椭圆中的焦点弦问题PPT课件

椭圆、双曲线的焦点三角形问题一、有关面积的问题，方法：面积公式、余弦定理例1. 如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ， 所以e ＝12.(2)方法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为 y ＝－3(x －c)，将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c ，所以|AB|＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c. 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB|·sin ∠F 1AB ＝12a·165c·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.方法二 设|AB|＝t.因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a. 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t)2＝a 2＋t 2－2atcos 60°可得，t ＝85a.由S △AF 1B ＝12a·85a·32＝235a 2＝40 3知，a ＝10，b ＝5 3.例2如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F F 12、分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P ，∠F PF 123=π，且△PF F 12的面积为23，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程.解析：设双曲线的方程为x a y ba b 2222100-=>>()，，F c F c 1200()()-，，，，P x y ()00，.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得||||||||||cos F F PF PF PF PF 12212221223=+-··π=-+(||||)||||PF PF PF PF 12212·，即 442212ca PF PF =+||||·，又因为S PF F △1223=，所以1232312||||sin PF PF ·π=， 所以||||PF PF 128·=，所以44822ca =+即b 22=，又因为e c a==2，所以a 223=. 故所求双曲线方程为322122x y -=. 二、有关21PF F ∠的问题，方法： 正弦定理、等比定理例3已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项． (1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tanF 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的方程为3422y x +＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ，椭圆的离心率21=e 则)60sin(23sin )60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=o o o o ，整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)∴53cos 1sin =+θθ故532tan =θ，tanF 1PF 2＝tan θ＝11352531532=-⋅． 三、有关内切圆的问题，方法：椭圆定义、切线长定理xyF 2F 1OP例4椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一点P ，两个焦点)0,()0,(21c F c F ，-， 12F PF ∆的内切圆记为M e ，求证：点P 到M e 的切线长为定值.证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F 1C|、|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵ |F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF 1|＋|PF 2|=2a ，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a －2c 即 |PA|=a －c 为定值．四、有关轨迹的问题，方法： 例5例6已知椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一动点P ，两个焦点)0,()0,(21c F c F ，-，12F PF ∆的内切圆记为⊙M ，试求圆心M 的轨迹方程 .解析： 如图1，设∠PF 1F 2=α、∠PF 2F 1=β，M(x ，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定义有||sin ||sin ||sin[()]PF PF F F 1212180βααβ==-+°，由等比定理有即1212||||||22sin sin sin()sin sin sin()PF PF F F a cαβαβαβαβ+=⇒=++++，又由合分比定理知tan tan 22a c a c αβ-⋅=+.由斜率公式知：12,(0),MF MF y y k k y x c x c==≠+-由前述不难看出，不论P位于椭圆上（异于长轴两端点）何处，总有12tantan,(0).22MF MF y y a ck k y x c x c a cαβ-⋅=-⋅∴⋅=-≠+-+ 整理得(a －c)x 2＋(a ＋c)y 2=(a －c)c 2(y≠0)证毕．点评：由上获得的方程不难看出，△PF 1F 2的内切圆圆心M 始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动．如果△PF F 12中出现两个角，可以考虑应用正弦定理.五、开放性问题，方法：例7、已知12F F ，为双曲线22221(00)a b x y a b a b≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题： ①12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上；②12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上； ③12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上； ④12PF F △的内切圆必通过点0a ()，． 其中真命题的代号是 ．解析：设12PF F △的内切圆分别与PF 1、PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ，则|PA|＝|PB|，|F 1A|＝|F 1M|，|F 2B|＝|F 2M|，又点P 在双曲线右支上，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|F 1M|－|F 2M|＝2a ，而|F 1M|＋|F 2M|＝2c ，设M 点坐标为（x ，0），则由|F 1M|－|F 2M|＝2a 可得（x ＋c ）－（c －x ）＝2a 解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故①、④正确.六、曲线位置关系问题，方法：椭圆定义例8. 如图，设P 是椭圆上任一点，F 为椭圆的一个焦点，求证；以FP 为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相切.。

第8讲：椭圆中的焦半径与中点弦1. 基础结论(1).椭圆22221(0)x y a b a b+=>>两焦点为12(,0),(,0),F c F c -||2()A B AB a e x x =++（过左焦点）||2()A B AB a e x x =-+（过右焦点）其中e 是椭圆的离心率.(2).椭圆22221(0)y x a b a b+=>>||2()A B AB a e y y =-+（过左焦点）||2()A B AB a e y y =++（过右焦点）(3).若→→=B F AF 22λ，则|1||1|12+-+=λλke .2.焦半径公式:设),(00y x P 是椭圆上一点，那么01||ex a PF +=，02||ex a PF -=，进一步，有222212,PF PF a ex b a ⎡⎤•=-∈⎣⎦3. 中点弦公式：（所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时，两交点中点与弦所在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解） 椭圆：交点在x 轴上时直线m kx y +=与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于点A 、B设点A(11,y x ),B(22,y x )∵A 、B 在椭圆上∴1221221=+b y a x ……① 则2222122221-b yy a x x -=- 1222222=+b y a x ……② 即 2222212221-a b x x y y =-- ①-②得：02222122221=-+-b y y a x x 即2221212121))((ab x x y y x x y y -=++--则 22ab k k OMAB -=（其中M 为A 、B 中点，O 为原点）同理可以得到当焦点在y 轴上，即椭圆方程为)0(12222>>=+b a bx a y当直线交椭圆于A 、B 两点，M 为A 、B 中点 则22ba k k OMAB -=2.典例（2018三卷）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．详解：（1）设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=.两式相减，并由1212y y k x x -=-得1212043x x y y k +++⋅=.由题设知12121,22x x y y m ++==，于是34k m =-.①由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得()1,0F ，设()33,P x y ，则()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=.由（1）及题设得()()31231231,20x x x y y y m =-+==-+=-<. 又点P 在C 上，所以34m =，从而31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，32FP =.于是(122x FA x ===-. 同理222x FB =-.所以()121432FA FB x x +=-+=.故2FP FA FB =+，即,,FA FP FB 成等差数列.设该数列的公差为d ，则1212||2d FB FA x x =-=-=.②将34m =代入①得1k =-.所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得d =..。

椭圆二级公式焦点弦椭圆二级公式焦点弦___________________________椭圆是一种广为人知的几何图形，它是由两个焦点和一条弦组成的，可以用椭圆二级公式来描述。

椭圆二级公式焦点弦定义了椭圆的特性，是理解椭圆的重要工具。

本文将对椭圆二级公式焦点弦的概念、特性和用途进行深入的介绍。

### 一、定义椭圆二级公式焦点弦是一条由两个焦点和一条弦组成的椭圆形，它可以用公式表示：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 其中，$a$和$b$分别为椭圆的长轴和短轴长度，$x$和$y$分别为椭圆上任意一点的横坐标和纵坐标。

### 二、特性椭圆二级公式焦点弦有以下几个特性：1. 椭圆的两个焦点距离相等：椭圆的两个焦点距离相等，即$a=b$；2. 椭圆的长轴和短轴长度可以不同：即$a \neq b$；3. 椭圆上所有点到其两个焦点的距离之和相等：即$2a=2b$；4. 当$a=b$时，椭圆会变成圆形；5. 椭圆的长轴和短轴长度可以不同：即$a \neq b$；### 三、用途椭圆二级公式焦点弦用于计算几何图形，如天文学、航海学中的星图计算。

此外，它还可以用于数学函数、微分方程、波动方程和物理方程的计算。

椭圆二级公式焦点弦也可以用于工程设计中，如地形设计、建筑设计、图像处理和机器人学中的机器人运动。

### 四、应用实例例如：有一个需要制作半径为3厘米的圆形饰物，可以使用椭圆二级公式焦点弦来进行计算：$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1$$ 其中，$x$和$y$分别为椭圆上任意一点的横坐标和纵坐标，而$a=b=3$。

根据此公式可以得出：当$x=3,y=0$时，椭圆上任意一点都可以制作出半径为3厘米的圆形饰物。

### 五、总结椭圆二级公式焦点弦是一条由两个焦点和一条弦组成的椭圆形，它可以用公式表示。

它的特性是：椭圆的两个焦点距离相等、椭圆的长轴和短轴长度可以不同、当$a=b$时，椭圆会变成圆形、椭圆上所有点到其两个焦点的距离之和相等。

焦点弦公式二级结论
椭圆：
(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex。

(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）。

双曲线：
(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex。

(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}。

注意：
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。

焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。

而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二定义)。

因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。

这是一个很好的性质。

焦点弦长就是这两个焦半径长之和。

此外，由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。

(注意斜率不存在的情况！即垂直于x轴！)。

椭圆焦点弦的定理证明及应用椭圆焦点弦定理是应用数学中的一种定理，这个定理规定在一个椭圆中，由任意两个焦点投射出的射线之间的弦距离等于从第一个焦点出发的射线与从第二个焦点出发的射线的对比例。

它是一个关于椭圆的重要定理。

一、定理的证明1. 假设图形上有一个椭圆，它的焦点为F1，F2，距离焦点F1长度为a，距离焦点F2长度为b。

2. 用P表示在椭圆上的任意一点，称这点到F1的距离为x，称它到F2的距离为y。

3. 则有：a/b=x/(y+b)b/a=y/(x+a)联立上面式子得x/(y+b)=y/(x+a)即xy=ax+by+ab（*）4. 当椭圆上的点P，P1，P2在y轴上的坐标分别为y1，y2，y3的时候，由（*）可得ay1+by1+ab=ay2+by2+ab=ay3+by3+ab又由x1=a-y2x2=a-y1x3=a-y3可得ax1+by1+ab=ax2+by2+ab=ax3x+by3+ab即x1y1=x2y2=x3y3由此得证：对于任意两点P1，P2，在椭圆上，距离F1的长度比距离F2的长度的比例等于距离P2的长度和距离P1的长度的比例。

即椭圆福焦点弦定理得证。

二、椭圆焦点弦定理的应用1. 椭圆焦点弦定理可以实现经济分析：由于在椭圆图中，到达椭圆的给定点的距离对比是两个廊的长度的对比，所以椭圆焦点弦定理可以用来研究经济分析中两个变量间的关系，例如生产成本与产品价格之间的关系。

2. 椭圆焦点弦定理可以用来研究月亮的运行轨迹：由于月球运动的轨道是一个椭圆，所以它的焦点可以用椭圆焦点弦定理来研究，从而了解月球运行轨迹的特点。

3. 椭圆焦点弦定理可以用来研究太阳能系统：椭圆焦点弦定理可以用于设计太阳能系统，例如太阳能集热器的安装及放射器的优化，由椭圆焦点弦定理可以精准的确定各个部位放射器的位置，以充分的利用太阳的能量。

4. 椭圆焦点弦定理可以用来研究动态平衡：常见的二轮平衡车或三轮平衡车的几何结构是一个椭圆，那么椭圆焦点弦定理可以应用于理解动态平衡车的原理及动态模型，可以有效的实现准确的控制，保证车辆稳定运行。

椭圆顶点弦和焦点弦的性质及运用
椭圆是一种经典的曲线，它以一对焦点和两个定轴为特征，用于描述空间中的
抛物体的轨迹。

椭圆的顶点弦和焦点弦是椭圆的重要组成部分，它们具有巨大的应用价值。

椭圆的顶点弦是一条链接顶点的线段，它们经由不同顶点交叉，在椭圆上形成
一折叠凹陷，也就是所谓的顶点，顶点弦有着密切的关系，它可以用来测量椭圆的重要特征，如长轴长度、短轴长度、顶点角等，在几何中通常作为椭圆的重要参数。

此外，顶点弦也是检验几何曲线是否为椭圆的重要指标。

另一方面，椭圆的焦点弦连接的是椭圆的两个焦点，它们也是椭圆形状的重要
结构，焦点弦可以用来衡量椭圆的大小，它们有助于理解椭圆的运动原理，诸如数学模型中行星运行轨迹体系。

此外，在物理学中，焦点弦也具有重要的作用，如聚焦以及阿基米德现象等。

综上所述，椭圆的顶点弦和焦点弦是椭圆不可分割的重要结构，它们具有巨大
的应用价值，既可以用于测量椭圆的特征参数，也可以用来理解椭圆的运动原理。

因此，椭圆的顶点弦和焦点弦的运用是非常广泛的，在几何和物理中都有重大的意义。

课题：椭圆中过焦点的弦的问题编制人：审核人：一、使用说明：1、课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探讨，答疑解惑。

二、学习目的：1、巩固椭圆的相关知识2、会将椭圆的知识与其它知识整合，如活用定义、性质等3、训练计算能力和计算技巧，合理选择计算途径和计算方法三、课前热身1、椭圆中过焦点且垂直于长轴的弦叫通径。

椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的通径长为______。

2、设AB是过椭圆22143x y+=的右焦点F的动弦，当|AB|=4时，弦AB的方程为___________。

3、设AB是过椭圆22143x y+=的右焦点F的动弦，则|AB|的范围是_____________。

4、设过椭圆22143x y+=的右焦点F的直线l与椭圆交于A、B两点，当|AB|=4.1时，直线l有____条。

四、典例剖析例1、设AB是过椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点F的弦，求证：以AB为直径的圆必与右准线相离。

例2、设P是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左顶点，AB是过椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点F的动弦，直线AP与右准线交于点C，求证：直线BC必过x轴上的一个定点。

变化思考1：P是x轴上的一个定点(,0)m，上题其它条件不变，结论会发生变化么？请你动手试一下，并证明你自己的结论。

变化思考2：设上结论中BC过的定点为Q，研究点P、焦点F、点Q到准线距离的关系，并证明之。

例3、设椭圆方程为1422=+yx，过上焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，设AB的中点为P，求点P的轨迹方程。

变化：设椭圆方程为1422=+yx，过上焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，P在直线AB上，且AP PBλ=，求点P的轨迹方程。

五、巩固提高1、设AB是过椭圆22143x y+=的右焦点F的动弦，过点A作右准线的垂线，垂足为点C，则直线BC必过定点（）A (2,0) B5(,0)2C (3,0) D7(,0)22、设椭圆方程为1422=+yx，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足OP(21=OA +)OB，点N的坐标为)21,21(，当l绕点M旋转时，求（1）动点P的轨迹方程；（2）||NP的最小值与最大值.3、设AB是过椭圆22143x y+=的右焦点F的动弦，椭圆的左焦点为E，连接AE并延长，求证：过A作椭圆的切线AT必平分EAF∠的补角。