提公因式法分解因式(2)

因式分解提公因式法一．选择题（共20小题）1．把多项式a2﹣a分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣1）B．（a+1）（a﹣1）C．a（a+1）（a﹣1）D．﹣a（a﹣1）2．用提公因式法分解因式2x2﹣x时，应提取的公因式是（）A．x B．2x C．x2D．23．将多项式（a﹣1）2﹣a+1因式分解，结果正确的是（）A．a﹣1B．（a﹣1）（a﹣2）C．（a﹣1）2D．（a+1）（a﹣1）4．把2x（a﹣b）﹣4y（b﹣a）分解因式，其结果是（）A．（a﹣b）（2x﹣4y）B．（a﹣b）（2x+4y）C．2（a﹣b）（x﹣2y）D．2（a﹣b）（x+2y）5．把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（）A．5﹣m B．5+m C．m﹣5D．﹣m﹣56．用提公因式法分解因式6xy+3x2y﹣4x2yz3时，提取的公因式是（）A．xy B．2xz C．12xy D．3yz7．已知ab＝﹣2，a+b＝3，则a2b+ab2的值是（）A．6B．﹣6C．1D．﹣18．已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（）A．6B．﹣6C．1D．﹣19．（﹣2）2021+（﹣2）2022计算后的结果是（）A．22021B．﹣2C．﹣22021D．﹣110．将12m2n+6mn用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（）A．6m B．m2n C．6mn D．12mn11．把多项式m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）因式分解，结果正确的是（）A．（a﹣2）（m2﹣m）B．m（a﹣2）（m+1）C．m（a﹣2）（m﹣1）D．m（2﹣a）（m+1）12．把多项式a2+2a分解因式得（）A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）13．已知x﹣y＝1，xy＝2，则x2y﹣xy2的值为（）A．﹣B．﹣2C．D．2 14．把2a2﹣4a分解因式，结果正确的是（）A．a（2a﹣4）B．2（a2﹣2a）C．2a（a﹣2）D．2a（a+2）（a﹣2）15．计算：22012﹣（﹣2）2013的结果是（）A．3×22012B．24025C．﹣22012D．（）2012 16．将多项式a2b﹣2b利用提公因式法分解因式，则提取的公因式为（）A．a2b B．ab C．a D．b 17．如图，边长为a、b的长方形周长为10，面积为8，则a2b+ab2的值为（）A．40B．60C．80D．100 18．把（a﹣b）+m（b﹣a）提取公因式（a﹣b）后，则另一个因式是（）A．1﹣m B．1+m C．m D．﹣m 19．计算：（﹣2）2020+（﹣2）2019＝（）A．22020B．﹣22020C．22019D．﹣22019 20．下列各数中，不能整除803﹣80的是（）A．78B．79C．80D．81二．填空题（共40小题）21．分解因式：3a2﹣21ab＝．22．分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝．23．分解因式：x2y﹣16xy＝．24．分解因式：4a3b2﹣2a2b＝．25．分解因式：6xy2﹣4x2y+2xy＝．26．分解因式：m2n+4mn﹣4n＝．27．因式分解：m2+3m＝．28．因式分解：2a2（a﹣b）﹣8（b﹣a）＝．29．因式分解：2（a﹣b）2+6（b﹣a）＝．30．因式分解：2m2﹣16m＝．31．分解因式xy﹣4y＝．32．分解因式：2a2+a＝．33．因式分解4m2﹣4mn﹣2m＝．34．因式分解：3xy﹣x2＝．35．因式分解：3ax﹣9ay＝．36．因式分解：ab（a﹣b）﹣b（b﹣a）2＝．37．因式分解：xy﹣y2+y＝．38．分解因式：﹣4xy2﹣2xy＝．39．因式分解：2ab﹣4a＝．40．因式分解：3m2﹣mn＝．41．若ab＝2，，则a2b﹣ab2＝．42．分解因式：8a3b2﹣12ab3c＝．43．分解因式：2a2+8ab+8b2＝．44．分解因式：x（x+2）﹣x＝．45．分解因式：m3n+mn＝．46．把多项式m2n+6mn+8n分解因式的结果是．47．因式分解：2（a+b）2+3（a+b）＝．48．分解因式：6x2y﹣3xy＝．49．已知a+b＝4，ab＝3，则a2b+ab2＝．50．已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为．因式分解提公因式法参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．把多项式a2﹣a分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣1）B．（a+1）（a﹣1）C．a（a+1）（a﹣1）D．﹣a（a﹣1）【解答】解：原式＝a（a﹣1），故选：A．2．用提公因式法分解因式2x2﹣x时，应提取的公因式是（）A．x B．2x C．x2D．2【解答】解：用提公因式法分解因式2x2﹣x时，应提取的公因式是x．故选：A．3．将多项式（a﹣1）2﹣a+1因式分解，结果正确的是（）A．a﹣1B．（a﹣1）（a﹣2）C．（a﹣1）2D．（a+1）（a﹣1）【解答】解：（a﹣1）2﹣a+1＝（a﹣1）2﹣（a﹣1）＝（a﹣1）（a﹣1﹣1）＝（a﹣1）（a﹣2）．故选：B．4．把2x（a﹣b）﹣4y（b﹣a）分解因式，其结果是（）A．（a﹣b）（2x﹣4y）B．（a﹣b）（2x+4y）C．2（a﹣b）（x﹣2y）D．2（a﹣b）（x+2y）【解答】解：因为2x（a﹣b）﹣4y（b﹣a）＝2x（a﹣b）+4y（a﹣b）＝2（a﹣b）（x+2y）．故选：D．5．把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（）A．5﹣m B．5+m C．m﹣5D．﹣m﹣5【解答】解：原式＝5（a﹣b）﹣m（a﹣b）＝（a﹣b）（5﹣m），另一个因式是（5﹣m），故选：A．6．用提公因式法分解因式6xy+3x2y﹣4x2yz3时，提取的公因式是（）A．xy B．2xz C．12xy D．3yz【解答】解：用提公因式法分解因式6xy+3x2y﹣4x2yz3时，提取的公因式是xy．故选：A．7．已知ab＝﹣2，a+b＝3，则a2b+ab2的值是（）A．6B．﹣6C．1D．﹣1【解答】解：因为ab＝﹣2，a+b＝3，所以a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣2×3＝﹣6，故选：B．8．已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（）A．6B．﹣6C．1D．﹣1【解答】解：因为ab＝﹣3，a+b＝2，所以a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6，故选：B．9．（﹣2）2021+（﹣2）2022计算后的结果是（）A．22021B．﹣2C．﹣22021D．﹣1【解答】解：（﹣2）2021+（﹣2）2022＝（﹣2）2021×（1﹣2）＝22021．故选：A．10．将12m2n+6mn用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（）A．6m B．m2n C．6mn D．12mn 【解答】解：12m²n+6mn＝6mn（2m+1）．公因式是6mn．故选：C．11．把多项式m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）因式分解，结果正确的是（）A．（a﹣2）（m2﹣m）B．m（a﹣2）（m+1）C．m（a﹣2）（m﹣1）D．m（2﹣a）（m+1）【解答】解：m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）＝m（a﹣2）（m﹣1）．故选：C．12．把多项式a2+2a分解因式得（）A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．故选：A．13．已知x﹣y＝1，xy＝2，则x2y﹣xy2的值为（）A．﹣B．﹣2C．D．2【解答】解：∵x﹣y＝1，xy＝2，∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝2×1＝2．故选：D．14．把2a2﹣4a分解因式，结果正确的是（）A．a（2a﹣4）B．2（a2﹣2a）C．2a（a﹣2）D．2a（a+2）（a﹣2）【解答】解：2a2﹣4a＝2a（a﹣2），故选：C．15．计算：22012﹣（﹣2）2013的结果是（）A．3×22012B．24025C．﹣22012D．（）2012【解答】解：原式＝22012﹣（﹣2）2012×（﹣2）＝22012+2×22012＝3×22012，故选：A．16．将多项式a2b﹣2b利用提公因式法分解因式，则提取的公因式为（）A．a2b B．ab C．a D．b【解答】解：a2b﹣2b＝b（a2﹣2），将多项式a2b﹣2b利用提公因式法分解因式，则提取的公因式为：b，故选：D．17．如图，边长为a、b的长方形周长为10，面积为8，则a2b+ab2的值为（）A．40B．60C．80D．100【解答】解：∵边长为a、b的长方形周长为10，面积为8，∴2（a+b）＝10，ab＝8，∴a+b＝5，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝8×5＝40．故选：A．18．把（a﹣b）+m（b﹣a）提取公因式（a﹣b）后，则另一个因式是（）A．1﹣m B．1+m C．m D．﹣m【解答】解：（a﹣b）+m（b﹣a）＝（a﹣b）（1﹣m），所以另一个因式是1﹣m．故选：A．19．计算：（﹣2）2020+（﹣2）2019＝（）A．22020B．﹣22020C．22019D．﹣22019【解答】解：（﹣2）2020+（﹣2）2019＝（﹣2）2019×（1﹣2）＝22019．故选：C．20．下列各数中，不能整除803﹣80的是（）A．78B．79C．80D．81【解答】解：803﹣80＝80×（802﹣1）＝80×（80+1）×（80﹣1）＝80×81×79，故不能整除803﹣80的是78，故选：A．二．填空题（共40小题）21．分解因式：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．故答案为：3a（a﹣7b）．22．分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝（y﹣z）（2a+3b）．【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）＝（y﹣z）（2a+3b）．23．分解因式：x2y﹣16xy＝xy（x﹣16）．【解答】解：原式＝xy（x﹣16）．故答案为：xy（x﹣16）．24．分解因式：4a3b2﹣2a2b＝2a2b（2ab﹣1）．【解答】解：原式＝2a2b（2ab﹣1）．故答案为：2a2b（2ab﹣1）．25．分解因式：6xy2﹣4x2y+2xy＝2xy（3y﹣2x+1）．【解答】解：6xy2﹣4x2y+2xy＝2xy（3y﹣2x+1）．故答案为：2xy（3y﹣2x+1）．26．分解因式：m2n+4mn﹣4n＝n（m2+4m﹣4）．【解答】解：m2n+4mn﹣4n＝n（m2+4m﹣4）．故答案为：n（m2+4m﹣4）．27．因式分解：m2+3m＝m（m+3）．【解答】解：原式＝m（m+3）．故答案为：m（m+3）．28．因式分解：2a2（a﹣b）﹣8（b﹣a）＝2（a﹣b）（a2+4）．【解答】解：2a2（a﹣b）﹣8（b﹣a）＝2（a﹣b）（a2+4）．故答案为：2（a﹣b）（a2+4）．29．因式分解：2（a﹣b）2+6（b﹣a）＝2（a﹣b）（a﹣b﹣3）．【解答】解：原式＝2（a﹣b）2﹣6（a﹣b）＝2（a﹣b）[（a﹣b）﹣3]＝2（a﹣b）（a﹣b﹣3）．故答案为：2（a﹣b）（a﹣b﹣3）．30．因式分解：2m2﹣16m＝2m（m﹣8）．【解答】解：2m2﹣16m＝2m（m﹣8），故答案为：2m（m﹣8）．31．分解因式xy﹣4y＝y（x﹣4）．【解答】解：xy﹣4y＝y（x﹣4），故答案为：y（x﹣4）．32．分解因式：2a2+a＝a（2a+1）．【解答】解：2a2+a＝a（2a+1），故答案为：a（2a+1）．33．因式分解4m2﹣4mn﹣2m＝2m（2m﹣2n﹣1）．【解答】解：4m2﹣4mn﹣2m＝2m（2m﹣2n﹣1），故答案为：2m（2m﹣2n﹣1）．34．因式分解：3xy﹣x2＝x（3y﹣x）．【解答】解：原式＝x•3y﹣x•x＝x（3y﹣x）．故答案为：x（3y﹣x）．35．因式分解：3ax﹣9ay＝3a（x﹣3y）．【解答】解：原式＝3a（x﹣3y）．故答案为：3a（x﹣3y）．36．因式分解：ab（a﹣b）﹣b（b﹣a）2＝b2（a﹣b）．【解答】解：原式＝ab（a﹣b）﹣b（a﹣b）2＝b（a﹣b）[a﹣（a﹣b）]＝b（a﹣b）（a﹣a+b）＝b2（a﹣b）．故答案为：b2（a﹣b）．37．因式分解：xy﹣y2+y＝y（x﹣y+1）．【解答】解：原式＝y（x﹣y+1）．故答案为：y（x﹣y+1）．38．分解因式：﹣4xy2﹣2xy＝﹣2xy（y+1）．【解答】解：原式＝﹣2xy（y+1）．故答案为：﹣2xy（y+1）．39．因式分解：2ab﹣4a＝2a（b﹣2）．【解答】解：原式＝2a（b﹣2）．故答案为：2a（b﹣2）．40．因式分解：3m2﹣mn＝m（3m﹣n）．【解答】解：原式＝m（3m﹣n），故答案为：m（3m﹣n）．41．若ab＝2，，则a2b﹣ab2＝．【解答】解：∵ab＝2，，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝2×＝．故答案为：．42．分解因式：8a3b2﹣12ab3c＝4ab2（2a2﹣3bc）．【解答】解：8a3b2﹣12ab3c＝4ab2（2a2﹣3bc），故答案为：4ab2（2a2﹣3bc）．43．分解因式：2a2+8ab+8b2＝2（a+2b）2．【解答】解：2a2+8ab+8b2＝2（a2+4ab+b2）＝2（a+2b）2．故答案为：2（a+2b）2．44．分解因式：x（x+2）﹣x＝x（x+1）．【解答】解：原式＝x（x+2﹣1）＝x（x+1）．故答案为：x（x+1）．45．分解因式：m3n+mn＝mn（m2+1）．【解答】解：m3n+mn＝mn（m2+1）．故答案为：mn（m2+1）．46．把多项式m2n+6mn+8n分解因式的结果是n（m+2）（m+4）．【解答】解：m2n+6mn+8n＝n（m2+6m+8）＝n（m+2）（m+4），故答案为：n（m+2）（m+4）．47．因式分解：2（a+b）2+3（a+b）＝（a+b）（2a+2b+3）．【解答】解：原式＝（a+b）[2（a+b）+3]＝（a+b）（2a+2b+3）．故答案为：（a+b）（2a+2b+3）．48．分解因式：6x2y﹣3xy＝3xy（2x﹣1）．【解答】解：6x2y﹣3xy＝3x（2xy﹣y）．故答案为：3xy（2x﹣1）．49．已知a+b＝4，ab＝3，则a2b+ab2＝12．【解答】解：当a+b＝4，ab＝3时，a2b+ab2＝ab（a+b）＝3×4＝12，故答案为：12．50．已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为10．【解答】解：∵x+y＝10，xy＝1，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝1×10＝10．。

13.5因式分解教学目标：了解因式分解与整式乘法之间的关系，理解因式分解的过程；发现因式分解的基本方法，会用提公因式法分解因式；重点：因式分解的意义，用提公因式法将多项式因式分解；难点：找准多项式的公因式，并将多项式分解彻底。

教学过程：一。

复习：课前练习：1．计算：（1）( a+b)(a-b) （2）(-x+2)(-x-2)（3）(-2x+y)(2x+y)2 ．计算：（1）( a+b)2(2) (a-b)2（3）(3x+2y)23．下列计算错误的是（）（A）a（b+c）=ab+bc （B ）m(a+b+c)=ma+mb+mb（C）mn（n-3m）=mn2-3m2n（D）a(a+b)=a2b+a4．上面这几道正确的计算题应用了乘法律。

二。

合作交流：1.填一填：a2-b2= a2+2ab+b2= ma+mb+mc=想一想：这些结果是什么形式？它们与整式的乘法有什么区别？我们发现：上面的过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几个整式乘积形式，这就是因式分解。

因式分解与整式乘法的关系：整式乘法m(a+b+c) ma+mb+mc因式分解练习：判一判下列各式从左边到右边的变形是因式分解的用Yes，否则用No。

（1）（x2y2-9）=（xy+3）（xy-3）( )(2) ( a-b)2=a2-2ab+b2 ( )(3) x2y-xy2=xy(x-y) ( )(4) 2a(a-2)=2a2-4a ( )(5) (a-2)(a+2)=a2-4 ( )(6) a2-4+3a=(a-2)(a+2)+3a ( )2.探究：分解因式：ma+mb+mc解:ma+mb+mc=m(a+b+c)分析：我们发现多项式ma+mb+mc的每一项中都含有一个相同的因式m,我们称之为公因式。

把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。

像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。

友情提示:提公因式法的关键是正确的找出公因式。

专题14 因式分解（2）教师讲义64x6-1=(8x3)2-1=(8x3+1)(8x3-1)=[(2x)3+1][(2x)3-1]=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1) 方法二64x6-1=(4x2)3-1=(4x2-1)(16x4+4x2+1)=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)例5 解 (x+y)2-6(x+y)+9=(x+y)2-2×3×(x+y)+32=(x+y-3)2．例6 解方法一x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)例7 解方法一方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3)．例8 解 2ax-10ay+5by-bx=2ax-10ay-bx+5by=(2ax-10ay)-(bx-5by)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)．例9 解（1）x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)（2）x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)例10 解 x2+4xy+3y2+x+3y=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)=(x+y)(x+3y)+(x+3y)=(x+3y)(x+y+1)．例11 解（1）a2+2ab+b2+2a+2b+1=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1=(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2．（2）a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3=(a+b)2+2(a+b)-3=(a+b+3)(a+b-1)．（3）a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3=(a+b-1)(a+2b+3)．例12 证明因为4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以(2x+y)2-2(2x+y)+1=0，(2x+y-1)2=0．所以2x+y-1=0．又因为2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)．而2x+y-1=0，所以2x2+3xy+y2-x-y=0．例13 解设3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=[(3x-7y)+a][(x+y)+b]=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab．对应项系数相等，所以由（1）（2）解得a=-2，b=5．将a=-2，b=5代入（3），得m=-10，所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10=(3x-7y+a)(x+y+b)=(3x-7y-2)(x+y+5)．例14 解因为｜x-3y-1｜+x2+4y2=4xy，所以｜x-3y-1｜+x2-4xy+4y2=0即｜x-3y-1｜+(x-2y)2=0所以解这个方程组，得x=-2，y=-1．例15 解（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)．（2）x3+5x-6=x3-x+6x-6=(x3-x)+(6x-6)=x(x+1)(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+6)例16 解因为x2-2xy-3y2=5，所以(x-3y)(x+y)=5．依题意x，y为整数，所以x-3y和x+y都是整数，于是有：解上述方程组得：例17 证明因为A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49=(x2-x-6)(x2-x-20)+49=(x2-x)2-26(x2-x)+169=(x2-x-13)2所以A是一个完全平方数．五、课堂练习A卷：基础题A、选择题1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．a（a－b）=a2－ab B．a2－2a+1=a（a－2）+1C．x2－x=x（x－1） D．xy2－x2y=x（y2－xy）2．（x－5）（x－3）是多项式x2－px+15分解因式的结果，则p的值是（）1-2004 = 100123456689。

14.3因式分解1.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。

2．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：对于ma mb mc ++， 叫做公因式， 叫做提公因式法。

①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

②公因式的构成：系数：各项系数的 ； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。

（2）公式法：①常用公式平方差： 完全平方：立方和：3322a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差：②常见的两个二项式幂的变号规律：22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） （3）十字相乘法①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,aa 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。

（4）分组分解法①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。

例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

分解因式——提公因式法教材：义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册第十四章第3节。

《因式分解》第一课时“因式分解的意义及用提公因式法分解因式”，下面我从：教材分析、目标分析、教学过程、教法与学法及评价等五部分来说这一节课，其中教学过程分为：复旧孕新、类比引入、学习新知、巩固新知、自主小结及学生作业6个部分，整个过程以计算题为载体，让学生在已有知识的基础上认识新的知识。

一、教材分析：1．教材的地位及作用：因式分解是代数式的一种重要恒等变形。

它是学习分式的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用，它是继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。

这一思想贯穿后继学习的各种因式分解方法。

2．教学重点：了解因式分解的意义，会用提公因式法分解因式。

3．教学难点：整式乘法与因式分解之间的关系。

二、目标分析：1．知识与能力目标：了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系，学会用提取公因式方法分解因式。

2．过程与方法：经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力。

3．情感态度与价值观：在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值。

三、过程分析：《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人”为了向学生提供更多从事数学活动的机会，我将本节课的教学过程设定为以下六个环节，分别为复旧孕新、类比引入、学习新知、巩固新知、自主小结及学生作业。

1．复旧孕新，算一算（看谁算得快）①-25×4+75×4②ａ（）③（ａ+1）（ａ-2）④（2y）2[设计意图]通过算一算，让学生用已有知识解决问题，感受数学知识给自己带来收获的愉快，同时为后面学习新知作出铺垫。

2．类比引入，填一填①将60分解成质数的乘积的形式为：。

1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x解：x(2x-3)=0， x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。

2. 公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。

注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。

例二：42-x 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3. 十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。

注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b ，即a 1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。

一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。

例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。

常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

因式分解提公因式法第2课时课题：3.2提公因式法(二) 课型：新授 备课人：唐思梁教学目标：A层、理解公因式的概念，会找出多项式的公因式，并能用提取公因式法因式分解。

B层、初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方法。

C层、在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣。

教学重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解。

教学难点: 运用提公因式法把多项式分解因式找到多项式的最大公因式.教学过程:一、自主学习1、阅读教材P60-612、用短除法分解因式。

二、师生共探1、怎样分解因式？ 如何把 分解因式？2、如何把分解因式？3、在草稿上检验例4、例5.4、例6.把因式分解。

三、归纳总结1、当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号。

2、提取公因式要彻底；注意易犯的错误：①提取不尽②漏项③疏忽变号④只提取部分公因式，整个式子未成乘积形式。

四、拓展提高1、把因式分解。

2、先变形，再分解因式。

.五、课堂检测A层.选择题（1）多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ ）A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+（2）下列因式分解不正确的是（ ）A．-2ab²+4a²b=2ab（-b+2a） B．3m（a-b）-9n（b-a）=3（a-b）（m+3n）C．-5ab+15a²bx+25ab³y=-5ab（-3ax-5b²y） D．3ay²-6ay-3a=3a（y²-2y-1）（3）将多项式a（x-y）+2bx-2by分解因式，正确的结果是（ ）A．（x-y）（-a+2b） B．（x-y）（a+2b）C．（x-y）（a-2b） D．-（x-y）（a+2b）B层．把下列各式分解因式：C层.如何把。

因式分解的常用方法一、提公因式法. a 2-b 2=(a+b)(a -b)；a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．二、运用公式法. a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；三、分组分解法. a n +b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数；a n +b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数；a n +b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数．（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++每组之间还有公因式！=))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+-原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

初二数学因式分解的八种常见方法一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂.注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=（x+3）的四次方(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x 一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x 一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m十1=(m+1)²=(a ²+2a十1)²=（a+1）的四次方七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或（a+b）x对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如:14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.m+n=42m+n=5mn=3∴m=1，n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)。

专训1 因式分解的六种常见方法名师点金：因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．提公因式法公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2分解因式，其中一个因式是－4x2y2，则另一个因式是( )A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1 C．3y－4x＋1 D．3y－4x2．【2015·广州】分解因式：2－6＝．3．把下列各式分解因式：(1)2x2－；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.公式法直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.先提公因式再用公式法6．把下列各式分解因式：(1)(x－1)＋b2(1－x)；(2)－3x7＋24x5－48x3.先局部再整体法7．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x(x＋4)＋4；(2)4x(y－x)－y2.分组分解法9．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学的因式分解：甲：x2－＋4x－4y＝(x2－)＋(4x－4y) (分成两组)＝x(x－y)＋4(x－y) (分别提公因式)＝(x－y)(x＋4). (再提公因式)乙：a2－b2－c2＋2＝a2－(b2＋c2－2) (分成两组)＝a2－(b－c)2(运用完全平方公式)＝(a＋b－c)(a－b＋c). (再用平方差公式)请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式：(1)m2－＋－；(2)x2－2＋y2－9.拆、添项法10．分解因式：x4＋.11．先阅读下面的材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法，其实分解因式的方法还有拆项法等．拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．请你仿照以上方法，分解因式：(1)x2－6x－7；(2)a2＋4－5b2.整体法“提”整体12．分解因式：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)．“当”整体13．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．“拆”整体14．分解因式：(c2＋d2)＋(a2＋b2)．“凑”整体15．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.换元法16．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.答案1．B 2.2m(x－3y)3．解：(1)2x2－＝x(2x－y)．(2)－4m4n＋16m3n－28m2n＝－4m2n(m2－4m＋7)．点拨：如果一个多项式第一项含有“－”号，一般要将“－”号一并提出，但要注意括号里面的各项要改变符号．4．解：(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．点拨：将多项式中的某些项变形时，要注意符号的变化．5．解：(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(＋2)(－2)．(2)原式＝(x2＋y2＋2)(x2＋y2－2)＝(x＋y)2(x－y)2.(3)原式＝(x2＋6x＋9)2＝[(x＋3)2]2＝(x＋3)4.点拨：因式分解必须分解到不能再分解为止，如第(2)题不能分解到(x2＋y2＋2)(x2＋y2－2)就结束了．6．解：(1)原式＝(x－1)－b2(x－1)＝(x－1)(1－b2)＝(x－1)(1＋b)(1－b)．(2)原式＝－3x3(x4－8x2＋16)＝－3x3(x2－4)2＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.7．解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)·(x－3)＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)]＝(x＋3)(2x＋1)．点拨：解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后，发现有公因式可以提取，从而将原多项式因式分解．8．解：(1)原式＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2.(2)原式＝4－4x2－y2＝－(4x2－4＋y2)＝－(2x－y)2.点拨：通过观察发现此题不能直接分解因式，但运用整式乘法法则展开后，便可以运用公式法分解．9．解：(1)m2－＋－＝(m2－)＋(－)＝m(m－n)＋x(m－n)＝(m－n)(m＋x)．(2)x2－2＋y2－9＝(x2－2＋y2)－9＝(x－y)2－9＝(x－y＋3)(x－y－3)．10．解：原式＝x4＋x2＋－x2＝－x2＝(x2－x＋)．点拨：此题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合公式特征，因此将原式添上x2与－x 2两项后，便可通过分组使其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．11．解：(1)x2－6x－7＝x2－6x＋9－16＝(x－3)2－42＝(x－3＋4)(x－3－4)＝(x＋1)(x－7)．(2)a2＋4－5b2＝a2＋4＋4b2－9b2＝(a＋2b)2－(3b)2＝(a＋2b＋3b)(a＋2b－3b)＝(a＋5b)(a－b)．12．解：原式＝a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)＝(x＋y－z)(a＋b－c)．13．解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.点拨：本题把x＋y这一整体“当”作完全平方公式中的字母a.14．解：原式＝2＋2＋2＋2＝(2＋2)＋(2＋2)＝(＋)＋(＋)＝(＋)(＋)．点拨：本题“拆”开原式中的两个整体，重新分组，可谓“柳暗花明”，出现转机．15．解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．点拨：这里巧妙地把－5拆成4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和(y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．16．解：(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n，则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.。