,MFM MM F NFN NN F如图，设准线l 与x 的交点为1F 111////MM NN FF Q w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 111111,F FM MM F F FN NN F而0111111180F FM MFM F FN N FN 即0111122180F FM F FN 0111190F FM F FN 故11FM FN 证法2：依题意，焦点为(,0),2p F 准线l 的方程为2px 设点M,N 的坐标分别为1122,),,),Mx y N x y （（直线MN 的方程为2px my ，则有11121112(,),(,),(,),(,)22p pM y N y FM p y FN p y由222p x my y px得2220y mpy p 于是，122y y mp ，212y y p22211120FM FN p y y p p，故11FM FN （Ⅱ）22134S S S 成立，证明如下：证法1：设1122(,),(,)M x y N x y ，则由抛物线的定义得1112||||,||||22p pMM MF x NN NF x，于是11111111||||()||222pS MM F M x y 21211211||||||22S M N FF p y y w.w.w.k.s.5.u.c.o.m31112211||||()||222pS NN F N x y 222131211221114(||)4()||()||22222p p S S S p y y x y x y ∵22212121212121[()4][()]||424p p p y y y y x x x x y y 将11222,2p x m y p x m y 与122122y y mp y y p代入上式化简可得22222222()()p m p p p m p p ，此式恒成立。

三、与焦点弦相关的问题8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）问题探究8已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=∙恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式）实验成果动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数11112||||AF BF ep+= 备用课件双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB 在同支11112||||AF BF ep += AB 在异支11112||||||AF BF ep-= 备用课件抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112||||AF BF ep+=备用课件9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）问题探究9已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=∙恒成立.并由此求四边形ABCD 面积的最小值和最大值.实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 备用课件双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 2|2|||1||12-=+备用课件抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+备用课件10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）问题探究10已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=恒成立？实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）问题探究11已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点，直线2l ：4x =-交x 轴于点G ，点,A B 在直线2l 上的射影分别是,N M ，设直线,AM BN 的交点为D ，是否存在实常数λ，使1GD DF λ=恒成立.实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）问题探究12已知椭圆22143x y+=，1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线1l交椭圆于A，B两点，,C D分实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线备用课件双曲线焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线备用课件抛物线焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线（抛物线的D点在无穷远处）.备用课件别为椭圆的左、右顶点，动点P 满足,,PA AD PC CB λμ==试探究点P 的轨迹.13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）问题探究13已知双曲线22131x y -=，1F 为双曲线之左焦点，过点1F 的直线1l 交双曲线于A ，B 两点， 实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A 、B 与另一顶点D连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥备用课件双曲线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥备用课件抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则NF MF ⊥（抛物线的D 点在无穷远处）备用课件,C D 分别为双曲线的左、右顶点，动点P 满足11,,PA AD PC CB λμ==动点Q 满足22,,QA AC QB BD λμ==试探究1PFQ ∠是否为定值.14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系问题探究14已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线2l ：4x =-，直线AD 交直线2l 于点P ，试判断点P 、C 、B 是否三点共线，实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处）， 因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件并证明之.15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）问题探究15实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点与焦点的连线平分2AF C∠备用课件双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分1AFC∠备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AF D∠备用课件已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线3l ：4x =-，直线AD 交直线3l 于点P ，试证明11PF A PF D ∠=∠.16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过双曲线实轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过抛物线对称轴上任意一定点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线t x -=备用课件问题探究16已知椭圆22184x y +=，过点(2,0)N 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，设直线AD 与直线CB 交于点P ，试证明点P 的轨迹为直线4x =.17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值问题探究17已知椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，实验成果动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值.备用课件双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值.备用课件过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值. 备用课件设直线AB 与y 轴于点M ，11,,MA AF MB BF λμ==试求λμ+的值.18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值问题探究18 已知方向向量为(1,3)e =的直线l 过点(0,23)A -和椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO ∙==.⑴求椭实验成果 动态课件过椭圆上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F BAF m F Be m m e →→→→==++==-定值备用课件过双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F BAF m F Be m m e→→→→==++==-定值备用课件（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即 PA=m 1AFPB=m 2BF 备用课件m 1+m 2=0圆C 的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,ES ET ,设111,EF F S λ=222EF F T λ=，求12λλ+的值.。