最值系列之将军饮马(一)

最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．例题：如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．【两定两动之点点】在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。

BB考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。

【一定两动之点线】在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。

BB此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）三、几何图形中的将军饮马1．正方形中的将军饮马（1）如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________NMDCBA POBAM N（2）.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为（3）.如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB上的动点，则PC +PD 的最小值为2．三角形中的将军饮马(1).如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．(2).如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．PDCBAABCDM NN M D BA3.角分线系列之点点如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为4.角分线系列之点线（2）如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是5.矩形、菱形中的将军饮马如图，在菱形ABCD 中，AC=BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是EPDCBAM6.折点在边上如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( )E AFCDBNM D C BA7.折点与面积如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为( )8.全等与对称如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为9.60°角的对称如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OPM 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )．10.30°角的对称如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．DCBAPH FGEDCB AABMOP Nx11.20°角的对称如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN 的最小值为____________．12．将军过桥已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】【将军过两个桥】已知将军在图中点A 处，现要过两条河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？军营B考虑PQ 、MN 均为定值，所以路程最短等价于AP +QM +NB 最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．BAP 平移至A ’Q ，NB 平移至MB ’，化AP +QM +NB 为A ’Q +QM +MB ’．B当A ’、Q 、M 、B ’共线时，A ’Q +QM +MB ’取到最小值，再依次确定P 、N 位置．【将军遛马】如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？军营河【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB．构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线．(1).如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐示应为______________．x(2).如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CDEFM。

初中数学最值问题专题1 将军饮马模型与最值问题【模型导入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB 当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）B 将军军营河P【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。

考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。

最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B军军军军军【问题简化】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【问题简化】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？《初中数学典型题思路分析》说明1.特色：被多位老师选用备课.书中精选题目典型易错，一题多解，突出思路分析，且“渔、鱼”兼得！按照★到★★★★标注难度，整体难度较大，没有太简单浪费时间的题目，适合中等及以上学生使用！2.价格：全套7册共14本书（七上—九下+综合）.每册分解析版和原题版2本书：解析版题目下紧接着是题目的思路解析，原题版题目是解析版原题，也可理解为老师版和学生版.有和教材同步的多个版本可选.单册（2本书）59元；2册99元，3-6册每册50元；全套7册14本书298元.全国包邮.3.附赠：赠送资料不定期更新.赠送特色资料：1）《初中数学动点问题思路方法大汇总》（160页）2）《初中数学典型超级易错题》（283道题）3）《初中数学解题思路方法大汇总》（85页）4）《初中几何典型解题模型》（185页）pdf文件均包含典型例题分析.赠送资料汇总如下（约300G）A.全套初中数学重难点名师精品视频课程（2套）及讲稿。

（全部名师精讲，多为2019年录制.买分册赠送相应内容）.B.购满2册即赠送《初中几何解题思路方法培训》视频及讲稿(62节课）.C.全套基础知识+典型基础例题详解word和pdf版.(买分册赠送相应内容).D.购满3册即赠送电子版“初中几何典型解题模型”.E.三套老师专用电子资料(word.pdf.ppt等).F.四套从基础到竞赛分层视频课程、全套同步word试卷、自编特色资料等等大汇总.G:396份word版中考数学真题压轴题分类汇编和专题汇编.(更新至2019年）公众号：初中数学解题思路，每日分享更多干货，欢迎关注！微店：初中数学典型题思路https:///gaDFyl=M微店搜索店铺：“典型题思路”看查看动点最值等更多资料.本文档共24页【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【问题简化】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

最值问题之将军饮马模型精讲基础模型：如图，在直线上找一点P 使得PA +PB 最小？模型解析：作点A 关于直线的对称点A ’，连接PA ’，则PA ’=PA ，所以PA +PB =PA’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，PA ’+PB =A’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）模型变式：1、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．2、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。

BBBB考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。

3、一定两动之点线在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。

此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）针对训练一、单选题1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）A ．4B．C．D ．5【答案】D【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，∴DN =BN ，连接BD ，BM 交AC 于N′，连接DN′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，BB2．如图所示，在△ABC 中，，BD 平分，P 为线段BD 上一动点，为边AB 上一动点，当AP PQ +的值最小时，APB Ð的度数是（ ）A ．118°B ．125°C ．136°D ．124°∵BD 平分ABC Ð，ABC Ð∴12ABD CBD ABC Ð=Ð=Ð∵BP BP =，∴()SAS PBQ PBE V V ≌，∵90AEB Ð=°，34CBD Ð=°，∴124APB AEB CBD Ð=Ð+Ð=°．故选：D ．3．如图，Rt △ABC 中，9043C AC BC Ð==°=，，，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD AB ^于点D ，则PB PD +的最小值为（ ）A ．154B ．245C ．5D ．203根据对称性的性质，可知：BP 在Rt △ABC 中，90,ACB AC Ð=°225AB AC BC \=+=，根据对称性的性质，可知：V 2S S S S \=+=4．如图所示，已知A （1，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y 2=x图象上的两点，动点P （x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大值时，点P 的坐标是（ ）A．（3，0）B．（72，0）C．（53，0）D．（52，0）P PB 与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【详解】解：连接OP ，PA PB ^Q ，90APB \Ð=°，AO BO =Q ，2AB PO \=，若要使AB 取得最小值，则PO 需取得最小值，连接OM ，交⊙M 于点P ¢，当点P 位于P ¢位置时，OP ¢取得最小值，过点M 作MQ x ^轴于点Q ，则3OQ =、4MQ =，5OM \=，又2MP ¢=Q ，3OP \¢=，26AB OP \=¢=，故选：D ．6．如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是边AC 上一点，若AE ＝2，则EM ＋CM 的最小值为（ ）A B．C．D．的最小值为（）A．2B C D．1【答案】B【详解】解：连接AM、AC，AM交BD于P，PPB PE y+=，当点P从A向点C运动时，y与x的函数关系如图2所示，其中点M是函数图象的最低点，则点M的坐标是（）A．(B．(C．(D．(【答案】AP小值为（）A．5B．C．D．10【答案】A【详解】连接EC，交BD于P点∵四边形ABCD为正方形∴A点和C点关于BD对称\=PA PC\+=+=PA PE PC PE EC根据“两点之间线段最短”，可知PA PE+的最小值即为线段EC的长.10．如图，在矩形ABCD 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD PE +的最小值为（ ）A ．8B ．C ．10D ．2点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆点E 的对称点为1E ，连接1'O E ∴当点D 、P 、1E 、'O 共线时，如图所示，在Rt 'DCO V 中，CD 22'8610DO \=+=，又1'2O E =Q ，11''8DE DO O E \=-=，即PD PE +的最小值为8，故选：A ．二、填空题11．如图，在△ABC 中，90BAC Ð=°，3AB =，4AC =，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上任意一点，则AP BP +的最小值是______．【答案】4【详解】解：连接PC ．∵EF 是BC 的垂直平分线，∴BP PC =，∴PA BP AP PC +=+，∴当点A ，P ，C 在一条直线上时，PA BP +有最小值，最小值为4AC =．故答案为：4．12．如图，在等边△ABC 中，BD AC ^于D ，3cm =AD ．点,P Q 分别为,AB AD 上的两个定点且1cm BP AQ ==，点M 为线段BD 上一动点，连接,PM QM ，则PM QM +的最小值为______cm ．^∵△ABC是等边三角形，BD AC为500m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水，再赶回家，那么牧童最少要走______．【答案】1300m14．如图，菱形草地ABCD 中，沿对角线修建60米和80米两条道路，M 、N 分别是草地边BC 、CD 的中点，在线段BD 上有一个流动饮水点P ，若要使PM PN +的距离最短，则最短距离是 _____米．【答案】50【详解】解：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ¢，连接MP ¢，当P 点与P ¢重合时，MP NP MP NP NQ ¢¢+=+=的值最小，Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD \^，QBP MBP Ð=Ð，即Q 在AB 上，MQ BD ^Q ，15．在平面直角坐标系中，点，点，若有一点，当BA BO+的值最小时，=a ________．【答案】1 216．如图，直线4y x =+与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，P 为OA 上一动点，当PC PD +的值最小时，点P 的坐标为 ___________．【答案】()10-，【详解】解：作点D 关于x 轴的对称点D ¢，连接CD ¢交x 轴于点P ，此时PC PD +值最小，最小值为CD ¢，如图．令4y x =+中0x =，则4y =，∴点B 的坐标为()04，；令4y x =+中0y =，则40x +=，解得：4x =-，∴点A 的坐标为()40-，．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴点()22C -，，点()02D ，．∵点D ¢和点D 关于x 轴对称，∴点D ¢的坐标为()02-，．设直线CD ¢的解析式为y kx b =+，∵直线CD ¢过点()22C -，，()02D ¢-，，∴222k b b -+=ìí=-î，解得22k b =-ìí=-î，∴直线CD ¢的解析式为22y x =--．令0y =，则022x =--，解得：1x =-，∴点P 的坐标为()10-，．故答案为：()10-，．17．如图，点P 是AOB Ð内任意一点，3cm OP =，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，30AOB Ð=°，则△PMN 周长的最小值是______．【答案】3cm【详解】解：分别作点P 关于OA OB 、的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA OB 、于点M 、N ，连接OP OC OD PM PN 、、、、．∵点P 关于OA 的对称点为C ，关于OB 的对称点为D ，∴PM CM OP OC COA POA ==Ð=Ð，，；∵点P 关于OB 的对称点为D ，∴PN DN OP OD DOB POB ==Ð=Ð，，，∴3cm OC OD OP ===，22260COD COA POA POB DOB POA POB AOB Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴COD △是等边三角形，∴()3cm CD OC OD ===．∴△PMN 的周长的最小值3cm PM MN PN CM MN DN CD =++=++³=．故答案为：3cm ．18．如图，在周长为12的菱形ABCD 中，1DE =，2DF =，若P 为对角线AC 上一动点，则EP FP +的最小值为______．【答案】3【详解】解：作F 点关于BD 的对称点F ¢，则PF PF ¢=，连接'EF 交BD 于点P ．EP FP EP P F \+¢+=．由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F'在一条直线上时，EP FP +的值最小，此时F EP FP EP P E F ¢+==¢+．Q 四边形ABCD 为菱形，周长为12，3AB BC CD DA \====，AB CD ∥，2AF =Q ，1AE =，1DF AE \==，\四边形AE D F ¢是平行四边形，3E D F A \¢==．EP FP \+的最小值为3．故答案为：3．19．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，AC BC =，点C 在直线MN 上，30BCN Ð=°，点P 为MN 上一动点，连接AP ，BP ．当AP BP +的值最小时，CBP Ð的度数为__________度．【答案】15【详解】如图，作B 关于MN 的对称点D ，连接,,AD BD CD ，AP BP +Q 的值最小，则MN 交AD 于P ，由轴对称可知：20．如图，抛物线43y x x =-+与x 轴分别交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与轴交于点C ，在其对称轴上有一动点M ，连接,,MA MC AC ，则MAC △周长的最小值是______．21．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1030A B -，，，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x 取何值时，0y >？(3)设（1）题中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得QAC △的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．∴1k =，∴直线BC 的解析式为3y x =-，把1x =代入上式，∴=2y -，∴Q 点坐标为()12-，．22．教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．(1)问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程．(2)问题探究：在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ＝4，∠BAD ＝2∠ABC ．过点D 作DE //AC 交BC 的延长线于点E ．如图②，连结OE ，则OE 的长为____．(3)如图③，若点P 是对角线BD 上的一个动点，连结PC 、PE ，则PC ＋PE 的最小值为_____．（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求CDE(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.∵在矩形OACB 中，∴D （0，2），C （设直线CD ¢为y 得34k b =＋，b ∴直线CD ¢为y 理由如下：∵四边形CDEF 的周长为∴DE ＋CF 最小时，四边形轴于点D，且:4:3CD AD=，反比例函数kyx=的图象经过A、B两点．(1)求反比例函数的解析式．(2)点P为直线AC上一动点，求BP OP+的最小值．∵BC AC ^，FC BC =，∴AC 垂直平分BF ，∴BP FP =，∴BP OP FP OP OF +=+=，由“两点间线段最短”可得BP 由（1）得A 、B 关于原点对称，∴()7,3B -，∵C 为线段BF 的中点，25．如图，已知抛物线(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上一点，当PB＋PC的值最小时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M，N，使得90Ð=o且以点C，M，N为顶点CMN的三角形与OACV相似？若存在，求出点M和点N的坐标；若不存在，说明理由．∵对于2246y x x =+-，令∴C (0，-6)，26．如图，直线1l 经过9,02A æöç÷èø、()2,5B -两点，直线2:3l y x =-+与直线1l 交于点C ，与x 轴交于点D ．(1)求点C的坐标；(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；(3)把直线1l沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线3l与直线2l交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．27．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．(1)求该一次函数的表达式；(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．）∴154M x =或154M x =-，∴M (154，0)或（154-，0），∴存在一点M ，使△MOA 的面积等于△AOB 的面积，且M 点的坐标为(154，0)或（154-，0）．28．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别与x 轴的负半轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，其中OA ＝2，S △ABC ＝12，点C 在x 轴的正半轴上，且OC ＝OB ．(1)求直线AB 的解析式；(2)将直线AB 向下平移6个单位长度得到直线l 1，直线l 1与y 轴交于点E ，与直线CB 交于点D ，过点E 作y 轴的垂线l 2，若点P 为y 轴上一个动点，Q 为直线l 2上一个动点，求PD +PQ +DQ 的最小值；(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），设直线D'D''解析式为y＝sx+t，则2262s ts t=-+ìí-=+î，解得22st=-ìí=-î，∴直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），∴此时PD＝25，PQ＝0，DQ＝25，∴PD+PQ+DQ的最小值为45．（3）存在，理由如下：此时AD中点即为MN中点，∴2200224pp q-+=+ìí+=++î，解得2pq=ìí=-î，∴N（0，﹣2）；②以AM、DN为对角线，如图：同理可得：2200242p p q -+=+ìí++=+î，解得410p q =ìí=î，∴N （0，10）；③以AN 、DM 为对角线，如图：同理可得2020224p q p -+=+ìí+=++î，解得42p q =-ìí=-î，∴N （0，﹣2），综上所述，以点A 、D 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，N 的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．29．在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，在Rt△CEH 中，∠CEH ＝45°，∠ECH ＝90°，连接AE ．(1)如图1，若点E在CB延长线上，连接AH，且AH＝6，求AE的长；∠HBF＝45°时，求证：(2)如图2，若点E在AC上，F为AE的中点，连接BF、BH，当BH＝2BF，∠EHB+12AE＝CE；(3)如图3，若点E在线段AC上运动，取AE的中点F，作FH'∥BC交AB于H，连接BE并延长到D，使得BE ＝DE，连接AD、CD；在线段BC上取一点G，使得CG＝AF，并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中，当ACD的周长取得最小值时，△AED的面积为25，请直接写出GE+BH′的值．，连接，作。

1、如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？2、【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B3、【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

BB4、【一定两动之点线】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

BB【将军过桥】1.已知将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？2.已知A 、B 两点，MN 长度为定值，求确定M 、N 位置使得AM +MN +NB 值最小？军营河1.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．x2.如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CDEFM几何图形中的将军饮马正方形中的将军饮马1. 如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________．NMD CBA2.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)3.如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( )PDCBAA ．4B ．5C ．6D ．7三角形中的将军饮马1.如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．A BCDMN2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( )E AFCDBA ．3B ．4C ．33D ．233. 如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( )NMDCBAA ．3B ．2C ．23D ．44.如图，△ABC 中，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝60°，AC ＝4，则△ABC 的面积为_；点D ，点E ，点F 分别为BC ，AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，FD ，则△DEF 的周长最小值为 ．矩形、菱形中的将军饮马1. 如图，在菱形ABCD 中，AC=BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( )EPDCBAMA ．6 B．C．D ．4.52.如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( )A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)33.如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB的最小值为( )DCBAPA． B．C．D4.如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )H FGEDCB AA．B． C． D．特殊角的对称1. 如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OPM 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )ABMOPNABC ．6D ．32. 如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．x3. 如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为____________．求两线段差的最大值问题基本图形解析：在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A-P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。