任意角的三角函数-1

任意角的三角函数

一、情景引入

问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为oh，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发（如图1所示），过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？

二、复习回顾锐角三角函数

自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”

【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置OA运动30秒后到达P点位置，由题意知030AOP，作PH垂直地面交OA于M，又知MH＝oh，所以本问题转变成求PH再次转变为求PM。

要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。

问题2：锐角的正弦函数如何定义？

自主探究：很容易得到

RMPOPMP||||||sinsin||RMPsin||0RhPH

hsin0Rh

所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高度h为多少？”

00130sinRhh，00245sinRhh

总结：0t在锐角的范围中，00sintRhh

三、引入新课

问题3：请问t的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度h为多少？能不能猜想00sintRhh？

【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三函数角函数。

问题4：如图建立直角坐标系，设点),(PPyxP，能你用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余弦、正切）？ OAP图1

aOMPYXOAPBMOAPHBNM图2 自主探究：||||sinOPMPRyP

RxOPOMP||||cos，PPxyOMMP||||tan

问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？

三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系。

. 1.2.1任意角的三角函数（一） 2015.12

【预习案】

目标： 1.初步掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；

2.初步从任意角三角函数定义认识函数值的符号。

1、 初中时在直角三角形中如何定义一个锐角的正弦、余弦、正切？

2、 写出下列特殊锐角的正弦,余弦和正切值

3、课本如何定义的任意角的三角函数？

4、三角函数定义：设是一个任意角，在它的终边上任取一点P（yx,），它与原点的距离r= ，则 )._____(tan____,cos____,sin

特别地，r=1时，)._____(tan____,cos____,sin

5、任意角的三角函数在各个象限的符号有什么规律?

6、三角函数在各象限的符号

sin cos tan

7、终边相同的角有什么关系？他们的三角函数有什么关系？

8、三角函数在坐标轴上的取值情况

角 0 90 180 270 360

弧度数

sin

cos

tan

角 30 45 60

sin

cos

tan

y

ox y

ox y

ox . 1.2.1任意角的三角函数（一） 2015.12

【课堂案】

例1、已知角的终边经过点P(4,3),求角的正弦,余弦和正切值.

强化1: 已知角的终边经过点P(5,12),求角的正弦,余弦和正切值.

强化2：已知角的终边经过点P)8,6(mm，其中0m，求角的三角函数值.

强化3：已知角的终边在直线xy3上，求角的三角函数值。

例2.确定下列三角函数值的符号.

学案编号：SX003

数学必修四

适用年级：高一

班级：

姓名：

使用日期：

勤奋是最好的方法，兴趣是最佳的老师

- 1 -亮出你的智慧，品尝成功的喜悦 课题：1.2.1

任意角的三角函数（1）

主备人：张文献 审核人：陈晓霞

学习目标 ：

1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；

2. 理解任意角的三角函数不同的定义方法；

3. 已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.

学习重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义。

学习难点: 任意角的三角函数不同的定义方法；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.

知识链接：

1：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.

（1）坐标轴上； （2）第二象限.

2：锐角的三角函数如何定义？

如图，设锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点(,)Pab，它与原点的距离220rab. 过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，线段MP的长度为b.

则sinMPbOPr；cos = ；

tanMPOM= .

新课导学：

1.任意角的三角函数的定义

问题1： 将点取在使线段OP的长1r的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：

sinMPOP ；cosOMOP ；

tanMPOM .

问题2：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示. 那么，角的概念推广以后，我们应该如何推广到任意角呢？

显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为 ，然后就可以类似锐角三角函数求得该角的三角函数值.

吴忠回中高一数学组 备课人：*** 课题：任意角的三角函数第一课时

第 - 1 - 页 共 3 页 - 1 - 1.2.1 任意角的三角函数（1）

教学目标：

1、借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。

2、目标在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力

3、在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。

教学重、难点：根据定义求三角函数值。

教学过程：

一、复习回顾：

初中锐角的三角函数是如何定义的？

在RtABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，则 ,,abasinAcosAtanAccb ．

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、新课讲解：

1．三角函数定义

在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)xy，它与原点的距离为2222(||||0)rrxyxy，那么 特别地：当1r时有

（1）比值yr叫做的正弦，记作sin，即sinyr； ysin

（2）比值xr叫做的余弦，记作cos，即cosxr； xcos

（3）比值yx叫做的正切，记作tan，即tanyx； xytan（)0x

说明：①的始边与x轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角，三个比值不以点(,)Pxy在的终边上的位置的改变而改变大小；

③当()2kkZ时，的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyx无意义；