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2024届物理一轮复习讲义专题强化十七带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题学习目标会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界极值问题，提高思维分析综合能力。
考点一带电粒子在磁场中运动的多解问题造成多解问题的几种情况分析类型分析图例带电粒子电性不确定带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b磁场方向不确定只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b临界状态不唯一带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解运动具有周期性带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解例1 (多选)(2022·湖北卷) 在如图1所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。
离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP 成30°角。
已知离子比荷为k ，不计重力。
若离子从P 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为( )图1A.13kBL ，0° B.12kBL ，0° C.kBL ，60° D.2kBL ，60°答案 BC解析 若离子通过下部分磁场直接到达P 点，如图甲所示，甲根据几何关系，有R ＝L ，q v B ＝m v 2R ，可得v ＝qBLm ＝kBL ，根据对称性可知出射速度与SP 成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。
当粒子上下均经历一次时，如图乙所示，乙因为上下磁感应强度均为B ，则根据对称性有R ＝12L ，根据洛伦兹力提供向心力有q v B ＝m v 2R ，可得v ＝qBL 2m ＝12kBL ，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。
23带电粒子在磁场中的多解问题1．(2020·湖北省松滋市言程中学高二月考)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直xOy 平面向外。
某时刻一个质子从点(L 0，0)处沿y 轴负方向进入磁场；一个α粒子同时从点(－L 0，0)进入磁场，速度方向在xOy 平面内。
设质子的质量为m 、电荷量为e ，不计质子与α粒子的重力和它们之间的相互作用。
如果α粒子第一次到达原点时恰能与质子相遇，已知质子和α粒子都带正电，且α粒子的质量是质子质量的4倍，α粒子带的电荷量是质子的2倍，则( )A ．质子的速度大小为2eBL mB ．质子的速度大小为2eBL m 0 C ．两粒子相遇时，α粒子的运动时间可能是3meB πD ．两粒子相遇时，α粒子的运动时间可能是52m eBπ 2．如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形ABC 分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠BAC 的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C 点，质子比荷q m＝k ，则质子的速度可能为( )A ．2BkLB ．2BkLC ．32BkLD ．8BkL 3．(2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高二月考)长为L 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，极板不带电。
现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(重力不计)，从左边极板间中点处垂直磁场以速度v 水平入射，如图所示。
欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A ．使粒子速度4BqL v m< B ．使粒子速度54BqL v m >C ．使粒子速度4BqL v m >D ．使粒子速度544BqL BqL v m m << 4．如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB 边长度为d ，6B π∠=。
带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结）一．带电粒子在磁场中的运动（1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即 ① 为静止状态。
② 则粒子做匀速直线运动。
（2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。
（3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。
二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1．运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．(4)运动时间： (Θ 用弧度作单位 )1．只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动．2．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关．三、带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动(往往有临界和极值问题)(一)边界举例:1、直线边界（进出磁场有对称性）规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等。
速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半，并且如果把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。
2、平行边界（往往有临界和极值问题）（在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界）3、矩形边界磁场区域为正方形，从a 点沿ab 方向垂直射入匀强磁场：若从c 点射出，则圆心在d 处若从d 点射出，则圆心在ad 连线中点处4.圆形边界（从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。
）特殊情形：在圆形磁场内,沿径向射入时，必沿径向射出一般情形：磁场圆心O 和运动轨迹圆心O ′都在入射点和出射点连线AB 的中垂线上。
或者说两圆心连线OO ′与两个交点的连线AB 垂直。
（二）求解步骤：（1）定圆心、（2）连半径、（3）画轨迹、（4）作三角形．（5）据半径公式求半径，2．其特征方程为：F 洛＝F 向． 3．三个基本公式： (1)向心力公式：qvB ＝m v 2R ； (2)半径公式：R ＝mv qB ； (3)周期和频率公式：T ＝2πm qB ＝1f ； 222m t qB m qB T θππθπθ==⨯=⨯v L =t再解三角形求其它量；或据三角形求半径，再据半径公式求其它量（6）求时间1、确定圆心的常用方法：(1)已知入射方向和出射方向(两点两方向)时，可以作通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6甲所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(2)已知入射方向和出射点的位置时(两点一方向)，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6乙所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(3)两条弦的中垂线(三点)：如图3－6－7所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过O 、A 、B 三点时，其圆心O ′在OA 、OB 的中垂线的交点上．(4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图3－6－8所示，过入射点A 做v 垂线AO ，延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交AO 于O 点，O 点即为圆心，求解临界问题常用到此法．(5)已知入射点，入射速度方向和半径大小2．求半径的常用方法 ：由于已知条件的不同，求半径有两种方法：一是：利用向心力公式求半径；二是：利用平面几何知识求半径。
压轴题08带电粒子在复合场、组合场中的运动1.本专题是电磁场的典型题型之一，包括应用电场力洛伦兹力的知识解决实际问题。
高考中经常在选择题中命题，更是在在计算题中频繁出现。
2024年高考对于复合场、组合场的考查仍然是热点。
2.通过本专题的复习，不仅利于完善学生的知识体系，也有利于培养学生的物理核心素养。
3.用到的相关知识有:电场的知识,磁场的知识等。
近几年的高考命题中一直都是以压轴题的形式存在，重点考查类型带电粒子在复合场中的运动，组合场中的运动等。
考向一：带电体在磁场中的运动1.带电体在匀强磁场中速度变化时洛伦兹力往往随之变化，并进一步导致弹力、摩擦力等的变化，带电体将在变力作用下做变加速运动。
2.利用牛顿运动定律和平衡条件分析各物理量的动态变化时要注意弹力为零的临界状态，此状态是弹力方向发生改变的转折点。
考向二：带电粒子在叠加场中的运动1.三种场的比较力的特点功和能的特点重力场大小：G ＝mg 方向：竖直向下重力做功与路径无关；重力做功改变物体的重力势能电场大小：F ＝qE方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与电强方向相反电场力做功与路径无关；W ＝qU ；电场力做功改变电势能磁场大小：f ＝qvB (v ⊥B )方向：可用左手定则判断洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能2.分析的基本思路(1)弄清叠加场的组成。
(2)进行受力分析，确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。
(3)画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。
①由于洛伦兹力的大小与速度有关，带电粒子在含有磁场的叠加场中的直线运动一定为匀速直线运动，根据平衡条件列式求解。
②当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，一定是电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件和牛顿运动定律分别列方程求解。
③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
考向三：带电粒子在组合场中的运动带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动。
适用标准考点周期性与多解问题1．带电粒子电性不确立形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，因为电性不一样，当速度同样时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不一样，形成多解．如图 6 甲所示，带电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为 b .2．磁场方向不确立形成多解：有些题目只磁感觉强度的大小，而不知其方向，此时一定要考虑磁感觉强度方向不确立而形成的多解．如图乙所示，带正电粒子以速度 v 垂直进入匀强磁场，如 B 垂直纸面向里，其轨迹为 a，如 B 垂直纸面向外，其轨迹为 b .3．临界状态不独一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，因为粒子运动轨迹是圆弧状，所以，它可能穿过去，也可能转过180 °从入射界面这边反向飞出，进而形成多解，如图丙所示．4．运动的周期性形成多解：带电粒子在局部是电场、局部是磁场的空间运动时，运动常常拥有来去性，进而形成多解，如图丁所示．一圆筒的横截面以下列图，其圆心为O.筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感觉强度为B.圆筒下边有相距为 d 的平行金属板M 、N ，此中 M 板带正电荷， N 板带等量负电荷.质量为m、电荷量为q 的带正电粒子自M 板边沿的P 处由静止开释，经N 板的小孔S 以速度 v 沿半径 SO 方向射入磁场中.粒子与圆筒发生两次碰撞后仍从S 孔射出.设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的状况下，求：(1)M 、 N 间电场强度 E 的大小；(2)圆筒的半径 R.(3)保持M、N间电场强度 E 不变，仅将M 板向上平移，粒子仍从M 板边沿的P处由静止开释粒子自进入圆筒至从S 孔射出时期，与圆筒的碰撞次数n 。
1.以下列图，在纸面内有磁感觉强度大小均为B，方向相反的匀强磁场，虚线等边三角形ABC 为两磁场的理想界限。
三角形ABC 边长为 L，虚线三角形内为方向垂直纸面向外的匀强磁场，三角形外面的足够大空间为方向垂直纸面向里的匀强磁场。
第3课时专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动目标要求 1.学会处理带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动的问题。
2.会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。
考点一带电粒子在有界匀强磁场中的运动1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)3．圆形边界(进出磁场具有对称性)(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。
(2)不沿径向射入时，如图乙所示。
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。
4．多边形边界或角形区域磁场带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要把握以下两点：(1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入。
(2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出。
①当α≤θ时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2R sin α，如图甲所示。
②当α>θ时，不能通过两磁场边界的交点，临界条件为粒子的运动轨迹恰好和另一个边界相切，如图乙所示。
例1 (多选)如图所示，空间有垂直纸面向里的匀强磁场B ，氢的同位素氘离子(21H)和氚离子(31H)都从边界上的O 点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成相同的角，不计离子重力及离子间相互作用，则下列说法正确的是( )A ．运动轨迹的半径之比为2∶3B ．重新回到边界所用时间之比为3∶2C ．重新回到边界时的动量相同D ．重新回到边界时与O 点的距离不相等例2 真空区域有宽度为l 、磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN 、PQ 是磁场的边界。
质量为m 、电荷量为＋q 的粒子(不计重力)从MN 边界某处射入磁场，刚好没有从PQ 边界射出磁场，再从MN 边界射出磁场时与MN 夹角为θ＝30°，则( )A ．粒子进入磁场时速度方向与MN 边界的夹角为60°B ．粒子在磁场中运动的时间为4πm 3qBC ．粒子在磁场中运动的时间为5πm 6qBD ．粒子射入磁场时的速度大小为(4－23)lqB m例3 (2021·全国乙卷·16)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m 、电荷量为q (q >0)的带电粒子从圆周上的M 点沿直径MON 方向射入磁场。
