4.2.2提公因式法 (2)

4.2 提取公因式法教案【教学内容分析】“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法.它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练.例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化.利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形.（可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式.）【教学目标】认知目标：⑴在具体情境中认识公因式⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式能力目标：⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想.⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力.情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性.【教学重点、难点】1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则.2．教学难点∶正确地找出公因式【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式）【教学工具】应用投影仪（计算机）【教学过程】㈠创设情境，提出问题如图，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？3.8列式：3.7×3.8+3.7×6.2(学生思考后列式)3.7 有简便算法吗?=3.7×(3.8+6.2)=3.7×10=37(m2)在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:ma＋mb =m(a＋b)利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点.（使学生初步意识到因式分解可以使运算简便,同时起到使知识进行迁移化归.）【以问题引入能引起学生的学习兴趣，符合学生的认知规律.本课时用“复习引入”亦是一种好办法，即先复习分配律，同时可让学生说出整式乘法与因式分解的联系与区别，以便复习上一节的内容，然后让学生观察引出新内容.】㈡观察分析，探究新知让学生观察多项式：ma+mb（让学生说出其特点：都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知.）各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.【把主动权交给学生，尽量让他们自己说，也可尝试让他们取名，使他们体验到成功的喜悦.】注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式.又如：b是多项式ab-b2各项的公因式2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是x 、y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法.㈢独立练习，巩固新知。

化归、 转化 整体方法 《2.2提公因式法（2）》导学案一、教学目标知识与技能：1.掌握用提公因式法分解因式的方法；2.通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点。

过程与方法：采用化归的数学思想，在上一节课所提取的公因式是单项式的分解因式的基 础上，解决所提取的公因式是多项式的分解因式。

情感态度与价值观：通过观察，合作交流解决公因式为多项式的分解因式问题，培养学生的化归、转化能力。

二、教学重点： 含有公因式是多项式的分解因式三、教学难点： 整体思想的运用以及代数式的法号变换处理四、教学过程：（一）导入新课检查学生完成课前导读-评价单1、2，导入，公因式不仅可以是单项式，还可以是多项式。

导入语：这节课我们继续学习提公因式法分解因式。

（二）自主探索 探究新知A.基础训练问题1：把多项式(3)-x 看做一个整体，让学生感知公因式可以是多项式。

问题2：在问题1的基础上进一步解决符号问题。

教学时要引导学生正确理解()-x y 与()-y x ，2()-m n 与2()-n m 的关系。

B.能力训练问题1：解题的关键是确定公因式：（1）22()()-=-x y y x ；（2）把+mx ny 提公因式；（3）()--=-y x x y 。

问题4：提取公因式5535+x ，分解因式再解方程。

（三）课堂反思1.本节课你学习了哪些方法？2.本节课应用了转化的数学思想：公因式为多项式的分解因式问题 公因式为单项式的分解因式问题（四）布置作业《课外巩固—评价单》《2.2提公因式法（2）》课前导读—评价单班级 姓名 组别（一）学习目标：1.掌握公因式是多项式时的分解因式；2.掌握用提公因式法分解因式的方法。

（二）学习流程：1.做一做：请在下列等号右边的括号前填入“＋”或“－”，使等式成立。

（1）2-=a (2)-a （2）-=y x ()-x y（3）+=b a ()+a b （4）2()-=b a 2()-a b（5）--=m n ()+m n （6）22-+=s t （22-s t ）2.你能找出下列多项式的公因式吗？公因式是单项式还是多项式？（1）()()+++x a b y a b （2）3()()---a x y x y（3）236()12()+-+p q q p （4）2()()()+--+x y x y x y3.把下列各式分解因式：（1）()()+++x a b y a b （2）3()()---a x y x y（3）236()12()+-+p q q p （4）2()()()+--+x y x y x y（5）22()3()-+-y x x y （6）2()()---mn m n m n m由2、3题可以看出，提公因式法分解因式时，公因式不仅可以是单项式，还可以是 项式。

2024年送教上门数学教案精心整理一、教学内容本节课选自数学七年级下册教材第四章《因式分解》，具体内容为：4.1 因式分解的定义及基本概念，4.2 提公因式法，4.3 运用公式法进行因式分解。

二、教学目标1. 理解因式分解的定义，掌握因式分解的基本方法。

2. 学会运用提公因式法和公式法进行因式分解。

3. 能够解决实际问题，提高数学思维能力。

三、教学难点与重点重点：因式分解的定义，提公因式法和公式法的运用。

难点：熟练运用提公因式法和公式法进行因式分解。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，投影仪，黑板。

2. 学具：练习本，草稿纸，计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入通过生活中的例子，如分水果、分配任务等，引导学生了解因式分解的概念。

2. 例题讲解（1）讲解因式分解的定义，通过具体例子让学生理解。

（2）以提公因式法和公式法为例，详细讲解两种方法的步骤。

3. 随堂练习（1）让学生尝试用提公因式法和公式法进行因式分解。

（2）针对学生的练习，进行讲解和指导。

4. 知识巩固（2）针对重难点，进行巩固练习。

5. 课堂小结六、板书设计1. 因式分解的定义及基本概念2. 提公因式法3. 公式法4. 典型例题及解题步骤七、作业设计1. 作业题目（1）用提公因式法进行因式分解：6x^2 9x。

（2）用公式法进行因式分解：x^2 4。

（3）实际应用题：一个长方形的长是宽的两倍，求长方形的面积。

2. 答案（1）3x(2x 3)（2）(x + 2)(x 2)（3）面积 = 长× 宽 = 2宽× 宽 = 2宽^2八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对因式分解的理解程度，以及教学方法的有效性。

2. 拓展延伸：引入更多因式分解的方法，如分组分解法、十字相乘法等，让学生在课后进行学习和练习。

重点和难点解析1. 教学目标的设定2. 教学难点与重点的识别3. 教学过程的实践情景引入4. 例题讲解的深度和广度5. 作业设计的针对性和实用性6. 课后反思及拓展延伸的实际应用一、教学目标的设定（1）理解因式分解的定义，掌握因式分解的基本方法。

4.2提公因式法教学目标【知识与技能】1.了解公因式的意义,能够确定多项式中各项的公因式;2.了解因式分解的提公因式法,能够用提公因式法对多项式进行因式分解.【过程与方法】经历对多项式各项的公因式的意义和因式分解的提公因式法的探究过程.对公因式是多项式的情况,能够用整体思想因式分解.【情感、态度与价值观】养成独立思考的习惯,培养合作交流的意识,在因式分解过程中感受因式分解在简化计算中所起到的作用.教学重难点【教学重点】用提公因式法因式分解.【教学难点】能观察出公因式是多项式的情况,并能合理地进行分解因式.教学过程一、情境导入问题:一块场地由三个矩形组成,这些矩形的长分别为43,32,74,宽都是12,求这块场地的面积.解法一:S=12×43+12×32+12×74=23+34+78=5524;解法二:S=12×43+12×32+12×74=12×(43+32+74)=12×5512=5524.观察上面的解题过程,你发现哪种方法更简便?二、合作探究探究点1公因式典例1多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是()A.abcB.3a2b2C.3a2b2cD.3ab[解析]系数的最大公约数是3,相同字母的最低指数次幂是ab,所以公因式为3ab.[答案]D多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”:(1)定系数,即确定各项系数的最大公约数;(2)定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);(3)定指数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.探究点2用提公因式法进行因式分解典例2因式分解:(1)4a2+6ab+2a;(2)-5x 3+10x 2-15x ;(3)14a 3b 2-2a 2b 3. [解析] (1)原式=2a ·2a +2a ·3b +2a ·1=2a (2a +3b +1).(2)原式=-5x ·x 2+(-5x )·(-2x )+(-5x )·3=-5x (x 2-2x +3).(3)原式=14(a 3b 2-8a 2b 3)=14a 2b 2(a -8b ).提公因式法的基本步骤:(1)找出公因式;(2)把多项式各项写成公因式与另一项乘积的形式;(3)提公因式并确定另一因式.探究点3 提取多项式公因式进行因式分解典例3 下列因式分解正确的是 ( )A.mn (m -n )-m (n -m )=-m (n -m )(n +1)B.6(p +q )2-2(p +q )=2(p +q )(3p +q -1)C.3(y -x )2+2(x -y )=(y -x )(3y -3x +2)D.3x (x +y )-(x +y )2=(x +y )(2x +y )[解析] mn (m -n )-m (n -m )=-m (n -m )(n +1),A 项正确;6(p +q )2-2(p +q )=2(p +q )(3p +3q -1),B 项错误;3(y -x )2+2(x -y )=(y -x )(3y -3x -2),C 项错误;3x (x +y )-(x +y )2=(x +y )(2x -y ),D 项错误.[答案] A【误区警示】当公因式是形如(a -b )n 或(b -a )n 时,要注意幂指数n 的奇偶性:当n 为偶数时,(a -b )n =(b -a )n ;当n 为奇数时,(a -b )n =-(b -a )n .因此,在确定公因式的时候,“互为相反数的因式”是可以变为“相同的因式”的,这样就可以作为公因式,利用提公因式法因式分解.三、板书设计提公因式法{ 公因式{系数的最大公约数相同字母的最低次幂提公因式法的步骤{①确定公因式②提取公因式③确定另一个因式提取多项式公因式进行因式分解教学反思本节运用类比的数学方法,使学生易于理解和掌握.如学生在接受提取公因式法时,由提公因数到找公因式,由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.。

因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。

在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。

1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。

公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。

它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。

例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。

它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。

例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。

它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。

例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。

这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。

3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。

该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。

例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。

东固民族中学八下数学导学案001 班级小组姓名主备：审核：审批：辅导时间20 年月日课题：提公因式法（2）学习目标1.根据题目的特点将多项式中的多项式公因式提出来2.能准确找出公因式，并正确地进行因式分解3.经历探索多项式各项公因式的过程，加强自己的直觉思维和整体思想学习重、难点：会用提公因式法把多项式分解因式导学流程导学内容与方法时间学习要求问题预见预习导学忆一忆1公因式的定义是什么，请你举例说明2 公因式只能是单项式吗，可以是多项式吗，请你举例说明知识点一公因式为多项式的分解因式填一填我们现在思考并写出下列多项式中各项的公因式（１）２（x+y）2+6(x+y)3（２）A(x-5)+2b(x-5)（３）6(m-n)3-12(n-m)2（４）9(p+q)2-12(q+p)学一学1请同学们完成教材P50做一做2 要将式子变成相等的形式时，如何变化等号右边各项的符号，其实质是什么3 尝试利用上面的结论完成教材的例2，3，结合你的解答，请你思考（1）例2中的公因式是——，可以把——作为一个整体当作公因式提出来（2）例3第1题中虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出(x-y)与(y-x)——，如果把其中一个提取一个“-”号，则。

因此公因式是——。

同样，例题3第2题中(m-n)3=___(n-m)3,(m-n)2=___(n-m)2(3)例3第2题你还有别的分解因式的方法吗试一试完杨教材P51随堂练习中的2。

3。

5互动探究一将3a(x-y)-b(x-y)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（）A3a-b B 3(x-y) C x-y D 3a+b互动探究二下列提公因式分解因式中，正确的是（）A3(x-2)-2x(x-2)=(x-2)(3+2x) B 3(x-2)-2x(2-x)=(x-2)(3-2x)C B 3(x-2)-2x(2-x)=(x-2)(3+2x)D 3(x-2)-2x(2-x)=x(x-2)互动探究三分解因式a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a)方法归纳交流当为自然数时，两数差的偶次幂——，如(a-b)2n___(b-a)2n两数差的奇次幂互为——，(a-b)2n-1___(b-a)2n-1互动探究四先分解因式，再计算求值9x2(a-2b)+6(2b-a),其中a=1,b=-1,x=0互动探究五不解方程组2x+y=3，5x-3y=-2，求代数式（2x+y）（2x-3y）+3x（2x+y）的值互动探究六在学习了提公因式分解因式后，老师给大家出了如下的题目。

北师大版数学八年级下册4.2《提公因式法》教学设计2一. 教材分析《提公因式法》是北师大版数学八年级下册第4.2节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握提公因式法分解因式的技巧，并能够运用提公因式法解决一些实际问题。

教材通过具体的例子引导学生探究提公因式法的原理，并通过大量的练习让学生熟练掌握这一方法。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了整式的乘法，对因式分解有一定的了解。

但由于年龄和认知特点，学生可能对提公因式法的理解不够深入，需要通过大量的练习来巩固。

三. 教学目标1.让学生理解提公因式法的概念，掌握提公因式法分解因式的技巧。

2.培养学生运用提公因式法解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力，培养学生的合作交流意识。

四. 教学重难点1.重点：提公因式法的概念和运用。

2.难点：提公因式法的灵活运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过设置问题引导学生探究提公因式法的原理。

2.使用案例教学法，通过具体的例子让学生理解并掌握提公因式法。

3.采用小组合作交流的方式，让学生在讨论中加深对提公因式法的理解。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备教学课件，用于辅助教学。

3.准备黑板，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾因式分解的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）展示教材中的案例，引导学生观察和分析，让学生尝试找出其中的规律。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，教师巡回指导，及时纠正学生在练习中出现的问题。

4.巩固（10分钟）让学生进行一些典型的练习题，巩固提公因式法的应用。

5.拓展（10分钟）让学生运用提公因式法解决一些实际问题，提高学生的应用能力。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，加深学生对提公因式法的理解。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。

8.板书（5分钟）教师在黑板上板书本节课的主要知识点，方便学生复习。

教学反思
运用提公因式法进行因式分解，共两个课时，第一课时主要研究所提公因式是单项式的情形，第二课时学习所提公因式是多项式的情形。

这节课学习第二课时，通过确定多项式各项的公因式是多项式, 然后提取公因式, 将一个多项式转化成几个整式的积的形式。

在这一节课中，我始终围绕提公因式法的步骤及如何找公因式作为本节课的核心问题，围绕这一核心问题，通过对知识的重难点的分析，把对核心问题的掌握化解为对几个次级问题的解决来实现，在问题的设计过程中，充分考虑了学生的潜在知识，对知识认知规律以及对新知识的接受能力，总的来说，这一节课的教学是成功的，学生基本能够找出公因式并提出公因式，达到了本节课的教学目的。

但是在学习的过程中，我发现学生们还存在一下几个不足之处：
1、因式分解结果的书写不符合代数式的书写规范，当结果是几个因式的积时，应把单项式写在前面，多项式写在后面。

2、因式分解最后的结果应该以最简的形式展现，有相同形式的，要写成幂的形式，提公因式后，还有同类项的，一定要合并。

3、提取公因式一定要一次性提取完整，不能只看相同的因式，也要注意系数，应该取各项系数的最大公因数。

4、遇到互为相反数的因式，有的学生不能很好的处理。

遇到互为相反数的项，先转化，再提公因式，转化原则：变后不变前、变偶不变奇、变少不变多。