下载文档原格式
代数,半群,群,环,域的定义代数是一门研究数学结构和运算规则的学科。
它研究的对象可以是数字、符号、函数、向量等，通过定义运算规则和结构特征，来研究其性质和相互关系。
在代数中，有一些基本的数学结构，包括半群、群、环和域。
半群是代数中最基本的结构之一。
它由一个集合和一个二元运算组成，这个二元运算满足结合律。
换句话说，对于半群中的任意三个元素a、b和c，(a·b)·c = a·(b·c)。
例如，自然数集合N（包括0）和加法运算构成了一个半群。
因为对于任意三个自然数a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)。
群是半群的扩展，它在满足结合律的基础上，还满足单位元和逆元的存在。
单位元是群中的一个特殊元素，对于群中的任意元素a，有a·e = e·a = a，其中e 是单位元。
逆元是指对于群中的任意元素a，存在一个元素b，使得a·b = b·a = e。
例如，整数集合Z（包括0）和加法运算构成了一个群。
因为对于任意整数a，存在一个整数-b，使得a+(-b) = (-b)+a = 0。
环是一个更加复杂的数学结构，它由一个集合和两个二元运算组成，分别是加法和乘法。
环中的加法满足结合律、交换律和存在零元素的特点。
乘法满足结合律和分配律。
例如，整数集合Z（包括0）和加法、乘法运算构成了一个环。
域是环的进一步扩展，它在满足环的基础上，还满足乘法的逆元存在。
换句话说，对于域中的任意非零元素a，存在一个元素b，使得a·b = b·a = 1。
例如，有理数集合Q（包括0）和加法、乘法运算构成了一个域。
以上是对代数、半群、群、环和域的简要定义。
这些数学结构在代数中扮演着重要的角色，它们的性质和相互关系被广泛应用于数学和其他领域的研究中。
环与域的定义与基本性质环与域是抽象代数学中重要的概念，它们在数学和其它领域有着广泛的应用。
本文将介绍环与域的定义、基本性质以及它们在代数学中的应用。
一、环的定义与基本性质环是一个集合R，配上两个二元运算“加法”和“乘法”，满足以下条件：1. 加法的封闭性：对于任意的a、b∈R，a+b∈R；2. 加法的结合律：对于任意的a、b、c∈R，(a+b)+c=a+(b+c)；3. 加法的交换律：对于任意的a、b∈R，a+b=b+a；4. 零元素的存在：存在一个元素0∈R，对于任意的a∈R，a+0=a；5. 加法逆元素的存在：对于任意的a∈R，存在一个元素-b∈R，使得a+(-b)=0；6. 乘法的封闭性：对于任意的a、b∈R，a×b∈R；7. 乘法的结合律：对于任意的a、b、c∈R，(a×b)×c=a×(b×c)；8. 乘法对加法的分配律：对于任意的a、b、c∈R，a×(b+c)=a×b+a×c；9. 乘法对加法的分配律：对于任意的a、b、c∈R，(a+b)×c=a×c+b×c。
基于上述定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 零元素唯一性：零元素0是唯一的；2. 加法逆元素的唯一性：对于任意的a∈R，它的加法逆元素-b是唯一的；3. 乘法单位元素的存在唯一性：存在一个元素1∈R，使得对于任意的a∈R，a×1=a；4. 乘法单位元素的唯一性：乘法单位元素1是唯一的；5. 乘法的交换律：对于任意的a、b∈R，a×b=b×a。
二、域的定义与基本性质域是一个集合F，配上两个二元运算“加法”和“乘法”，满足以下条件：1. F构成一个交换环；2. F中非零元素构成一个乘法群。
基于上述定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 零元素的唯一性：零元素0是唯一的；2. 加法逆元素的唯一性：对于任意的a∈F，它的加法逆元素-b是唯一的；3. 乘法单位元素的存在唯一性：存在一个元素1∈F，使得对于任意的a∈F，a×1=a；4. 乘法单位元素的唯一性：乘法单位元素1是唯一的；5. 消去律：对于任意的a、b、c∈F，如果a×b=a×c且a≠0，则b=c。
近世代数第四章-环与域题解讲解第四章环与域§ 1环的定义一、主要内容1.环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环.2.环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：a tiG S ——>■戊 f 占€ S *3 循环坏的定义和性质.■■；加群是循环群的环称为循环环•其性債在本节内的主要有s1）循环环必为交怏环；，2）循坏环的子环也是循坏环；3〉循环环的子加群必为子环；. '4）pq是互异素数）阶环必为循环环*二、释疑解难1 •设R是一个关于代数运算十，•作成的环•应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的.所以有时把这个环记为（R,十，•）（或者就直接说“ R 对十，•作成一个环”）•但不能记为R,-,十）•因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同•我们知道，环的代数运算符号只是一种记号.如果集合只有二代数运算记为:,®，又R对：作成一个交换群，对®满足结合律且①对: 满足左、右分配律，即by） =（◎㊉仍叮门㊉门* （⑴力㊉匸=@0小{底^芒扎则就左能说尿对叫，㊉静作成一个氐或记为侦宀㊉X 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序.2 •设R对二代数运算十，•作成一个环•那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为（R, 十）；又R 对“ • ”作成一个半群，这个乍群记为（R，- ）•再用左、右分配律把二者联系起来就得环（R，十.•）.现在啊，引：K中的这个半辟（氏，* ［是占lit有可能作血一小將呢？回甞是百定的"降非I ^1 = H禺若tJ^A—刖空#?中任蕊元隶日兴O懸右< .D -0=^=0,这说.明Q 不是^尺* • 7杓单悅元.W.B. <1在C R,・）中坦逑有逆元* 因此- ）Hftfe作血半PT而不能作庇曲.遊--比"如覲去艸Oi^PA R的全睹耶呼元索对乘怯是否作成群呃？这是可能的.例如任何敢據就舅于这轴繪磁.芳播，R旳全休卄*元血荷不fife作就靜的*如傾數环和整觀歼★等等-& 由于在环K中倉；a *0 = （）P =<D »寂-- '芒显7?的左电右rXX边）单位兀=!=>芒启半那〔杞* •［的屋g r双边〉单便元.儿丹阶诟环环的稠竽元和其有単悅元酌承件-设R^<a>—{ 0 > cz » Su . < n—1〉£1、戈一个n阶餡环环，且/ —臭业収T 三例阐弱艮有学位元的鋼件和I其稱警兀的情况-以下三例均假W 尺=<« ）. H阶馅环环，B- a2—山2. WWE.0>1 1 R 有单位元 Mn 保1.证发、则有整救材心茨 矗 lt+ HU = 1 - 于屋对R 中仟意元巌如冇（伍心）（珂“ ）—（sztjfc »U = 5< 1 ——NTT JtL — Sti ・ 由于斥足可换环，故叫是尺的单■也元* 反之+设尺有樂位尤-=炖’则w = a 、 «(r<? * =s C/>r>Hti — U (tk — 1 ><!/ = 0 T 于是算I M —丄”设th 一 1 =呵丫则tk + «<—7 >—1 > 放"山)・1“ 例2 田是R 的科等元=> k 泌产一札 证 设S 显环尺的科尊元，耻 {£«>' = t 2Au = co > CA ；F — f)a=0,01由于a^R 灼加醉的H 砂応索.枚比I 和一" 反之■设^\kt^ — “则因科皿一0.故(点卢一i 、0=a 冃.ta — jfer 14 — e £*ku —^^ = <iu)\却皿是*的幕等元. 例3 环R 有2冲一"屛个幕零元・Jl 中少【小为扣的不同*因 数的个栽•声 n 为压与打 的盘大公闵ffcdm 》的不同素因数的 个數. 证 设”=时拧…金冇 是啊旋标准分解式・由上例知・R 中壽 等充的个数就足冋余式 kI 1 — J — 0 (nv^l rr) ( 1 ) 的解的个數・疝这牛同余式的济的个数等于m个同余式■ b 匕工* — j=0 < mod <i^1 ,2 »**- t JM) < 2)的解的个敷的来税.但易知，对一令固定2,当帆I 矗时ft(2)R 冇册小半a 杠fll-[bT(X 故脅證致 获仪|总剔=1..于是 p.^Vt 戸？丨此匸一】* 悄\讥屋巳一、、一2 —工 战卞是方磊住> 的一个非零粧*又0晁然为其一解哀而冃方程(仍没冇别昶擀.即此时方程O 只有阿亍解.干堆同余式门)有2旳l申w个解,即R有旷梢计名柿牛慕奪元.三、习题4. 1解答1・1H 虽據覇知乘怯。
群、环、域原创 2014年06月03日 10:49:59最近在学习Jerasure，对其中涉及到的一些算法中涉及到的数学概念梳理如下。
群简而言之，群的概念可以理解为：一个集合以及定义在这个集合上的二元运算，满足群的四条公理，封闭性、结合性、单位元、反元素。
具体理解为：封闭性：在集合上作任意二元运算，不会诞生新的运算，这个集合已经经过充分的完美拓扑。
结合性：组合一个二元操作链，之间没有先后运算的区别，这种操作是平坦的（区别交换律）。
单位元：具有单位的属性，单位元和任何一个元素操作等于那个元素本身。
反元素：集合中任何一个元素，存在一个称为反元素的元素与那个元素进行操作后，最后的结果为单位元。
可交换群简而言之，可交换群就是在满足群的”四公理“的基础上在加上一个可交换的属性，可把满足可交换的操作满足对称性。
环简而言之，环是细化的群，一个环中涉及两个二元运算，分别是(R,+)与(R, ·)，前者是个可交换群，后者是一个半群。
半群可理解为仅仅满足封闭性以及结合律的群，则忽略了单位元与反元素的限制。
似乎可以想象，如果一个群为以单元为中点的对称分布，则半群为群的单位元劈开的两瓣之一，所以称之为半群。
域域的概念较为复杂，环的概念仅仅定义了两个运算，唯一的条件是，乘法关于加法满足可分配律。
而进入到域的概念，则对这两个二元操作，强加了更多的限制。
上面第一种定义很有趣，进入了除环的概念。
在除环的基础上，额外加了一个可交换的限制条件。
伽罗瓦域从域过度到伽罗瓦域较为简单，仅仅额外的加了一个限制：有限个元素。
从群到环，再到域，是一个条件逐渐收敛的过程，条件的收敛，也带来对更小数学集合上更丰富的特性。
细化到伽罗瓦域，这些更丰富的特性，为后来EC码的诞生奠定了数学基础，具有工程上的可实现性。
教案代数结构中的环与域-教案1引言1.1环与域的定义及历史1.1.1环的定义：环是一种代数结构，包含一组元素和两种运算，加法和乘法。
1.1.2域的定义：域是一种特殊的环，其元素除了加法和乘法外，还满足乘法逆元的性质。
1.1.3环与域的历史：环和域的概念起源于19世纪，经过多位数学家的研究和发展，逐渐形成了现代的环与域理论。
1.1.4环与域在现代数学中的应用：环与域在代数学、代数几何、数论等领域有着广泛的应用。
2知识点讲解2.1环的基本性质2.1.1环的封闭性：环中的元素进行加法和乘法运算后，结果仍然属于环。
2.1.2环的交换性：环中的乘法运算通常不满足交换律，即ab ≠ba。
2.1.3环的单位元：环中存在单位元e，使得对于环中的任意元素a，有ea=ae=a。
2.1.4环的零元：环中存在零元0，使得对于环中的任意元素a，有a+0=a。
3教学内容3.1域的特殊性质3.1.1域的乘法逆元：域中的非零元素都存在乘法逆元，即对于域中的任意非零元素a，存在元素b使得ab=ba=e。
3.1.2域的消去律：域中的元素满足消去律，即如果ab=ac且a ≠0，则b=c。
3.1.3域的特征：域的特征是指其加法单位元的阶，通常为素数或0。
3.1.4域的基本例子：实数域、复数域和有理数域是最常见的域的例子。
4教学目标4.1理解环与域的定义和基本性质4.1.1学生能够准确描述环和域的定义。
4.1.2学生能够解释环和域的基本性质，如封闭性、交换性和单位元。
4.1.3学生能够通过示例说明环和域在现代数学中的应用。
4.1.4学生能够区分环和域，并理解域的特殊性质。
5教学难点与重点5.1环与域的性质和区别5.1.1难点：理解环的乘法运算不满足交换律。
5.1.2重点：掌握域的特殊性质，如乘法逆元和消去律。
5.1.3难点：区分环和域，并理解它们之间的关系。
5.1.4重点：通过示例和练习，加深对环与域性质的理解。
6教具与学具准备6.1教具准备6.1.1介绍环与域的幻灯片或黑板。
