人教版高中数学选修44坐标系与参数方程全套教案

一平面直角坐标系-人教A版选修4-4 坐标系与参数方程教案1. 基本概念1.1 平面直角坐标系平面直角坐标系是指在平面上建立起一个直角坐标系，将二维平面上的任意点都能用其坐标表示出来。

平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。

坐标轴的交点称为坐标原点O，x轴和y轴的正方向分别取向右和向上。

1.2 参数方程参数方程是指用含有参数的方程表示函数的方法。

其中，参数是自变量，函数的值是关于参数的函数。

通常用一组参数，如t、θ等来表示函数。

2. 教学目标本节课教学目标为：•掌握平面直角坐标系的建立方法，能将二维平面上的任意点用其坐标表示出来。

•掌握用参数方程描述平面曲线的方法，能解决相关应用问题。

3. 教学重点•平面直角坐标系的建立方法。

•参数方程的概念，应用与推导方法。

4. 教学难点•参数方程描述平面曲线的方法。

•参数方程在几何应用中的解题方法。

5. 教学内容及过程5.1 知识讲解5.1.1 平面直角坐标系要求学生掌握平面直角坐标系的建立方法，说出x轴和y轴的正方向，确定坐标原点，并会将二维平面上的任意点用其坐标表示出来。

5.1.2 参数方程要求学生掌握参数方程的概念，了解参数方程与常规方程的区别，掌握参数方程描述平面曲线的方法，并能解决相关应用问题。

5.2 课堂互动5.2.1 平面直角坐标系练习让学生在纸上绘制出平面直角坐标系并标注好坐标轴、坐标原点以及x轴和y 轴的正方向。

然后，教师可以随机给出几个点的坐标进行练习，并让学生互相交换练习答案。

5.2.2 参数方程的练习让学生练习参数方程的应用，例如让学生求出直线 y = 2x - 1 的参数方程，并根据所求出的参数方程进行绘制。

另外，也可以出一些实际应用中相关的问题，例如让学生通过参数方程求出某行星的轨道方程等。

5.3 课堂小结教师对本节课所讲内容进行总结，强调重点、难点内容，并进行提问、讨论。

同时，对本节课的拓展内容进行展示，并引导学生进行初步了解。

教学设计一、教学背景分析1. 教材分析本节课内容选自人教B版4-4第一章坐标系和第二章参数方程。

习题来源于新课标高考改编而成的题和2021年新课标二卷的高考原题，设置了层层递进的三个考点，体现高考从定到动，从特殊到一般的特点，进而引导学生数学学习只要回归本质（即极坐标的几何意义），题目百变不离其宗。

2.学情分析学生在学习了数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识的基础之上，积累了一定的类比、归纳推理等数形思维方法，对极坐标有了一定的了解。

3.教学目标:（一）知识目标（1）理解在极坐标系和平面直角坐标系中点的位置区别，能进行极坐标与直角坐标的互化；（2）掌握几种常见曲线的极坐标方程，以及极坐标系下的ρ的几何意义，会用ρ的几何意义解决有关距离问题。

（二）情感目标:在探究和发现的学习过程中，让学生感受到：所以的数学知识的产生和发展，都是自然的，合理的，发现数学学习的价值所在。

4.教学重点与难点重点：掌握极坐标系下的ρ的几何意义，会用ρ的几何意义解决有关距离问题。

难点:选择适当的坐标系解决距离问题5.课型：复习课教学工具：采用多媒体进行辅助教学，利用黑板进行适当的板书示范教学方法：讲授教学法，问题探究法二、教学过程（一）知识回顾1.设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎪⎩⎪⎨⎧==byy ax x ''的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念：一个点，一条射线，一个距离，一个角度。

注意：一般地≥ρ0；当极角[)2,0πθ∈时，平面上的点（除去极点）就与极坐标建立一一对应的关系；否则不是一一对应的关系。

3.极坐标和直角坐标的转化：直角坐标系的原点0为极点x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取得相同的单位长度单位，平面内任意一点（x,y ）和（θρ,）则由三角函数的定义可以得到ρθρθρ=+==22,sin ,cos y x y x注意：把直角坐标化为极坐标时求极角时应判断点所在的象限，以便正确求出角θ，在转化过程中注意不要漏解。

第二课时 点的极坐标与直角坐标的互化一、教学目标一知识与技能目标掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式，了解互化公式的三个前提及其使用方法．二过程与方法目标能熟练进行点的极坐标与直角坐标的互相转化，初步掌握何时用直角坐标系、何时用极坐标系解决问题．三情感态度与价值观目标极坐标系作为解析几何的一种独持工具有其独到的功能，从中可进行同一问题，可以用不同工具和不同方法去研究，其解决问题的效率和效果也会有不同的思想方法教育．二、教学重难点1．重点：点的极坐标与直角坐标的互化公式及其使用方法；2．难点：直角坐标化为极坐标时极角的取值范围。

三、教学过程一知识回顾、引入新课知识回顾:1什么是极坐标系（如图所示）及其四要素①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位（弧度）及它的正方向（逆时针方向）。

2点的极坐标表示方法及点与其极坐标除极点外一一对应 的限制条件),(θρM ,πθρ20,0<≤>限制条件引入新课:思考：平面内一点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么这 两种坐标之间有什么关系呢？（二）新课讲授1、探讨极坐标与直角坐标的关系互化的前提：①极点与直角坐标系的原点重合;②极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合；③两种坐标系的单位长度相同。

思考1：平面内的一个点的直角坐标是A （1，1），则该点极坐标为______思考2：平面内的一个点的极坐标是)2,2(πB ，则该点直角坐标为______2 极坐标与直角坐标的互化如图1，设点M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，若把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设点M 的极角为θ，极径为ρ，则点M 的极坐标为),(θρ，图1问题一：点M 的两种坐标之间有什么关系？答：从图1可知θρθρsin ,cos ==y x ，①说明：已知平面内任意一点M 的极坐标),(θρ可化成直角坐标),(y x问题二：如何将点M 的直角坐标),(y x 化成极坐标呢？答：由①可知：22(0),tan (0)yx y x x ρρθ=+>=≠②②说明：已知平面内任意一点M 的直角坐标),(y x 可化成极坐标),(θρ综上可知: 1互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合;②极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合；③两种坐标系的单位长度相同。

课题：直角坐标系课型：新授课教者：孙明远课题二教学目标1知识目标：了解直线上点的坐标的意义，理解平面直角坐标系的建立，理解空间直角坐标系的建立；2能力目标：能用类比的方法由平面直角坐标系来学习空间直角坐标系及其有关性质和公式；3情感目标：掌握利用直角坐标系研究数学问题的基础方法。

教学重点：想到建立直角坐标系，并应用直角坐标系研究数学问题。

教学难点：与其他章节的综合应用。

教学行为流程：（不同时间段和学习内容怎样教、学的方式）时间环节教学内容师生互动设计意图2分钟引入65数轴上的基本公式；106空间直角坐标系；1直角坐标系教师通过预习案，对高中教材中涉及直角坐标系的部分，让学生课前进行学习，教师通过作业批改，以学定教。

由于在必修二中，学生有一定的学习基础，所以教师将本课部分新授内容交给学生自学。

教师以数学家故事引入，激发学生学习兴趣，初步渗透本课的数学方法。

8分钟探究一：直线上的点的坐标1解不等式：73x-<2解不等式：21x->学生先自主探究，教师巡视，收集问题，适度个别学生指小结规律绝对值的几何意义：a和a b-表示学习直线上的导。

点的坐标的常见用法。

10分钟探究二：平面直角坐标系－2，0，B1，0，如果动点ABC∆090C∠=3CA CB==M2BM AM=CM CA⋅=,河宽BC=3M,另一侧有点A,AB=4m,则点A与塔顶D的距离AD等于________．老师组织小组讨论，展示，老师提问点评并强调组内互对答案，小组讨论解决困惑并展示，强化记忆新方法。

组长负责组织协调合作，提醒记录等；纪律组长负责调控声音、纪律、时间讨论结束立即坐下，整理学案，进行理解记小结规律：用坐标法研究空间数量忆，准备展示、点评5分钟课堂小结10分钟巩固练习长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系1写出点D、N、M的坐标；2求线段MD、MN的长度．教师组织本课小结：即知识小结，小组评价重点突破一、预判的学生问题：1.学生没有建立直角坐标系的意识和方法。

（3.5学案）第1讲 极坐标系与参数方程(大题)教学目标1.会将参数方程，极坐标方程化为普通方程2.理解极坐标方程中ρ，θ含义，参数方程中直线中的t 的含义，圆与椭圆中θ几何意义，及应用教学重点：ρ，θ应用及直线参数方程中t 应用椭圆中θ应用 教学难点：椭圆中θ的含义题型一：极坐标.参数方程与普通方程互化 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.2．在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．（1）．直线的参数方程过定点M(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t为参数)．（2）．圆的参数方程圆心为点M(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数)．（3）．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．（4）．(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍．例1、（1）方程表示的曲线是（ ）A. 双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.（2）、设P 是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几何问题.若设，则方程表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式问题.解析：令，对于既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得，由，解得：，所以的最大值为，最小值为.点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数有困难，也常采用消元，但由满足的方程来表示出或时会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即，因此可通过转化为的一元函数.以上二个思路都叫“参数法”.（3）、极坐标方程表示的曲线是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.（4）、极坐标方程转化成直角坐标方程为（）A． B． C． D．分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：，因此选C.点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解.通关练习一1. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（）A. B. C. D.2．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．3．下列在曲线上的点是（）A． B． C． D．4．将参数方程化为普通方程为（）A． B． C．D．5．参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线6．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（） A． B． C． D．7．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆8．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A． B． C． D．9. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为10 若A，B，则|AB|=__________，___________（其中O是极点）11. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB 的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.一、选择题：1.A 解析：能表示点M的坐标有3个，分别是B、C、D.2．D 解析：3．B 解析：转化为普通方程：，当时，4．C 解析：转化为普通方程：，但是5、D 解析：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线6．D 解析：，得，因此中点为7．C 解析：，则或8、C 解析：距离为9、解析：如下图，设圆上任一点为P（），则10、解析：在极坐标系中画出点A、B，易得，11. 解析：，，，，题型二极坐标，参数方程综合应用例2 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ)(ρ>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 (1)因为M(ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2. 设Q(ρ，θ)为l 上除P 的任意一点，连接OQ ，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.射线OP ：θ＝π6(ρ≥0)与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解 由题意知ρA ＝4sinπ6＝2， ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝3.例 3 (2019·六安质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，过点P(－2,0)作斜率为k 的直线l 与圆C交于A ，B 两点．(1)若圆心C 到直线l 的距离为455，求k 的值；(2)求线段AB 中点E 的轨迹方程．解 (1)由题意知，圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即圆C 的圆心为C(2,0)，半径r ＝2.依题意可得过点P(－2,0)的直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 设圆心C(2,0)到直线l 的距离为d ， 则d ＝|2k ＋2k|1＋k 2＝|4k|1＋k2＝455， 解得k ＝±12.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋tcos θ，y ＝tsin θ(t 为参数)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，代入圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，得t 2－8tcos θ＋12＝0. 设A ，B ，E 对应的参数分别为t A ，t B ，t E ， 则t E ＝t A ＋t B2， 所以t A ＋t B ＝8cos θ，t E ＝4cos θ. 又点E 的坐标满足⎩⎨⎧x ＝－2＋t E cos θ，y ＝t E sin θ，所以点E 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋4cos 2θ，y ＝4sin θcos θ，即⎩⎨⎧x ＝2cos 2θ，y ＝2sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，化为普通方程为x 2＋y 2＝4(1<x ≤2)．例4在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．(1)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，已知点M(1,1)，求|MA|·|MB|的值． 解 (1)设曲线C 上任意一点N(2cos α，3sin α)， 直线l ：x －2y ＋1＝0，则点N 到直线l 的距离d ＝|2cos α－23sin α＋1|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋15≤5，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 5. (2)设直线l 的倾斜角为θ， 则由(1)知tan θ＝12，∴cos θ＝255，sin θ＝55. ∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋255t ，y ＝1＋55t (t 为参数)，曲线C ：x 24＋y 23＝1，联立方程组，消元得165t 2＋45t －5＝0， 设方程两根为t 1，t 2，则t 1t 2＝－2516， 由t 的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t 1t 2＝2516. 通关练习二1．(2019·东莞调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．解(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，∴在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x －y －34＋a ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的普通方程中， 得到直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0.∵圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0.(2)在极坐标系中，由已知可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ3，π3，联立⎩⎨⎧θ＝π3，ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，得ρ2－(3＋33)ρ＋14＝0， ∴ρ2＋ρ3＝3＋3 3. ∵点M 恰好为AB 的中点， ∴ρ1＝3＋332，即M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋332，π3. 把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，π3代入ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0，得3()1＋32×1－32－34＋a ＝0，解得a ＝94.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(m,2)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|＝2|PB|，求实数m 的值． 解 (1)C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，消参得普通方程为x ＋y －m －2＝0.C 2的极坐标方程化为ρ(2cos 2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos 2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y 2＝4x. 即C 2的直角坐标方程为y 2＝4x.(2)将曲线C 1的参数方程标准化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －22t ，y ＝2＋22t (t 为参数，m ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ， 得12t 2＋42t ＋4－4m ＝0， 由Δ＝(42)2－4×12×(4－4m)>0，得m>－3，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，当t 1＝2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m，解得m ＝－239，满足m>－3； 当t 1＝－2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m解得m ＝33，满足m>－3. 综上，m ＝－239或33. 3．(2019·衡水中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知直线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R )，A 是C 3与C 1的交点，B 是C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，|AB|＝42，求α的值． 解 (1)由⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ，得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，又y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)知曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以其极坐标方程为ρ＝4cos θ.设点A ，B 的极坐标分别为(ρA ，α)，(ρB ，α)， 则ρA ＝4cos α，ρB ＝4sin α，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝4|cos α－sin α| ＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝42，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1，即α－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得α＝k π＋3π4(k ∈Z )，又0<α<π，所以α＝3π4. 4．(2019·保山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，直线l 与⊙O 交于A ，B 两个不同的点．(1)求倾斜角α的取值范围；(2)求线段AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)直线l 的倾斜角为α，当α＝π2时，直线l(即y 轴)与⊙O 交于A ，B 两个不同的点，符合题目要求；当α≠π2时，记k ＝tan α，直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α 化为普通方程为kx －y －2＝0，圆心O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.因为直线l 与⊙O 交于不同的两点， 所以21＋k2<2， 解得k>1或k<－1.当k<－1时，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4；当k>1时，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，综上，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2， 因直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝2中得，t 2－4tsin α＋2＝0， 故可设A(t 1cos α，－2＋t 1sin α)，B(t 2cos α，－2＋t 2sin α)，注意到t 1 ，t 2为方程的根，故t 1＋t 2＝4sin α， 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 22cos α，－2＋t 1＋t 22sin α， 即(sin 2α，－1－cos 2α)， 所以点P 的轨迹的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝sin 2α，y ＝－1－cos 2α(α为参数)．。

课题：参数方程的概念贵州省龙里中学李以雄教学目标知识与技能：通过分析齿轮转动角速度间的关系，了解一般曲线的参数方程，体会参数的意义。

过程与方法：选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：根据问题抽象出参数方程的概念，体会参数的意义。

教学难点：对参数方程及参数的作用的理解。

，探究归纳教学过程一．情景设置：思考1：若齿轮A、B、C的半径相等，他们转动时的角速度分别是、、t，方向忽略不计1 第一组图中，A与B角速度之间的关系是_______________；2 第二组图中，A与C角速度之间的关系是________________；B与C角速度之间的关系是________________；思考2：若齿轮A、B、C的半径分别为4、1、2，他们转动时的角速度分别是、、t，方向忽略不计1 第一组图中，它们角速度之间的关系是____________；2 第二组图中，它们角速度之间的关系是____________思考3：如图，设圆的圆心在坐标原点，半径为1，求出该圆的标准方程；试一试：能不能找出一个变量，“连接”圆上点的横坐标和纵坐标,进而得出圆的方程的不同表现形式二．新课探究：探究活动：填写下列两个表格，思考方程①和方程②的区别与联系思考4：方程，，有什么共同的特征？参数方程的概念：一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M,都在这条曲线上，那么方程③就叫做这条曲线的参数方程，联系变数,的变数t叫做参变数，简称参数。

思考5:下列方程哪些是参数方程吗？⎩⎨⎧==tytx⎪⎩⎪⎨⎧==tytx221cossinxyθθ=⎧⎨=⎩xy4=⎪⎩⎪⎨⎧==tytx221三应用举例：例1、 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x t 为参数（1）判断点1M 0,1, 2M 5,4与曲线C的位置关系；（2）已知点3M 6,a 在曲线C 上，求a 的值。

人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案课型：复习课课时数：讲学时间： 20101月18号班级：学号： 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。

通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。

4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。

二、【回归教材】：1、阅读《》,试了解1）设点是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式的作用下，如何找到点P的对应点？试找出变换为的伸缩变换公式 .（2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M的极径与极角来表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式 .（3）在平面直角坐标系中，曲线C可以用方程来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来表示这段曲线呢？例如圆，直线，你是如何用极坐标方程表示它们的？2、阅读选修4-4《》2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中，必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。

三、【达标练习与作业】：1、在同一平面直角坐标系中，曲线经过一个伸缩变换后变为，则这个伸缩变换为 .2、已知点的极坐标为，则它的直角坐标为；而如果点的直角坐标为，则它的极坐标为 .3、化极坐标方程为直角坐标方程是；则极坐标方程表示的曲线是；而圆心为，半径为3的圆所表示的极坐标方程为 .4、直线（t为参数）的倾斜角的大小是 .5、极坐标方程为，它所表示的圆的半径为 .6、（t为参数）上到点的距离为的点坐标为 .7、已知为参数，求点到方程表示的曲线的距离的最小值 .8、已知直线（t为参数），求被双曲线截得的弦长 .四、【课后反思】：书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

第一章 坐标系第一课时 平面直角坐标系 一、理解新知 1．平面直角坐标系 （1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 、曲线与 建立联系，从而实现 的结合． （2）坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 元素，将几何问题转化为 问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成 结论． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换 （1）平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为 伸缩变换，这就是用 研究 变换． （2）平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)y ′＝μy (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二、考点例题考点一 求轨迹方程[例1] (2012·湖北高考改编)设A 是单位圆122=+y x 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． 方法规律小结求轨迹的常用方法(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．(3)代入法：如果动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (11,y x )，而Q (11,y x )又在某已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，11,y x 的方程组，利用x 、y 表示11,y x ，把11,y x 代入已知曲线方程即为所求． (4)参数法：动点P (x ，y )的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程． 变式训练1．二次方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为sin θ，cos θ，求点P (a ，b )的轨迹方程(其中|θ|≤π4)．2．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，求A 点的轨迹方程．考点二 用坐标法解决几何问题[例2] 已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 分别为两腰上的高．求证：BD ＝CE . 方法规律小结建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点，②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴， ③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上． 变式训练1．求证等腰梯形对角线相等．已知：等腰梯形ABCD .求证：AC ＝BD . 2．已知△ABC 中，BD ＝CD ， 求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)． 考点三 直角坐标系中的伸缩变换[例3] 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.方法规律小结 坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞0y ′＝μy μ＞0注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ. 变式训练1．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 24＋y 29＝1变成曲线x ′216＋y ′29＝1.2．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后的图形所对应的方程．第二课时 极坐标系理解新知1．极坐标系的概念（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做 ，自极点O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个 ，一个角度单位(通常取弧度)及其 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． （2）极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示 ，用θ表示 ，ρ叫做点M 的 ，θ叫做点M 的 ，有序数对 就叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 2．极坐标和直角坐标的互化（1）互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．（2）互化公式，二、考点例题考点一 求点的极坐标[例1] 已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标．（1）点P 是点Q 关于极点O 的对称点； （2）点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．方法规律小结设点M 的极坐标是),(θρ，则M 点关于极点的对称点的极坐标是),(θρ-或),(πθρ+；M 点关于极轴的对称点的极坐标是),(θρ-；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是),(θπρ-或),(θρ--．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． 变式训练1．设点A (1，π3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：（1）点A 关于极轴的对称点； （2）点A 关于直线l 的对称点；（3）点A 关于极点的对称点．(限定ρ>0，－π＜θ≤π)．2．在极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π])．考点二 点的极坐标与直角坐标的互化[例2] （1）把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标；（2）把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)．方法规律小结（1）极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．（2）熟记互化公式，必要时可画图来分析． 变式训练1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为 ( ) A ．(2，π4) B ．(2，3π4) C ．(2，5π4) D ．(2，7π4)2．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． （1）已知点A 的极坐标(4，5π3)，求它的直角坐标； （2）已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)第三课时 圆的极坐标方程理解新知1．曲线的极坐标方程（1）在极坐标系中，如果曲线C 上 的极坐标中有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点 ，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的 ． （2）建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：①建立适当的极坐标系，设),(θρP 是曲线上任意一点． ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式． ③将列出的关系式整理、化简．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．2．圆的极坐标方程（1）圆心在C (a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程为 . （2）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为 . （3）圆心在点(a ，π2)处且过极点的圆的方程为二、考点例题考点一 圆的极坐标方程[例1] 求圆心在),(00θρ，半径为r 的圆的方程． 方法规律小结几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r ，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2r cos θ，若ρ0＝r ，θ0≠0，则方程为ρ＝2r cos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置． 变式训练1．在极坐标系中，以(a 2，π2)为圆心，a2为半径的圆的方程是________．2．求圆心在A (2，3π2)处并且过极点的圆的极坐标方程．考点二 极坐标方程与直角坐标的互化[例2] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：（1）y 2＝4x ；（2）x 2＋y 2－2x －1＝0；（3）ρ＝12－cos θ.方法规律小结在进行两种坐标方程间的互化时，要注意：（1）互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．（3）由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．（4）由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形． 变式训练1．把下列直角坐标方程化为极坐标方程．（1）y ＝3x ；（2）x 2－y 2＝1.2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． （1）ρ2cos 2θ＝1；（2）ρ＝2cos(θ－π4)．第四课时 直线的极坐标方程理解新知1．直线的极坐标方程（1）若直线经过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为 ． （2）当直线l 过极点，即ρ0＝0时，l 的方程为 .（3）当直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴时，l 的方程为 . （4）当直线l 过点M (b ，π2)且平行于极轴时，l 的方程为 .2．图形的对称性（1）若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于 对称．（2）若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线 所在直线对称． （3）若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于 对称．二、考点例题考点一 求直线的极坐标方程[例1] 求从极点出发，倾斜角是π4的射线的极坐标方程．方法规律小结求直线的极坐标方程，首先应明确过点),(00θρM ，且极轴到此直线的角为α的直线极坐标方程的求法．另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程． 变式训练1．求过A (2，π4)且垂直于极轴的直线的方程．2．设点A 的极坐标为(2，π6)，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，求直线l 的极坐标方程．考点二 直线的极坐标方程的应用[例2] 在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin(θ－π6)＝1，求点P (2，－π6)到直线l 的距离．方法规律小结对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．变式训练1．在极坐标系),(θρ(0≤θ<2π)中，曲线θρsin 2=与1cos -=θρ的交点的极坐标为________ 2．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，则点A (2，7π4)到这条直线的距离是________第五课时 柱坐标系理解新知柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系O xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用),(θρ(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组 (z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组),,(z θρ之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组),,(z θρ叫做点P 的柱坐标，记作 ，其中 (2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标),,(z θρ之间的变换公式为二、考点例题考点一 将直角坐标化为柱坐标[例1] 设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．方法规律小结知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出θtan 后，还要根据点M 所在象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))． 变式训练1．点A 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标 2．点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标．考点二 把点的柱坐标化为直角坐标[例2] 已知点P 的柱坐标为(4，π3，8)求它的直角坐标．方法规律小结知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 即可．变式训练1．点N 的柱坐标为(2，2π，3)，求它的直角坐标． 2．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为(2，π2，1)，求A 、B 两点间距离．第六课时 球坐标系理解新知球坐标系（1）定义：建立空间直角坐标系O xyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为ϕ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角θ，这样点P 的位置就可以用有序数组 表示．这样，空间的点与有序数组),,(θϕr 之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组),,(θϕr 叫做点P 的球坐标，记作 ，其中（2）空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标),,(θϕr 之间的变换关系为 二、考点例题考点一 将点的球坐标系化为直角坐标[例1] 已知点P 的球坐标为(4，3π4，π4)求它的直角坐标．方法规律小结已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ. 变式训练1．求下列各点的直角坐标：（1）M (2，π6，π3)；（2）N (2，3π4，7π6)．2．将M 的球坐标),,(πππ化成直角坐标．考点二 将点的直角坐标化为球坐标[例2] 设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标． 方法规律小结由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，求出r 、θ、φ代入点的球坐标即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr .特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．变式训练1．求下列各点的球坐标：（1）M (1，3，2)；（2）N (－1,1，－2)．第二章 参数方程第一课时 参数方程的概念理解新知1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变数t (θ，φ，…)的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝fty ＝gt ①，并且对于每一个t 的允许值，方程组①所确定的点(x ，y ) ，那么方程组①就叫这条曲线的 ，t 叫做 ，相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫 ．2．参数的意义是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有 意义或 意义的变数，也可以是 的变数．二、考点例题考点一 求曲线的参数方程[例1] 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、 y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．方法规律小结求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略． 变式训练1．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．2．选取适当的参数，把直线方程y ＝2x ＋3化为参数方程．考点二 参数方程表示曲线上的点（1）判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系．（2）已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．方法规律小结参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的． 变式训练1．曲线4)1(22=+-y x 上的点可以表示为( ) A ．(－1＋cos θ，sin θ) B ．(1＋sin θ，cos θ) C ．(－1＋2cos θ，2sin θ) D ．(1＋2cos θ，2sin θ)2．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R)．点M (5,4)在该曲线上，求常数a .第二课时 圆的参数方程理解新知圆的参数方程（1）在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝ ，sin ωt ＝ ，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为 (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：（2）若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为 (θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 时针旋转到 的位置时，OM 0转过的角度．（3）若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为二、考点例题考点一 求圆的的参数方程[例1] 圆)0()(222>=+-r r y r x ，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．方法规律小结（1）确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.（2）由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程． 变式训练1．已知圆的方程为x y x 222=+，写出它的参数方程．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点二 圆的参数方程的应用[例2] 若x ，y 满足4)2()1(22=++-y x ，求2x ＋y 的最值．方法规律小结圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题． 变式训练1．求原点到曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝－2＋2cos θ(θ为参数)的最短距离．2．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．第三课时 参数方程与普通方程的互化一、理解新知1．参数方程转化为普通方程曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过_________而从参数方程得到普通方程．2．普通方程转化为参数方程如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(t g y =，那么⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 就是曲线的参数方程。

直线的参数方程共2学时一、概述本节课是高中二年级人教B版数学选修4-4中第二章的内容，直线的参数方程是本章的重点。

也是高中数学中重要内容，是学生对解析几何学习的继续，学好直线的参数方程对提高学生的数学解题能力有着积极地意义。

二、教学目标分析（一）知识与技能（1）理解并掌握直线的参数方程（2）理解直线参数方程中的参数的意义（二）过程与方法结合直线的方向向量和直线的点斜式方程，借助共线向量定理，探索直线方程的建立过程，并通过对参数几何意义的研究，进一步研究直线及直线与曲线相交弦等问题。

（三）情感态度与价值观通过学习让学生体会直线的参数方程的在解题时的便利，增强学生的转化与化归的数学思维意识。

三、学习者特征分析高二三班数学基础较好，对必修二的直线方程的形式和必修四的向量运算掌握较好，同学们学习数学的热情很高，因此在教学过程中多让学生去讨论探究，精讲多练。

四、教学重点、难点重点：恰当的选择参数建立直线的参数方程难点：参数的几何意义及直线参数方程的应用五、教学过程（一）、复习回顾1直线方程的点斜式：设计意图：为用代数方法推到直线的参数方程做铺垫。

2共线向量定理：设计意图：为用向量方法推到直线的参数方程做铺垫。

（二）、新课导入如何确定直线的参数方程？设计意图：通过小组探究激发学生的学习积极性。

直线的方向向量：向量所在直线与已知直线平行或者重合的向量。

设计意图：为掌握参数t 的几何意义做铺垫。

（三）、直线的参数方程：{00cos sin ()x x t y y t a t α=+=+为参数思考：1、如何从向量的角度推导直线的参数方程呢？2、你能从代数的角度推到直线方程吗？3、直线参数的几何意义是什么？设计意图：通过小组探究，熟练的掌握直线的参数方程的推到过程，并了解参数t 的几何含义。

四、例题选讲：2231.(2,1),4,4.l M l x y A B AB AM BM π-+=•已知直线过定点且倾斜角为，与圆交于两点， 求及设计意图：通过例题讲解，让学生进一步加深和巩固对参数的几何意义的理解。

曲线的参数方程一、教学目标知识与技能：了解参数方程的概念，了解参数的意义会将直角坐标方程化成参数方程的形式过程与方法：从物理学的平抛运动知识出发，运用向量工具，得到物体平抛运动的参数方程；通过对现实原型的分析、概括与抽象，建立曲线的参数方程概念。

再用数学方法对曲线的参数方程进行研究，最后应用到解析几何中去解决问题情感、态度与价值观：使学生对参数的方程有一个初步认识，感受生活中处处有数学，数学维过程；掌握未知转化为已知的数学方法；理解特殊与一般的辩证关系二、新设计1．为了便于学生接受新知识，调动学生学习兴趣。

本节课引入时，我借助物理知识中，学生较为理解的小球的平抛运动的几张图片说明小球不同时刻的运动情况，水平方向和竖直方向运动方式不同，分别计算它们的位移，得到物体的平抛运动的参数方程，引出本节新知2为了学生易于理解曲线的参数方程的概念。

在讲解本节例题时，利用圆的参数方程的几何画板课件，帮助同学理解曲线的参数方程的概念3为了便于学生更好的学习本节知识，利用微课对必修二中直线的相关知识进行了快速复习三、学情分析同学们在数学2中学习了解析几何的基本知识，在选修课中学习了圆锥曲线的性质及表示该曲线的直角坐标方程，对解析几何有了一定的认知，本节曲线的参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，它是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式本班学生虽然基础不是很好,但是借助直观图片、课件和微课回顾相关知识，对本节学习应该收获颇丰四、教学重、难点教学重点：曲线的参数方程概念的理解和参数方程与普通方程的互化教学难点：曲线的参数方程概念的理解，已学解析几何知识的熟练应用突破手段：借助于圆的参数方程的几何画板课件，理解参数方程的概念及一般参数方程中参数的物理、数学意义。

利用微课对已学解析几何本节能用到的知识进行快速复习五、教学活动1问题引入借助物理知识中，学生较为理解的小球的平抛运动的两张图片说明小球不同时刻的运动情况，水平方向和竖直方向运动方式不同，分别计算它们的位移，得到物体的平抛运动的参数方程观察图片引出问题 得到结论2探求新知参数方程：设在平面上取定了一个直角坐标系xoy ，把坐标,x y 表示为第三个变量t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩a tb ≤≤,如果对于t 的每一个值（a t b ≤≤），上式所确定的点(,)M x y 都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点(,)M x y ，都可由t 的某个值得到，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数提出问题：（1）概念中的关键词有哪些？（2）分别说明了什么？教师指出参数方程的意义: 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述了曲线，的横坐标和纵坐标3应用范例例1设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速运动，角速度为/60rad s π试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程设计意图:通过分析，学生容易得到参数方程；反之，通过教师利用几何画板课件，学生理解参数方程的概念同时，理解参数的物理,数学意义例2 选取适当参数，把直线方程23y x =+化为参数方程设计意图:通过分析，学生容易通过普通方程得到参数方程； 理解如何引入适当的参数得到参数方程 例3 设曲线的参数方程为32,14x t y t =-⎧⎨=--⎩把它化为普通方程，说明它表示什么曲线 设计意图:让学生体会参数方程化普通方程的方法。

极坐标系——教学设计一教学背景分析一本课时教学内容的功能和地位:极坐标系是高中新教材人教B版选修4-4第一章第二节的内容, 是在学生已经学习过平面直角坐标系的背景下，通过生活实例、类比直角坐标系的研究方法让学生针对建立极坐标系的合理性，便捷性进行探究，自主完成极坐标系的建立，并表示点的极坐标。

为后面学习直角坐标与极坐标的互化，简单曲线的极坐标方程以及参数方程奠定基础。

二学生情况分析:授课班级为平行班。

通过前面对平面直角坐标系的学习，学生已经对坐标系有了一定的了解;极坐标的思想已经普遍地存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该容易接受。

三教学资源分析:多媒体演示PPT文件二指导思想和理论依据1 必须把培养学生的创新精神和实践能力作为出发点和归宿。

2 必须强化应用意识，把学科教学置身于家庭生活、社会生活、科技生活的广阔背景之中。

3 必须强化情感体验，鼓励学生亲身参与实践的积极体验和丰富经验。

4 课堂教学应该努力实现培养目标与学科教学目标的统一。

5 人文素养的培养与情感体验的统一。

6 知识技能的传授与综合素质培养的统一。

7 传统的媒体教学与现代技术整合的统一。

8 研究性问题设计与学生民主参与的统一。

9 个体自主学习与小组合作学习的统一。

三教学目标1知识与技能目标:利用生活实例，体会极坐标的思想，用此思想自主建立极坐标系，并求点的极坐标;理解点的极坐标的不惟一性。

2过程与方法目标:通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法。

通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

情感态度价值观目标:用生活实例，类比直角坐标系，使学生明白建立极坐标系的好处，感觉数学源于生活用于生活。

采取探究的形式，合作交流的形式激发学生的学习兴趣。

3教学重点、难点教学重点:运用我们的生活常识，体会极坐标的思想，并用此思想建立极坐标系，表示点的极坐标。

教学难点:对点的极坐标的不惟一性极角的不惟一的理解四教学策略本节课涉及的知识点少且简单，就一个极坐标系的建立，但为了能更好的完成自主探究和节约时间，故本节课采取用多媒体课件进行辅助展示，师生共同合作交流来突出重点、突破难点。

2.3.2抛物线的参数方程一教学目标：1知识目标：会写抛物线的参数方程，并会用抛物线的参数方程求动点的轨迹方程。

2能力目标：体验用抛物线的参数方程解决问题的便利，培养分析与解决问题的能力。

3情感目标：培养热爱数学的态度，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心。

二教学重点、难点：重点：理解抛物线的参数方程；难点：利用抛物线的参数方程求动点的轨迹方程，三教学方法与教学手段：教学方法：采用“引导式教学”的教学方法，通过不同实例探究，让学生积极参与教学活动；教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，提高课堂效率。

四教学过程：（一）复习引入：1中点公式：若()11,y x A ,()22,y x B ,线段AB 的中点为()00,y x M ， 则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x2抛物线的标准方程：① ②px y 22= py x 22=3对于抛物线px y 22=，怎样建立相应的参数方程呢？（二）学习新知：1．抛物线的参数方程:抛物线px y 22=的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（t 为参数）2．抛物线的参数方程的应用:例：设M 为抛物线x y 22=上的动点，给定点()0,10-M ，点P 为线段M M 0 的中点，求点P 的轨迹方程（参数方程）。

解：抛物线x y 22=的参数方程为⎩⎨⎧==t y t x 222设动点()t t M 2,22，点()y x P , 则由中点公式得⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=2202212t y t x 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=ty t x 221为点P 的轨迹方程。

（三）课堂练习：练习1由抛物线x y 22=上各点作y 轴的垂线段，求线段中点的轨迹方程（参数方程）。

解：抛物线x y 22=的参数方程为⎩⎨⎧==t y t x 222设点()t t P 2,22为抛物线上的动点，点()y x M ,为垂线段PQ 的中点，点Q 为垂足 则点Q ()t 2,0 由中点公式得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2222202tt y t x即⎩⎨⎧==t y t x 22为中点M 的轨迹方程。

参数方程考点要求1 了解参数方程的定义。

2 分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。

会选择适当的参数，写出他们的参数方程。

并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。

3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。

考点与导学1参数方程的定义：在取定的坐标系中。

如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (t ∈T) （1） 这里T 是)(),(t g t f 的公共定义域。

并且对于t 的每一个允许值。

由方程（1）所确定的点),(y x M 。

都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t 叫做参数。

2过点),,(000y x p 倾斜角为α的直线l 的参数方程 （错误！未找到引用源。

）⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）（错误！未找到引用源。

）通常称（错误！未找到引用源。

）为直线l 的参数方程的标准形式。

其中t 表示),,(000y x p 到l 上一点),(y x p 的有向线段p p 0的数量。

t>0时，p 在0p 上方或右方；t<0时，p 在0p 下方或左方，t=0时，p 与0p 重合。

（错误！未找到引用源。

）直线的参数方程的一般形式是：⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）这里直线l 的倾斜角α的正切ba =αtan （00900==αα或时例外）。

当且仅当122=+b a 且b>0时. （1）中的t 才具有（错误！未找到引用源。

）中的t 所具有的几何意义。

2 圆的参数方程。

圆心在点),,(00'y x o 半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）3 椭圆12222=+by ax 的参数方程。

⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）4 双曲线12222=-by ax 的参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）5 抛物线px y22=的参数方程。

直线的参数方程一、教学目标：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程三、教学方法：启发、诱导发现教学四、教学过程（一）、复习引入：提问学生直线方程的几种形式：点斜式，截距式，两点式。

自学教材，形成新知。

1. 直线的参数方程的标准形式：2. 注意参数方程中哪些是变量，哪些是常量3. 参数方程形式上有什么特点？4. 参数t 的几何意义是什么？（二）、讲解新课：（1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） 【辨析直线的参数方程】：设M,为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点的位移，可以用有向线段PM 数量来表示。

带符号（2）注意哪些是变量，哪些是常量（3）方程形式上的特点（4）参数的几何意义（三）、直线的参数方程应用，强化理解。

1、例题：例1：设直线 1l 过点A2，-4,倾斜角为56π（1）求1l 的参数方程；（2）设直线2l ：10x y -+=， 21l l 与的交点为B,求点B 与点A 的距离。

【变式训练】 1．一条直线的参数方程是112()5x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数，另一条直线的方程是0x y --=，求两直线的交点与点（1，-5）间的距离:10l x y +-=2y x =,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积。

【变式训练】2已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。

学生练习，教师准对问题讲评。

选修4-4 坐标系与参数方程【课程目标】本专题的内容包括：坐标系、曲线的极坐标方程、平面坐标系中几种变换、参数方程。

通过本专题的教学，使学生简单了解柱坐标系、球坐标系，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式；通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，使学生体会数学在实际中的应用价值；培养学生探究数学问题的能力和应用意识。

【学习要求】1．坐标系了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化。

了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法（本节内容不作要求）。

2．曲线的极坐标方程了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程。

3．平面坐标系中几种常见变换（本节内容不作要求）了解在平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换。

4．参数方程了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。

会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

【教学建议】1．坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同。

同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式。

因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式。

在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处2．教学中应通过具体例子让学生体会极坐标的多值性，但是在表示点的极坐标时，如无特别要求，通常取ρ≥0 ，0≤θ＜2π。

极坐标方程与直角坐标方程的互化，主要是极坐标方程化为直角坐标方程；参数方程与普通方程的互化，主要是参数方程化为普通方程，并注意参数的取值范围。

3．求曲线的极坐标方程主要包括：特殊位置的直线（如过极点的直线）、圆（过极点或圆心在极点的圆）；求曲线的参数方程主要包括：直线、圆、椭圆和抛物运动轨迹的参数方程。