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椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（） 设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦， 则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =， 即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。
椭圆的焦点弦长公式二级结论椭圆是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。
其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。
s=(圆周率)ab(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或s=(圆周率)ab/4(其中a,b分别就是椭圆的长轴,长轴的长).椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(l)的准确排序必须使用分数或无穷级数的议和。
例如l = /2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆距心率的定义为椭圆上的的边某焦点的距离和该点至该焦点对应的准线的距离之比，设立椭圆上点p至某焦点距离为pf，至对应准线距离为pl，则e=pf/pl椭圆的准线方程x=a^2/ce=c/a(e1,因为2a2c)椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/c)的`距离,数值=b^2/c椭圆汪半径公式：|pf1|=a+ex0 |pf2|=a-ex0椭圆过右焦点的.半径r=a-ex过左焦点的半径r=a+ex椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点a,b之间的距离，数值=2b^2/a点与椭圆边线关系：点m(x0，y0) 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^21点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^21直线与椭圆边线关系y=kx+m ①x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1切线△=0相离△0无交点平行△0 可以利用弦长公式：a(x1,y1) b(x2,y2)|ab|=d = (1+k^2)|x1-x2| = (1+k^2)(x1-x2)^2 = (1+1/k^2)|y1-y2| =(1+1/k^2)(y1-y2)^2椭圆通径(定义：圆锥曲线(除铅直)中，过焦点并旋转轴轴的弦)公式：2b^2/a。
椭圆焦点弦结论
椭圆焦点弦结论：第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。
1、以焦点弦为直径的圆与准线相切（用抛物线的定义与梯形的中位线定理结合证明）2、1/|AF|+1/|BF|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时，焦点弦的长度取得最小值2p。
4、如果焦点弦的两个端点是A、B，那么向量OA与向量OB的数量积是-0.75p^2
第五类是1/|AF|+1/|BF|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）。
第六类是当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时，焦点弦的长度取得最小值2p。
第七类是如果焦点弦的两个端点是A、B，那么向量OA与向量OB的数量积是-0.75p^2。
第八类是如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。
椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分应该总结并介绍该文的主题和背景。
以下是概述部分的一个可能内容：在数学几何学中，椭圆是一个引人注目的图形。
它有一些独特的性质，其中之一是焦点和弦的关系。
本文将重点研究椭圆焦点弦所分的两段焦半径倒数和的定值。
第一部分将提供一个概述和结构的介绍。
接下来，我们将进入正文部分，讨论椭圆的基本概念和性质。
然后，我们将逐步探究椭圆焦点弦的性质。
其中包括如何通过梯形法则计算焦点弦所分的焦半径倒数和，并证明这个和是一个定值。
结论部分将对前面的讨论进行总结，并强调椭圆焦点弦的重要性。
我们将强调此定值可以应用于实际问题中的几何、物理和工程等领域。
最后，我们将提供对进一步研究的建议，以进一步探索椭圆焦点弦的应用和相关性质。
通过这篇文章，我们希望读者能够加深对椭圆焦点弦性质的理解，并认识到它在数学和实际应用中的重要性。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章的结构主要包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开头部分，主要是对整篇文章的概述和背景进行介绍。
在概述部分，可以简单说明文章所要探讨的问题和目标。
例如，本文主要讨论椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值。
在文章结构部分，可以简要介绍文章的组织结构和各个部分的内容安排。
正文部分是文章的核心部分，展开论述和分析问题。
在本文的正文部分，第一个要点可以是对椭圆的基本性质和定义进行介绍，包括椭圆的焦点、焦半径和弦的相关概念。
然后，可以详细论述椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值的推导和证明过程。
第二个要点可以是对该定值的应用和意义进行讨论，例如在几何问题中的应用或者其他领域中的实际应用。
结论部分是文章的结尾部分，对整篇文章的内容进行总结和归纳。
在本文的结论部分，可以简要概括椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值，并强调其重要性和实际应用价值。
同时，也可以提出一些可能的研究方向和问题，以期引起读者的思考和进一步研究。
设焦点弦端点为A，B，A，B横坐标分别为x1，x2，A，B到与焦点对应的准线的距离分别为d1，d2，焦点弦过焦点F，则离心率e=AF/d1=BF/d2=(AF+BF)/(d1+d2)=AB/(d1+d2)=AB/[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]若F为右焦点，则d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=(a^2)/c-x1+(a^2)/c-x2=2(a^2)/c-(x1+x2)焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[2(a^2)/c-(x1+x2)]=2(c/a)(a^2)/c-e(x1+x2)=2a-e(x1+x2)若F为左焦点，则d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=x1-(a^2)/c+x2-(a^2)/c=(x1+x2)-2(a^2)/c焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[(x1+x2)-2(a^2)/c]=e(x1+x2)-2(c/a)(a^2)/c=e(x1+x2)-2a扩展资料：平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。
其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。
由锥体与平面相交的平面曲线。
椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。
圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。
如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。
即标准方程的统一形式。
椭圆的面积是πab。
椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是：xx0/a²+yy0/b²=1。
椭圆焦点弦的最小值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在文章的概述部分，需要对所研究的问题进行简要介绍。
针对椭圆焦点弦的最小值这一问题，概述应包括以下内容：椭圆是一种经典的几何形状，在数学和物理学中具有广泛的应用。
本文将重点研究椭圆的焦点弦的最小值问题，即在给定椭圆的情况下，如何确定一条弦使得该弦的长度达到最小值。
为了解决这个问题，我们将首先介绍椭圆的定义与性质。
椭圆的特点在于其形状呈现出长轴和短轴的差异，这使得焦点与焦距的概念对椭圆的研究至关重要。
因此，我们将在接下来的部分详细探讨焦点与焦距的关系。
接着，我们将引入对弦的定义与性质的讨论，明确弦在椭圆中的几何特征。
根据对弦的理解，我们将探索如何找到椭圆焦点弦的最小值的求解方法。
通过分析弦的长度与各个参数的关系，我们可以确定最小弦的具体条件和求解过程。
最后，在结论部分，我们将总结本文的主要研究内容，并给出一些重要的结论。
这些结论将进一步丰富对椭圆焦点弦最小值问题的理解，并为相关领域的研究提供有益的参考。
通过对椭圆焦点弦最小值问题的深入探讨，本文旨在为读者提供了解椭圆几何性质和求解相关问题的基础知识。
同时，本文也为椭圆焦点弦最小值问题的研究提供了新的思路和方法，为相关领域的研究者提供了有价值的参考。
1.2 文章结构在本文中，我们将通过以下几个部分来讨论椭圆焦点弦的最小值问题。
首先，我们会在引言部分中给出本文的概述，简要介绍椭圆焦点弦的最小值问题以及我们的研究目的。
接下来，在正文部分的第2.1节，我们会详细介绍椭圆的定义与性质。
我们将探讨椭圆的几何特征，如长轴、短轴、焦点等，并介绍椭圆的数学表示形式。
在第2.2节，我们将讨论焦点与焦距的关系。
我们将介绍焦点和焦距的概念，并探讨它们之间的重要性和联系。
第2.3节将专注于弦的定义与性质。
我们将定义弦，并讨论弦的长度、位置以及与椭圆焦点的关系。
最后，在第2.4节，我们将详细介绍椭圆焦点弦的最小值求解方法。
椭圆焦点弦公式推导
对于焦点△f1pf2，设∠f1pf2=θ，pf1=m，pf2=n；则m+n=2a，由余弦定理：（f1f2）^2=m^2+n^2-2mncosθ ，即4c^2=（m+n）^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn（1+cosθ），所以mn=2b^2/（1+cosθ）。
在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类
似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形；
在椭圆的顶焦点三角形中存有许多与椭圆焦点三角形二者相似的几何特征，蕴涵着椭
圆很多几何性质，在全国各地的中考演示试卷及低考试题中，都曾发生如在“顶上焦点三
角形”为载体的问题；本文对椭圆的顶焦点三角形的性质予以概括与剖析。
焦点弦公式推导过程1. 椭圆焦点弦公式推导。
- 设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)-b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。
- 设直线与椭圆交点为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。
- 将直线方程y = k(x - c)代入椭圆方程frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1，得到：- frac{x^2}{a^2}+frac{k^2(x - c)^2}{b^2} = 1。
- 展开并整理得(a^2k^2+b^2)x^2-2a^2ck^2x+a^2(c^2k^2-b^2) = 0。
- 根据韦达定理，x_1+x_2=frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2}，x_1x_2=frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。
- 弦长| AB|=√(1 + k^2)| x_1-x_2|。
- 先求(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2。
- 将x_1+x_2和x_1x_2的值代入可得：- (x_1-x_2)^2=(frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2})^2-4frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。
- 化简得(x_1-x_2)^2=frac{4a^2b^4(1 + k^2)}{(a^2k^2+b^2)^2}。
- 所以| AB|=√(1 + k^2)·frac{2ab^2}{a^2k^2+b^2}。
- 当直线斜率不存在时，直线方程为x = c，代入椭圆方程得y=±frac{b^2}{a}，此时弦长| AB|=frac{2b^2}{a}。
2. 双曲线焦点弦公式推导（以焦点在x轴为例）- 设双曲线方程为frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)+b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。
