1.2.1任意角的三角函数

《 数 学 》

教 案

（ 2014～2015 学年 第 一 学期）

适用 计算机

专业

教 学 部 计算机

班 级 14.2 14.3 14.4 14.5

教 师 邱 实

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课题：三角函数的概念 授课日期

授课班级 2,3,4,5班 课 时 3节 授课地点 教室

教

学

目

标 能力（技能）目标 知识目标

1、培养类比、归纳、猜想、验证的数学研究方法，发展符号表达能力、代数变形能力。

2、培养自主探索与合作交流的能力。 1． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，理解余切、正割、余割的定义；

2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。

教

学

任

务

及

案

例 终边落在坐标轴上的角没有正切、余切或正割、余割，要密切联系任意角的三角函数的定义使学生理解这一点。

重

点

难

点 重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义。

难点：理解定义的合理性。

课

堂

检

测

项

目 1、 任意角的正弦、余弦、正切的定义。

2、 已知任意角终边上一点，求三角函数值。

参

考

资

料 《数学》第一册课本，《数学学习指导与练习》，《数学教师教学用书》

《学海领航---数学指导书》

教学设计

步 骤 教学内容 教师活动

（方法与手段） 学生活动 时间分配

告知

（教学内容、

目的） 1、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，理解余切、正割、余割的定义；

2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 教师讲解 听讲 2

引入

（任务项目） 引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

如果现在要求225sin的值，怎么办？还能不能用直角三角形来求？ 引导

1.2.1任意角的三角函数重难点题型【举一反三系列】

【知识点1 三角函数的定义】

1.任意角的三角函数定义

正弦rysin，余弦rxcos，正切xytan

2.三角函数的定义域：

三角函数 定义域

)(xfsinx R

)(xfcosx R

)(xftanx ZkkxRxx,21|且

【知识点2 三角函数值的符号】

第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.

注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

【知识点3 诱导公式一】

由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：

sin)2sin(k cos)2cos(k tan)2(tank 其中Zk

【知识点4 单位圆的三角函数线定义】

如图（1）PM表示角的正弦值，叫做正弦线.OM表示角的余弦值，叫做余弦线.

如图（2）AT表示角的正切值，叫做正切线.

注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.

【考点1 三角函数的定义】

【例1】（2019春•聊城期末）已知角的终边上一点(1,)m，且6sin3，则(m )

A．2 B．2 C．2 D．62

【分析】根据三角函数的定义，列方程求出m的值．

【答案】解：角的终边上一点(1,)Pm，

所以2||1rOPm，

所以26sin31mm，

所以0m，

解得2m．

故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．

【变式1-1】（2019春•东胜区校级期中）若点(4,)Pm在角的终边上，且4cos5，则(m )

A．4

B．4 C．3 D．3

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m的值．

1.2.1任意角三角函数（

命题人：乔更云 审题人：郑伟锋

自主预习

认真阅读教材P11－14，回答下列问题：

1．任意角的三角函数

(1)单位圆：在直角坐标系中，称以

为圆心，以 为半径的圆为单位圆．

(2)锐角的三角函数：如图所示，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝a，AB＝b，OB＝r，设∠BOA＝α，则有：

α的三角函数 定义

正弦 sinα＝ABOB＝

余弦 cosα＝OAOB＝

正切 tanα＝ABOA＝

(3)任意角的正弦、余弦、正切：如图所示，α是任意角，以α的顶点O坐标原点，以α的始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．

设P(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则有：

α的三角函定义 记法 形式 数

正弦

sinα sinα＝y

余弦

cosα cosα＝x

正切

(x≠0) tanα tanα＝yx(x≠0)

(4)定义：当a＝ (k∈Z)时，tanα无意义．除此之外，对于每一个确定的α，都分别有 确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角α为 ，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，这三个函数统称为

，分别记作y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx.

典例讲解

[例1] 已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．

变式1 （1）求2π3的正弦、余弦和正切值．

（2）已知角α的终边经过点P(3,4)，求sinα，cosα，tanα.

（3）已知角α的终边过点P(5，a)，且tanα＝－125，求sinα－cosα的值．

[例2] 确定下列各式的符号：

(1)sin105°·cos230°；(2)sin7π8·tan7π8；(3)cos6·tan6.

1 高中数学 1.2.1任意角的三角函数(1)教学案 新人教A版必修4

学习目标

1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.

2.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.

重点难点

教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义。.

教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数及三角函数符号。

教学过程

（一）提出问题

问题1:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗?

问题2:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?

2

问题3:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?

问题4:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?

（二）新课导学

1、单位圆的概念：

.在直角坐标系中,我们称以 为圆心,以 为半径的圆为单位圆.

2、三角函数的概念

我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数. 如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r=22ba>0.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.

根据初中学过的三角函数定义,我们有

sinα=OPMP=rb,cosα=OPOM=ra,tanα=OPMP=ab.

3

如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:

(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;

(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;

(3)xy叫做α的正切,记作tanα,即tanα=xy(x≠0).

所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.