中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）
一、基本图形
最值问题在几何图形中分两大类：
①[定点到定点]：两点之间，线段最短；
②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；
④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；
⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；
⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；
⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP ≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形
例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
（二）动点路径待确定
例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。
例3.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△A'B'C 绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F'，求线段EF'长度的最大值与最小值的差。
简析：E是定点，F'是动点，要确定F'点的运动路径。
先确定线段A'B'的运动轨迹是圆环，外圆半径为BC，内圆半径为AB边上的高，F'是A'B'上任意一点，因此F'的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点E到圆环的最短和最长路径。
E到圆环的最短距离为EF
2=CF
2
-CE=4.8-3=1.8，E到圆环的最长距离为
EF
1=EC+CF
1
=3+6=9，其差为7.2。
（三）动线（定点）位置需变换
线段变换的方法：（1）等值变换：翻折、平移；
（2）比例变换：三角、相似。
【翻折变换类】典型问题：“将军饮马”
例4.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长最小值为。
简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段PM、MN、PN在OA、OB的内侧。
所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径。
如图，把
点P分别沿OA、OB翻折得P
1、P
2
，△PMN的周长转化为P
1
M+MN+P
2
N，这三
条线段的和正是连接两个定点P
1、P
2
之间的路径，从而转化为求P
1
、P
2
两
点之间最短路径，得△PMN的周长最小值为线段P
1P
2
＝OP＝6。
例5.如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是。
简析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧，同样把点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，转化为求点B到直线AC的最短路径，即BN'⊥AC时，最小值为22。
【平移变换类】典型问题：“造桥选址”
例6.如图，m、n是小河两岸，河宽20米，A、B
是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、B
之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？
简析：桥长为定值，可以想像把河岸m向下平移与
n重合，同时把点A向下平移河宽，此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短，即转化为定点A'到定点B的最短路径。
如下图：
思路是把动线AM平移至A'M，A'N+BN即转化为求定点A'与定点B之间的最路径。
本题的关键是定长线段MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段A'N、BN变为连续路径，也可以把点B向上平移20米与点A连接。
例7.如图，CD是直线y=x上的一条定长的动线段，且CD=2，点A（4，0），连接AC、AD，设C点横坐标为m，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值。
解析：两条动线段AC、AD居于动点所在直线的两侧，不符合基本图形中定形（点线圆）应在动点轨迹的两侧。
首先把AC沿直线CD翻折至另一侧，如下图：
现在把周长转化为A'C+CD+AD，还需解决一个问题：动线段A'C与AD之间被定长线段CD阻断，动线段必须转化成连续的路径。
同上题的道理，把A'C 沿CD方向平移CD的长度即可，如下图。
现在已经转化为A''D+AD的最短路径问题，属定点到定点，当A''D与AD 共线时A''D+AD最短，即为线段AA''的长。
【三角变换类】典型问题：“胡不归”
例8.如图，A地在公路BC旁的沙漠里，A到BC的距离AH＝2√3，AB＝2√19，在公路BC上行进的速度是在沙漠里行驶速度的2倍。
某人在B地工作，A地家中父亲病危，他急着沿直线BA赶路，谁知最终没能见到父亲最后一面，其父离世之时思念儿子，连连问：“胡不归，胡不归……！”（怎么还不回来），这真是一个悲伤的故事，也是因为不懂数学而导致的。
那么，从B至A怎样行进才能最快到达？
简析：BP段行驶速度是AP段的2倍，要求时间最短即求BP/2+AP最小，从而考虑BP/2如何转化，可以构造含30°角利用三角函数关系把BP/2转化为另一条线段。
如下图，作∠CBD=30°，PQ⊥BD，得PQ=1/2BP，由“垂线段最短”知当A、P、Q共线时AP+PQ＝AQ'最小。
【相似变换类】典型问题：“阿氏圆”
“阿氏圆”：知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆，如下图所示，其中PO：BO＝AO：PO＝PA：PB＝k。
例9.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求 1/2AM+CM 的最小值。
简析：本题的主要问题在于如何转化1/2AM，注意到由条件知在M的运动过程中，EM：AE＝1：2保持不变，从而想到构造相似三角形，使之与△AEM 的相似比为1：2，这样便可实现1/2AM的转化，如下图取EN：EM＝1：2，
即可得△EMN∽△EAM，再得MN=1/2AM，显然，MN+CM的最小值就是定点N、C之间的最短路径。
之后便是常规方法先求N点坐标，再求CN的长。
【解法大一统】
万法归宗：路径成最短，折线到直线。
（所求路径在一般情况下是若干折线的组合，这些折线在同一直线上时即为最短路径）
基本图形：动点有轨迹，动线居两边。
（动点轨迹可以是线或圆，动线指动点与定点或定线、定圆的连线，动线与折线同指）
核心方法：同侧变异侧，分散化连续。
（动线在同侧进，要变为异侧，一般用翻折、三角、相似的方法构造；动折线被定长线段分散时需化为连续折线，一般用平移的方法构造，如造桥选址问题）
下图是构造完成的目标图形：
再举一例说明上述规律的运用方法：
1.如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径为2和1，P、
E、F分别是CD、⊙A、⊙B上的动点，则PE+PF的最小值为.。
