利用空间向量解决探索性问题

- 1 - 1. 在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

(1) 在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离；

(2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离．

2. 如图，在底面是棱形的四棱锥ABCDP中，,,60aACPAABCaPDPB2，点E在PD上，且PE:ED＝2:1．

(1) 证明 PA平面ABCD；

(2) 求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；

(3) 在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

3. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4.

(1) 求EF和点G的坐标；

(2) 求GE与平面ABCD所成的角；

(3) 求点C到截面AEFG的距离．

C D

B A P

E

Z

A D G E F

C B x y A B C P

E D · - 2 - 4. 如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，GDAG31，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．

(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；

(2)求点D到平面PBG的距离；

(3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求FCPF的值．

空间向量章节测试题

1．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（ ）

A．43 B．23 C．433

D．3

2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为

A.60º B. 90º C.105º D. 75º

3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是 （ ）

A．15 B。13 C。12 D。32

4． 设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是 （ ）

A．0 B．2 C．4 D．6

5．棱长都为2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为 （ ）

A．22 B．21 C．43 D．83

6． 在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是1CC、AD的中点，那么异面直线OE和1FD所成的角的余弦值等于 （ ）

A．510 B．32 C．55 D．515

7． 棱长为a的正四面体中，高为H，斜高为h，相对棱间的距离为d，则a、H、h、d的大小关系正确的是 （ ）

A．a>H>h>d B．a>d>h>H C．a>h>d>H D．a>h>H>d

8．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中点，则AED的大小为 （ ） P

A G

B C D F

E - 3 - A.45 B.30 C.60 D.90

9．三棱锥A—BCD的高AH = 3a3，H是底面△BCD的重心．若AB=AC，二面角A—BC—D为60°，G是△ABC的重心，则HG的长为 （ ）

A．a5 B．a6 C．a7 D．a10

10．PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 （ ）

A．12 B。32 C。33 D。63

11．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为 。

12。如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点， A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是

.

13．正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为 ．

14．已知边长为42的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA=2，设平面过PF且与AE平行，则AE与平面间的距离为 ．

15．如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．

（1）求二面角C-DE-C1的正切值；

（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值．

A

B M D C

A E D C

B

A1

F D1 C1

B1 - 4 - ABCDP16．如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

(I) 求证：AB平面PCB；

(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；

(III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．

17．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．

（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；

（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，

使得PQ⊥QD？

（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时，

求二面角Q-PD-A的大小．

Q P

D

C B A - 5 - 空间向量章节测试题答案

1．B。

2． B。

3． A。

4． C。提示：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则A1(1，0，0)，E(1，12，0)，C(0，1，0)．设平面A1ECF的法向量为n=(x，y，z)，则由1AEn=0及ECn=0，可得x=z=12y，于是可取n=(1，12，1)．

11(0,1,1)ABDC，11(1,1,0)DBDB，而且可计算得到这四个向量与向量n所成的角为30°，于是这四个向量与平面A1ECF所成的角为60°．而其它的面对角线所在的向量均不满足条件．

5 D。

6． C。

7． C。

8．A。

9． D。

10． D

11．45。

12． 23 。

13．设AC与BD相交于点O，则OE与OC所成的角即∠EOC为所求．易得大小为45°．

14．332

15．（1）如图，以A为原点，1,,AAADAB分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)．

于是，1(3,3,0),(1,3,2)DEEC，

1(4,2,2)FD．

设向量(,,)xyzn与平面C1DE垂直，则有

133013202DExyxyzxyzECnn．

∴(,,)(1,1,2),222zzzzn其中z＞0．

取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量． - 6 - ABCDPxyz∵向量1AA=（0，0，2）与平面CDE垂直，

∴n0与1AA所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角．

∵01011010226cos3||||114004AAAAnn，

∴2tan2．

（2）设EC1与FD1所成角为，则

11222222111(4)322221cos14||||132(4)22ECFDECFD．

16． (1) ∵PC⊥平面ABC,AB平面ABC，

∴PCAB.∵CD平面PAB，AB平面PAB，

∴CDAB．又CCDPC，∴AB平面PCB．

∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为33．

(2) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=2 ．以B为原点，

如图建立坐标系．则Ａ（０,2,０），Ｂ（0,0,0），

C（2,０,0），P（2,０,2）．

AP=(2,－2,2)，BC=(2,0,0)．

则APBC=2×2+0+0=2．

cosAP,BC=APBCAPBC=2222= 21．

∴异面直线AP与BC所成的角为3．

（3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．AB=(0, －2,0),AP=(2,－2,2)，

则AB0,AP0.mm 即20,2220.yxyz解得0,2yxz令z= -1,得 m= (2，0，-1)．

设平面PAC的法向量为n=(x, y, z).PC＝(0,0,－2), AC=(2,－2,0)，

则PC0,AC0.nn 即'''20,220.zxy解得'''0,zxy 令x=1, 得 n= (1，1，0)．

cos,mnmnmn=33232. ∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为33．

17．（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分

别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．

∵PA=AB=1，BC=a，

∴P（0，0，1），B（1，1，0）， z

Q P

D

C B A y

M N