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第8讲 环和域

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近世代数第四章 环与域题解讲解

近世代数第四章 环与域题解讲解

第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。

在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。

离散数学 群

离散数学 群
定理7.1.4 任何一个循环半群（或含幺循环半群）都是可 交换半群（或含幺可交换半群）。 定理7.1.5 设<S, *>是一个半群，H 是S中任一元素的幂所 构成的集合，则<H,*>是<S, *>的子半群，且是个循环子 半群。 (该定理的证明自己练习)
5 半群同态
定义7.1.5 设U=<X,ο >和V=<Y, *>是两个半群，ο和*都是 二元运算，函数f：X→Y，若对任意的x,y∈X，有：
定理 群的运算表中每一行或每一列都是G中元素的双变换。 G中每个元素在每一行必出现且仅出现一次。
例 P198习题-18 若群<G,*>中每个元素的逆是其自身， 证该群是阿贝尔群。
证 只需证运算*可交换。 对任意的a,b∈G, a*b=a-1*b-1=(b*a)-1=b*a 故<G,*>是阿贝尔群。
= x*(a*b) 故 a*b∈C; ② 可逆性：若a∈C, 证a-1∈C。明显e∈C，对任x∈G，
a-1*x = a-1*x*a* a-1 = a-1*(x*a)* a-1 = a-1*(a*x)* a-1 = (a-1*a)*x* a-1 = x* a-1
故 a-1∈C;因此C是G的子群。 （习题-25与之类似）
阿贝尔群 设<G，*>是一个群，若*是可交换的, 则称 群 <G，*>为可交换群或阿贝尔群。
例 <R，×>不是群；而 <R-{0}，×>是群。
例 7.2.1 <I，+>是阿贝尔群。
例 7.2.2 G={α，β，γ，δ}，验证<G，*>是群。
可验证运算*是可结合的， * α β γ
δ

8,第8讲城市公共安全与可持续发展.ppt

8,第8讲城市公共安全与可持续发展.ppt

第三，加强重大传染病防治，重点控制艾滋病、肝 炎、结核病、等重大疾病在城市的发生和流行。以 防治为例：艾滋病是一个重大公共卫生问题和社会 问题，针对艾滋病疫情比较严峻的形势和挑战，我 国政府制订并实施“四免费一关怀”等防治政策。 各级城市政府要积极参与，落实各项防治策略。
三、城市公共卫生安全
1.城市公共卫生体系
随着我国经济的发达和社会的进步，社会居民平均活动 空间逐渐拓展，居民聚集性和移动性迅速增加。经济越 发达，商贸活动越密集，跨地区、跨国界的人员往来就 越频繁。这种社会活动形式的变化，对城市经济发展和 社会进步固然产生重大的推进作用，但是从流行病学角 度看，这种社会活动形式的变迁，使传染性疾病发生和 蔓延的危险性成为很严重的问题。特别是在人口流动性 大、人口密度大的城市更容易发生突发性公共卫生事件。
3.城市公共安全管理范围和对象
在我国，建立城市公共安全管理体系还是一个全新 的课题。关于城市公共安全管理的范围和对象，经 过一段时间的探索，基本定位于生产安全、公共安 全、食品安全和公共卫生安全四大方面。城市公共 安全管理的范围和对象具体可大致做以下几方面划 分：
第一，从公共安全的渊源划分：可分为自然灾 害、人为灾害和袭击破坏。其中自然灾害包括 水灾、地震和气象灾害，人为灾害包括火灾、 爆炸、投毒和交通事故。袭击破坏主要包括战 争破坏和恐怖袭击等。
三是危机预警和应对的全球化。在今天，危机 的原因和结果往往是世界性的，所以，在对危 机的处理上，尽管世界各国存在着地域上和意 识形态上的差异，但反应是相似的。英国政府 正是在其它国家的情报合作下，才能迅速确认 伦敦爆炸案的恐怖分子并立即开展全球范围内 搜索恐怖分子的行动。
二、城市公共安全体系的构成
的人造系统组成，只要工作深入细致是完全可以掌 握与控制的。

第八讲 第四章 二烯烃 共轭体系 共振论(1)

第八讲 第四章 二烯烃 共轭体系 共振论(1)

越低，分子越稳定。
有 机
共振能：能量最低的极限结构与共振杂化体(分子的真实结构)之间的 能差。共振能越大说明该分子比最稳定的极限结构越稳定。
化
常用CH2=CH-CH=CH2表示，与电子衍射测的事实不符。鲍林指出，
学 这些共振结构本身是不存在的，是假想的。因此，共振论是用假想的共振
结构去近似的描述真实物质的结构理论。
八 讲
CH2 CH CH2
CH2 CH Cl
CH2 CH O R
烯丙基碳正离子
氯乙烯
乙烯基醚
(9)
其电子离域方向如下：
CH2 CH CH2 CH2 CH Cl CH2 CH O R
有 4.3.3 超共轭
机
在C–H 键与 键直接相连的体系中也存在与 , -共轭体系类似的电
化 学
子离域现象。如图4-5所示：
丙二烯
1,2-丁二烯
其结构形式为: C C C C
(3)
CH3
CH2=CH-CH=CH2
CH2 C CH CH2
1,3-丁二烯(或丁二烯)
2-甲基-1,3-戊二烯(或异戊二烯)
4.1.2 二烯烃的命名
有
原则：系统命名与烯烃相似，不同之处在于：分子中含有两个双键，
机 化 学
用二烯代替烯，选择主链时必须包括两个双键在内，同时应标明两个双键 的位次。存在顺反异构时要逐个标明其构型。例如：
H
S-顺-1,3-丁二烯
H
CH2
CC
CH2
H
S-反-1,3-丁二烯
1, 3-环己二烯
或S-(Z)-1,3 -丁二烯 或S-(E)- 1,3-丁二烯
二环 [4.4.0]-1,9-癸二烯

室内设计原理第八讲——室内照明设计

室内设计原理第八讲——室内照明设计

3.3 灯具设计
3.3 灯具设计
3.3 灯具设计
3.3 灯具设计
5. 灯具的分类
按安装体式格局分类：
1、吊灯 2、吸顶灯 3、壁灯 4、台灯 5、落地灯 6、筒灯 7、射灯 8、浴霸 9、节能灯
3.3 灯具设计
（一）吊灯 1、特点 吊灯适合于客厅。吊灯的花样最多，常用的有欧式烛台吊灯、中式吊灯、水 晶吊灯、羊皮纸吊灯、时尚吊灯、锥形罩花灯、尖扁罩花灯、束腰罩花灯、五叉圆球吊灯、玉兰 罩花灯、 橄榄吊灯等。用于居室的分单头吊灯和多头吊灯两种，前者多用于卧室、餐厅；后者宜 装在 客厅里。吊灯的安装高度，其最低点应离地面不小于 2.2 米。
3.3 灯具设计
二、灯具的设计
1.灯具设计的定义 灯具设计是研制产品的一种方法，是制成灯具图样方案的总称，它以组织美的生 活环境为前提，以现代工业技术为手段，重视使用者心理上的需求，着眼于功能 与美的协调，是一种有意识的造型活动。关于灯具设计，一种是为特定的建筑空 间所进行的艺术型设计，另一种是为大批量生产所进行的通用型设计。
室内设计原理
第八讲 室内照明设计
1.室内光环境的运用 2.人工照明的方式 3.灯具设计 4.其它照明
室内照明设计
因为有光，我们才能够看见物体。
室内照明设计
因为有阴影，我们才感觉光的存在.
室内照明设计
光与影，明与暗
室内照明设计
在光色游离间，让我们感到愉悦
室内照明设计
有光 有影 有体 有空间
3.3 灯具设计
（三）光源 光源是灯具的核心部分，没有光源就不能称其为灯具，对于灯具来讲，光源的亮度和 显色性是一个重要的衡量标准，也是表现空间气氛的重要依据。 （四）电料 电料包括电线、插头、插座、可控开关以及相关配件等，是灯具安全的主要部位。设 计上应选择达到国家标准的电料产品，同时注意接头的安装标准和规范。

新高中地理高考第8讲 塑造地表形态的力量

新高中地理高考第8讲 塑造地表形态的力量

第8讲塑造地表形态的力量新课标·内容要求新课程·素养要求新教材·对应节次2020年新高考·命题统计1.运用示意图，说明岩石圈物质循环过程。

综合思维、区域认知、地理实践力[选择性必修1]2.1天津卷第4、5题；上海卷第20题2.结合实例，解释内力和外力对地表形态变化的影响。

综合思维、地理实践力[选择性必修1]2.1北京卷第3题；海南卷第4、5题；山东二模卷第12、13题一、内力作用1.能量来源：地球内部的热能。

2.表现形式二、外力作用1.能量来源：地球外部，主要是太阳辐射能。

2.表现形式[易误辨析]风化作用和风力作用有何区别？提示地表或接近地表的岩石，在温度、水以及生物等的影响下，发生崩解和破碎等破坏作用，叫作风化作用。

风化作用与风无关，而风力作用则是指风的侵蚀、搬运、堆积等作用，故风化作用与风力作用是两个完全不同的概念。

三、岩石圈的物质循环1.三大类岩石含义常见岩石岩浆岩岩浆侵入岩石圈上部或喷出地表，随着温度、压力的变化，冷却凝固形成花岗岩、玄武岩等沉积岩碎屑物质被风、流水等搬运后沉积下来，经压实固结成岩作用而成砾岩、砂岩、页岩，石灰岩等变质岩地壳中已生成的岩石，在地球内部的高温、高压等条件下，成分、性质发生改变而成板岩、大理岩等2.物质循环过程(1)基础物质：A岩浆，B岩浆岩，C沉积岩，D变质岩。

(2)循环环节：a冷却凝固，b外力作用(风化、侵蚀、搬运、沉积)，c压实、固结(固结成岩)，d变质作用(高温、高压)，e熔化(重熔再生)，f抬升、风化、搬运和沉积。

[易误辨析]岩石圈的三大类岩石都能直接相互转化吗？说明理由。

提示不能。

岩浆岩只能由岩浆形成，岩浆岩可以转化为沉积岩和变质岩，但沉积岩和变质岩不能直接转化为岩浆岩。

能力一解释内力和外力对地表形态变化的影响[例1] (2020·天津卷)下图所示地貌景观位于粤北地区，其形成需要特定的地质条件。

读图文材料，回答(1)～(2)题。

2021版地理大一轮复习人教版(全国)文档：必修1 第3章 地球上的大气 第8讲 Word版含答案

考点一 气压带、风带的分布与移动规律及其对气候的影响一、气压带、风带的分布与移动规律1．三圈环流的形成(以北半球为例)⎭⎪⎬⎪⎫凹凸纬受热不均地转偏向力影响⇒三圈环流⎩⎪⎨⎪⎧①低纬度环流圈②中纬度环流圈③高纬度环流圈2．气压带、风带的分布与移动(2)六个风带⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫B 为低纬信风带D 为中纬西风带F 为极地东风带南北半球同纬度各有一个(3)季节移动规律随太阳直射点的南北移动而移动。

就北半球而言，与二分日相比，气压带和风带的位置大致夏季偏北、冬季偏南。

二、气压带、风带对气候的影响 1．气压带和风带对气候的影响(1)全年受单一气压带、风带把握的气候类型及其气候特征气候类型成因气候特征温带海洋性气候 全年都受中纬西风带把握 终年温存潮湿 热带沙漠气候 全年都受副热带高气压带或信风带把握终年酷热干燥 热带雨林气候全年都受赤道低气压带把握终年高温多雨(2)受气压带、风带季节移动影响而形成的气候类型及其气候特征气候类型 成因气候特征地中海气候夏季受副热带高气压带把握，冬季受西风带把握夏季酷热干燥，冬季温存多雨热带草原气候 干季时受信风带把握，湿季时受赤道低气压带把握全年高温，一年可分为干湿两季热带季风气候旱季时受海陆热力差异而形成的东北季风的把握，雨季时受气压带、风带北移而形成的西南季风的把握全年高温，一年可分为旱雨两季2.形成气候的主要因素：太阳辐射、大气环流、海陆分布、地形、洋流等。

深度思考1．分析下面图示，总结说明全球气压带和风带的分布特点。

答案 (1)气压带和风带相间分布，即2个气压带之间为1个风带；高气压带与低气压带也是相间分布的。

(2)气压带和风带分别关于赤道对称分布。

2．有同学把气压带和风带的季节移动简洁记忆为“夏季北移，冬季南移”，对不对？为什么？答案 不完全对。

由于气压带和风带位置随太阳直射点的季节变化而移动。

就北半球来说，大致夏季北移，冬季南移。

假如就南半球而言则相反。

网络通信技术第八讲 数据网与分组交换技术

第八讲数据网与分组交换技术1.数据网概述1.1 数据网的分类–网状型网与不完全网状型网(格型网)–星型网–树型网–环型网–总线网按传输技术分类–由交换节点和通信链路构成。

用户之间的通信要经过交换设备–根据采用不同的交换方式分类–每个数据站的收发信机共享同一个传输媒质–通过不同的媒体访问控制方式，产生了各种类型广播式式网传输距离分类–传输距离一般在几公里以内，速率在10Mbit/s以上–数据传输采用共享介质的访问方式–传输距离一般在50－100Km之内，能提供高速率45－150Mbit/s的速率–作用范围通常为几十到几千公里–Internet1.2 数据网的构成–在数字数据网(DDN)中是没有交换设备的，它采用数字交叉连接设备(Dxc)作为数据传输链路的转接设备–在广播式数据网中也没有交换设备，它采用多路访技术来共享传输媒体2.分组交换网及相关技术2.1 分组交换的概念2.1.1 分组交换原理•分组交换–采用“存储一转发”的方式–把报文截成若干个比较短的、规格化了的“分组”进行交换和传输–分组是由分组头和其后的用户数据部分组成的。

•分组头包含接收地址和控制信息2.1.2 分组的复用和传输方式分组的传输方式–数据报传送协议简单；–数据报传送不需建立连接；–数据报分组到达终点的顺序可能不同于发端．需重新排序：–数据报各分组的传输时延差别可能较大虚电路方式通信，传输效率高；•收发之间的路由在数据传送之前已被决定，不必为每个分组选择路由，分组只根据虚电路号就可在网中传输；•分组按次序到达接收端，终点不需对分组更新排序；•差错控制与流量控由出网络负责数据报虚电路电路设置不需要需要地址每个分组都有源和目的端的完整地址每个分组都有一个短的虚电路号状态信息子网不存储状态信息建立好的每条虚电路都要求占用子网表空间路由选择对每个分组独立进行当虚电路建好时，路由就已确定，所有分组都经过此路由路由器失败的影响除了在崩溃时丢失分组外，无其它影响所有经过失效路由器的虚电路都要被终止拥塞控制难如果有足够的缓冲区分配给已经建立的每条虚电路，则容易控制•虚电路方式，路由器需要维护虚电路的状态信息；•数据报方式，每个数据报都携带完整的目的/源地址，浪费带宽•虚电路需要在建立连接时花费时间•数据报则在每次路由时过程复杂•虚电路方式很容易保证服务质量QoS，适用于实时操作，但比较脆弱。

高考地理总复习 第二单元 从地球圈层看地理环境 第8讲 全球的气压带和风带教案(含解析)鲁教版-鲁教

第8讲 全球的气压带和风带最新考纲核心素养定位考情报告气压带与风带1.掌握全球气压带、风带的分布及季节移动规律，能够运用其分析全球气候类型的成因、分布和特点。

(区域认知、综合思维)2.识记北半球冬、夏季因海陆热力性质差异而形成的气压中心；理解东亚、南亚季风的成因及影响。

(区域认知、综合思维)1.以区域分布图、统计图等形式，考查大气环流对气候的影响。

2.以等值线图为材料，考查气压带、风带的分布与移动及季风等。

考查频度高，选择题、综合题的命题形式均有呈现，分值4～8分，难度中等。

[梳 理 知 识 体 系][再 现 基 础 知 识]一、气压带、风带的分布及移动规律1.三圈环流的形成(以北半球为例)⎭⎪⎬⎪⎫高低纬受热不均地转偏向力影响⇨三圈环流⎩⎪⎨⎪⎧a 低纬环流圈b 中纬环流圈c 高纬环流圈2.气压带、风带的分布与移动(1)七个气压带⎩⎨⎧A 为赤道低气压带⎭⎪⎬⎪⎫C 为副热带高气压带E 为副极地低气压带G 为极地高气压带南、北半球同纬度各有一个(2)六个风带⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫B 为信风带D 为盛行西风带F 为极地东风带南、北半球同纬度各有一个(3)季节移动规律：①移动原因：太阳直射点随季节变化而南北移动。

②移动规律：就北半球而言，与二分日相比，大致夏季偏北，冬季偏南。

【易错提示】 赤道低气压带和极地高气压带的形成是气温高低造成的，属于热力型气压带；副热带高气压带和副极地低气压带是气流运动造成的，属于动力型气压带。

二、北半球冬、夏季气压中心三圈环流的形成是建立在理想地球(球体、组成物质均一等)基础之上的。

但是，由于地球某某陆分布因素的影响，出现了海洋、陆地上高、低压中心的季节变化。

其影响有：①陆地高压(冬季)切断副极地低压带并在亚洲地区形成典型的冬季风。

②陆地低压(夏季)切断副热带高压带并在亚洲地区形成典型的夏季风。

气压中心M 是亚洲(蒙古—西伯利亚)高压，其切断了副极地低气压带。

心分布与夏季风气压中心N是印度低压，其切断了副热带高气压带。

基础代数学群、环及域

基础代数学群、环及域
P. M. Cohn, Department of Mathematics, University College London, UK
Basic Algebra
Groups, Rings and Fields
2003, 465pp.
Hardcover EUR 46.95
ISBN 1-85233-587-4
Springer-Verlag
本书作者在上世纪80～90年代曾出版三卷本的《Algebra》(Wiley and Sons出版公司)，被公认为大学抽象代数引论性教材的典范。

作者现在对此作了改写和增删，重新编写为二卷本教材，本书是其中的第1卷，包括了抽象代数的基础理论，可以作为大学数学系2～3年级及研究生低年级的教材。

全书含11章：第1章是作为抽象代数的基本语言的集论知识；第2～6章分别讲群、格和范畴、环和模、代数及多线性代数；第7章和第11章讲域论(包括无限域扩张)；第8章讲述二次型及与之紧密相关的有序域；第9、10两章论
述赋值论和交换环论(它们对代数几何有重要意义)。

各节及每章末尾均有大量习题和补充题。

本书保持了作者叙述清晰，论证严谨的一贯风格，并增加了许多例子，可读性强，可供我国大学数学系师生和研究人员阅读。

朱尧辰，研究员
(中国科学院应用数学研究所)
Zhu Yaochen, Professor
(Institute of Applied Mathematics,the Chinese Academy of Sciences)。

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2018/6/29
2
环

定义10.11:设<R,+, *>是一个代数系统， 如果满足 (1) <R,+>为阿贝尔群 (2) <R, *>是半群 (3) *对＋是可分配的 则称<R,+, *>是环
2018/6/29
3
举例

数环Z,Q,R,C 关于普通数的加法与乘法 <Zn, ⊕, ⊗> <Mn(R), +, ⋅> <P(B), ⊕, ∩>

2018/6/29
19
素数测试算法
令a=2, 检测an-11(mod n)? 如果回答“是”，输出“素数”；否则输出“合 数”. 分析： 时间 T(n)=O(log3n) 问题： 该算法只对a=2进行测试, 如果n为合数且输出 为“素数”，则称n为基2伪素数. 例如341满足 上述条件，但是341是合数.

F为有限域，1在<F,+>中的阶为域F的特征.


Zp的特征为p. 设F为有限域，则存在素数p使得|F|=pn,
2018/6/29
18
Fermat小定理

Fermat 小定理：如果 p 是素数， a 是正整 数，p不能整除a，那么，ap-1≡1(mod p)
考虑有限域(Zp,+,*)，| Zp* |=p-1

2018/6/29 20
素数测试的随机算法

改进方法：

随机选取2--n-2中的数，进行测试. 例如取a=3，则 3340(mod 341) 56，341不是素数.

新问题：


Fermat小定理的条件只是必要条件，满足条件的可能是合数. 对所有与n互素的正整数a，都满足上述条件的合数n称为 Carmichael 数，如561，1105，1729，2465等. Carmichael数 非常少，小于108的只有255个. 可以证明：如果n为合数，但不是Carmichael数，采用随机选 取2—n-2中的数进行测试，测试n为合数的概率至少为1/2. 但 是这个算法不能解决 Carmichael数的问题.

2018/6/29 23
Miller-Rabin算法
设 n 为奇素数，存在 q,m 使得 n-1=2qm, (q1). 序列
a (mod n), a
m
2m
(mod n), a
4m
(mod n), ... , a
2q m
(mod n)
的最后一项为 an-1(mod n), 且每一项是前面一项的平方 . 对于任意 i（i=0,1,…q-1）, 判断
2018/6/29
WITNESS(a,n) 判定n 是否为素数，a是小于 n的整数
返回值： TRUE: n一定不是素数 FALSE: n可能是素数 应用： 随机选择a < n, 计算s次， 如果每次都返回FALSE， 则这时n是素数的概率为
(1 - 1/2s)
26
子环

设<R,+,*>是一个环， SR非空，若<S, +,*>构成环，称<S, +,*>是<R,+,*>的一个 子环。那么<R,*>中的单位元1必定也是 <S,*>中的单位元。x在R 中的逆元也是 在S 中的逆元。 <R,+,*>的子环也是代数系统<R,+,*>的子 代数



如果<R,*>是可交换的，则称<R,+,*>是交 换环. 如果<R,*>含有幺元，则称<R,＋,*>是含幺 环. 无零因子环 ab=0 ⇒ a=0 或b=0
2018/6/29
7
实例

<P(S),⊕,∩> 作成环(且为含幺交换)

加法幺元为φ，乘法幺元为S，A的加法逆元 为A

数环, < Zp,,>பைடு நூலகம்为无零因子环当且仅当 p 为素数.
2018/6/29
12
域


定义10.12:<R,+, *>为代数系统，若满 足： (1)<R,+>为阿贝尔群 (2)<R\{0},*>为阿贝尔群 (3)运算*对运算+可分配 则称<R,+, *>为域 <Q,+, *>域，但<Z,+, *>非域
13
2018/6/29
域举例


<Z,+, *>非域 <Q,+, *>域 <Zp,+, *>有限域（p为素数）
a
2i m
(modn)
是否为 1 和 n-1,且它的后一项是否为 1. 如果其后项为 1，但本项不等于 1 和 n-1, 则它就是 非平凡的根，从而知道 n 不是素数.
2018/6/29 24
例如 n=561, n-1=560=24 35, 假设 a=7, 构造的序列为
7 35 (mod 561) 241, 7 7 7 7
2018/6/29
11
问题

p,q为不等的素数，是否存在pq阶的整环？
证：假设R为pq阶的整环， 则<R,+>为pq阶的Abel群. 存在p阶元a，q阶元b. 所以 |a+b|=pq, <R,+>为循环群， 令c=a+b为生成元. R={0,c,2c, …, (pq-1)c} 取x=pc, y=qc, 则 xy=(pc)(qc) = pqc2 =0 x,y为零因子. 矛盾.
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素数判定
命题：如果
p是素数，则方程 x2≡1(mod p) 只有两个解±1。
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素数判定命题的证明
证明 x2(mod n)1 x2-10(modn) (x+1)(x-1)0(modn) x+10 或 x-10 （域中没有零因子） x=-1 或 x=1 称x1的根为非平凡的. 根据该命题，如果方程有非平凡的根，则 n为合数 . 例 如: x2(mod 5) 1 x=1 或 x=4 x2(mod 12) 1 x=1 或 x=5 或 x=7 或 x=11 5和7是非平凡的根.
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小结整环与域

加法


乘法

整环

整环

封闭 可结合 有幺元 有逆元 可交换

封闭 可结合 有幺元 可交换 无零因子 除零元外都有逆元

域与整环同
域比整环多


乘法对加法有分配性
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域和整环

性质2 :域一定是整环 (只需验证无零因子性，即乘法消去律，显 然)
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整环

定义10.12:无零因子的含幺交换环称为整环。
整环满足：


1. <R,+>为阿贝尔群
2. <R,*>是可交换含乘法单位元，且无零因子 3.运算*对运算＋可分配

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整环举例

<Z,+, *> 为整环 <2Z,+, *> 非整环，乘法没有单位元 <Zp,+, *> 为整环（p为素数） <P(S),⊕,∩>非整环，有零因子，A，A， A∩A＝φ
每个非零元都有乘法逆元的整环称为域。

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有限整环必定是域

性质3:有限整环必定是域
(只需验证每个非零元都有乘法逆元，换 言之只需证A-{0}为群，∵有限半群只要 满足消去律即可为群，显然)


<Zp,+, *>有限域（p为素数）
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有限域

有限的整环都是域. 有限域的特征
可以判定 n 为合数. 随机选择正整数 a{2,3,…, n-1}, 然后进行上述测试. 可 以证明该算法每次测试出错的概率至多为 1/2. 重复运行 k 次，
-k 可以将出错概率降到至多 2 . 2018/6/29
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素数判定算法
Miller and Rabin, WITNESS算法
1. 令bkbk-1…b0 为(n-1)的二进制表示， 2. d 1 3. for i k downto 0 4. do x d 5. d (d d) mod n 6. if d = 1 and x 1 and x n-1 7. then return TRUE 8. if bi = 1 9. then d (d a) mod n 10. if d 1 11. then return TRUE 12. return FALSE
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同态象

定义:<R1,+, *>，<R2,+, *>为两个代数 系统，如果存在一个从R1到R2的映射f， s.t.对于任给的a,b∈ R1 ，有 (1)f(a+b)=f(a)+f(b) (2)f(a*b)=f(a) *f(b) 则称f为由< R1,+, *>到< R2,+, *>的一 个同态映射，并称<f(R1),+, *>为< R1,+, *>的一个同态象.