八年级数学下册第4章42提公因式法课件(新版)北师

解： a(x-y)+b(y-x)
=a(x-y)-b(x-y)
＝（ｘ－y）（ａ-ｂ）
例3. 把6(m-n)3-12(n-m)2分解因式.
分析：其中(m-n)与(n-m)互为相反数. 可将-12(n-m)2变为-12(m-n)2，则6(mn)3与-12(m-n)2 公因式为6(m-n)2
解：6(m-n)3-12(n-m)2 = 6(m-n)3-12(m-n)2 ＝ 6(m-n)2(m-n-2)
例1.把 a(x-3)+2b(x-3) 分解因式.
分析： 多项式可看成
a(x-3) 与 2b(x-3) 两项。
公因式为x-3
解： a(x-3)+2b(x-3) ＝（ｘ－３）（ａ＋２ｂ）
例2. 把a(x-y)+b(y-x)分解因式.
分析：多项式可看成a(x-y)与+b(y-x) 两项。其中X-y与y-x互为相反数，可 将+b(y-x)变为-b(x-y)，则a(x-y) 与-b(x-y) 公因式为 (x-y)
(5) (a+b) =_-__(-b-a); (6) (a+b)2 =__+_(-a-b)2.
(7) (a+b)5 =_+__(b+a)5; (8) (a+b)6 =_+__(b+a)6.
(9) (x+y)(x-2y)= _-__(y+x)(2y-x)
由此可知规律： (1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是Байду номын сангаас数） (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
a+b 与 -a-b 互为相反数. (-a-b)n = (a+b)n (n是偶数）

小试牛刀：
• 将下列各式分解因式 1） 3a2-9ab 2） 3x+6y 3） 24xm2-16xm3 4） 3x3-9x2+3x 5） 32013 +6×32012－32014
例3 把－2n3－8n2＋6n分解因式
分析：如果多项式的第一项系数是负数， 一般要先提出“－”号。 解： －2n3－8n2＋6n
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
的字母。 定指数：相同字母的指数取各项中最小的
一个，即字母最低次幂。
例: 找 2 x 2 – 4 xy 的公因式。
2
定系数
x
1
定指数
定字母
所以，公因式是 2 x 。 思考：如何确定各项提公因式后剩余的因式？
用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式
例1：把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
3、已知a+b=12,ab=20,求a2b+ab2的值。
4、已知x²+3x=2,试求2x³+6x²-4x的值。
小结与反思
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法：

A组 P96 随堂 （2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
版本： 北师大版 第二步，提取公因式 ，
B组 P96 ，习题1 2 当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1。
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。 （3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
互为逆运算
计算：
515-5952 8 88
解： 515-5952 8 88
515-92
8 5 8 8
8
问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？
如图：两个长和宽分别为a和m，b和
m的长方形，合并成一个较大的长方 解：原式 =3a•a-3a•3b
2 X + 6 x = 2 X ×1+ 2 X2 ×3 x= 2 X2 (1 +3 X)
注意：
1 多项式是几项，提公因式后也剩几项。 2 当多项式的某一项和公因式相同时提公 因式后剩余的项是1。 3、当多项式第一项系数是负数，通常先提 出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，
注意括号内各项都要变号。
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
3x+6y
24xm2-16xm3 ③ 3x3-9x2+3x
例3（2）把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
解：原式= (24x312 x2 28x ) (4x •6 x2 4x •3x 4x•7 ) = 4x(6x2 3x 7 )
当多项式第一项系数是负数，通 常先提出“-”号，使括号内第一 项系数变为正数，注意括号内各 项都要变号。
①多项式 2x2 6x3中各项的公因式是什么？ ②你能尝试将多项式 2x26x3 因式分解吗？

= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1

例1
（1）把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
温馨提示
3a2 3a a
分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ，
(即将多项式化为两个因式的
9ab3a 3b
乘积)
例2 把 9x2– 6xy+3xz 分解因式.
解：9x2 – 6 x y + 3x z = 3x·3x - 3x·2y + = 33xx·(z3x-2y+z)
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020 3:55:17 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/162020/12/162020/12/16Dec-2016-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/162020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
1、 多项式是几项，提公因式后也剩几项。 2 、当多项式的某一项和公因式相同时提 公因式后剩余的项是1。 3、当多项式第一项系数是负数，通常先提 出“-”号，使括号内第一项系数变为正数， 注意括号内各项都要变号。
1、习题4.2 1,2,3题
2. 思考： 公因式可能是多项式吗？如果
④ -4a3b3+6a2b-2ab
a
提公因式法分解因式与单项式 乘多项式有什么关系？

跟踪练习
1 多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是( B ) A．8xy B．2xy C．4xy D．2y
2 式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( C )
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a)
D．以上均不正确
3 下列各组式子中，没有公因式的是( B ) A．4a2bc与8abc2 B．a3b2＋1与a2b3－1 C．b(a－2b)2与a(2b－a)2 D．x＋1与x2－1
为( B )
A．－6
B．6
C．－2或6
D．－2或30
7
如果多项式－ 1
1 5
abc＋
1 5
ab2－a2bc的一个因式
是－ 5 ab，那么另一个因式是( A )
A．c－b＋5ac
B．c＋b－5ac
C．c－b＋ 1 ac 5
D．c＋b－ 1 ac 5
8 【中考·潍坊】因式分解：x2－2x＋(x－2)＝ __(_x_＋__1_)(_x_－__2_)_.
3 导引：(1)题每一项都含有公因数978，把978作为公因式提
出；(2)题先对所求式提取公因式，再整体代入计算．
解：(1)原式＝978×(85＋7＋8)＝978×100＝97 800.
(2)2x4y3－x3y4＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)．
Байду номын сангаас
当2x－y＝ 1 ，xy＝2时，原式＝23× 1＝ 8 .
当多项式第一项的系数是负数 时，通常先提出“－”号，使 括号内第一项的系数成为正数. 在提出“－”号时，多项式的 各项都要变号.
想一想 提公因式法因式分解与单项式

多项式
中各项的公因式是什么？
多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号；
ma mb m a b 问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？
多项式
中各项的公因式是什么？
探究：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？
知识点一：
ma mb ma b
公因式
多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号；
(1) 2-a= (1)a-b 与
-a+两(ba-互2)为个相反只数. 有符号不同的多项式是否有关系,有如下
判断方法: 公因式的系数是多项式各项__________________;
(a+b)n = (b+a)n
(n是整数）
3.
(5) –s2+t2= (s2-t2)
（3）当多项式第一项系数是负数，通常先提出 定指数：各项所包含相同字母的最低次幂。
1、把下列各式分解因式
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括 2、互为相反数的两个数的奇次幂互为相反数，互为相反数的两个数的偶次幂相等。
(2)你能尝试将多项式
相同字母的指数取各项中最小的一个,即 _________.
号内各项都要变号。 例2、把下列各式因式分解
定字母：各项中都包含的相同字母。
七、中考链接 计算：1998+ 19982 -19992
八、课后作业
课时作业
例3
小颖解的有误吗？
把 8 a3b2 –12ab3c + ab分解因式.
解： 8a3b2 –12ab3c + ab = ab·8a²b - ab·12b2 c+ab·1 = ab(8a2b - 12b2c)

北师版初中数学八年级下册
第四单元
第二课
导入新课
1、分解因式的概念： 把一个多项式化为几个整式乘积的形式，
叫做把这个多项式分解因式.
2、整式的乘法与因式分解有什么关系吗？
分解因式与整式乘法是互逆运算. 3、口答：
(1)x(x+1)=_x_2_+_x__
(3)x2+x=_x_(_x_+_1_)_
(2)2x(3x+7)=_6_x_2_-_1_4_x__ (4)6x2-14x=_2_x_(_3_x_+_7_)
注意：把(x-3)看成一个整体.
新课学习
（2）y(x+1)+y2(x+1)2． 分析：多项式可看成y(x+1)与+y2(x+1)两项.
相同的部分是y(x+1)， 则公因式为y(x+1)
解：y(x+1)+y2(x+1)2 =y(x+1)[1+y(x+1)] =y(x+1)(xy+y+1 )
新课学习
ma+mb+mc=m(a+b+c) 提公因式法一般步骤： 1、找到该多项式的公因式； 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式； 3、把它与公因式相乘．
新课学习
如何准确地找到多项式的公因式呢？
1、系数 所有项的系数的最大公因数； 2、字母 应提取每一项都有的字母，且字母的 ）a(x-y)+b(y-x) 分析：多项式可看成a(x-y)与+b(y-x)两项.
其中x-y与y-x互为相反数， 可将+b(y-x)变为-b(x-y)， 则a(x-y)与-b(x-y)的公因式为(x-y) 解：a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) =(x-y)(a-b) 注意：指数为奇数时，交换位置，要添加“-”

观察下列各式的结构有什么共同特点？
① ax －ay
② ma + mb + mc
③ 2πR + 2πr
公因式定义：多项式中各项都含有的相同因式，
叫做这个多项式各项的公因式.
．
（1）确定下列各多项式中的公因式？
1) a c+ b c
c
2)3 x2 +9xy
3x
3) a2 b – 2a b2 + ab
（1） 2 x 2 + 6 x （2） 3a2-9ab
（3）9x2– 6xy+3xz
（2）解：原式 =3a用•a提-3公第a因一•3式步b法，分找解 出因 公式 因的 式步 ；骤：
=3a(a-第3b二) 步，提取公因式 ；
（3）解：原式
第三步， 将多项式化成两个
=3x因·3式x乘- 积3的x·形2式y 。+ 3x·z
解： 8 a3b2 –12ab3c + ab
= ab·8a2b - ab·12b2 c +ab·1 = ab(8a2b - 12b2c)
错误
当多项式的某一项和公因式相 同时，提公因式后剩余的项是1。
2、已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
《天府前沿》
因为 系数：最大公约数 3
字母：相同字母 指数：最低次幂
xy2
所以，3x2-6x 的公因式是 3xy2
写出下列多项式各项的公因式：
(1) 8x 72
8
(2) a2x2 y axy2
axy
(3) 4x2 2x 2x3
2x
(4) 6a2b 4a3b3 2ab 2ab
例2 将下列各式分解因3 式：

正确找出多项式各项公因式的关键是什么？
1.系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约数.
2.字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3.指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 相同字母的最低次幂.
多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项 式.
正直的人并不是渺小的，不要把谦虚和 渺小、妄自菲薄混为一谈。 ——契诃夫
3.已知x+y=6，xy=-3，则x2y+xy2=________. 【解析】如果想从已知条件中直接求出x、y的具体 数值，理论上是可行的，但以我们目前的知识是办 不到的.观察所求代数式发现，先将所求代数式因 式分解，然后再将条件等式代入即可. 原式=xy（x+y）， 当x+y=6，xy=-3时， 原式=-3×6=-18. 答案：-18
912 45，
所 以817 279 913能 被 45整 除 .
1.（南通·中考）因式分解：ax2-ax=________. 【解析】提公因式ax,ax2-ax=ax(x-1). 答案：ax(x-1) 2.(宿迁·中考)若2a-b=2,则6+8a-4b=______. 【解析】6+8a-4b=6+4(2a-b)=14. 答案：14
【归纳】
分两步：第一步，找出公因式； 第二步，提公因式 ，即用多项式除以公因式.
【跟踪训练】
把 -24x3 +12x2 -28x 因式分解.
解：-24x3 +12x2 -28x
=-(24x3 -12x2 +28x) =-(4x· 6x2-4x·3x+4x·7) =-4x(6x2 -3x+7)
当多项式第一项系数是 负数，通常先提出“-” 号，使括号内第一项系 数变为正数，注意括号 内各项都要变号.