步步高 【word版】2014版(考前三个月)高考地理(通用)第二轮专题复习 高考题型冲刺练 综合题 原因分析型

题型4 对策措施型1．(2013·重庆文综)广东省地下水资源丰富。

阅读图文材料，结合所学知识完成下列要求。

(1)充足的水源补给是地下水资源形成的重要条件。

指出图1中地表组成物质和地形起伏的特点，并分析其对地下水水量的影响。

(2)某公司拟在图2乙地利用地下水设立饮用水生产厂。

与甲地相比，请指出在乙地设厂的优势。

(3)分析乙地大量发展种植业可能对地下水资源的负面影响，并就不同负面影响分别提出一条防治措施。

答案(1)特点：地表组成物质以松散风化物为主，厚度大；地形起伏和缓。

影响：地表组成物质疏松，有利于地表水下渗；厚度大、地形和缓，有利于延长地下水下渗的时间；最终有利于地下水水量的补给增加。

(2)土地价格较低；有利于水源地的保护(或远离城市密集区，环境污染小)；劳动力成本低。

(3)负面影响：削弱了土层的涵养水源能力，对地下水水源补给能力降低。

化肥农药的大量使用，对地下水造成污染。

措施：防止水土流失(或增加森林覆盖率)；减少农药化肥使用(或使用高效低毒农药，使用有机肥，生物防治病虫害技术)。

解析(1)阅读图1中图例及图形信息，即可归纳地表组成物质及地形起伏特点；对地下水的影响，一要从“地表组成物质”、“地形起伏特点”两方面分别阐释，二要从对地下水补给、地下水水量两方面来组织答案。

(2)“饮用水生产”是一种原料(地下水)密集、劳动力密集型产业，技术要求不高；分析其区位优势，应从地价、水源水质、劳动力价格三方面思考。

(3)种植业发展对地下水的负面影响，从对水量、水质两方面思考，防治措施应“对症下药”。

2．宁蒙陕甘沿黄地区位于我国西部生态脆弱、经济欠发达地区，经济发展与生态环境建设双重任务艰巨。

依据材料及所学知识，完成下列各题。

材料一宁蒙陕甘沿黄地区的区域协调发展度空间格局材料二黄河流域水资源利用结构和部分省区用水效率(每立方米水对应的GDP的产值)比较图(1)简述2007年宁蒙陕甘沿黄地区的区域协调发展度分布特点。

题型6 特征描述型1．读下列材料和地图，回答(1)～(4)题。

材料一图甲为2011年9月上旬我国部分地区强降雨量图，图乙为汾河流域示意图材料二汉江流域示意图(1)图甲所反映的强降水最有可能是________(锋面)引起，降雨区位于锋线的____________(地图方向)。

(2)读图丙，该区域城市分布特点是____________________，图中A、B两地形成的流水地貌类型分别是______________________和______________________。

(3)根据图乙、图丙和所学知识，试比较汉江和汾河水文特征的异同。

(4)答案(1)冷锋北或西北(2)沿河或河谷地带分布甲：河流侵蚀地貌(V型河谷)乙：河流堆积地貌(冲积平原)(3)相同点：水位的季节变化大；夏季为汛期不同点：汉江：流量大，含沙量小，汛期长，无结冰期。

汾河：流量小，含沙量大，汛期短，有结冰期。

(4)自然条件：水热丰富，雨热同期；地形平坦；土壤肥沃；水源充足。

社会经济条件：交通便利；种植历史悠久；单位面积产量高，商品率高；增产潜力大；劳动力丰富等。

解析第(1)题，根据我国的锋面雨带的推移规律可知，9月华北地区的降水只可能是冷锋天气系统所致，不可能是暖锋所为。

冷锋的降水一般都在锋后(冷气团一侧，即锋线的西北或北侧)。

第(2)题，从图丙中可以看出图中的城市分布具有沿河设城的特点。

这是一般南方城市分布的基本特征。

对于图中A、B两处的河流地貌可以从它们所处的河流的不同地段做出判断。

A位于汉江的上游地区，B位于汉江的下游河段。

根据所学的地貌基本常识可知：在河流的上游河段一般是以侵蚀地貌为主，形成V形谷；在河流的下游河段多为堆积地貌，形成冲积平原或河口三角洲。

第(3)题，河流的水文特征的比较主要是从位(水位高低)、流(流量的大小)、沙(含沙量)、冰(有无结冰期)、汛(汛期)等方面进行比较，一定抓住汉江位于秦岭以南，从气候上来说属于亚热带季风气候区；而汾河地处黄土高原，从气候上来看是温带季风气候。

知识专题练一、选择题图甲至图丁为一组景观剖面示意图，反映了某地区土地利用状况由图甲时期到图丁时期的变化过程(图甲时期到图丁时期气候变化甚微，可忽略不计)。

据此回答1～2题。

1．依据图中信息分析，河流径流量季节变化最大的是() A．甲B．乙C．丙D．丁2．图示中河流水文特征的变化，反映了() A．地理环境的差异性B．地理环境的整体性C．地理要素的稳定性D．地理要素的孤立性答案 1.D 2.B解析第1题，图中显示图甲到图丁林地越来越少，林地有涵养水源的功能，所以图丁河流径流量季节变化最大。

第2题，该图反映的是地理事物之间的联系性，体现的是地理环境的整体性。

高山林线指山地森林分布的最高界线，下图为“我国高山林线理论海拔等值线分布图”(单位：米)。

读图，回答3～4题。

3．高山林线分布高度() A．最高的地区是横断山区B．太行山区西侧高于东侧C．自南向北逐渐降低的主导因素是热量D．西部普遍高于东部的主导因素是水分4．甲地高山林线海拔较高的一坡是() A．南坡——冬季风迎风坡B．北坡——冬季风迎风坡C．阴坡——夏季风迎风坡D．阳坡——夏季风迎风坡答案 3.C 4.D解析第3题，由图可知，最高的地区是喜马拉雅山区；太行山区东侧高于西侧；自南向北逐渐降低的主导因素是热量；同纬度西部普遍高于东部的主导因素是水分。

第4题，由甲地南坡和北坡林线分布可以判断，南坡高于北坡。

原因是南坡位于向阳坡和东南季风(夏季风)的迎风坡。

下面的甲图为“某大陆局部地区自然带现状图”，乙图是“该地区未来可能出现的自然带示意图”。

读图回答5～6题。

5．下列关于甲图的说法正确的有()①图示地区可能是亚欧大陆②图示地区可能是非洲大陆③图示反映了纬度地带分异规律④图示反映了非地带性现象A．①②B．③④C．①③D．②④6．当自然带由甲图所示向乙图所示变化时()①全球气候变暖②针叶林的面积扩大③海平面上升④阿尔卑斯山雪线降低A．①③B．③④C．①②D．②④答案 5.C 6.A解析第5题，甲图中由南向北分布有荒漠带、草原带、针叶林带、苔原带、冰原带，反映了纬度地带性分异规律，这种自然带分布最典型的分布地区应为亚欧大陆。

第二讲 不等式1． 不等式的基本性质(1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)加法法则：a >b ⇔a ＋c >b ＋c . (4)乘法法则：a >b ，c >0⇒ac >bc .a >b ，c <0⇒ac <bc .(5)同向不等式可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． 2． 一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，可利用一元二次方程，一3． 基本不等式：a ＋b2≥ab (a >0，b >0)利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”． 4． 二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等； (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．5． 不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题(1)恒成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min >A ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max <B . (2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立，则等价于在区间D 上f (x )max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立，则等价于在区间D 上f (x )min <B . (3)恰成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )<B 的解集为D .1． (2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 答案 D解析 由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.2． (2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3． (2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.4． (2013·湖南)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．答案 12解析 方法一 ∵(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2yz ＋2zx ≤3(x 2＋y 2＋z 2)，∴a 2＋4b 2＋9c 2≥13(a ＋2b ＋3c )2＝363＝12.∴a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 方法二 ∵a ＋2b ＋3c ＝6， ∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6. 由柯西不等式，可得(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2， 即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．5． (2013·四川)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x＋2)<5的解集是________． 答案 {x |－7<x <3}解析 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．题型一 不等式的解法例1 (1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．审题破题 (1)可以将不等式转化为等价的二次不等式求解；(2)已知二次不等式的解集，可以利用根与系数的关系． 答案 (1)A (2)9解析 (1)x －12x ＋1≤0等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≤0，2x ＋1>0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2x ＋1<0.②解①得－12<x ≤1，解②得x ∈∅，∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1. (2)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22.又∵f (x )<c .∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.反思归纳 解不等式的基本思路是将原不等式转化为一次或二次不等式，然后求解；和函数有关的不等式，可利用函数的单调性，含参数的不等式，要进行分类讨论．变式训练1 (1)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．[0,2]答案 C解析 p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时， Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.故p ∧q 为真时，－2<m <0.(2)已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，∀x 1≥0，∀x 2≥0，若x 1≠x 2，则f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.如果f ⎝⎛⎭⎫13＝34，4f (x )>3，那么x 的取值范围为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，2 C.⎝⎛⎦⎤12，1∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，18∪⎝⎛⎭⎫12，2 答案 B解析 由已知可得当x ≥0时，f (x )是减函数． 又f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (|x |)．由f (|x |)>34＝f ⎝⎛⎭⎫13，得|x |<13， ∴－13<x <13，∴12<x <2. 题型二 线性规划问题例2 (1)已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2](2)设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞) 审题破题 (1)将OA →·OM →用坐标表示，转化为线性规划问题；(2)找到目标函数取最大值时经过可行域内的点，求出最大值，解关于m 的不等式求得m 的取值范围． 答案 (1)C (2)A解析 (1)作出可行域，如图所示，由题意OA →·OM →＝－x ＋y . 设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2， ∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]．(2)变形目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m<0，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．根据目标函数的 几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1，得交点A ⎝⎛⎭⎫11＋m ，m 1＋m ，所以目标函数的最大值是11＋m ＋m 21＋m<2，即m 2－2m －1<0， 解得1－2<m <1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．反思归纳 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．变式训练2 (1)(2012·辽宁)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55答案 D解析 不等式组表示的区域如图所示，所以过点A (5,15)时 2x ＋3y 的值最大，此时2x ＋3y ＝55.(2)(2013·广东)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4x ＋y ≤4x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． 答案 6解析 线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条．题型三 利用基本不等式求最值例3 (1)已知a >0，b >0，函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________．(2)已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4审题破题 (1)由f (x )为偶函数得出a ，b 的关系式，再利用基本不等式，列出关于ab 乘积的不等关系，求ab 乘积的最小值．(2)求λ的最小值，即求x ＋22xyx ＋y 的最大值．答案 (1)16 (2)B解析 (1)根据函数f (x )是偶函数可得ab －a －4b ＝0，函数f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为ab .由ab －a －4b ＝0，得ab ＝a ＋4b ≥4ab ，解得ab ≥16(当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立)，即f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为16. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号)．又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xyx ＋y，而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋(x ＋2y )x ＋y＝2，∴当且仅当x ＝2y 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22xy x ＋y max ＝2.∴λ的最小值为2.反思归纳 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．变式训练3 设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.14答案 B解析 因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1.1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时“＝”成立．典例 (2012·福建)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12B ．1C.32D ．2解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示． 由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件， 故m 的最大值为1. 答案 B得分技巧 由运动变化的观点让目标函数所表示的曲线过可行域上的某点，求线性约束条件中的某一参数值，是逆向思维，用数形结合的思想方法，即可破解．阅卷老师提醒 本题要正确理解“存在”这个关键词，只要函数y ＝2x 和可行域有公共点即可．1． (2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4} 答案 C解析 A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}， ∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2} ＝{x |0≤x <2或x >4}．2． 已知log (x ＋y ＋4)<log (3x ＋y －2)，若x －y <λ恒成立，则λ的取值范围是 ( )A ．(－∞，10]B ．(－∞，10)C ．[10，＋∞)D ．(10，＋∞)答案 C解析 x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋4>3x ＋y －2⇔x <33x ＋y －2>0画出可行域如图， 设z ＝x －y ，易知z 的范围是(－∞，10)， 故λ≥10. 3． 若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4答案 C解析 ∵x >2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，即a ＝3，f (x )min ＝4.4． (2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝abC.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 设甲、乙两地之间的距离为s .∵a <b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b <2ab2ab ＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b＝0，∴v >a .5． 若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 解析 ∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意x >0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u 恒成立即可．12 12∵x >0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5知0<1u ≤15，∴a ≥15.6． 如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析 设k ＝y ＋3x －1，则y ＝kx －(k ＋3)表示经过点P (1，－3)的直线，k为直线的斜率．所以求y ＋3x －1的取值范围就等价于求同时经过点P (1，－3)和圆上的点的直线中斜率的最大、最小值．从图中可知：当过P 的直线与圆相切时斜率取最大、最小值，此时对应的直线斜率分别为k PB 和k P A ，其中k PB 不存在，由圆心C (2,0)到直线y ＝kx －(k ＋3)的距离|2k －(k ＋3)|k 2＋1＝r ＝1，解得k ＝43，所以y ＋3x －1的取值范围是⎣⎡⎭⎫43，＋∞.专题限时规范训练一、选择题1． 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴ab >a ·a ＝a ， ab <b ·b ＝b ，b ＝b ＋b 2>a ＋b2，又ab <a ＋b 2，所以a <ab <a ＋b2<b ，故选B.2． 已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．14B ．4C ．12D ．2答案 C解析 由2a ＋b ＝4，得22ab ≤4，即ab ≤2，又a >0，b >0，所以1ab ≥12，当且仅当2a ＝b ，即b ＝2，a ＝1时，1ab 取得最小值12.故选C.3． 在R 上定义运算a *b ＝a (1－b )，则满足(x －2)*(x ＋2)>0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 D解析 根据定义：(x －2)*(x ＋2)＝(x －2)[1－(x ＋2)]＝－(x －2)(x ＋1)>0，即(x －2)(x ＋1)<0.解得－1<x <2，所以所求实数x 的取值范围为(－1,2)． 4． 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73 B.37C.43D.34答案 A解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.5． 已知x >0，y >0，若2y x ＋8xy>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2答案 D解析 因为x >0，y >0，所以2y x ＋8xy≥216＝8.要使原不等式恒成立，只需m 2＋2m <8，解得－4<m <2.6． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)x 2 (x <0)， 则f [f (x )]≥1的充要条件是( )A ．x ∈(－∞，－2]B ．x ∈[42，＋∞)C ．x ∈(－∞，－1]∪[42，＋∞)D ．x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞) 答案 D解析 当x ≥0时，f [f (x )]＝x4≥1，所以x ≥4；当x <0时，f [f (x )]＝x 22≥1，所以x 2≥2，x ≥2(舍)或x ≤－ 2.所以x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)．故选D.7． 已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝x －2(x ≥12)，则m 与n 之间的大小关系为( )A ．m <nB ．m >nC ．m ≥nD ．m ≤n答案 C解析 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4(a >2)，当且仅当a ＝3时，等号成立．由x ≥12得x 2≥14，∴n ＝x －2＝1x 2≤4即n ∈(0,4]，∴m ≥n .8． 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则3a ＋2b 的最小值为( )A.256 B.83C.113D ．4答案 A解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(ba＋a b )≥136＋2＝256，故选A. 二、填空题9． 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．答案 18解析 ∵x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ， ∴22xy ＋6≤xy ， 即xy －22xy －6≥0， 解得xy ≥18.10．(2013·陕西)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________． 答案 －4解析 如图，曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－1,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－1)－2＝－4.11．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎦⎤259，4916解析 因为不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1<0，其中(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中的Δ＝4a >0，且有4－a >0，故0<a <4，不等式的解集为12＋a <x <12－a ，14<12＋a <12，则一定有{1,2,3}为所求的整数解集．所以3<12－a ≤4，解得a 的范围为⎝⎛⎦⎤259，4916. 12．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是__________．答案 (－∞，－5]解析 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立⇒m <－x 2＋4x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在x ∈(1,2)上恒成立，设φ(x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，φ(x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ∈(－5，－4)，故m ≤－5. 三、解答题 13．已知函数f (x )＝2x x 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66.由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66.即t 的取值范围为⎣⎡⎭⎫66，＋∞.14．(2012·江苏)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程．(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标．。

学案4 地球运动及其地理意义【考纲点击】 1.地球自转运动的地理意义。

2.地球公转运动的地理意义。

【构建知识体系】考点一 时间的计算与日期的判定典例1 (2013·广东文综)北京时间2012年12月21日19：18，北半球迎来冬至。

此刻，日期为2012年12月22日的地区约占全球面积的( )A ．0B.13C.12D.23答案 A解析 当北京时间为12月21日19：18时，世界上时间最早的地方(东十二区)为12月21日23：18，即还没有地方进入12月22日。

1． 巧用数轴计算时间时间的计算几乎是每年高考的必考点，同时也是学生学习的难点。

在计算时间时利用数轴进行计算可以达到事半功倍的效果。

具体如下：首先要弄明白数轴上的数与时区、经度的关系：数轴上的原点对应中时区中央经线即0°经线，＋1到＋12对应东一区到东十二区中央经线的位置，－1到－12对应西一区到西十二区中央经线的位置，0到＋12对应东经0°到180°，0到－12对应西经0°到180°。

如下图所示：实际操作方法：第一，画一数轴，数轴上只需有原点(即中时区中央经线的位置)和正、负方向，刻度不用画。

第二，在数轴上表示出两个时区的位置，东时区在正方向，西时区在负方向。

并计算出两时区在数轴上的距离(用S表示)。

第三，在两个时区之间画一箭头，方向由已知时间的时区指向未知时间的时区。

如果箭头指向负方向，就用已知时间减去S。

如果箭头指向正方向，就用已知时间加S。

2．日期的区分地球上的日期分界线有两条，一条是国际日界线(人为日界线)，即180°经线，该日界线的位置不变，但是时间在变化；另一条是0时经线(自然日界线)，它的位置是变化的，但时间不变，且当太阳直射0°经线时，两条日界线重合，全球只有一个日期。

除此之外，地球上有两个日期。

如下图所示：新的一天的范围是地方时为0时的经线向东至180°经线，旧的一天的范围是180°经线向东至地方时为0时的经线。

第二讲 空间点、直线、平面的位置关系1．点、线、面的位置关系(1)公理1 ∵A ∈α，B ∈α，∴AB ⊂α.(2)公理2 ∵A ，B ，C 三点不共线，∴A ，B ，C 确定一个平面． (3)公理3 ∵P ∈α，且P ∈β，∴α∩β＝l ，且P ∈l . 三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面． ②过两条平行直线有且只有一个平面． ③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面． (4)公理4 ∵a ∥c ，b ∥c ，∴a ∥b . (5)等角定理 ∵OA ∥O 1A 1，OB ∥O 1B 1， ∴∠AOB ＝∠A 1O 1B 1或∠AOB ＋∠A 1O 1B 1＝180°. 2．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理 ∵a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ，∴a ∥α. (2)线面平行的性质定理 ∵a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ，∴a ∥b .(3)面面平行的判定定理 ∵a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α，∴α∥β. (4)面面平行的性质定理 ∵α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，∴a ∥b . 3．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理 ∵m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝P ，l ⊥m ，l ⊥n ，∴l ⊥α. (2)线面垂直的性质定理 ∵a ⊥α，b ⊥α，∴a ∥b . (3)面面垂直的判定定理 ∵a ⊂β，a ⊥α，∴α⊥β.(4)面面垂直的性质定理 ∵α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ，∴a ⊥β. 4．异面直线所成的角 (1)定义．(2)范围：θ∈(0，π2]．(3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形．若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求的角． 5．直线与平面所成的角 (1)定义．(2)范围：θ∈[0，π2]．(3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得．6．二面角 (1)定义．(2)范围：θ∈[0，π]． (3)找二面角平面角的方法①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法． 垂线法是最重要的方法，具体步骤如下： ①弄清该二面角及它的棱．②考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线(往往先找垂面再找垂线)． ③过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角．④解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小．1． (2013·安徽)在下列命题中，不是公理的是( )A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案 A解析 B 、C 、D 选项是公理．2． (2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β 答案 D解析 A 中，m 与n 可垂直、可异面、可平行；B 中m 与n 可平行、可异面；C 中若α∥β，仍然满足m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，故C 错误；故D 正确．3． (2013·山东)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为 ( )A.5π12B.π3C.π4D.π6 答案 B解析 如图所示：S ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴V ABC －A 1B 1C 1＝S ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.4． (2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当α⊥β时，由于α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，由面面垂直的性质定理知，b ⊥α. 又∵a ⊂α，∴b ⊥a .∴“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分条件． 而当a ⊂α且a ∥m 时，∵b ⊥m ，∴b ⊥a . 而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a ⊥b ”的必要条件，故选A.5． (2013·浙江)在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B ＝f π(A )．设α、β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1＝f β[f α(P )]，Q 2＝f α[f β(P )]，恒有PQ 1＝PQ 2，则( ) A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60° 答案 A解析 本题关键是理解B ＝f π(A )的含义． 若平面α与平面β不垂直．在其中一个平面α上取一点P .则PQ 1≠PQ 2. 所以平面α与平面β垂直，故选A.题型一 空间点、线、面的位置关系例1 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．审题破题 可以画出四面体ABCD 的直观图，根据图形分析点、线、面的位置关系． 答案 ①④⑤解析 若AB 与CD 共面，ABCD 就成了平面图形，故①对；若垂足为△BCD 高线的交点，必推出对棱垂直，故②错； 只有当以AB 为底的三角形是等腰三角形时，垂足才能重合， 故③错；设垂足为O ，过O 作OE ⊥CD 于E ，连接AE ，则OE <AE .∴S △COD ＝12CD ·OE <S △ACD＝12CD ·AE . 同理可得S △ABD >S △BOD ，S △ABC >S △BOC ， ∴S △ACD ＋S △ABC ＋S △ABD >S △BCD .故④对．如图，点E 、F 、G 、H 、M 、N 为各边中点，这样可得到▱EFGH 和 ▱ENGM 它们的对角线EG 和FH 互相平分，EG 和MN 也互相平分． 因此，三条线段EG ，FH ，MN 交于一点，故⑤对．反思归纳 准确画出相应的几何体，结合该几何体来研究各命题的真假．若判定一个命题为假，只需举一反例(特殊状态、特殊位置、特殊图形)即可．有时用反证法来判断也可以．变式训练1 (1)给出下列关于互不相同的直线m ，n ，l 和平面α、β的四个命题：①m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②l 、m 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β； ④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m . 其中假命题的序号是__________． 答案 ④解析 命题①可用反证法证明成立；命题②利用线面平行的性质，过l 、m 分别作平面γ、δ交平面α于l ′，n ′，易知n ⊥l ′，n ⊥m ′且m ′，n ′相交，故n ⊥α；命题③即为面面平行的判定定理；命题④中l ，m 可以平行、相交，也可以异面．(2)若P 是两条异面直线l ，m 外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________． ①过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行；②过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直；③过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交；④过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面．答案①③④解析可以利用模型进行判断．题型二平行关系与垂直关系例2在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG∥平面PMA；(2)求证：平面EFG⊥平面PDC；(3)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．审题破题(1)证明EG、FG都平行于平面PMA.(2)证明GF⊥平面PDC.(3)设MA为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解．(1)证明∵E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，∴EG∥PM，GF∥BC.又∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.∵EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA内，∴EG∥平面PMA，GF∥平面PMA.又∵EG、GF都在平面EFG内且相交，∴平面EFG∥平面PMA.(2)证明由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，∵G、F分别为PB、PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.(3)解∵PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2.∵DA⊥平面MAB，且PD∥MA，∴DA即为点P到平面MAB的距离，∴V P－MAB∶V P－ABCD＝13S△MAB·DA∶13S正方形ABCD·PD＝S △MAB ∶S 正方形ABCD ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2∶(2×2)＝1∶4. 反思归纳 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可，l ⊥α，a ⊂α⇒l ⊥a .变式训练2 (2013·北京)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD .E 和F 分别为CD 、PC 的中点．求证：(1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .证明 (1)平面P AD ∩平面ABCD ＝AD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ⊥AD . ∴P A ⊥底面ABCD .(2)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点， ∴AB ∥DE ，且AB ＝DE .∴ABED 为平行四边形．∴BE ∥AD . 又∵BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .(3)∵AB ⊥AD ，且四边形ABED 为平行四边形． ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知P A ⊥底面ABCD ，则P A ⊥CD ， ∴CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD ， 又E 、F 分别为CD 、CP 的中点， ∴EF ∥PD ，故CD ⊥EF .由EF ，BE 在平面BEF 内，且EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF . ∴平面BEF ⊥平面PCD .题型三 空间线面关系的综合问题例3 如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .审题破题 (1)通过线面垂直证明线线垂直．(2)这是一道探索性问题，先确定点N 的位置，再进行证明．要注意解题的方向性，通过寻找到的条件，证明MN ∥平面DAE 成立． (1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，∵AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC . 又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ， ∴AE ⊥BF ，∵BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ， 又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE .∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， ∴MG ∥平面ADE .同理，GN ∥平面ADE .又∵GN ∩MG ＝G ， ∴平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE . ∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．反思归纳 解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形．变式训练3 (2013·浙江)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD＝CD ＝7，P A ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值；(3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PGGC 的值．(1)证明 设点O 为AC 、BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线． 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥BD ，且AC ∩P A ＝A . 所以BD ⊥平面APC .(2)解 连接OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ， 所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．由题意得OG ＝12P A ＝32.在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝2 3. 所以OC ＝12AC ＝ 3.在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2.在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433.所以DG 与平面APC 所成角的正切值为433.(3)解 连接OG .因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ， 所以PC ⊥OG .在Rt △P AC 中，得PC ＝15.所以GC ＝AC ·OC PC ＝2155.从而PG ＝3155，所以PG GC ＝32.典例 (12分)如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求P A 的长．(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE . 规范解答(1)解 令P A ＝x (0<x <2)，则A ′P ＝PD ＝x ，BP ＝2－x .因为A ′P ⊥PD ，且平面A ′PD ⊥平面PBCD ，故A ′P ⊥平面PBCD .所以V A ′－PBCD ＝13Sh＝16(2－x )(2＋x )x ＝16(4x －x 3)． 令f (x )＝16(4x －x 3)，[4分] 由f ′(x )＝16(4－3x 2)＝0，得x ＝233(负值舍去)．[5分]当x ∈⎝⎛⎭⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．[7分]所以当x ＝233时，f (x )取得最大值．故当V A ′－PBCD 最大时，P A ＝233.[8分](2)证明 设F 为A ′B 的中点，如图所示，连接PF ，FE ，则有EF 綊12BC ，PD 綊12BC . [10分]所以EF 綊PD .所以四边形EFPD 为平行四边形．所以DE ∥PF . 又A ′P ＝PB ，所以PF ⊥A ′B ，故DE ⊥A ′B .[12分]评分细则 (1)从已知条件得到A ′P ⊥平面PBCD ，得2分；(2)f (x )的单调区间写成闭区间不扣分；少一个区间扣1分；(3)辅助线没有按要求画出或实虚错误扣1分． 阅卷老师提醒 (1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口． (2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决．1．关于直线a、b、c，以及平面M、N，给出下列命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若a∥M，b⊥M，则a⊥b；③若a∥b，b∥M，则a∥M；④若a⊥M，a∥N，则M⊥N.其中正确命题的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①中a与b可以相交或平行或异面，故①错．③中a可能在平面M内，故③错，故选C.2．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.正确的命题是() A．①③B．②③C．①④D．②④答案 C解析②平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线．故②③错，选C.3．(2012·四川)下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，△ABC的三个顶点中，A、B在α的同侧，而点C在α的另一侧，且AB平行于α，此时可有A、B、C三点到平面α距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.5．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是()A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直答案 C解析易证ON在平面A1ADD1上的射影与AM垂直，进而可证得ON⊥AM.6．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的有________．答案②③解析正方体中一个对角面和一个侧面都与底面垂直，但这两个面不垂直，故命题①不正确；若α⊥γ，在平面α内作平面α与平面γ的交线的垂线m，根据面面垂直的性质定理，m⊥γ，又β∥γ，故m⊥β，这样平面α过平面β的一条垂直，故α⊥β，命题②正确；过直线l作平面δ交平面α于直线n，根据线面平行的性质定理，l∥n，又l⊥β，故n⊥β，这样平面α就过平面β的一条垂线，故α⊥β，故命题③正确．专题限时规范训练一、选择题1．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案 D解析由直线a与B确定的平面与β有唯一交线．故存在唯一与a平行的直线．2．设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是() A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β答案 D解析选项A中的直线m、n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．故选D.3．下列命题中错误的是() A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案 D解析两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角等于() A．60°B．90°C．30°D．随点E的位置而变化答案 B解析在正方体中，显然有A1D⊥AB，A1D⊥AD1，所以A1D⊥面AD1C1B，又C1E⊂面AD1C1B，故A1D⊥C1E.故选B.5．如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1F－HC1G所得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是()A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台答案 D解析 A 中，∵EH ∥A 1D 1，∴EH ∥BC ， ∴EH ∥平面BCC 1B 1.又过EH 的平面EFGH 与平面BCC 1B 1交于FG ， ∴EH ∥FG .故A 成立．B 中，易得四边形EFGH 为平行四边形， ∵BC ⊥平面ABB 1A 1， ∴BC ⊥EF ，即FG ⊥EF .∴四边形EFGH 为矩形．故B 正确．C 中可将Ω看作以A 1EFBA 和D 1DCGH 为上下底面，以AD 为高的棱柱．故C 正确． 6． 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，AC ∩EF ＝G .现在沿AE 、EF 、F A 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为P ，则在四面体P －AEF 中必有()A ．AP ⊥△PEF 所在平面B ．AG ⊥△PEF 所在平面C ．EP ⊥△AEF 所在平面D ．PG ⊥△AEF 所在平面答案 A解析 在折叠过程中，AB ⊥BE ，AD ⊥DF 保持不变． ∴⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PEAP ⊥PF PE ∩PF ＝P ⇒AP ⊥面PEF . 7． 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由平面与平面垂直的判定定理知，如果m 为平面α内的一条直线，m ⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 8． 已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 A解析 ①②③不成立，故选A. 二、填空题9． 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于______．答案2解析 由于在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ， 平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.10．如图所示，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成正四面体PDEF (点A 、B 、C 重合后记为P )，则四面体中异面直线PG 与DH 所成角的余弦值为________．答案 23解析 折成的正四面体如图所示，连接HE ，取HE 的中点K ，连接GK ，PK ，则GK ∥DH ，故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK 中，PG ＝3，GK ＝32，PK ＝12＋⎝⎛⎭⎫322＝72， 故cos ∠PGK ＝(3)2＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫7222×3×32＝23.即异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值是23.11．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线P A 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①P A ∥平面MOB ； ②MO ∥平面P AC ； ③OC ⊥平面P AC ； ④平面P AC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)． 答案 ②④解析 ①错误，P A ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面P AC .12．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．答案 33解析 如图，作PM ⊥面ABC ，设P A ＝a ，则AB ＝2a ，CM ＝63a ，PM ＝33a .设球的半径为R ，所以⎝⎛⎭⎫33a －R 2＋⎝⎛⎭⎫63a 2＝R 2，将R ＝3代入上式，解得a ＝2，所以d ＝3－233＝33.三、解答题13．(2013·江苏)如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明(1)由AS＝AB，AF⊥SB知F为SB的中点，则EF∥AB，FG∥BC，又EF∩FG＝F，因此平面EFG∥平面ABC.(2)由平面SAB⊥平面SBC，且AF⊥SB，知AF⊥平面SBC，则AF⊥BC.又BC⊥AB，AF∩AB＝A，则BC⊥平面SAB，又SA⊂平面SAB，因此BC⊥SA.14．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC.(1)求证：平面AB1C1⊥平面AC1；(2)若AB1⊥A1C，求线段AC⊥AA1长度之比；(3)若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明由于ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以B1C1⊥CC1.又因为AC⊥BC，所以B1C1⊥A1C1，又CC1∩A1C1＝C1，所以B1C1⊥平面AC1.由于B1C1⊂平面AB1C1，从而平面AB1C1⊥平面AC1.(2)解由(1)知，B1C1⊥A1C.所以，若AB1⊥A1C，则可得：A1C⊥平面AB1C1，从而A1C⊥AC1.由于ACC1A1是矩形，故AC与AA1长度之比为1∶1.(3)解点E位于AB的中点时，能使DE∥平面AB1C1.设F是BB1的中点，连接DF、EF、DE.则易证：平面DEF∥平面AB1C1，从而DE∥平面AB1C1.。

知识专题练1．(2013·福建文综)下图示意我国部分地区冷冻灾害发生频次分布，读图回答问题。

(1)指出冷冻灾害对农业生产的影响，并分析图中P区域冷冻灾害高发的原因。

(2)简述该区域农业生产预防冷冻灾害可采取的主要措施。

答案(1)农业减产(农作物、牲畜、林木、渔业减产)；农田基础设施被破坏。

寒潮南下受地形影响，冷空气堆积；地势较高，气温低。

(2)加强天气监测与预报；加强减灾防灾管理，做好防冻措施；培育与推广耐寒品种。

解析第(1)题，冷冻灾害使农业减产，并对农业基础设施产生破坏。

P地区位于三山夹峙地带，并且向北敞开，成为北方冷空气容易进入并且堆积的区域；同时山地地形，地势高，气温低。

第(2)题，从灾害预警预报、管理与科技等方面防御冷冻灾害。

2．阅读图文资料，完成下列要求。

2011年6月18日，“到武汉去看海”的帖子在网上流传，一场大雨让武汉变成了一片汪洋。

左图为“武汉中心城区主要湖泊变化图”，右图为“城市发展漫画图”。

(1)依据材料分析武汉市形成一片汪洋的原因。

(2)说明为防范上述灾害应采取的措施。

答案(1)降雨强度大；湖泊面积变小，蓄洪能力下降；城市地表硬化，雨水下渗量减小。

(2)工程措施：加强排水系统等基础设施的建设(或整治河道、改造地下管网、修建蓄水池、铺设透水路面、下凹式绿地等)。

非工程措施：加强城市防洪减灾政策与法规建设(或加强监测及城市暴雨内涝风险评估、加强民众防灾减灾意识的培养、借鉴国外防治内涝经验等)。

解析第(1)题，城市内涝的原因一方面由于降水强度大，另一方面由于河湖蓄洪能力减弱，下渗量减少导致城市积水严重。

第(2)题，从工程措施和非工程措施两方面采取措施。

3．(2013·新课标全国文综Ⅰ)阅读图文资料，完成下列要求。

下图所示区域位于我国江南丘陵区。

分析图中居民点易遭洪灾的原因，并提出具体的应对措施。

答案原因：区域属于亚热带季风气候，多暴雨。

居民点地处谷底河边，其河流上游地区集水面积较广。

知识专题练一、选择题下图中实线为锋线且正向西北方向移动，虚线范围内为雨区。

读图回答1～2题。

1．下列关于该天气系统过境时天气状况的描述，正确的是() A．天气转晴B．气温剧烈下降C．连续性降水D．狂风2．若该锋线两侧a、b、e三点的气压对比是a＝b>e，则下列气压对比正确的是() A．a<c B．b>d C．c＝d D．d>c答案 1.C 2.D解析第1题，雨区主要出现在冷气团一侧，而锋面向西北移动可以判定是暖锋。

第2题，由于a、b、e三点的气压对比是a＝b>e，再加上锋线一定位于低压槽，因此可以得出图中五点的气压值大小比较为：c<e<a＝b<d。

锋线指锋面与地面的交线，下图反映某地区某年4月11日～13日的锋线移动情况。

读图回答3～4题。

3．该锋面属于() A．北半球冷锋B．南半球暖锋C．北半球暖锋D．南半球冷锋4．11日～13日期间，甲地气温最低值出现在() A．11日的深夜B．12日的深夜C．11日的日出前后D．13日的日出前后答案 3.A 4.D解析第3题，对比三幅图，可知该锋面向东南方向移动，云雨区位于锋线的后方，因此该锋面为北半球的冷锋。

第4题，11日受暖气团控制，气温较高；12日出现了云雨，大气逆辐射较强，夜晚气温不会太低；13日该地受单一冷气团控制，大气逆辐射较弱，气温较低，而一天中的最低气温出现在日出前后。

下图为“我国南方地区等压线形势分布图”，读图回答5～7题。

5．图中控制甲地区的天气系统是() A．气旋B．反气旋C．高压脊D．准静止锋6．从图中可以得出的正确信息是() A．甲地是下沉气流B．乙地是高气压中心C．丙地风力最大D．丁地降水在锋后7．当图中甲、乙两地的天气系统彻底消失时() A．德干半岛受西南季风控制B．非洲南端受副热带高气压带控制C．密西西比河受高水位控制D．潘帕斯草原常常受到寒潮袭击答案 5.A 6.C7.B解析第5题，据图可知，甲地区为低气压，则控制甲地的天气系统为气旋，多阴雨天气。

学案9自然环境的整体性和差异性【考纲点击】 1.自然地理要素在地理环境形成和演变中的作用。

2.地理环境各要素的相互作用，地理环境的整体性。

3.地理环境的地域分异规律。

【构建知识体系】考点一地理环境的整体性典例1(2013·安徽文综)地表岩石风化后，由残留在原地基岩上的风化产物组成的壳层，称为风化壳。

下图为不同气候—植被带的风化壳厚度变化示意图。

完成(1)～(2)题。

(1)曲线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别代表()A．气温、降水、蒸发B．降水、蒸发、气温C．降水、气温、蒸发D．气温、蒸发、降水(2)风化壳厚度()A．甲大于丁是因为热量丰富、降水量大B．乙大于丙是因为植被茂盛、蒸发量大C．刚果盆地总体上大于格陵兰岛D．伊朗高原总体上大于恒河平原答案(1)B(2)C解析第(1)题，森林带应降水量大于蒸发量，需要湿润的气候条件；草原带、荒漠带地区降水量小于蒸发量，气候干燥，蒸发最旺盛的地区位于副热带地区，不位于热带森林带；气温随纬度升高递减。

故应选B项。

第(2)题，风化壳厚度受气候条件制约，炎热多雨的气候条件下，淋溶、生物作用明显，风化壳厚度大，反之寒冷或干旱的条件下风化壳厚度小。

据四个选项中不同地区的气候特点，知应选C。

1．地理环境整体性的特点地理环境的整体性主要表现为以下三个特点：(1)自然地理环境的各要素相互联系地组合在一起，形成一个有机整体，会产生生产功能、平衡功能等整体性功能，这是单个地理要素所不具有的。

(2)自然地理环境具有统一的演化过程。

地理环境各要素的发展变化是统一的，每个地理要素的演化都是自然地理环境演化的一个方面，如我国西北地区，气候、水文、土壤等自然要素共同构成了西北独特的荒漠环境。

(如下图)(3)地理要素的变化会“牵一发而动全身”。

地理环境的整体性还表现在某一地理要素的变化会导致其他要素乃至整个地理环境状态的改变。

下图为大量使用矿物燃料、滥伐森林引起整个生态环境失调的例子。

2．地理环境整体性的分析思路地理环境的整体性，决定了在协调人类与地理环境之间的关系时，必须考虑陆地环境的整体性特征。

学案7水循环与洋流【考纲点击】 1.水循环的过程和主要环节，水循环的地理意义。

2.世界洋流分布规律；洋流对地理环境的影响。

【构建知识体系】考点一水循环典例1(2013·安徽文综)下图为“伏尔加河主要流经地区示意图”。

完成(1)～(2)题。

(1)从水循环的过程和地理意义看，伏尔加河()①流域内总体上蒸发旺盛②流域的部分降水源自西风带③河水主要参与陆地内循环④使东欧平原总体趋于高低不平⑤促进里海的水分和热量平衡A．①②④B．①③⑤C．②③⑤D．②④⑤(2)图中所示石油、天然气()A．与伏尔加河水能的能量来源不同B．直接形成于伏尔加河的沉积作用C．开发得益于伏尔加河水资源丰富D．输出主要通过伏尔加河运往西欧答案(1)C(2)C解析第(1)题，①②③三项是从水循环过程对伏尔加河进行的分析，由图可知该河流域纬度较高，气温较低，蒸发较弱，故①项错。

④⑤两项是从水循环的意义角度对伏尔加河的分析，由图知该河流域为东欧平原，地势平坦，故④项错。

第(2)题，石油、天然气与水能都是来自太阳辐射的能源，石油、天然气是地质时期低等生物沉积在湖泊或海洋中变成有机质，经过复杂的地质作用转变和富集起来的。

伏尔加河南流入里海，沿该河运油不可能到达西欧。

1．水循环的主要类型及环节2．水循环中陆地水体的补给类型及特点(1)陆地水体的相互补给关系大气降水是陆地各水体最主要的补给来源，其相互补给关系如下图所示：(2)河水的补给河水是人类利用的最主要的淡水资源，因此研究河水的补给特点，有利于合理利用水资源，具体总结如下：①以大气降水补给为主的河流，其流量变化与降水量的变化相一致。

②以冰雪融水补给为主的河流，其流量变化与气温的变化相一致。

③以湖泊水和地下水补给为主的河流，其流量变化全年相对稳定。

3．利用水循环原理分析水资源问题目前，缺水已成为一个全球性问题，一般可分为资源型缺水和水质型缺水两种类型。

缺水的原因及措施如下：[河流的水系、水文特征下图为“我国某地河流实测径流量与降水量图”。

专题二　集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲　集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x ∈M ，p (x )的否定是∃x ∈M ，綈p (x )；∃x ∈M ，p (x )的否定是∀x ∈M ，綈p (x )．3．充要条件设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，则有从逻辑观点看从集合观点看p 是q 的充分不必要条件(p ⇒q ，q ⇒p )A B p 是q 的必要不充分条件(q ⇒p ，p ⇒q )B A p 是q 的充要条件(p ⇔q )A ＝B p 是q 的既不充分也不必要条件(p ⇒q ，q ⇒p )A 与B 互不包含1． (2013·辽宁)已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B 等于( )A ．(0,1) B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]答案　D 解析　A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．2． (2013·北京)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )通过管线敷设技术不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案　A 解析　当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B 答案　D 解析　命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D.4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；1218②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝相切．12其中真命题的序号是( )A ．①②③ B ．①②C ．①③ D ．②③答案　C 解析　对于命题①，设球的半径为R ，则π3＝·πR 3，故体积缩小到原来的，命题正43(R 2)184318确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝的圆心(0,0)到12直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．12225． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题：①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案　①④，要加与过度安全，解析　∵|CA |＋|CB |≥|AB |，当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，即三个点A ，B ，C ，∴点C 在线段AB 上，∴点C 是A ，B ，C 的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，P 是AB 的中点，CH ⊥AB ，点P ，H 不重合，则|PC |>|HC |.又|HA |＋|HB |＝|PA |＋|PB |＝|AB |，∴|HA |＋|HB |＋|HC |<|PA |＋|PB |＋|PC |，∴点P 不是点A ，B ，C 的中位点，故②是假命题．如图(2)，A ，B ，C ，D 是数轴上的四个点，若P 点在线段BC 上，则|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AD |＋|BC |，由中位点的定义及①可知，点P 是点A ，B ，C ，D 的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．　如图(3)，由①可知，若点P 是点A ，C 的中位点，则点P 在线段AC 上，若点P 是点B ，D 的中位点，则点P 在线段BD 上，∴若点P 是点A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，BD 的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一　集合的概念与运算问题例1　(1)(2012·湖北)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,3,6}，则N －M 等于( )A ．M B ．N C ．{1,4,5} D ．{6}审题破题　(1)先对集合A 、B 进行化简，注意B 中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C 即可．(2)透彻理解A －B 的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案　(1)D (2)D解析　(1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }．∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ；3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ；6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M .∴故N －M ＝{6}．反思归纳　(1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．(2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1　(2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝，则{x |2－x 2＋x <0}S ∩T 等于( )A ．(－1,2) B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案　D 解析　S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}，T ＝{x |x >2或x <－2}．∴S ∩T ＝{x |x >2}．题型二　命题的真假与否定问题例2　下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x 0∈R ，x －x 0＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0；20③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝”的充要条件；12④若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．A ．1 B ．2 C ．3 D ．4审题破题　判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词．答案　B 解析　对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2.反思归纳　(1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；设技艺高中资料试②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题；含一个量词的命题的否定一定要改变量词．变式训练2　给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则>”的逆否命题；c a c b ④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题只有( )A ．①②③ B ．①②④C ．①③④ D ．②③④答案　A解析　①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋≥2，1log2x 得x >1；③中由a >b >0，得<，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④1a 1b 中綈q ：∀x ∈R ，x 2－x －1>0，由于x 2－x －1＝2－，则存在x 值使x 2－x －1≤0，故(x －12)54綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题．题型三　充要条件的判断问题例3　(1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. B.[0，12](0，12)C ．(－∞，0)∪ D ．(－∞，0)∪[12，＋∞)(12，＋∞)审题破题　(1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决．答案　(1)B (2)A解析　(1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <；綈q ：x >a ＋1或x <a .12若綈p ⇐綈q ，则Error!或Error!，即0≤a ≤.12反思归纳　(1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3　(1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案　A 解析　由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．(2)设A ＝{x |<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值x x －1范围是( )A ．m <1 B ．m ≤1C ．m ≥1 D ．m >1答案　D 解析　<0⇔0<x <1.x x －1由已知得，0<x <m⇒0<x <1，但0<x <1⇒0<x <m 成立．∴m >1.典例　设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－，则≤l ≤1；1214③若l ＝，则－≤m ≤0.1222其中正确命题的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析　①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1，∴l ＝1，故①正确．②m ＝－时，m 2＝，故l ≥.121414又l ≤1，∴②正确．③l ＝时，m 2≤且m ≤0，则－≤m ≤0，121222∴③正确．答案　D 得分技巧　创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论．阅卷老师提醒　在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1． 已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－或1 B ．2或－112C ．－2或1或0 D ．－或1或012答案　D 解析　依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A .因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－；12当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝”的( )π2A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案　B 解析　φ＝⇒f (x )＝A cos ＝－A sin ωx 为奇函数，π2(ωx ＋π2)∴“f (x )是奇函数”是“φ＝”的必要条件．π2又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝＋k π(k ∈Z )⇒φ＝.π2π2∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝”的充分条件．π23． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0答案　C 解析　根据全称命题的否定是特称命题知．綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.4． 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案　C 解析　由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}．由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1.5． 下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤2中等号成立”的充要条件(x ＋y 2)C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0答案　C 解析　易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝的定义域为M ，则∁R M 为( )1－x 2A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案　D 解析　由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案　A 解析　由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )π4A ．若α≠，则tan α≠1 B ．若α＝，则tan α ≠1π4π4C ．若tan α≠1，则α≠ D ．若tan α≠1，则α＝π4π4答案　C 解析　由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠.π44． (2012·湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x ∈Q ”的否定是( )30A ．∃x 0D ∈∁R Q ，x ∈Q 30B ．∃x 0∈∁R Q ，x D ∈Q 30C ．∀xD ∈∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q 答案　D 解析　“∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x ∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q ”．305． 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案　C 解析　A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件．6． 下列关于命题的说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题答案　D解析　对于A ，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，因此选项A 正确．对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确．对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确．7． 已知p ：<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取2x x －1值范围是( )A ．(－∞，1) B ．[1,3]C ．[1，＋∞) D ．[3，＋∞)答案　C 解析　－1<0⇒<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当2x x －1x ＋1x －1a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒p ，从而可推出a 的取值范围是a ≥1.8． 下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin B D ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数答案　D解析　对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝2＋≥>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC (lg x ＋12)3434中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项π2D 是假命题．综上所述，选D.二、填空题9．已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案　3解析　A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}，集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}．故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案　(－1，＋∞)解析　M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11． 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是12________．答案　(－∞，12]解析　命题p ：a ≤x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝x 2－ln x ，f ′(x )＝x －＝12121x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝，∴a ≤.(x －1)(x ＋1)x 121212．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝，则3“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案　①④解析　对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列{a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得＝＝，当B ＝60°时，有sin A ＝，注意到b >a ，故b a sin B sin A 312A ＝30°；但当A ＝30°时，有sinB ＝，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．32三、解答题13．已知函数f (x )＝ 的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集6x ＋1－1合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解　A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求a 的取值范围．解　由命题p ：1∈A ，得Error!解得a >1.由命题q ：2∈A ，得Error!解得a >2.又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，Error!即1<a ≤2，当p 假q 真时，Error!无解．故所求a 的取值范围为(1,2]．。

第五讲 导数及其应用1．导数的几何意义(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)导数的物理意义：s ′(t )＝v (t )，v ′(t )＝a (t )． 2．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x . 3．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件，但对不可导的函数，可能在极值点处函数的导数不存在(如函数y ＝|x |在x ＝0处)，因此对于一般函数而言，导数等于零既不是函数取得极值的充分条件也不是必要条件． 4．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值． 5．定积分的求法及几何性质 (1)定积分的求法①定义法：分割—近似代替—作和—取极限； ②利用微积分基本定理：先求被积函数f (x )的原函数F (x )，即F ′(x )＝f (x )，再计算F (b )－F (a )，即为所求． (2)定积分的几何性质如果在区间[a ，b ]上的函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．1． (2013·广东)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.答案 －1解析 ∵y ′＝k ＋1x，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，∴k ＝－1.2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案 2解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)， ∴f (t )＝ln t ＋t∴f ′(t )＝1t ＋1，∴f ′(1)＝2.3． (2013·浙江)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则 ( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0. ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)显然f ′(1)＝0，且x 在1的左边附近f ′(x )<0， x 在1的右边附近f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C.4． (2012·重庆)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D解析 利用极值的存在条件判定．当x <－2时，y ＝(1－x )f ′(x )>0，得f ′(x )>0； 当－2<x <1时，y ＝(1－x )f ′(x )<0，得f ′(x )<0； 当1<x <2时，y ＝(1－x )f ′(x )>0，得f ′(x )<0； 当x >2时，y ＝(1－x )f ′(x )<0，得f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)．5． (2013·安徽)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知得x 1≠x 2，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋2ax 1＋b ＝0，3x 22＋2ax 2＋b ＝0，若x 1<x 2，y ＝x 1，y ＝x 2与f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个不同交点．即方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同实根． 若x 1>x 2，如图，同理得方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同实根．题型一 导数意义及应用例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．(2)(2012·山东)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.审题破题 (1)利用导数的几何意义，列方程求交点P 的坐标．(2)用定积分表示封闭图形面积，根据微积分基本定理计算．答案 (1)(－2,15) (2)49解析 (1)因为y ′＝3x 2－10，设P (x ，y )， 则由已知有3x 2－10＝2，即x 2＝4，∴x ＝±2， 又∵点P 在第二象限，∴x ＝－2.则y ＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15， ∴点P 坐标为(－2,15)． (2)利用定积分的几何意义求解． S ＝ʃa 03232d x x x =|a 0＝23a ＝a 2，∴a ＝49. 反思归纳 (1)在求曲线的切线方程时，注意两点：①求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 的切线，一定是以点P 为切点；过点P 的切线不管点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．(2)注意定积分与曲边梯形面积的区别，用定积分表示出面积是解题的关键．变式训练1 (1)(2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析 令v (t )＝0得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t ＝7t －32t 2＋25ln(1＋t )|40 ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.(2)直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 答案 －ln 2－1解析 切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出b 的值．y ′＝1x ，令1x ＝2，得x ＝12，故切点为⎝⎛⎭⎫12，ln 12，代入直线方程，得ln 12＝2×12＋b ，所以b ＝－ln 2－1.题型二 利用导数研究函数的单调性 例2 已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间； (2)若函数g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．审题破题 (1)直接根据f ′(x )<0确定单调递减区间；(2)g (x )在[1，＋∞)上单调，则g ′(x )≥0或g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立． 解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，32当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x，故f (x )的单调递减区间是(0,1)． (2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x 2，函数g (x )在[1，＋∞)上是单调函数．①若g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x －2x 2，∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝0，∴a ≥0.②若g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数a 的取值范围为[0，＋∞)．反思归纳 利用导数研究函数单调性的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f (x )的定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．变式训练2 已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax .(1)设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆(x ＋1)2＋y 2＝1相切，求a 的值； (2)当a >0时，求函数f (x )的单调区间． 解 (1)函数的定义域为(－∞，2)．依题意得f ′(x )＝a ＋1x －2.因此过(1，f (1))点的切线的斜率为a －1.又f (1)＝a ，所以过点(1，f (1))的切线方程为y －a ＝(a －1)(x －1)， 即(a －1)x －y ＋1＝0.又已知圆的圆心为(－1,0)，半径为1，依题意，有|1－a ＋1|(a －1)2＋1＝1，解得a ＝1.(2)f (x )＝ln(2－x )＋ax 的定义域为(－∞，2)，f ′(x )＝a ＋1x －2.因为a >0，所以2－1a <2.令f ′(x )>0，解得x <2－1a ；令f ′(x )<0，解得2－1a<x <2.所以，f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，2－1a ， f (x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫2－1a ，2. 题型三 利用导数研究函数的极值(最值) 例3 已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值、最小值；(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．审题破题 (1)f (x )在闭区间[1，e]上的最大值、最小值要么在端点处取得，要么在极值点处取得．所以首先要研究f (x )在[1，e]上的单调性．(2)f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方，即g (x )－f (x )在(1，＋∞)上恒大于0.(1)解 当x ∈[1，e]时，f ′(x )＝x ＋1x >0，所以f (x )在区间[1，e]上为增函数．所以当x ＝1时，f (x )取得最小值12；当x ＝e 时，f (x )取得最大值12e 2＋1.(2)证明 设h (x )＝g (x )－f (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，x ∈[1，＋∞)，则h ′(x )＝2x 2－x －1x ＝2x 3－x 2－1x＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x.当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以h (x )>h (1)＝16>0.所以对于x ∈(1，＋∞)，g (x )>f (x )成立，即f (x )的图象在g (x )的图象的下方．反思归纳 (1)求函数的最值可结合函数的单调性、极值，有时也可以和图象联系；(2)用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． 变式训练3 (2013·广东)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M . 解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2， ∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)． 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝ln 2.由表可知，函数f (x )的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)． (2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )， ∵12<k ≤1，∴1<2k ≤2， 由(1)可知f (x )在(0，ln 2k )上单调递减，在(ln 2k ，＋∞)上单调递增．设g (x )＝x －ln 2x ⎝⎛⎭⎫12<x ≤1， 则g ′(x )＝1－22x ＝1－1x，∵12<x ≤1，∴1≤1x <2，∴－1<1－1x≤0， ∴g (x )＝x －ln 2x 在⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减， ∴g (x )>g (1)＝1－ln 2>0， ∵12<k ≤1，∴k －ln 2k >0即k >ln 2k ， ∴f (x )在(0，ln 2k )上单调递减，在(ln 2k ，k )上单调递增， ∴f (x )在[0，k ]上的最大值应在端点处取得． 而f (0)＝－1，f (k )＝(k －1)e k －k 3， 下面比较f (0)与f (k )的大小． 令h (k )＝f (k )－f (0)＝(k －1)e k －k 3＋1， 则h ′(k )＝k (e k －3k )，再令φ(k )＝e k －3k ，则φ′(k )＝e k －3<e －3<0，∴φ(k )在⎝⎛⎦⎤12，1上递减，而φ⎝⎛⎭⎫12·φ(1)＝⎝⎛⎭⎫e －32(e －3)<0， ∴存在x 0∈⎝⎛⎦⎤12，1使得φ(x 0)＝0，且当k ∈⎝⎛⎭⎫12，x 0时，φ(k )>0，当k ∈(x 0,1)时，φ(k )<0， ∴h (k )在⎝⎛⎭⎫12，x 0上单调递增，在(x 0,1)上单调递减． 又h ⎝⎛⎭⎫12＝－12 e ＋78>0，h (1)＝0. ∴h (k )≥0在⎝⎛⎦⎤12，1上恒成立，当且仅当k ＝1时取“＝”． 综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k －k 3. 题型四 导数的综合应用例4 已知函数f (x )＝ax ·sin x －32(a >0)，且f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为π－32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内零点个数，并加以证明．审题破题 (1)通过求最值可确定a 的值；(2)函数f (x )的零点个数可以利用函数单调性、极值结合函数草图确定．解 (1)f ′(x )＝a ·sin x ＋ax ·cos x ＝a (sin x ＋x cos x )．∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x ＋x cos x >0. 又a >0，∴f ′(x )>0，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数． 则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2a －32＝π－32，∴a ＝1，所以f (x )＝x sin x －32.(2)函数f (x )在区间(0，π)内有且只有两个零点． 证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而f (0)＝－32<0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2－32>0. 由(1)知，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，且f (x )的图象连续不间断， ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上有唯一零点； 当x ∈⎣⎡⎭⎫π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，由g ⎝⎛⎭⎫π2＝1>0，g (π)＝－π<0，且g (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的图象是连续不断的，故存在m ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使得g (m )＝0.由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，有g ′(x )<0，从而g (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π内单调递减． 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，m 时，g (x )>g (m )＝0，即f ′(x )>0， 从而f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，m 内单调递增， 故当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，m 时，f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫π2＝π－32>0. 故f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，m 上无零点； 当x ∈(m ，π)时，有g (x )<g (m )＝0，即f ′(x )<0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减， 又f (m )>0，f (π)<0，且f (x )在[m ，π]上的图象是连续不断的，从而f (x )在(m ，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．反思归纳 利用导数解决不等式恒成立，函数零点个数，证明不等式问题，可以利用求函数的单调性、极值、最值确定函数的草图，数形结合求解一些综合性问题．变式训练4 (2013·辽宁)(1)证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x ≤x ；(2)若不等式ax ＋x 2＋x32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明 记F (x )＝sin x －22x ，则F ′(x )＝cos x －22.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，F ′(x )＞0，F (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，F ′(x )＜0，F (x )在⎣⎡⎦⎤π4，1上是减函数． 又F (0)＝0，F (1)＞0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0，即sin x ≥22x . 记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1＜0，所以，H (x )在[0,1]上是减函数，则H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x .综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0,1]．(2)解 方法一 因为当x ∈[0,1]时，ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2≤(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫24x 2＝(a ＋2)x .所以，当a ≤－2时， 不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立．下面证明，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 因为当x ∈[0,1]时，ax ＋x 2＋x32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x2≥(a ＋2)x ＋x 2＋x32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x 22 ＝(a ＋2)x －x 2－x 32≥(a ＋2)x －32x 2＝－32x ⎣⎡⎦⎤x －23(a ＋2). 所以存在x 0∈(0,1)⎝⎛⎭⎫例如x 0取a ＋23和12中的较小值满足ax 0＋x 20＋x 302＋2(x 0＋2)cos x 0－4＞0. 即当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．方法二 记f (x )＝ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4，则 f ′(x )＝a ＋2x ＋3x22＋2cos x －2(x ＋2)sin x .记G (x )＝f ′(x )，则G ′(x )＝2＋3x －4sin x －2(x ＋2)cos x .当x ∈(0,1)时，cos x ＞12，因此G ′(x )＜2＋3x －4×22x －(x ＋2)＝(2－22)x ＜0.于是f ′(x )在[0,1]上是减函数，因此，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜f ′(0)＝a ＋2.故当a ≤－2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在[0,1]上是减函数，所以f (x )≤f (0)＝0.即当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]恒成立． 下面证明：当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋ 2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]不恒成立． 由于f ′(x )在[0,1]上是减函数，且f ′(0)＝a ＋2＞0，f ′(1)＝a ＋72＋2cos 1－6sin 1.当a ≥6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)≥0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0.因此f (x )在[0,1]上是增函数，故f (1)＞f (0)＝0；当－2＜a ＜6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)＜0.又f ′(0)＞0.故存在x 0∈(0,1)，使f ′(x 0)＝0，则当0＜x ＜x 0时，f ′(x )＞f ′(x 0)＝0，所以f (x )在[0，x 0]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，f (x )＞f (0)＝0.所以，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．典例 (12分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求函数g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求实数a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．规范解答解 (1)由题意，g (x )＝ln x ＋1x，x >0，∴g ′(x )＝x －1x 2，且x >0，令g ′(x )＝0，得x ＝1，[2分] 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0， 故(0,1)是g (x )的单调减区间， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0. 故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点． 所以最小值为g (1)＝1.[4分](2)由(1)知g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ， 设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2，且x >0.[6分]当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ；当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减， 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ， 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x .[9分] (3)由(1)知，g (x )的最小值为g (1)＝1，∴g (a )－g (x )<1a 对∀x >0成立⇔g (a )－1<1a .则ln a ＋1a －1<1a ，即ln a <1，∴0<a <e.故实数a 的取值范围是(0，e)．[12分]评分细则 (1)g (x )的单调区间写成(0,1]，[1，＋∞)的不扣分；只求出极值没有写出最值的扣1分；(2)a 的取值范围写成不等式的不扣分；没有下结论的扣1分． 阅卷老师提醒 (1)研究函数相关问题，树立定义域优先意识．(2)树立分类讨论，转化化归的思想意识，善于根据条件特征构造函数，重视函数、不等式(方程)间的转化．(3)对于不等式恒成立问题，善于转化为g (a )－1a <g (x )min ，分离参数或构造关于参数的不等式，达到求解目的．1． (2013·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 答案 C解析 A 项，因为函数f (x )的值域为R ，所以一定存在x 0∈R ，使f (x 0)＝0，A 正确．B 项，假设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为(m ，n )，按向量a ＝(－m ，－n )将函数的图象平移，则所得函数y ＝f (x ＋m )－n 是奇函数．所以f (x ＋m )＋f (－x ＋m )－2n ＝0，化简得(3m ＋a )x 2＋m 3＋am 2＋bm ＋c －n ＝0.上式对x ∈R 恒成立，故3m ＋a ＝0，得m ＝－a3，n ＝m 3＋am 2＋bm ＋c ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 3，所以函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为⎝⎛⎭⎫－a 3，f ⎝⎛⎭⎫－a 3，故y ＝f (x )的图象是中心对称图形，B 项正确．C 项，由于f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 是二次函数，f (x )有极小值点x 0，必定有一个极大值点x 1，若x 1<x 0，则f (x )在区间(－∞，x 0)上不单调递减，C 错误．D 项，若x 0是极值点，则一定有f ′(x 0)＝0.故选C. 2． 已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是( )A ．m >－2 2B ．m ≥－2 2C ．m <2 2D ．m ≤2 2答案 B解析 依题意知，x >0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x ，令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，当－m4≤0时，g (0)＝1>0恒成立，∴m ≥0成立，当－m4>0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m <0，综上，m 的取值范围是m ≥－2 2.3． 已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立，m ≥－⎝⎛⎭⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫1x 2＋2x ，则当1x＝1时，函数g (x )取最大值1，故m ≥1. 4． 设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围为________． 答案 (－19，＋∞)解析 由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a .当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a >－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间．5． (2012·上海)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝⎛⎭⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积 为 ________．答案 54解析 y ＝f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x ≤1.∴xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1，∴所求面积为S ＝ʃ12010x 2d x ＋ʃ112(－10x 2＋10x )d x＝ ⎪⎪103x 3120＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫－103x 3＋5x 2112＝103×18＋⎝⎛⎭⎫－103＋5－⎝⎛⎭⎫－103×18＋5×14 ＝54. 6． 已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫94，＋∞解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.专题限时规范训练一、选择题1． 已知函数y ＝－xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 由函数y ＝－xf ′(x )的图象知x <－1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2． 已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案 B解析 设直线y ＝x ＋1切曲线y ＝ln(x ＋a )于点(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )，又y ′＝1x ＋a ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.3． (2012·辽宁)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 B解析 根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解． 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x ≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．4． 已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于 ( )A ．1B ．2C ．0D. 2答案 B解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数， ∴a2≥1，得a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.5． (2012·陕西)设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点答案 D解析∵f(x)＝x e x，∴f′(x)＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即e x(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数．同理可求，x<－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．6．(2012·大纲全国)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于() A．－2或2 B．－9或3C．－1或1 D．－3或1答案 A解析∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c ＝2.7． 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >0，2x ＋ cos 3t d t ，x ≤0，则f (2 012)等于( )A ．1B ．2C.43D ．4答案 C解析 当x >0时，f (x )＝f (x －4)，所以f (x ＋4)＝f (x )，此时，4是f (x )的周期，所以f (2 012)＝f (0)＝20＋13sin π2＝43，选C.8． 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)答案 D 解析 x >0时⎣⎡⎦⎤f (x )x ′<0，∴φ(x )＝f (x )x 为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0， 此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )>0的解集为(0,2)∪(－∞，－2)． 二、填空题9． 某名牌电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 答案 40解析 ∵y ′＝x 2－39x －40，令y ′＝0. 即x 2－39x －40＝0，解得x ＝40或x ＝－1(舍)． 当x >40时，y ′>0，当0<x <40时，y ′<0，所以当x ＝40时，y 最小．10．函数f (x )＝2m cos 2x2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m 的值为________．答案 ±1解析 显然m ≠0，所以f (x )＝2m cos 2x 2＋1＝m (2cos 2x2－1)＋m ＋1＝m cos x ＋m ＋1，因此f ′(x )＝－m sin x ，其最大值为1，故有m ＝±1.11．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．12．函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________． 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 (利用换元法)将x 2换元成t ，则原式化为f (t )<t 2＋12，当t ＝1时，f (t )＝1，且t 2＋12＝1，又由f ′(t )<12，可知当t >1时，f (t )<t 2＋12；当t <1时，f (t )>t 2＋12.故f (t )<t 2＋12的解集为t >1，即x 2>1，因此x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 三、解答题13．(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值． 14．(2013·山东)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )．(1)设a ≥0，求f (x )的单调区间；(2)设a >0，且对任意x >0，f (x )≥f (1)．试比较ln a 与－2b 的大小． 解 (1)f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x.当a ＝0时，f ′(x )＝bx －1x.①若b ≤0，当x >0时，f ′(x )<0恒成立，所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．②若b >0，当0<x <1b 时，f ′(x )<0，当x >1b时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. 当a >0时，由f ′(x )＝0得2ax 2＋bx －1＝0.解得x 1＝－b －b 2＋8a 4a ，x 2＝－b ＋b 2＋8a4a ，此时x 1<0，x 2>0.当0<x <x 2时，f ′(x )<0，当x >x 2时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.综上所述：当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．当a ＝0，b >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.(2)由题意知：函数f (x )在x ＝1处取得最小值， 由(1)知，－b ＋b 2＋8a 4a 是f (x )的惟一极小值点，故－b ＋b 2＋8a4a＝1，整理得b ＝1－2a .令g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝1－4xx，令g ′(x )＝0得x ＝14.当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；所以g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫14＝1＋ln 14＝1－ln 4<0. 故g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 即ln a <－2b .。

专题六人口、城市与交通人口与人口问题【典题例证明思路】(2013·高考浙江卷)下图为1950～2010年世界及亚洲、欧洲、非洲、北美洲人口变化过程。

根据相关知识，读图完成(1)～(2)题。

(1)有关世界人口变化过程的表述，正确的是()A．1950～2010年人口死亡率大于人口出生率B．1950～1970年人口死亡率下降幅度最小C．1990～2010年人口自然增长率基本不变D．1950～1970年人口自然增长率上升(2)图中代表北美洲的是()A．①B．②C．③D．④【思路分析】1．获取信息要准确(1)设问信息明确思路第(1)题，设问是“世界人口变化过程”，解题思路是从图中获取相关变化的信息。

第(2)题，主旨词是“代表北美洲的”，解题思路是首先必须明确北美洲从1950年～2010年的人口变化特点，然后对照图中曲线进行对比分析。

(2)题干信息捕捉词语从题干中可获取图中五条折线是代表世界、亚洲、欧洲、非洲和北美洲的人口变化过程，由此可将它们分成两大类，即经济发达的地区，如________和________洲，经济较落后的地区，如________洲和________洲，这两类地区在人口增长方面的特点差异很大。

(3)图表信息抓住关键2．常见误区要避免该图为四方坐标图，判读难度较大，要避免判读失误，首先要看懂四个坐标轴的含义及大小排列；其次要明确出生率、死亡率和人口自然增长率的关系，并能在图中找出来；再次要结合图例，明确变化规律。

【自主解答】(1)________(2)________[规律方法巧运用]1．人口增长模式分析(1)不同人口增长模式的利弊影响分析人口增长模式及其转变示意图(2)人口增长模式的判断技巧2．不同人口问题的影响和对策模块二人文地理事物的问题与区位理论 高考总复习第二轮·地理(福建专用)3.人口迁移的影响因素及人口迁移对地理环境的影响(1)影响人口迁移的主要因素①自然生态环境因素：主要指“气(气候)”“水(水源)”“土(土壤)”“产(矿产)”。

知识专题练1．(2013·山东文综)下图为我国华北某沿海地区景观剖面示意图，图中海岸为沙质海岸。

读图回答问题。

(1)分别说明图中甲、乙、丙三处植被的主要生态功能。

(2)近年来，该地区的荒草地不断开垦为农田，指出可能产生的主要环境问题。

答案(1)甲：涵养水源、保持水土；乙：降低风速、阻挡风沙；丙：固沙阻浪。

(2)生物多样性减少；土地盐碱化；水污染。

(答出两点即可)解析(1)甲地坡度较大，易发生水土流失，所以甲处植被的主要功能是涵养水源，保持水土；乙地靠近海洋，夏季来自海洋的风速大，所以乙处植被的主要功能是降低风速，阻挡风沙；丙地海浪侵蚀海岸，所以丙处植被的主要功能是固沙阻浪。

(2)考查农业生产对环境的影响，荒草地开垦成耕地，破坏植被，造成生物多样性减少；华北地区农业需要灌溉，易造成土地盐碱化；化肥和农药的使用造成水污染。

2．(2013·江苏地理)2013年3月8～9日，沙尘天气横扫我国西北和华北地区，局部地区出现沙尘暴和强沙尘暴天气。

下图是此次沙尘天气影响范围示意图。

读图回答下列问题。

(1)此次沙尘天气过程，a地与b、c两地相比，a地沙尘更强的自然原因有________________________________________________________________________。

(2)沙尘天气对b区农业生产的影响有_____________________________________。

(3)减轻沙尘危害的可行措施有________、________。

A．建防风林削弱近地面风力B．发展灌溉增加地面湿度C．农作物留茬增强抗风蚀能力D．硬化地面抵抗风蚀(4)针对沙尘暴这一环境问题，江苏省中学生适合的参与方式是_________________。

答案(1)气候干燥，地表植被稀少；风力强；沙源多(2)毁坏农作物；土地沙化；肥力下降；影响植物生长(3)A C(4)关注生态问题，参与防风治沙宣传活动；开展募捐活动等(任答一点)解析(1)a地位于南疆，气候干燥，地表植被稀少；风力强；沙源多，故其沙尘更强。