人教版高中数学选修4-4课件 参数方程的概念

a2－t2，
(0＜t＜a)．
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法二：设点 P 的坐标为(x，y)，过点 P 作 x 轴的垂线 交 x 轴于点 Q，如图所示．
取∠QBP＝θ， θ 为参数(0＜θ＜π2)， 则∠ABO＝π2－θ. 在 Rt△OAB 中， |OB|＝acos(π2－θ)＝asin θ.
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在 Rt△QBP 中，
|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.
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2．参数的意义
参数 是联系变数x，y的桥梁，可以是有 物理 意义或
几何 意义的变数，也可以是
的变数．
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[例1] 如图，△ABP是等腰直角三角形， ∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、 y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．
[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由 于A、B的滑动而引起点P的运动，故可以OB的长为参数， 或以角为参数，不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意 义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
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1．设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆作匀角速度运动，
角速度为6π0 rad/s，试以时间 t 为参数，建立质点运动轨 迹的参数方程．
解：如图，运动开始时质点位于点 A 处，此时 t＝0，设动点
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参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
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3．曲线(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为( )
A．(－1＋cos θ，sin θ)
B．(1＋sin θ，cos θ)
C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)
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[例 2] 已知曲线 C 的参数方程是xy＝＝23tt2＋1 (t 为参数)． (1)判断点 M1(0,1)，M2(5,4)与曲线 C 的位置关系． (2)已知点 M3(6，a)在曲线 C 上，求 a 的值． [思路点拨] 由参数方程的概念，只需判断对应于点的 参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲 线上．
M(x，y)对应时刻
t，由图可知：xy＝＝22scions
θ， θ，
又 θ＝6π0·t，
故参数方程为：x＝2cos6π0t，
y＝2sin6π0t.
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2．选取适当的参数，把直线方程y＝2x＋3化为参数方程． 解：选 t＝x，则 y＝2t＋3 由此得直线的参数方程为xy＝＝2t，t＋3， (t 为参数)． 也可选 t＝x＋1，则 y＝2t＋1. 参数方程为：xy＝＝2t－t＋11，. (t 为参数)
解析：将点的坐标代入方程，使方程成立的即可．
答案：D
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4．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参 数，a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a. 解：∵点 M(5,4)在曲线 C 上， ∴54＝ ＝1a＋ t2，2t，百度文库解得：ta＝＝21，. ∴a 的值为 1.
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1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标 x，y 都是 某个变数 t(θ，φ，…)的函数：xy＝＝gftt ①，并且对于每一 个 t 的允许值，方程组①所确定的点(x，y)都在这条曲线上， 那么方程组①就叫这条曲线的 参数方程 ，t 叫做参数，相对 于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫普通方程 ．
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[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过 P 点作 x 轴 的垂线交 x 轴于 Q.
如图所示，则
Rt△OAB≌Rt△QBP. 取 OB＝t，t 为参数(0＜t＜a)． ∵|OA|＝ a2－t2， ∴|BQ|＝ a2－t2. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝t＋ y＝t，
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[解] (1)把点 M1 的坐标(0,1)代入方程组， 得：01＝＝32tt， 2＋1.
解得：t＝0.∴点 M1 在曲线 C 上． 同理：可知点 M2 不在曲线 C 上． (2)∵点 M3(6，a)在曲线 C 上，∴6a＝＝32tt， 2＋1. 解得：t＝2，a＝9. ∴a＝9.
∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝asin θ＋cos θ， y＝asin θ.
(θ 为参数，0＜θ＜π2)．
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求曲线参数方程的主要步骤 第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任 意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的 位置，以利于发现变量之间的关系．
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第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点： 一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列 出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运 动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋 转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、 斜率、截距等也常常被选为参数．