选做题部分 极坐标系与参数方程
一、极坐标系
1．极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化
点M 直角坐标(x ，y )
极坐标(ρ，θ)
互化公式
题型一 极坐标与直角坐标的互化
1、已知点P 的极坐标为)4
,2(π
，则点P 的直角坐标为 （ ）
A.（1，1）
B.（1，-1）
C.（-1，1）
D.（-1，-1）
2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32,
)4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4
π-
3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1
5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π
4
(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
题型二 极坐标方程的应用
由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
1.在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的直角坐标方程．
2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4，π3，则
|CP|＝________.
3.在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是
C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，π4，圆的半径为1. (i)则圆C 的极坐标方程是________； (ii)直线l 被圆C 所截得的弦长等于________．
4.在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π6＝a 截得的弦长为23，则
实数a 的值是________．
二、参数方程
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求
出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩
⎨⎧
x ＝f t ，
y ＝g t 就是曲线的参数方程．
点的轨迹 普通方程 参数方程
直线
y －y 0＝tan α(x －x 0)
⎩⎨
⎧
x ＝x 0＋t cos α
y ＝y 0＋t sin α
(t 为参数)
圆 x 2
＋y 2
＝r 2
⎩
⎨
⎧ x ＝r cos θ
y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0) ⎩
⎨
⎧
x ＝a cos φ
y ＝b sin φ(φ为参数) 题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程：
(1)⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ； (2)
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝1＋12
t ，
y ＝5＋32t .
题型二 直线与圆的参数方程的应用
1、已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos θ＋2，
y ＝2sin θ
(参
数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．
2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a值．
3、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离最小值．
综合应用
1、曲线
25
()
12
x t
t
y t
=-+
⎧
⎨
=-
⎩
为参数与坐标轴的交点是（）
