1.2.1任意角的三角函数

必修二 2-1-1 平面 主备：许士飞 主审： 备课组长：

1 1.2.1任意角的三角函数（新授课）

【教学目标】

1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；

2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

4.掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

5.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；.

【教学重点】

任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）

【教学难点】

任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解..

【教学过程】

一、知识回顾

初中锐角的三角函数是如何定义的？

在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为,,abasinAcosAtanAccb ．

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、预习自学

1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?

显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.

2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?

如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)Pxy,那么:

(1)y叫做的正弦(sine),记做sin,即siny；

（2）x叫做的余弦(cossine),记做cos,即cosx；

（3）yx叫做的正切(tangent),记做tan,即tan(0)yxx.

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第一章 三角函数

1.2 任意角的三角函数

1.2.1 任意角的三角函数(第一课时)

学习目标

1.掌握任意角的三角函数的定义;

2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值;

3.记住三角函数的定义域及在各象限的符号.

学习过程

1.复习:初中锐角的三角函数是如何定义的?

Rt△ABC中,设A的对边为a,B的对边为b,C的对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为sin A=,cos A= ,tan A= .

2.探究:1.坐标法求三角函数.

锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P(a,b),

点P与原点的距离r=,

sinα= ;cosα= ;tanα= .

思考:对确定的锐角α，sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？

答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．.

思考:怎样适当地选取P点使比值简化?

其中,以原点为圆心,以 为半径的圆为单位圆.

新知:1.任意角的三角函数.

设α为一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y):

那么:(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;

(2)x叫作α的余弦,记作cosα,即 ;

(3)叫作α的正切,记作 ,即tanα=(x≠0).

三角函数:对于确定的角α,上面三个函数值都是唯一确定的,所以,正弦、余弦、正切都是以角为 ,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？

答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．当α为第一象限角时，y>0, x>0，故sinα>0，cosα>0，tanα>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．

1.2.1任意角的三角函数重难点题型【举一反三系列】

【知识点1 三角函数的定义】

1.任意角的三角函数定义

正弦rysin，余弦rxcos，正切xytan

2.三角函数的定义域：

三角函数 定义域

)(xfsinx R

)(xfcosx R

)(xftanx ZkkxRxx,21|且

【知识点2 三角函数值的符号】

第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.

注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

【知识点3 诱导公式一】

由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：

sin)2sin(k cos)2cos(k tan)2(tank 其中Zk

【知识点4 单位圆的三角函数线定义】

如图（1）PM表示角的正弦值，叫做正弦线.OM表示角的余弦值，叫做余弦线.

如图（2）AT表示角的正切值，叫做正切线.

注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.

【考点1 三角函数的定义】

【例1】（2019春•聊城期末）已知角的终边上一点(1,)m，且6sin3，则(m )

A．2 B．2 C．2 D．62

【分析】根据三角函数的定义，列方程求出m的值．

【答案】解：角的终边上一点(1,)Pm，

所以2||1rOPm，

所以26sin31mm，

所以0m，

解得2m．

故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．

【变式1-1】（2019春•东胜区校级期中）若点(4,)Pm在角的终边上，且4cos5，则(m )

A．4

B．4 C．3 D．3

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m的值．

云阳中学高中数学教案 高一（下） 必修四 三角函数

1.2.1任意角的三角函数（1）

教学目的：知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；

（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.

教学过程：

一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课：

1．三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)xy，它与原点的距离为2222(||||0)rrxyxy，那么

（1）比值yr叫做α的正弦，记作sin，即sinyr；

（2）比值xr叫做α的余弦，记作cos，即cosxr；

（3）比值yx叫做α的正切，记作tan，即tanyx；

（4）比值xy叫做α的余切，记作cot，即cotxy；

说明：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)Pxy在α的终边上的位置的改变而改变大小；