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第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
第十一章群、环、域11.1半群内容提要11.1.1半群及独异点定义11.1 称代数结构<S，*>为半群（semigroups），如果*运算满足结合律．当半群<S，*>含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．定理11.1设<S，*>为一半群,那么（1）<S，*>的任一子代数都是半群，称为<S，*>的子半群．（2）若独异点<S,*，e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S，* , e>的子独异点．定理11.2设<S，*>,<S’，*’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，*’>为一半群．（2）当<S，*>为独异点时，则<h(S)，*’>为一独异点.定理11.3设<S，*>为一半群,那麽（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．11.1.2自由独异点定义11.2称独异点<S,*,e>为自由独异点（free monoid）,如果有A⊆S使得（1）e∉A．（2）对任意u∈S，x∈A,u*x≠ e .自由独异点（free monoid）,如果有A⊆S使得（3）对任意u,v∈S，x,y∈A,若u*x = v*y,那么u = v,x = y．（4）S由A生成,即S中元素或者为e,或者为A的成员，或者为A的成员的“积”:a i1*a i2*…*a ik (a i1,a i2,…,a ik∈A)集合A称为S的生成集．顺便指出，当半群<S，* >有生成集A＝｛a｝时，称<S，* >为循环半群（cyclic semigroups）。
<N，+，0＞是循环半群。
近世代数环和域环和域无零因子环的特征数同态和理想子环极大理想和费尔马定理定义13.1.1设R是一个非空集合，R上有两个代数运算，一个称为加法，用“+”表示，另一个称为乘法，用“◦”表示。
如果下面三个条件成立：1(R,+)是一个Abel群。
2(R,◦)是一个半群。
3乘法对加法满足左右分配律：对∀a,b,c∈R有a◦(b+c)=a◦b+a◦c(b+c)◦a=b◦a+c◦a则称代数系(R,◦,+)是一个环。
Definition(定义13.1.2)如果环(R,◦,+)的乘法满足交换律，即对∀a,b∈R有a◦b=b◦a，则称(R,◦,+)是一个交换环或可换环。
Example(例13.1.1)整数集合Z对通常的加法和乘法构成一个环(Z,+,·)，这个环是一个交换环。
Example(例13.1.2)有理数集Q、实数集R和复数集C对通常的加法和乘法分别构成交换环(Q,+,·)、(R,+,·)和(C,+,·)。
Example(例13.1.3)设M n为所有n×n实矩阵的集合，则M n对矩阵的加法和乘法构成一个非交换环(M n,+,·)，这个环称为n阶矩阵环。
Definition(定义12.1.3)环(R,◦,+)称有限换环，如果R是非空有限集合，即|R|<+∞。
Example(例13.1.4)文字x的整系数多项式之集设Z[x]对多项式的加法和乘法构成一个交换环。
Example(例13.1.5)设S={0}，则S对数的通常加法和乘法构成一个环，称为零环，它仅有一个元素。
Example(例12.1.6)有限环的一类重要例子是模n剩余类环(Z n,+,·)，其中Z n是全体整数集合Z对模n的同余类之集Z n={[0],[1],···,[n−1]}在环(R,+,◦)中，加法的单位元用0表示，并称为R的零元（素）。
对∀a∈R，a对加法的逆元素记为−a，并称为a的负元素。
