步步高考前三个月练习5万有引力定律及应用

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考前基础回扣练五万有引力定律及其应用建议用时20分钟1.关于开普勒对于行星运动规律的认识,下列说法正确的是（）A。

所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆B。

所有行星绕太阳运动的轨道都是圆C。

所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同D。

所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比【解析】选A.由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上，选项A正确,B错误；由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项C、D错误。

2.一名宇航员来到一个星球上,如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力大小的( ）A。

0。

25倍 B.0.5倍C。

2倍 D.4倍【解析】选C。

根据万有引力定律得:宇航员在地球上所受的万有引力F1=,在星球上受的万有引力F2=,所以==×22=2，故C正确.3。

某人造地球卫星在离地面高为h的轨道上飞行,其运动视为匀速圆周运动。

已知地球质量为M,地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。

则卫星的( )A.线速度v=B.角速度ω=C.运行周期T=2πD.向心加速度a=【解析】选B。

（物理）50套高考物理万有引力定律的应用及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1．一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x 和落地时间t ，又已知该星球的半径为R ，己知万有引力常量为G ，求： （1）小球抛出的初速度v o （2）该星球表面的重力加速度g （3）该星球的质量M（4）该星球的第一宇宙速度v （最后结果必须用题中己知物理量表示）【答案】(1) v 0=x/t (2) g=2h/t 2 (3) 2hR 2/(Gt 2) (4) t【解析】（1）小球做平抛运动，在水平方向：x=vt ， 解得从抛出到落地时间为：v 0=x/t（2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：h=12gt 2， 解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t 2；（3）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m ， 由万有引力等于物体的重力得：mg=2MmGR 所以该星球的质量为：M=2gR G= 2hR 2/(Gt 2)； （4）设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v ，由牛顿第二定律得： 22Mm v G m R R=重力等于万有引力，即mg=2MmGR，解得该星球的第一宇宙速度为：v ==2．假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星在距该天体表面高度为h 的轨道做匀速圆周运动,周期为T ，已知万有引力常量为G ，求: (1)该天体的质量是多少? (2)该天体的密度是多少?(3)该天体表面的重力加速度是多少? (4)该天体的第一宇宙速度是多少?【答案】(1)2324()R h GT π+； (2)3233()R h GT R π+；(3)23224()R h R T π+；【分析】（1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解； （2）根据密度的定义求解天体密度；（3）在天体表面，重力等于万有引力，列式求解； （4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度． 【详解】（1）卫星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有:G 2()Mm R h +=m 22T π⎛⎫ ⎪⎝⎭(R+h) 解得：M=2324()R h GTπ+ ① （2）天体的密度：ρ=M V =23234()43R h GT R ππ+=3233()R h GT R π+． （3）在天体表面，重力等于万有引力，故: mg=G2MmR② 联立①②解得：g=23224()R h R Tπ+ ③ （4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据牛顿第二定律，有：mg=m 2v R④联立③④解得：【点睛】本题关键是明确卫星做圆周运动时，万有引力提供向心力，而地面附近重力又等于万有引力，基础问题．3．某航天飞机在地球赤道上空飞行，轨道半径为r ，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方，求它下次通过该建筑物上方所需的时间．【答案】t =或者t =【解析】 【分析】试题分析：根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出角速度的表达式，卫星再次经过某建筑物的上空，比地球多转动一圈．解：用ω表示航天飞机的角速度，用m 、M 分别表示航天飞机及地球的质量，则有22Mm Gmr rω= 航天飞机在地面上，有2mMG R mg = 联立解得22gR rω=若ω>ω0，即飞机高度低于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则ωt －ω0t ＝2π 所以202t gR r ω=- 若ω<ω0，即飞机高度高于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则ω0t －ωt ＝2π 所以202t gR r ω=-． 点晴：本题关键：（1）根据万有引力提供向心力求解出角速度；（2）根据地球表面重力等于万有引力得到重力加速度表达式；（3）根据多转动一圈后再次到达某建筑物上空列式．4．一宇航员登上某星球表面，在高为2m 处，以水平初速度5m/s 抛出一物体，物体水平射程为5m ，且物体只受该星球引力作用求： （1）该星球表面重力加速度（2）已知该星球的半径为为地球半径的一半，那么该星球质量为地球质量的多少倍． 【答案】（1）4m/s 2；（2）110； 【解析】（1）根据平抛运动的规律：x ＝v 0t 得0515x t s s v ＝＝＝ 由h ＝12gt 2 得：2222222/4/1h g m s m s t ⨯＝＝＝ （2）根据星球表面物体重力等于万有引力：2G M mmg R 星星＝地球表面物体重力等于万有引力：2G M mmgR '地地＝则222411=()10210M gR M g R '⨯=星星地地＝ 点睛：此题是平抛运动与万有引力定律的综合题，重力加速度是联系这两个问题的桥梁；知道平抛运动的研究方法和星球表面的物体的重力等于万有引力．5．如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心．(1)求卫星B 的运行周期．(2)如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【答案】(1)32()2B R h T gR+=23()t gR R h ω=-+ 【解析】 【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式得()()2224B MmGm R h T R h π=++①，2Mm G mg R =②联立①②解得：()322B R h T R g+=（2）由题意得()02B t ωωπ-=④，由③得()23B gR R h ω=+代入④得()203t R gR h ω=-+6．如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L ．已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧，引力常量为G ．求：(1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ； (2)两星球做圆周运动的周期．【答案】（1） R=m M M +L, r=m Mm+L,（2）()3L G M m +【解析】（1）令A 星的轨道半径为R ，B 星的轨道半径为r ，则由题意有L r R =+两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：2222244mM G mR Mr L T Tππ==可得 RMr m＝，又因为L R r =+ 所以可以解得：M R L M m =+,mr L M m=+； （2）根据（1）可以得到：2222244mM MG m R m L L T T M m ππ==⋅+则：()()23342L L T M m G G m M π==++ 点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径．7．某行星表面的重力加速度为g ，行星的质量为M ，现在该行星表面上有一宇航员站在地面上，以初速度0v 竖直向上扔小石子，已知万有引力常量为G ．不考虑阻力和行星自转的因素，求： （1）行星的半径R ；（2）小石子能上升的最大高度． 【答案】(1)GMR g= （2）202v h g =【解析】（1）对行星表面的某物体，有：2GMmmg R =-得：GMR g=（2）小石子在行星表面作竖直上抛运动，规定竖直向下的方向为正方向，有：2002v gh =-+得：202v h g=8．设想若干年后宇航员登上了火星，他在火星表面将质量为m 的物体挂在竖直的轻质弹簧下端，静止时弹簧的伸长量为x ，已知弹簧的劲度系数为k ，火星的半径为R ，万有引力常量为G ，忽略火星自转的影响。

训练5 万有引力定律及应用一、单项选择题1．(2012·湖北黄岗等七市4月联考15题)美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星——“开普勒—22b”，其直径约为地球的2.4倍．至今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于 ( )A ．3.3×103m/s B ．7.9×103m/s C ．1.2×104 m/sD ．1.9×104m/s2．(2012·山东理综·15)2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R 1、R 2，线速度大小分别为v 1、v 2.则v 1v 2等于 ( )A.R 31R 32B. R 2R 1C.R 22R 21 D.R 2R 13．(2012·福建理综·16)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常数为G ，则这颗行星的质量为( )A.mv 2GN B.mv 4GN C.Nv 2GmD.Nv 4Gm4．(2012·丹东市四校协作体一模16题)不久前欧洲天文学家在太阳系外发现了一颗可能适合人类居住的行星，命名为“格利斯581c ”．该行星的质量是地球的5倍，直径是地球的1.5倍．设想在该行星表面附近绕行星沿圆轨道运行的人造卫星的动能为E k1，在地球表面绕地球沿圆轨道运行的相同质量的人造卫星的动能为E k2，则E k1/E k2为 ( ) A ．0.13 B ．0.3 C ．3.33D ．7.55．(2012·陕西师大附中第四次模拟18题)星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1.已知某星球的半径为r ，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的1/6，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为 ( )A.grB. 16gr C.13gr D.13gr 二、双项选择题6．(2012·海南琼海市第一次模拟第7题)万有引力定律的发现实现了物理学史上的第一次大统一：“地上力学”和“天上力学”的统一．它表明天体运动和地面上物体的运动遵循相同规律．牛顿在发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道运动假想成圆周运动；另外，还应用到了其它的规律和结论，其中有 ( )A ．欧姆流行的“地心说”B ．牛顿第二定律C ．牛顿第三定律D ．卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量7．(2012·陕西省师大附中等五校第三次模拟17题)我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h 的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T .若以R 表示月球的半径，则( )A ．卫星运行时的向心加速度为4π2R ＋hT 2B ．物体在月球表面自由下落的加速度为4π2RT2C ．卫星运行时的线速度为2πRTD ．月球的第一宇宙速度为2πR R ＋h 3TR8．(2012·河北石家庄市第一次模拟17题)美国国家科学基金会2010年9月29日宣布，天文学家发现一颗迄今为止与地球最类似的行星，该行星绕太阳系外的红矮星Gliese581做匀速圆周运动．这颗行星距离地球约20光年，公转周期约为37天，它的半径大约是地球的1.9倍，表面重力加速度与地球相近．下列说法正确的是 ( )A ．该行星的公转角速度比地球大B ．该行星的质量约为地球质量的3.61倍C ．该行星第一宇宙速度为7.9 km/sD ．要在地球上发射航天器到达该星球，发射速度只需达到地球的第二宇宙速度即可9．(2012·浙江嘉兴市质量检测二16题)2011年12月24日，美国宇航局宣布，通过开普勒太空望远镜项目证实了太阳系外第一颗类似地球的、适合居住的行星“开普勒—22b(Kepler —22b)”．该行星距离地球约600光年，体积是地球的2.4倍，质量约是地球的18.5倍．它像地球绕太阳运行一样每290天环绕一恒星运行．由于恒星风的影响，该行星的大气不断被吸引到恒星上．据估计，这颗行星每秒丢失至少10 000 t 物质．已知地球半径为6 400 km ，地球表面的重力加速度为9.8 m/s 2，引力常数G 为6.67×10－11N·m 2·kg －2，则由上述信息( )A ．可估算该恒星密度B ．可估算该行星密度C ．可判断恒星对行星的万有引力减小D ．可判断该行星绕恒星运行周期大小不变 三、简答题10．设想宇航员完成了对火星的考察，乘坐返回舱返回绕火星做圆周运动的轨道舱，为了安全，返回舱与轨道舱对接时必须具有相同的速度，已知返回舱返回时需要克服火星的引力做功为W ＝mgR (1－Rr)，返回舱与人的总质量为m ，火星表面的重力加速度为g ，火星的半径为R ，轨道舱中心到火星中心的距离为r ，不计火星表面的空气及火星自转的影响，则宇航员乘坐返回舱从火星表面返回轨道舱至少需要获得多少能量？ 11．(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a 的三次方与它的公转周期T 的二次方成正比，即a 3T2＝k ，k 是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k 的表达式．已知引力常数为G ，太阳的质量为M 太．(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108m ，月球绕地球运动的周期为2.36×106s ，试计算地球的质量M 地．(G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，结果保留一位有效数字)12．(2012·湖北省百校联考14题)宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T 1；另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运行周期为T 2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动，试求两种形式下，星体运动的周期之比T 1T 2.答案1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．BC 7．AD 8．AB 9．BC10.mgR 22r ＋mgR (1－R r)11．(1)G4π2M 太 (2)6×1024kg12. 6＋634＋2。

高考物理万有引力定律的应用技巧(很有用)及练习题一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1．a 、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R ，己知地球半径为R ，表面的重力加速度为g ，试求： （1）a 、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a 、b 两颗卫星速度之比是多少？（3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】（1）2，16（2）速度之比为2【解析】【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解；解：（1）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， 对地面上的物体由黄金代换式2MmGmg R = a 卫星2224aGMm m R R T π=解得2a T =b 卫星2224·4(4)bGMm m R R T π=解得16b T = （2）卫星做匀速圆周运动，F F =引向，a 卫星22a mv GMm R R=解得a v =b 卫星b 卫星22(4)4Mm v G m R R=解得v b =所以 2abV V =（3）最远的条件22a bT T πππ-= 解得87R t gπ=2．如图轨道Ⅲ为地球同步卫星轨道，发射同步卫星的过程可以筒化为以下模型：先让卫星进入一个近地圆轨道Ⅰ（离地高度可忽略不计），经过轨道上P 点时点火加速，进入椭圆形转移轨道Ⅱ．该椭圆轨道Ⅱ的近地点为圆轨道Ⅰ上的P 点，远地点为同步圆轨道Ⅲ上的Q 点．到达远地点Q 时再次点火加速，进入同步轨道Ⅲ．已知引力常量为G ，地球质量为M ，地球半径为R ，飞船质量为m ，同步轨道距地面高度为h ．当卫星距离地心的距离为r 时，地球与卫星组成的系统的引力势能为p GMmE r=-（取无穷远处的引力势能为零），忽略地球自转和喷气后飞船质量的変化，问：（1）在近地轨道Ⅰ上运行时，飞船的动能是多少？（2）若飞船在转移轨道Ⅱ上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．已知飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行中，经过P 点时的速率为1v ，则经过Q 点时的速率2v 多大？ （3）若在近地圆轨道Ⅰ上运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器可以到达离地心无穷远处），则探测器离开飞船时的速度3v （相对于地心）至少是多少？（探测器离开地球的过程中只有引力做功，动能转化为引力势能） 【答案】（1）2GMm R （22122GM GM v R h R +-+32GMR【解析】 【分析】（1）万有引力提供向心力，求出速度，然后根据动能公式进行求解； （2）根据能量守恒进行求解即可；（3）将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围，动能全部用来克服引力做功转化为势能； 【详解】（1）在近地轨道（离地高度忽略不计）Ⅰ上运行时，在万有引力作用下做匀速圆周运动即：22mM v G m R R=则飞船的动能为2122k GMm E mv R==； （2）飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．由能量守恒可知动能的减少量等于势能的増加量：221211()22GMm GMmmv mv R h R-=--+ 若飞船在椭圆轨道上运行，经过P 点时速率为1v ，则经过Q 点时速率为：2v = （3）若近地圆轨道运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器离地心的距离无穷远），动能全部用来克服引力做功转化为势能 即：2312Mm Gmv R =则探测器离开飞船时的速度（相对于地心）至少是：3v =． 【点睛】本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，同时注意应用能量守恒定律进行求解．3．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设宇航员登上月球后，以初速度v 0竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t.已知引力常量为G ，月球的半径为R ，不考虑月球自转的影响，求： (1)月球表面的重力加速度大小g 月； (2)月球的质量M ；(3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T .【答案】(1)02v t ；(2)202R v Gt；(3)2【解析】 【详解】(1)小球在月球表面上做竖直上抛运动，有02v t g =月月球表面的重力加速度大小02v g t=月 (2)假设月球表面一物体质量为m ，有2=MmGmg R 月 月球的质量202R v M Gt=(3)飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，有222Mm G m R R T π⎛⎫= ⎪⎝⎭飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期22RtT v π=4．某宇航员驾驶宇宙飞船到达某未知星球表面，他将一个物体以010m/s v =的速度从10m h =的高度水平抛出，测得落到星球表面A 时速度与水平地面的夹角为60θ=︒。

高考物理万有引力定律的应用提高训练含解析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1．如图所示，假设某星球表面上有一倾角为θ＝37°的固定斜面，一质量为m ＝2.0 kg 的小物块从斜面底端以速度9 m/s 沿斜面向上运动，小物块运动1.5 s 时速度恰好为零.已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，该星球半径为R ＝1.2×103km.试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(1)该星球表面上的重力加速度g 的大小.(2)该星球的第一宇宙速度.【答案】（1）g=7.5m/s 2 （2）3×103m/s【解析】【分析】【详解】（1）小物块沿斜面向上运动过程00v at =-解得：26m/s a =又有：sin cos mg mg ma θμθ+=解得：27.5m/s g =（2）设星球的第一宇宙速度为v ，根据万有引力等于重力，重力提供向心力，则有： 2mv mg R= 3310m/s v gR ==⨯2．一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为r ，周期为T ，引力常量为G ，行星半径为求：(1)行星的质量M ；(2)行星表面的重力加速度g ；(3)行星的第一宇宙速度v ．【答案】（1）（2） （3）【解析】【详解】 (1)设宇宙飞船的质量为m ，根据万有引力定律求出行星质量(2)在行星表面求出:(3)在行星表面求出:【点睛】本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力．3．万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．（1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果．已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G．将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0．①若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就h=1．0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式．（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳半径为R s和地球的半径R三者均减小为现在的1．0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？【答案】（1）①0.98，②23 22 041F R F GMTπ=-（2）“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同【解析】试题分析：（1）根据万有引力等于重力得出比值的表达式，并求出具体的数值．在赤道，由于万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力，根据该规律求出比值的表达式（2）根据万有引力提供向心力得出周期与轨道半径以及太阳半径的关系，从而进行判断．解：（1）在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是①②由公式①②可以得出：=0.98．③由①和③可得：（2）根据万有引力定律，有 又因为， 解得从上式可知，当太阳半径减小为现在的1.0%时，地球公转周期不变．答：（1）=0.98．比值（2）地球公转周期不变．仍然为1年．【点评】解决本题的关键知道在地球的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力．4．地球的质量M=5.98×1024kg ，地球半径R=6370km ，引力常量G=6.67×10－11N·m 2/kg 2，一颗绕地做圆周运动的卫星环绕速度为v=2100m/s ，求：（1）用题中的已知量表示此卫星距地面高度h 的表达式（2）此高度的数值为多少？（保留3位有效数字）【答案】（1）2GM h R v=-（2）h=8.41×107m 【解析】试题分析：（1）万有引力提供向心力，则解得：2GM h R v=- （2）将（1）中结果代入数据有h=8.41×107m考点：考查了万有引力定律的应用5．如图所示是一种测量重力加速度g 的装置。

2014高三物理专项训练步步高课时复习：万有引力定律及其应用一、单项选择题1.两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F .若两个半径为实心小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为 ( )A ．2FB ．4FC ．8FD ．16F2.如图1所示，A 和B 两行星绕同一恒星C 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期 学科 为T 1，B 行星的周期为T 2，某一时刻两行星相距最近，则 ( )A ．经过T 1＋T 2两行星再次相距最近 图 1 ZXXK] Z*xx*kB ．经过T 1T 2T 2－T 1两行星再次相距最近 C ．经过T 1＋T 22两行星相距最远D ．经过T 1T 2T 2－T 1两行星相距最远 3.(北京高考)据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km ，运行周期127分钟．若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是 ( )A ．月球表面的重力加速度B ．月球对卫星的吸引力 Z_xx_kC ．卫星绕月运行的速度D ．卫星绕月运行的加速度4据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km ，运行速率分别为v 1和v 2.那么，v 1和v 2的比值为(月球半径取1 700 km) ( ) A.1918 B. 1918 C. 1819 D.18195.假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行．已知地球半径为6.4×106 m ，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107 m 这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期．以下数据中最接近其运行周期的是( ) A ．0.6小时B ．1.6小时C ．4.0小时D ．24小时6.星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1.已知某星球的半径为r ，表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的16，不计其它星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为 ( ) A.gr B. 16gr C. 13gr D.13gr7.太空被称为是21世纪技术革命的摇篮．摆脱地球引力，在更“纯净”的环境中探求物质的本质，拨开大气层的遮盖，更直接地探索宇宙的奥秘，一直是科学家们梦寐以求的机会．“神舟”系列载人飞船的成功发射与回收给我国航天界带来足够的信心，我国提出了载人飞船——太空实验室——空间站的三部曲构想．某宇航员要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站 ( )A ．只能从较低轨道上加速B ．只能从较高轨道上加速C ．只能从空间站同一高度的轨道上加速D ．无论在什么轨道上，只要加速都行 Z,xx,k8.质量相等的甲、乙两颗卫星分别贴近某星球表面和地球表面围绕其做匀速圆周运动，已知该星球和地球的密度相同，半径分别为R 和r ，则( )A ．甲、乙两颗卫星的加速度之比等于R ∶rB ．甲、乙两颗卫星所受的向心力之比等于1∶1C ．甲、乙两颗卫星的线速度之比等于1∶1 ZXXK]D ．甲、乙两颗卫星的周期之比等于R ∶r二、多项选择题9.(山东高考)我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是( ) A ．飞船变轨前后的机械能相等 ZXXK]B ．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C ．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度D ．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 Z,xx,k10.据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是 ( )A ．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大B ．离地面高度一定，相对地面静止C ．周期与静止在赤道上物体的周期相等D ．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等三、非选择题11.已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，不考虑地球自转的影响．(1)推导第一宇宙速度v 1的表达式；(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h ，求卫星的运行周期T .12.飞天同学是一位航天科技爱好者，当他从新闻中得知，中国航天科技集团公司将在2010年底为青少年发射第一颗科学实验卫星——“希望一号”卫星(代号XW －1)时，他立刻从网上搜索有关“希望一号”卫星的信息，其中一份资料中给出该卫星运行周期10.9 min.他根据所学知识计算出绕地卫星的周期不可能小于83 min ，从而断定此数据有误．已知地球的半径R ＝6.4×106 m ，地球表面的重力加速度g ＝10 m/s 2.请你通过计算说明为什么发射一颗周期小于83 min 的绕地球运行的人造地球卫星是不可能的．答案 1.D 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 7.A 8.A 9.BC 10.ABC 11. (1)Rg (2)2πR (R ＋h )3g12.设地球质量为M ，航天器质量为m ，航天器绕地球运行的轨道半径为r 、周期为T ，根据万有引力定律和牛顿运动定律有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得T ＝2πr 3GM .由上式可知，轨道半径越小，周期越小．因此，卫星贴地飞行(r ＝R )的周期最小，设为T min ，则T min ＝2πR 3GM质量为m 的物体在地球表面上所受重力近似等于万有引力，即G Mm R 2＝mg ，因此有GM ＝gR 2Zxxk联立解得T min ＝2πRg ＝5 024 s ＝83.7 min 学+科+因绕地球运行的人造地球卫星最小周期为83.7 min ，所以发射一颗周期为83 min 的绕地球运行的人造地球卫星是不可能的．。

2017-2018学年高中物理第5章万有引力定律及其应用第1节万有引力定律及引力常量的测定课下作业（含解析）鲁科版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中物理第5章万有引力定律及其应用第1节万有引力定律及引力常量的测定课下作业（含解析）鲁科版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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万有引力定律及引力常量的测定1．对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G m1m2r2，下列说法正确的是（)A．公式中的G是引力常量，它是人为规定的B．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大C．m1和m2所受引力大小总是相等的D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力解析:引力常量G是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，所以选项A错误;两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力,它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上,所以选项C正确，D错误；公式F＝G错误!适用于两质点间的相互作用，当两物体相距很近时,两物体不能看成质点，所以选项B错误。

答案:C2．关于引力常量G，下列说法中不正确的是( ）A．G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值,可用万有引力定律进行定量计算B．引力常量G的大小与两物体质量乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比C．引力常量G的物理意义是,两个质量都是1 kg的物体相距1 m时相互吸引力为6。

第3题 万有引力定律和天体运动 预测题型1 万有引力定律的理解和应用1．(多选)(2015·广东理综·20)在星球表面发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有( ) A ．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大 B ．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大 C ．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等 D ．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大2．(2015·重庆理综·2)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( ) A ．0 B.GM (R ＋h )2 C.GMm(R ＋h )2D.GMh 23．(2015·福建理综·14)如图1，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则( )图1A.v 1v 2＝r 2r 1B.v 1v 2＝r 1r 2C.v 1v 2＝(r 2r 1)2D.v 1v 2＝(r 1r 2)2 4．(2015·全国大联考二)已知一质量为m 的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔF N ，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为R .则地球的自转周期为( ) A ．T ＝2πmRΔF NB ．T ＝2πΔF NmRC ．T ＝2πm ΔF NRD ．T ＝2πRm ΔF N5．(2015·南平5月质检)某星球直径为d ，宇航员在该星球表面以初速度v 0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为h ，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为( ) A.v 02 B ． 2v 0d h C.v 02h dD.v 02d h6．(2015·南充三诊)观察“神州十号”在圆轨道上的运动，发现每经过时间2t 通过的弧长为L ，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图2所示，已知引力常量为G ，由此可推导出地球的质量为( )图2A.L 34Gθt 2B.2L 3θGt 2C.L 4Gθt 2D.2L 2Gθt2 7．(多选)(2015·聊城二模)探月工程三期飞行试验器于2014年10月24日2时在中国西昌卫星发射中心发射升空，最终进入距月球表面高为h 的圆形工作轨道．设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g ，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( ) A ．飞行试验器在工作轨道上的加速度为⎝⎛⎭⎫RR ＋h 2gB ．飞行试验器绕月球运行的周期为2πR gC ．飞行试验器在工作轨道上的绕行速度为g ()R ＋hD ．月球的平均密度为3g4πGR8．(2015·南昌二模)已知某半径为r 0的质量分布均匀的天体，测得它的一个卫星的圆轨道的半径为r ，卫星运行的周期为T .假设在该天体表面沿竖直方向以初速度v 0向上抛出一个物体，不计阻力，求它可以到达的最大高度h 是( )A.v 20T 2(r －r 0)24π2r 3B.v 20T 2(r －r 0)28π2r 3C.v 20T 2r 204π2r 3D.v 20T 2r 208π2r3答案精析第3题 万有引力定律和天体运动预测题型1 万有引力定律的理解和应用1．BD [由牛顿第二定律得G MmR 2＝m v 2R，解得v ＝GMR，所以2v ＝2× GMR＝ 2GMR，所以探测器脱离星球的发射速度与探测器的质量无关，A 错误；因为地球与火星的MR 不同，所以C 错误；探测器在地球表面受到的引力F 1＝GM 地m R 2地，在火星表面受到的引力为F 2＝GM 火mR 2火，所以F 1∶F 2＝M 地R 2火M 火R 2地＝5∶2，B 正确；探测器脱离星球的过程中，引力做负功，引力势能逐渐增大，D正确．]2．B [对飞船由万有引力定律和牛顿第二定律得，GMm(R ＋h )2＝mg ′，解得飞船所在处的重力加速度为g ′＝GM(R ＋h )2，B 项正确．]3．A [由题意知，两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据G Mmr 2＝m v 2r，得v ＝ GMr ，所以v 1v 2＝r 2r 1，故A 正确，B 、C 、D 错误．] 4．A [在北极，物体所受的万有引力等于支持力，在赤道处有mg －F N ＝ΔF N ＝mR (2πT)2解得T ＝2πmRΔF N，A 正确．] 5．D [在该星球表面以初速度v 0竖直上抛一物体，该物体上升的最大高度为h . 由v 20＝2gh ，得：g ＝v 202h，根据mg ＝m v 20R而R ＝d 2得该星球的第一宇宙速度为：v ＝gR ＝v 02dh，故D 正确，A 、B 、C 错误．] 6．A [ “神舟十号”的线速度v ＝L 2t ，轨道半径r ＝L，根据G Mm r 2＝m v 2r 得地球的质量为：M ＝L 34Gθt 2.]7．AD [由GMm (R ＋h )2＝mg ′，GMm R 2＝mg ，可得g ′＝(R R ＋h)2g ，选项A 正确；根据万有引力定律可得：G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )，在月球表面：G MmR 2＝mg ，则T ＝2πR ＋h R R ＋hg，选项B 错误；根据G Mm(R ＋h )2＝m v 2R ＋h ，可得v ＝GMR ＋h＝gR 2R ＋h，选项C 错误；月球的平均密度为：ρ＝MV ＝gR 2G 43πR 3＝3g 4πGR ，选项D 正确．] 8．D [根据G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，以及G Mm r 20＝mg 可得：g ＝4π2r 3T 2r 20，则在该天体表面沿竖直方向以初速度v 0向上抛出一个物体，它可以到达的最大高度h ＝v 202g ＝v 20r 20T28π2r3，选项D 正确．]。

第4讲 万有引力定律及应用一、开普勒三定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等a 3T 2＝k ，k 是一个与行星无关的常量自测1 (2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案 B解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，牛顿发现了万有引力定律． 二、万有引力定律 1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比． 2．表达式F ＝G m 1m 2r 2，G 为引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2.3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 4．天体运动问题分析(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供． (2)基本公式：G Mm r2＝ma ＝⎩⎪⎨⎪⎧m v 2r→v ＝ GM rmrω2→ω＝ GM r 3mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2→T ＝2π r 3GM m v ω自测2 (2018·四川省第二次“联测促改”)在距地面不同高度的太空有许多飞行器．其中“天舟一号”距地面高度约为393 km ，哈勃望远镜距地面高度约为612 km ，“张衡一号”距地面高度约为500 km.若它们均可视为绕地球做圆周运动，则( ) A ．“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度 B ．哈勃望远镜的线速度大于“张衡一号”的线速度 C ．“天舟一号”的周期大于哈勃望远镜的周期 D ．哈勃望远镜的角速度大于“张衡一号”的角速度 答案 A解析 根据万有引力提供飞行器的向心力，GMm r 2＝ma ，a ＝GMr2，“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度，故A 正确； 根据万有引力提供飞行器的向心力，GMmr 2＝m v 2r ，v＝GMr，哈勃望远镜的线速度小于“张衡一号”的线速度，故B 错误；根据万有引力提供飞行器的向心力，GMm r 2＝m 4π2T2r ，T ＝4π2r 3GM，“天舟一号”的周期小于哈勃望远镜的周期，故C 错误；根据万有引力提供飞行器的向心力，GMmr 2＝mω2r ，ω＝ GMr 3，哈勃望远镜的角速度小于“张衡一号”的角速度，故D 错误． 三、宇宙速度 1．第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s.(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． (3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度． (4)第一宇宙速度的计算方法．由G MmR 2＝m v 2R 得v ＝GMR； 由mg ＝m v 2R 得v ＝gR .2．第二宇宙速度使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s. 3．第三宇宙速度使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.自测3 (多选)已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( ) A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的23答案 CD解析 根据三个宇宙速度的定义，可知选项A 、B 错误，选项C 正确；已知M 火＝M 地9，R 火＝R 地2，则v 火v 地＝ GM 火R 火∶GM 地R 地＝23，选项D 正确.命题点一 开普勒三定律的理解和应用1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．3．开普勒第三定律a 3T 2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．例1 (多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经过M 、Q 到N 的运动过程中( )图1A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 答案 CD解析 由行星运动的对称性可知，从P 经M 到Q 点的时间为12T 0，根据开普勒第二定律可知，从P 到M 运动的速率大于从M 到Q 运动的速率，可知从P 到M 所用的时间小于14T 0，选项A 错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B 错误；根据开普勒第二定律可知，从P 到Q 阶段，速率逐渐变小，选项C 正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D 正确．变式1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案 C解析 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误．火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误．根据开普勒第三定律(周期定律)知太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C 正确．对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，D 错误．变式2 如图2所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A 、B 是卫星运动的远地点和近地点．下列说法中正确的是( )图2A ．卫星在A 点的角速度大于B 点的角速度 B ．卫星在A 点的加速度小于B 点的加速度C ．卫星由A 运动到B 过程中动能减小，势能增加D ．卫星由A 运动到B 过程中引力做正功，机械能增大 答案 B解析 由开普勒第二定律知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故卫星在远地点转过的角度较小，由ω＝θt 知，卫星在A 点的角速度小于B 点的角速度，选项A 错误；设卫星的质量为m ，地球的质量为M ，卫星的轨道半径为r ，由万有引力定律得G mMr 2＝ma ，解得a ＝GMr 2，由此可知，r 越大，加速度越小，故卫星在A 点的加速度小于B 点的加速度，选项B 正确；卫星由A 运动到B 的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项C 错误；卫星由A 运动到B 的过程中，只有引力做功，机械能守恒，选项D 错误．命题点二 万有引力定律的理解1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向．(1)在赤道上：G MmR 2＝mg 1＋mω2R .(2)在两极上：G MmR2＝mg 0.(3)在一般位置：万有引力G MmR2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR 2＝mg .2．星球上空的重力加速度g ′星球上空距离星体中心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，mg ′＝GmM (R ＋h )2，得g ′＝GM(R ＋h )2.所以gg ′＝(R ＋h )2R 2.3．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)两个推论①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.②推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力，即F ＝G M ′mr2.例2 若地球半径为R ，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”号下潜深度为d ，“天宫一号”轨道距离地面高度为h ，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为( ) A.R －d R ＋hB.(R －d )2(R ＋h )2C.(R －d )(R ＋h )2R 3D.(R －d )(R ＋h )R 2答案 C解析 设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g ＝G MR 2.由于地球的质量为：M ＝ρ·43πR 3，所以重力加速度的表达式可写成：g ＝GM R 2＝G ·ρ43πR 3R 2＝43πGρR .根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R －d )的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g ′＝43πGρ(R －d )，所以有g ′g ＝R －d R .根据万有引力提供向心力G Mm(R ＋h )2＝ma ，“天宫一号”所在处的重力加速度为a ＝GM (R ＋h )2，所以a g ＝R 2(R ＋h )2，g ′a ＝(R －d )(R ＋h )2R 3，故C 正确，A 、B 、D 错误．变式3 (2019·广东省东莞市调研)“神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”．若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( ) A ．0 B.GM (R ＋h )2 C.GMm (R ＋h )2 D.GMh 2答案 B命题点三 天体质量和密度的估算天体质量和密度常用的估算方法使用方法已知量 利用公式 表达式 备注质量的计算利用运行天体r 、TG Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝4π2r 3GT 2只能得到中心天体的质量r 、v G Mmr 2＝m v 2r M ＝r v 2Gv 、TG Mmr 2＝m v 2rM ＝v 3T 2πGG Mm r 2＝mr 4π2T2 利用天体表面重力加速度g 、Rmg ＝GMm R2M ＝gR 2G密度的计算利用运行天体r 、T 、RG Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝ρ·43πR 3ρ＝3πr 3GT 2R 3 当r ＝R 时 ρ＝3πGT 2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g 、Rmg ＝GMm R 2M ＝ρ·43πR 3ρ＝3g 4πGR例3 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg /m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg /m 3D ．5×1018 kg/m 3答案 C解析 脉冲星自转，边缘物体m 恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G Mm r 2＝mr 4π2T 2，又知M ＝ρ·43πr 3整理得密度ρ＝3πGT 2＝3×3.146.67×10－11×(5.19×10－3)2kg /m 3≈5.2×1015 kg/m 3. 变式4 (多选)(2018·广东省汕头市第二次模拟)“嫦娥三号”在月球表面释放出“玉兔”号月球车开展探测工作，若该月球车在地球表面的重力为G 1，在月球表面的重力为G 2，已知地球半径为R 1，月球半径为R 2，则( ) A ．地球表面与月球表面的重力加速度之比为G 1R 22G 2R 12B ．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为G 1R 1G 2R 2C ．地球与月球的质量之比为G 1R 22G 2R 12D ．地球与月球的平均密度之比为G 1R 2G 2R 1答案 BD解析 地球表面的重力加速度为g 1＝G 1m ，月球表面的重力加速度g 2＝G 2m ，地球表面与月球表面的重力加速度之比为g 1g 2＝G 1G 2，故A 错误．根据第一宇宙速度公式v ＝gR ，得v 1v 2＝g 1R 1g 2R 2＝G 1R 1G 2R 2，故B 正确．根据mg ＝GMm R 2，得M ＝gR 2G ，地球质量M 1＝g 1R 12G，月球的质量M 2＝g 2R 22G ，所以地球与月球质量之比为M 1M 2＝g 1R 12g 2R 22＝G 1R 12G 2R 22，故C 错误．平均密度ρ＝M V ＝3g 4πRG ，得ρ1ρ2＝g 1R 2g 2R 1＝G 1R 2G 2R 1，故D 正确． 变式5 (多选)(2018·山东省青岛市二模)利用探测器探测某行星，探测器在距行星表面高度为h 1的轨道上做匀速圆周运动时，测得周期为T 1；探测器在距行星表面高度为h 2的轨道上做匀速圆周运动时，测得周期为T 2，万有引力常量为G ，根据以上信息可求出( ) A ．该行星的质量 B ．该行星的密度 C ．该行星的第一宇宙速度D ．探测器贴近行星表面飞行时行星对它的引力 答案 ABC解析 探测器在距行星表面高度为h 的轨道上做匀速圆周运动时，有：G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )解得：M ＝4π2(R ＋h )3GT 2则有M ＝4π(R ＋h 1)3GT 12，M ＝4π2(R ＋h 2)3GT 22联立两式即可求出行星的质量M 和行星的半径R ，A 正确；行星的密度：ρ＝MV ＝4π2(R ＋h 1)3GT 1243πR 3＝3π(R ＋h 1)3GT 12R 3，可以求出行星的密度，B 正确；根据万有引力提供向心力，得第一宇宙速度v ＝GMR，C 正确；由于不知道探测器的质量，所以不可求出探测器贴近行星表面飞行时行星对它的引力，D 错误．命题点四 卫星运行参量的分析卫星运行参量 相关方程结论线速度vG Mmr 2＝m v 2r⇒v ＝ GMrr 越大，v 、ω、a 越小，角速度ω G Mmr 2＝mω2r ⇒ω＝ GMr 3T 越大周期T G Mmr2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ⇒T ＝2π r 3GM向心加速度aG Mm r 2＝ma ⇒a ＝GM r2例4 (2018·全国卷Ⅲ·15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( ) A ．2∶1 B ．4∶1 C ．8∶1 D ．16∶1答案 C解析 由G Mm r 2＝mr 4π2T 2知，T 2r 3＝4π2GM ，则两卫星T P 2T Q 2＝r P 3r Q 3.因为r P ∶r Q ＝4∶1，故T P ∶T Q ＝8∶1.变式6 (2018·山东省临沂市上学期期中)据报道，2020年前我国将发射8颗海洋系列卫星，包括2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星(这4颗卫星均绕地球做匀速圆周运动)，以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛全部岛屿附近海域的监测．设海陆雷达卫星的轨道半径是海洋动力环境卫星的n 倍，下列说法正确的是( )A ．在相同时间内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连线扫过的面积相等B ．海陆雷达卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比等于海洋动力环境卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比C ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星角速度之比为32n ∶1 D ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星周期之比为1∶32n 答案 B解析 根据G Mm r 2＝mω2r ＝m 4π2T2r ，可得T ＝2πr 3GM，ω＝ GMr 3，卫星到地心的连线扫过的面积为S ＝ωt 2ππr 2＝ωt 2r 2＝GMr2t ，半径不同，则面积不同，A 错误；由T ＝2πr 3GM可知r 3T 2＝GM 4π2，r 3T 2是一个定值，B 正确；根据ω＝GMr3可知角速度之比为1∶32n ，C 错误；根据T ＝2πr 3GM可知周期之比为32n ∶1，D 错误． 变式7 (2018·广东省揭阳市期末)如图3所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a 、b 、c 三颗卫星均做圆周运动，a 是地球同步卫星，则( )图3A ．卫星a 的角速度小于c 的角速度B ．卫星a 的加速度大于b 的加速度C ．卫星a 的运行速度大于第一宇宙速度D ．卫星b 的周期大于24 h 答案 A解析 根据公式G Mmr2＝mω2r 可得ω＝GMr 3，运动半径越大，角速度越小，故卫星a 的角速度小于c 的角速度，A 正确；根据公式G Mm r 2＝ma 可得a ＝GMr 2，由于a 、b 的轨道半径相同，所以两者的向心加速度大小相同，B 错误；第一宇宙速度是近地轨道卫星做圆周运动的最大环绕速度，根据公式G Mmr 2＝m v 2r可得v ＝GMr，半径越大，线速度越小，所以卫星a 的运行速度小于第一宇宙速度，C 错误；根据公式G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可得T ＝2πr 3GM，故轨道半径相同，周期相同，所以卫星b 的周期等于24 h ，D 错误．。

2 万有引力定律[学习目标] 1.知道太阳对行星的引力提供了行星做圆周运动的向心力，能利用开普勒第三定律、牛顿运动定律推导出太阳与行星之间引力的表达式.2.了解月—地检验的内容和作用.3.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件.4.认识引力常量测定的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题．一、行星与太阳间的引力1．太阳对行星的引力：太阳对行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F ∝m r2.2．行星对太阳的引力：在引力的存在与性质上，太阳与行星的地位完全相当，因此行星对太阳的引力和太阳对行星的引力规律相同，即F ′∝m 太r2.3．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律F ＝F ′，所以有F ∝m 太mr 2，写成等式就是F ＝G m 太m r2. 二、月—地检验1．检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的引力是否为同一性质的力．2．检验方法：(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F ＝G m 月m 地r2.(2)根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a 月＝Fm 月＝G m 地r 2(式中m 地是地球质量，r 是地球中心与月球中心的距离)．(3)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a 苹＝Fm 苹＝G m 地R 2(式中m 地是地球的质量，R 是地球中心与苹果间的距离)． (4)a 月a 苹＝R 2r 2，由于r ≈60R ，所以a 月a 苹＝1602. 3．验证：(1)苹果自由落体加速度a 苹＝g ＝9.8 m/s 2. (2)月球中心到地球中心的距离r ＝3.8×108 m. 月球公转周期T ＝27.3 d ≈2.36×106 s则a 月＝(2πT )2r ≈2.7×10－3 m/s 2(保留两位有效数字)a 月a 苹≈2.8×10－4(数值)≈1602(比例)．4．结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律． 三、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比． 2．表达式：F ＝G m 1m 2r 2，其中G 叫作引力常量．四、引力常量牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G 的值． 英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G 的值．通常情况下取G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2.1．判断下列说法的正误．(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间．( √ ) (2)牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量．( × )(3)质量一定的两个物体，若距离无限小，它们间的万有引力趋于无限大．( × ) (4)由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力．( × )2．两个质量都是1 kg 的物体(可看成质点)，相距1 m 时，两物体间的万有引力F ＝________ N ，其中一个物体的重力F ′＝________ N ，万有引力F 与重力F ′的比值为________．(已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，取重力加速度g ＝10 m/s 2)答案 6.67×10－1110 6.67×10－12一、对太阳与行星间引力的理解 导学探究1．是什么原因使行星绕太阳运动？答案 太阳对行星的引力使行星绕太阳运动．2．在推导太阳与行星间的引力时，我们对行星的运动是怎么简化处理的？用了哪些知识？ 答案 将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动．在推导过程中，用到了向心力公式、开普勒第三定律及牛顿运动定律．知识深化万有引力定律的得出过程(2019·哈尔滨校级月考改编)关于行星对太阳的引力，下列说法正确的是( )A ．行星对太阳的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力B ．行星对太阳的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比C ．太阳对行星的引力公式是由实验得出的D ．太阳对行星的引力公式是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的 答案 D二、万有引力定律导学探究 通过月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．一切物体都存在这样的引力，为什么我们感觉不到周围物体的引力呢？如图1所示，假若你与同桌的质量均为60 kg ，相距0.5 m ．粗略计算你与同桌间的引力(已知G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2)．一粒芝麻的质量大约是0.004 g ，其重力约为4×10－5 N ．是你和你同桌之间引力的多少倍，这时在受力分析时需要分析两个人之间的引力吗？图1答案 F 万＝G m 2r 2＝6.67×10－11×6020.52 N ≈9.6×10－7 N ≈1×10－6 N芝麻的重力是你和你同桌之间引力的40倍，这时的引力很小，所以两个人靠近时，不会吸引到一起．故在进行受力分析时，一般不考虑两物体的万有引力，除非是物体与天体、天体与天体间的相互作用． 知识深化1．万有引力定律表达式：F ＝G m 1m 2r 2，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2.2．万有引力定律公式的适用条件 (1)两个质点间的相互作用．(2)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r 为球心到质点的距离． (3)两个质量均匀的球体间的相互作用，r 为两球心间的距离．(2019·武威第十八中学高一期末)对于万有引力定律的表达式F ＝G m 1m 2r2，下列说法正确的是( )A ．公式中G 为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的B ．当r 趋近于零时，万有引力趋于无穷大C ．对于m 1与m 2间的万有引力，质量大的受到的引力大D ．m 1与m 2受到的引力是一对平衡力 答案 A解析 万有引力定律的表达式F ＝G m 1m 2r 2，公式中G 为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的，选项A 正确；当r 趋近于零时，万有引力定律表达式不再适用，选项B 错误；m 1与m 2间的万有引力是相互作用力，两物体受到的万有引力是等大反向的，选项C 错误；m 1与m 2受到的引力是一对相互作用力，因作用在两个物体上，故不是平衡力，选项D 错误．如图2所示，两球间的距离为r 0.两球的质量分布均匀，质量分别为m 1、m 2，半径分别为r 1、r 2，则两球间的万有引力大小为( )图2A ．G m 1m 2r 02B.Gm 1m 2r 12C.Gm 1m 2(r 1＋r 2)2D.Gm 1m 2(r 1＋r 2＋r 0)2答案 D解析 两个匀质球体间的万有引力F ＝G m 1m 2r 2，r 是两球心间的距离，选D.三、重力和万有引力的关系1.地球表面处重力与万有引力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力．地球对物体引力的一个分力F ′提供向心力，另一个分力为重力G ，如图3所示．图3(1)当物体在两极时：G ＝F 引，重力达到最大值G max ＝G MmR 2.方向与引力方向相同，指向地心． (2)当物体在赤道上时：F ′＝mω2R 最大，此时重力最小G min ＝GMmR 2－mω2R 方向与引力方向相同，指向地心．(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F ′＝mω2R ′减小，F ′与F 引夹角增大，所以重力G 在增大，重力加速度增大．因为F ′、F 引、G 不在一条直线上，重力G 与万有引力F 引方向有偏差，重力大小mg <G MmR 2.2．重力与高度的关系若距离地面的高度为h ，则mg ′＝G Mm(R ＋h )2(R 为地球半径，g ′为离地面h 高度处的重力加速度)．在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小． 3．特别说明(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力不是地球对物体的引力． (2)在忽略地球自转的情况下，认为mg ＝G MmR2.(多选)如图4所示，P 、Q 是质量均为m 的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P 、Q 两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )图4A ．P 、Q 受地球引力大小相等B ．P 、Q 做圆周运动的向心力大小相等C ．P 、Q 做圆周运动的角速度大小相等D ．P 、Q 两质点的重力大小相等 答案 AC解析 P 、Q 两质点所受地球引力都是F ＝G Mmr 2，故A 正确；P 、Q 都随地球一起转动，其角速度一样大，但P 的轨道半径大于Q 的轨道半径，根据F n ＝mω2r 可知P 的向心力大，故B 错误，C 正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，在两极处最大，故D 错误．火星半径是地球半径的12，火星质量大约是地球质量的19，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员(地球表面的重力加速度g 取10 m/s 2) (1)在火星表面上受到的重力是多少？(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m 高，那他在火星表面能跳多高？ 答案 (1)222.2 N (2)3.375 m 解析 (1)在地球表面有mg ＝G MmR 2在火星表面上有mg ′＝G M ′mR ′2代入数据，联立解得g ′＝409m/s 2 则宇航员在火星表面上受到的重力 G ′＝mg ′＝50×409 N ≈222.2 N.(2)在地球表面宇航员跳起的高度H ＝v 022g在火星表面宇航员能够跳起的高度h ＝v 022g ′联立解得h ＝g g ′H ＝10409×1.5 m ＝3.375 m.1．(行星与太阳间的引力)(多选)(2019·山西大学附属中学高一下月考)如果设行星的质量为m ，绕太阳运动的线速度为v ，公转周期为T ，轨道半径为r ，太阳的质量为M ，则下列说法正确的是( )A ．在探究太阳对行星的引力大小F 的规律时，引入的公式F ＝m v 2r实际上是牛顿第二定律B ．在探究太阳对行星的引力大小F 的规律时，引入的公式v ＝2πrT ，实际上是匀速圆周运动的一个公式C ．在探究太阳对行星的引力大小F 的规律时，引入的公式r 3T 2＝k ，实质上是开普勒第三定律，是不可以在实验室中得到验证的D ．在探究太阳对行星的引力大小F 的规律时，得到关系式F ∝mr 2之后，又借助相对运动的知识(也可以理解为太阳绕行星做匀速圆周运动)得到F ∝m 太r 2，最终用数学方法合并成关系式F ∝m 太m r 2答案 ABC解析 引入的公式F ＝m v 2r ，实际上是牛顿第二定律，由引力提供向心力得出的，故A 正确；引入的公式v ＝2πr T 是匀速圆周运动线速度与周期的关系式，故B 正确；引入的公式r 3T 2＝k ，实质上是开普勒第三定律，是开普勒观测行星运动时得到的，因此无法在实验室中得到验证，故C 正确；在探究太阳对行星的引力大小F 的规律时，得到关系式F ∝mr 2，根据牛顿第三定律得出F ∝m 太r 2，最终用数学方法合并成关系式F ∝m 太mr2，故D 错误．2．(月—地检验)(2018·北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( ) A ．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1602B ．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1602C ．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的16D ．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的160答案 B3．(万有引力定律的简单应用)两个完全相同的实心匀质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F .若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为( ) A ．2F B ．4F C ．8F D ．16F答案 D解析 两个小铁球之间的万有引力为F ＝G mm (2r )2＝G m 24r 2.实心小铁球的质量为m ＝ρV ＝ρ·43πr 3，大铁球的半径r ′是小铁球半径r 的2倍，设大铁球的质量为m ′，则m ′m ＝r ′3r 3＝8，故两个大铁球间的万有引力为F ′＝G m ′m ′(2r ′)2＝16F ，故选D.4．(重力加速度的计算)设地球表面重力加速度为g 0，物体在距离地心4R (R 是地球的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为g ，则gg 0为( )A ．1 B.19 C.14 D.116答案 D解析 在地球表面处，有G mM R 2＝mg 0，在距离地心4R 处，有G mM (4R )2＝mg ，联立得g g 0＝(R 4R )2＝116，故D 正确．。