将军饮马系列---最值问题教案资料

最短路径问题（将军饮马为题）优秀教案
人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题
教学设计
三、探究新知，教师主导
1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。

将军
2、设想如果点A与点B在直线异侧，应该怎样找到点C的位置，由此及彼得出：利用轴对称可以先找到点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l相较于点C，点就是所求做的点。

5、巩固练习
四、合作探究、学生主体
1、“将军饮马问题（二）”：牧马人从A地出发，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。

学生通过小组合作，把实际问题转化成数学问题。

、小组合作，画出最短路径。

五、课堂小结
引导学生自己总结本课收获
六、作业
七、教学反思：
1.思得：信息技术的应用大大提高了学生学习数学的兴趣，其中最为明显的有两点，一是利用几何画板，让学生观察随着点C位置的变化，AC+BC的值随之变化，只有当点C在点A的对称点A’与点B 的连线与直线l的焦点时最小。

二是练习题的网上提交，既激发了孩子们练习的热情、时间观念，又节省了教师批阅时间。

2、思失：最短的证明不能单靠信息技术，还是应该逐步书写过程步骤，板书的尺规作图还是必须的。

5.结合实际情境，让学生体会数学与生活的密切联系，增强数学学习的兴趣和信心，培养正确的数学价值观。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握轴对称的性质，以及在实际问题中的应用。
-学会利用轴对称性质解决最短路径问题，特别是将军饮马问题。
-掌握通过直观感知、操作确认、推理证明等数学活动来解决几何问题。
其次，小组讨论环节，学生的参与度很高，大家积极分享自己的观点。但我注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，讨论一些与最短路径问题不相关的内容。这提示我在今后的教学中，需要更加明确讨论的主题和目标，适时引导学生回到主题上来。
另外，实践活动的设计上，我觉得还可以进一步优化。虽然实验操作能够帮助学生理解最短路径的概念，但我觉得可以增加一些更具挑战性和实际意义的任务，让学生在实践中遇到更多的问题，从而激发他们更深层次的思考和探索。
教学内容：
（1）回顾线段的性质，强调线段是两点间距离最短的路径。
（2）引入将军饮马问题，探讨在给定条件下如何找到最短路径。
（3）学习轴对称的性质，掌握将问题转化为轴对称问题的方法。
（4）应用轴对称性质解决将军饮马问题，得出最短路径的解法。
（5）通过例题和练习，巩固最短路径问题的求解方法。
二、核心素养目标
在难点和重点的讲解上，我尽量使用了简单的语言和生动的例子，但仍有部分学生在理解上存在障碍。我考虑在下一节课前，通过一些小测验来检测学生对这些概念的理解程度，以便我能够更有针对性地进行辅导。
此外，我也意识到，对于一些接受能力较强的学生，他们在掌握了基本概念后，可能需要更多拓展性的内容来满足他们的学习需求。因此，我计划在后续的课程中，提供一些难度较高的题目，让他们在挑战中进一步提升自己的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称性质和线段性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图形比较来帮助大家理解。

第1讲将军饮马模型➢知识点睛“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

一、定直线与两定点模型作法结论A、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最小.PB二、角到定点模型作法结论点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得PCD ∆周长最小.点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MN PN +最小.点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小.点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点Q P 、分别在AOB ∠的边OB OA 、是，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MQ MN PN ++最小.二、两定点一定长模型作法结论如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =.如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，且NB MN AM ++最小.如图，21//l l ，43//l l ,21l l 、之间的距离为1d ，43//l l 之间的距离为2d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，在43l l 、上分别找Q P 、两点，使3l PQ ⊥且QB PQ NP MN AM ++++最小.如图，在⊙O 上找一点N ，在直线l 找一点M ,使得MN AM +最小.➢ 精讲精练例1：如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值．P OBAMN例2：如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值．例3：如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)第3题图 第4题图 第5题图例4：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7例5：如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________． PDCBAA BCDMNNMDCBA例6：如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值．例7：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ． D ．第7题图 第8题图 第9题图例8：如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( ) A B ．2 C ．D ．4例9：如图，在菱形ABCD 中，AC =BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( ) A ．6B ．C ．D ．4.5NMDBA E AFCDBNM DCBAEPDCBAM例10：如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)3第10题图 第11题图 第12题图例11：如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为( ) A ．B ．C ．D 例12：如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A ．B ．C ．D ．例13：如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )A B C ．6D ．3第13题图 第14题图 CBH FGEDCB AA BMOPN例14：如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．例15：如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为___________．第15题图例16：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．例17：如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CD EFMx例18：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，求PD+PE 的最小值。

初中数学将军饮马教案一、教学目标：1. 知识与技能：让学生掌握将军饮马问题的解法，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

2. 过程与方法：通过将军饮马问题的引入，让学生了解数学与实际生活的联系，学会运用数学知识解决实际问题。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

二、教学内容：1. 将军饮马问题的背景及意义。

2. 将军饮马问题的解法及步骤。

3. 将军饮马问题在实际生活中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：将军饮马问题的解法及步骤。

2. 教学难点：如何运用几何知识解决实际问题。

四、教学过程：1. 导入：讲解将军饮马问题的背景，让学生了解数学与实际生活的联系。

2. 新课讲解：讲解将军饮马问题的解法，引导学生掌握解题步骤。

3. 案例分析：分析实际生活中的将军饮马问题，让学生学会运用数学知识解决实际问题。

4. 课堂练习：布置将军饮马问题相关的练习题，巩固所学知识。

5. 总结与反思：让学生总结将军饮马问题的解法，反思自己在解决问题过程中的优点与不足。

五、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究将军饮马问题的解法。

2. 利用多媒体教学手段，展示将军饮马问题的实际应用场景，增强学生的学习兴趣。

3. 组织小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

4. 注重个体差异，针对不同学生的学习情况，给予适当的指导和帮助。

六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习状态。

2. 练习成果：评估学生在练习中的表现，检验学生对将军饮马问题解法的掌握程度。

3. 课后反馈：收集学生的学习反馈，了解学生在解决问题过程中的困惑和问题，为下一步教学提供参考。

七、教学资源：1. 多媒体课件：将军饮马问题的图片、视频等教学资源。

2. 练习题库：针对将军饮马问题设计的练习题。

3. 教学参考书：提供将军饮马问题相关的研究资料和教学方法。

八、教学进度安排：1. 第1-2课时：讲解将军饮马问题的背景及意义。

第2讲最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】【例题1】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【问题简化】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．【练习2】如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM＝2，点N是对角线AC上一动点，则线段DN＋MN的最小值为________．【练习3】如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为射线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．【练习4】如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为_________.【练习5】如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值＝_______.【练习6】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D是BC边上的点，CD＝√(3)，将△ABC 沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是______.【练习7】⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，则PA＋PC的最小值是_________；【练习8】如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使PB ＋PE的值最小，最小值为_________.【练习9】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E()是AD上的动点，则CE+EF的最小值为A．3B．4C．33D．3【练习10】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，()则PC+PD的最小值为A．4B．5C．6D．7【练习11】如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为()A．55B．5C．103D．153【练习12】（2019西藏）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足13PAB ABCDS S∆=矩形，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为()A．13B．10C．35D41二、将军饮马模型系列（一）【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题13】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【练习14】（2018滨州）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是()A．362B．332C．6D．3【练习15】（2018·辽宁营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC()于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是A．3B．2C．23D．4【练习16】（2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是()A．6B．33C．6D．4.5【两定两动之点点】【例题17】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

初中数学将军饮马教案教学目标：1. 理解并掌握“将军饮马”问题的解题方法及其应用；2. 能够运用轴对称的性质解决实际问题；3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 将军饮马问题的背景及解题思路；2. 轴对称的性质及其在解决问题中的应用；3. 将军饮马问题的拓展与应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入问题：讲解唐朝诗人李颀的《古从军行》中的一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，提问学生是否知道这句诗中隐含着一个有趣的数学问题。

2. 学生思考并回答，教师总结：这个问题就是将军饮马问题。

二、新课讲解（20分钟）1. 讲解将军饮马问题的背景和解题思路，引导学生理解并掌握问题的解决方法。

2. 讲解轴对称的性质，引导学生了解轴对称在解决问题中的应用。

3. 通过例题讲解，让学生动手实践，巩固所学知识。

三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的掌握程度。

2. 选取部分学生的作业进行讲解和评价，指出其中的错误和不足。

四、拓展与应用（10分钟）1. 讲解将军饮马问题的拓展，引导学生学会将问题进行拓展和应用。

2. 让学生举例说明轴对称在实际问题中的应用，分享自己的心得体会。

五、课堂小结（5分钟）1. 教师总结本节课的主要内容和知识点。

2. 学生分享自己在课堂上的收获和感悟。

教学评价：1. 课后作业的完成情况，检验学生对知识的掌握程度；2. 学生在课堂上的参与度和表现，评价学生的学习效果；3. 学生对拓展与应用部分的内容的理解和应用能力，评价学生的思维拓展能力。

教学反思：本节课通过讲解将军饮马问题，让学生了解了轴对称的性质及其在解决问题中的应用。

在教学过程中，要注意引导学生主动思考，培养学生的逻辑思维能力。

同时，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和策略，提高教学效果。

将军饮马系列---最值问题题将军饮马”系列最值问题1. 两点之间，线段最短．2. 点到直线的距离，垂线段最短．3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边．4. A、B 分别为同一圆心O 半径不等的两个圆上的一点，R r AB R r当且仅当A、B、O 三点共线时能取等古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．若A 、B在河流的异侧，直接连接 AB ， AB与l的交点即为所求．若A 、B在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．知识讲解知识回顾海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想轴对称及其性质：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称．如等腰ABC 是轴对称图形．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如下图，ABC与A'B'C'关于直线l对称，l叫做对称轴．A和A'，B和B'，C和C' 是对称点．轴对称的两个图形有如下性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．线段垂直平分线：垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。

将军饮马教案一、教材分析1、教材中的地位和作用本节课来自义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第十四章《轴对称》的第二节《轴对称变换》中张庄李村的探究问题，对于刚刚学过轴对称性质的知识是一个很好的实际庆用的机会，其中涉及了轴对称性质（或垂直平分线性质），两点之间线段最短，等线段的转化等知识点，渗透了数学建模思想，培养了学生大胆猜想和严谨证明的数学学习习惯。

2、教材的重难点重点：利用轴对称的性质，实现等线段的位置转换难点：用“任意取点法”对最值问题的证明二、目标分析1、知识与技能让学生进一步掌握轴对称的性质，实现等线段的位置转换，从而“化曲为直”并利用“两点之间线段最短”达到解决问题的目的2、过程与方法通过实际操作，积累数学活动经验，发展几何直觉、对于此类问题既能从定性上进行理论的几何图形探索，又能从定量上进行代数解析方法的具体求值3、情感与价值观让学生在活动中体验探索，交流，成功与提升喜悦，激发学生的学习兴趣，并充分体会数学来源于生活，解释生活又服务于生活的道理，引发学生热爱数学学科，热爱数学学习三、过程分析（一）创设情境，数学建模（多媒体展示）古时候有位将军每天要从将军府去驻扎在城外的部队，他每天的路线是这样的：早上从将军府出发，先去河边给他的马饮水，然后渡河去军营，如何安排使得路线最短呢？（学生思考）很容易猜到，可是不易表达清楚（教师活动）引导学生建立数学模型，让问题明朗化（多媒体展示）由于北方突起战乱，驻扎部队北上，他仍然要每天从将军府出发到河边饮马，再折去军营，日子久了，将军的大脑中就冒出了一个问题：河岸那么长我能不能早河边找到一个地方，让我每天走的路最短？（教师描述）这就是世界数学史上著名的“将军饮马”问题，今天大家能解决这个问题吗？（学生活动）学生自己建立数学模型（二）启发诱导，发现规律（教师启发）我们能不能设想河岸是一面镜子来找到答案呢？（学生活动）1、镜子中的像和自己的关系一轴对称2、两点之间线段最短3、站在镜子面前模拟问题情境4、合作，交流，尝试5、得到结论（三）验证归纳，定量求解1、画法①口头表达；②多媒体展示；③黑板板书。

最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？P【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．AP''当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

《将军饮马问题》【教学目标】:1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题2.在解题过程中能总结解题方法，能进行一定的延伸3.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想。

【案例分析】:如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你认为走哪条路最近？你的理由是什么?实际应用：如图，A,B两城镇在燃气管道的异侧，在燃气管道的哪个位置建气站，可使向两城镇供气所用的输气管线最短？为什么呢？【问题】:如图，将军从A地岀发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地.将军到河边什么地方饮马，可使他所走的路线全程最短？一.将军饮马基础模型将A , B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线转化为数学问题当点C在直线的什么位置时，有AC+CB的和最小？【分析】:1.作点B关于直线的对称点B'，连接CB';2.AC+CB=AC+CB',如果AC+CB'的和最小，那么AC+CB的和就最小.3.最短路径为：A→C→B ，长度为AC+CB'=AB'【结论】:如图，在定直线上找一动点P,使点P到两定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小。

【牛刀小试】:1.如图，直线外不重合的两点A、B,在直线上求作一点C,使得AC+BC的长度最短，作法为:①作点B关于直线的对称点B'.②连接AB'与直线相交于点C,则点C为所求作的点. 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( ).A.转化思想B.三角形两边之和大于第三边C.两点之间线段最短D.三角形一个外角大于与其不相邻的任意一个内角2.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（）.A.30°B. 45°C. 60°D. 无法确定3.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC, AB 边于E,F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）.A.6B. 8C. 10D. 12二．将军饮马拓展延伸1.线段差最小和最大值：使|AP-BP|最小和最大的动点C位置2.周长最小值：使△APQ和四边形ABQP周长最小的动点P,Q位置3.一定两动：使AP+PQ最小的动点P,Q位置word版初中数学。

最值问题
----之将军饮马（三）
什么是将军饮马？
【问题描述】： 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河 边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】： 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【问题分析】：这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结 果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段 最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【问题解决】作点A关于直线的 对称点A'，连接PA'，则PA'=PA， 所以PA+PB=PA'+PB.
当A'、P、B三点共线的时 候，PA'+PB=A'B，此时为最小 值（两点之间线段最短）
09 将军饮马（面积与折点）。
【问题描述】：如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足△APB的面积是矩形 ABCD面积的三分之一，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为_________．
【解析】:此处点P为折点， 作点M关于OA的对称对称点 M'如图所示，连接PM'，化 PM+PN为PM'+PN．
当M'、P、N共线时，得最 小值，又∠M'ON=60°且 ON=2OM'，可得∠OM'N=90°， 故P点坐标可求。
13 将军饮马（ 20°角的对称）。
【问题描述】：如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为 70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图 像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为___________ ．

《将军饮马中的最小值问题》的教学设计商南县初级中学孟超教学目标：1、会用将军饮马这种模型求两条线段之和或者多条线段和的最小值问题，事实依据是“两点之间，线段最短”。

2、通过例与练提高学生的分析问题、解决问题的能力。

教学重点：掌握核心知识：用将军饮马模型解决最值问题。

教学难点：通过讲解这类问题会让学生将实际背景变化为角、三角形、特殊的四边形、圆、坐标系、抛物线等，明确此类问题的共同特点：利用“轴对称性”化“折”“直”。

教学准备：三角板圆规教法学法：启发交流练习课型：复习教学过程：（一）复习回顾1.基本事实：两点之间最短。

2.问题：定点A、B在直线m的同侧，请在直线m上找一点P，使AP与BP的距离之和最小，并进行证明。

（二）合作交流问题：在⊙O中，直径CD为4，点A在⊙O上，且∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为多少.（三）教师精讲问题：在矩形ABCD中AB=4,BC=6,G为边AD的中点，若E,F为边AB上的两个动点，点E在点F的左侧，且EF=1,当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图中确定E与F的位置，并求出四边CGEF 周长的最小值。

（四）巩固练习已知∠MON＝45°，P为∠MON内一定点，OP=6，OM上有一点A，ON上有一点B，求△PAB的周长的最小值，并求此时∠APB 的度数。

（五）小结与思考1、通过本节课你有什么样的收获？2、你学到了什么样的模型？3、今后你还害怕求几条线段和的最小值的问题吗？（六）作业1.在等边∆ABC中，AB=2，点E是AB的中点AD是高，在AD 上作出点P，使得BP+EP的值最小，并求最小值。

2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y 轴交于点C(0，4)．在抛物线的对成轴上是否存在一点P使PA+PC 的值最小，若存在求出。

将军饮马的教案一、教学目标1.了解“将军饮马”问题的基本原理，掌握解决此类问题的方法。

2.通过实例分析，培养学生的数学思维能力和解题技巧。

3.激发学生对数学的兴趣，提高学习数学的积极性。

二、教学内容1.引入“将军饮马”问题：通过讲述古代将军饮马的故事，引出数学中的对称问题。

2.讲解基本原理：介绍“将军饮马”问题的基本原理，即两点之间线段最短。

3.实例分析：通过具体实例，让学生了解如何运用“将军饮马”原理解决实际问题。

4.练习与巩固：提供相关练习题，让学生在实际操作中掌握解题方法。

三、教学步骤1.导入新课：通过讲述古代将军饮马的故事，引出数学中的对称问题，激发学生的学习兴趣。

2.讲解基本原理：详细讲解“将军饮马”问题的基本原理，让学生明确线段最短的性质。

3.实例分析：通过具体实例，让学生了解如何运用“将军饮马”原理解决实际问题。

教师可以先演示一遍，然后让学生自己动手操作，加深理解。

4.练习与巩固：提供相关练习题，让学生在实际操作中掌握解题方法。

教师可以根据学生的实际情况进行个别辅导，确保每个学生都能掌握解题方法。

5.总结与回顾：对本节课的内容进行总结与回顾，让学生明确学习目标和学习内容。

6.布置作业：布置相关作业，让学生在课后继续巩固所学知识。

四、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的表现，评估他们对“将军饮马”问题的理解程度。

2.作业完成情况：检查学生的作业完成情况，评估他们对解题方法的掌握程度。

3.综合评价：根据学生的课堂表现和作业完成情况，综合评价他们的学习效果。

《将军饮马问题》教案一、问题背景：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

”诗中隐含着一个有趣的数学问题。

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走使总的路程最短？B·营地A·山峰河流这个问题在古罗马时代就有了，传说在亚历山大城有位精通数学和物理的学者，名叫海伦。

一天，以为罗马将军专程拜访他，向他请教一个百思不其解的问题。

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河边同侧的B 营地开会，应怎样走使路程最短？这个问题很简单，海伦略加思索就解决了二、引用“饮马问题”：将军饮马问题，应用拓展到人教版八年级上册轴对称性质当中一实际应用问题：如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？B·镇A·镇L三、教学方法的探究：当教师在组织教学活动中，平铺直叙得讲，学生不易理解。

“将军饮马”问题，在学生理解方面，存在两大难点，一是如何利用轴对称的性质作出使得线路最短的点。

二是说明最短的理由，如何设计探究活动组织有意义的方法和策略，成为了突出重点、突破难点，化难为易的关键，可采用镜面反射的原理创设探究活动，使问题简单化，学生易于理解和掌握。

设想把河流看作诗一面平面镜，村庄A、B看作诗甲、乙两人，这样设计：甲、乙两人分别位于镜面的同侧A、B两点，甲、乙通过镜面分别看到自己的影子A′、B′。

如图，连接AB′，AB′与L交于C，甲、乙通过镜面都能看到对方的影子。

连接A′C与BC，探究：BALC C′A′B′（1）、AC与A′C，B′C与BC上存在什么关系，说明理由。

（2）、AC+B′C与AC+BC存在大小关系如何，说明理由。

（3）、平面镜L有异于C点的另外一点C′，连接AC′、BC′、B′C′，AC′+BC′与AC′+B′C′是否相等？AC′+BC′与AC+BC是否相等？不相等大小关系如何？说明理由。

将军饮马课程设计一、教学目标本课程的教学目标是让学生掌握“将军饮马”问题的解题方法，理解其背后的数学原理，提高解决类似问题的能力。

具体目标如下：知识目标：使学生了解“将军饮马”问题的历史背景和基本概念，理解其数学原理和解决方法。

技能目标：培养学生运用坐标系、相似三角形等数学工具解决实际问题的能力，提高他们的逻辑思维和运算能力。

情感态度价值观目标：激发学生对数学问题的兴趣，培养他们勇于探索、解决问题的精神，增强他们的自信心和团队协作意识。

二、教学内容本课程的教学内容主要包括“将军饮马”问题的定义、解题方法及其应用。

具体安排如下：1.介绍“将军饮马”问题的历史背景和基本概念，分析其数学特点和解决思路。

2.讲解“将军饮马”问题的解题方法，包括坐标系法、相似三角形法等，并通过例题进行演示和练习。

3.结合实际问题，让学生运用所学的解题方法解决类似问题，提高他们的应用能力。

4.总结“将军饮马”问题的解题方法和技巧，巩固学生所学的知识。

三、教学方法为了提高教学效果，本课程将采用以下教学方法：1.讲授法：教师讲解“将军饮马”问题的基本概念、解题方法和实际应用，引导学生掌握问题的关键。

2.讨论法：学生进行小组讨论，分享解题心得和经验，培养学生的团队协作能力。

3.案例分析法：通过分析典型例题，让学生了解“将军饮马”问题的解题过程，提高他们的分析能力。

4.实验法：让学生亲自动手操作，验证“将军饮马”问题的解题方法，增强他们的实践能力。

四、教学资源为了支持本课程的教学，我们将准备以下教学资源：1.教材：选用符合课程要求的教材，为学生提供系统的学习资料。

2.参考书：提供相关参考书籍，丰富学生的知识体系。

3.多媒体资料：制作课件、视频等多媒体资料，提高课堂教学的趣味性和生动性。

4.实验设备：准备相应的实验器材，为学生提供实践操作的机会。

5.网络资源：利用网络资源，为学生提供更多的学习资料和交流平台。

五、教学评估本课程的评估方式包括平时表现、作业、考试等，以全面反映学生的学习成果。

将军饮马—最短路径最值问题教学设计一、教学内容解析为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题.初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。

基于以上分析，本节课的教学重点确定为：[教学重点]利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、教学目标解析新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标]能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感.[目标解析]达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想.三、学生学情诊断八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上.最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.解答：“当点A、B在直线的同侧时，如何在上找点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线异侧的两点，与上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解和操作方面的困难.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和方法，一些学生还想不到.在解答“使处在直线两侧的两线段和最小”的问题，需要把它们平移拼接在一起，一些学生想不到.教学时，教师可以让学生首先思考“直线的异侧的两点，与上的点的线段和最小”，给予学生启发，在证明“最短”时，点拨学生要另选一个量，通过与求证的那个量进行比较来证明，同时让学生体会“任意”的作用，因此确定本节课的教学难点为：[教学难点]如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.四、教学策略分析建构主义理论的核心是“知识不是被动接受的而是认知主体积极建构的.”根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用“引导——探究——发现——证明——归纳总结”的教学模式，鼓励引导学生、开动脑筋、大胆尝试，在探究活动中培养学生创新思维与想象能力.教师的教法：突出解题方法的引导与启发，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台.通过对“将军饮马问题”而改编与设计，增强数学课堂趣味性,相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生分析与解决问题，同时利用现代的信息技术，直观地展示图形的变化过程，提高学生学习兴趣与激情.学生的学法：突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取知识与能力.五、教学基本流程探索新知——运用新知——拓展新知——提炼新知——课外思考六、教学过程设计（一）探索新知1、建立模型问题1 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到军营B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：（1）行走的路线：从A地出发，到河边饮马，然后到B地；（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的点.设C为直线l上的一个动点，上面的问题转化为：当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小［设计意图］从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增加学生们的数学底蕴，提高其人文思想.同时引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题.2、解决问题问题2如图点A、B在直线的同侧，点C位直线上的一个动点，当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示如果学生有困难，教师作如下提示：（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？由此受到什么启发呢？（2）如图，如何将点B“移”到的另一侧B´处，且满足直线上的任意一点C，都保持CB与CB´的长度相等？学生在老师的启发引导下，完成作图.［设计意图］先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想，再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想.3、证明“最短”问题3，为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线上任取一点Cˊ.连接AC´、BC´、B´C´.由轴对称的性质可知：BC=B´C BC´.=B´C´∴AC+BC=AC+B´C=AB´AC´+BC´=AC´+B´C´当C´与C不重合时A B´＜AC´+C´B´∴AC+BC＜AC´+C´B当C´与C重合时AC+BC=AC´+C´B总之，AC+B C≤AC´+C´B即AC+BC最短［设计意图］利用现代信息技术，通过移动点C´的位置，可发现：当C´与C不重合时，AC+BC＜AC´+C´B，当C´与C重合时，AC+BC=AC´+C´B.让学生很容易知道AC+BC最短，消除了学生的疑虑，发挥了多媒体的作用，让学生进一步体会作法的正确性，提高了逻辑思维能力.4、小结新知回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？师生活动：学生回答，并相互补充.［设计意图］让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，明确解题的方法与策略，为后面进一步的学习探究做准备.（二）运用新知如图，如果将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径.师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.［设计意图］对前面所学的解题方法与思路得以巩固，让学生形成技能，进一步体会感悟数学中的转化思想，点学生上台操作演示，提高他们的学生兴趣与实践能力，体会成功的喜悦，激发他们进一步探究问题的欲望.（三）拓展新知有一天，将军突发奇想：如果从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到军营B地，到河边什么地方饮马可使所走的路线全程最短？师生活动：1、老师首先解释行走一定的路程的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：（1）要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.2、分组讨论，师生共同分析.3、完成作图，体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别.［设计意图］本题在“将军饮马问题”的背景下进行改编，有造桥选址问题的影子，既增强了课堂教学的趣味性，又完成了教学任务，可谓一举两得..教学由问题引领，老师引导，学生小组合作讨论交流的方式，充分发挥现代信息技术的作用完成分析与解答的过程，让学生学得轻松与愉悦，培养了学生的应用意识、创新意识、综合与分析能力，在解决问题的过程中，体会作图题的解题方法与策略.让学生的能力得到进一步锻炼与提高.（四）提炼新知师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1、本节课研究问题的过程是什么？2、解决上述问题运用了什么知识？3、在解决问题的过程运用了什么方法？4、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？［设计意图］引导学生把握研究问题的策略、思路、方法的同时，并从运用的知识、方法、思想方面进行归纳总结，让学生对本节课有一个更清晰、更系统的认识，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.（五）课外思考将军又提出一个问题：如图，如果将军从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到草地边b某一处牧马，最后来到军营B地，到河边什么地方饮马、草地边何处牧马可使所走的路线全程最短呢？［设计意图］通过一系列的“将军饮马问题”的变式设计，由浅入深，环环相扣，不但学习将军这种喜欢动脑，敢于提问，勇于探索的求学精神，同时培养学生的问题意识，通过最后这一问题的设计，让学有余力的学生解答，它不仅能巩固知识，形成技能，同时激发了学生的求知欲望与勇于探究的精神.同时，也是由课内向课外的一种延伸，预示着问题并没有终结，培养学生具有终身学习的意识与创新精神！。

教学年级：初中数学教学目标：1. 理解将军饮马问题的数学模型，掌握解决此类问题的方法。

2. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学重点：1. 将军饮马问题的数学模型建立。

2. 解决将军饮马问题的方法。

教学难点：1. 将军饮马问题的空间想象。

2. 解决问题的逻辑推理过程。

教学准备：1. 多媒体课件。

2. 教学模型（如棋盘、线段等）。

3. 练习题。

教学过程：一、导入新课1. 通过展示古代将军饮马的情景，引发学生对问题的兴趣。

2. 提问：将军如何才能更快地饮马？二、新课讲解1. 引入将军饮马问题的数学模型，解释问题的背景和条件。

2. 讲解如何将实际问题转化为数学模型，包括坐标系的建立、距离的计算等。

3. 分析将军饮马问题的解决方法，如直线、折线、曲线等。

三、动手实践1. 学生分组，每组使用教学模型进行将军饮马的模拟实验。

2. 学生根据实验结果，分析不同饮马策略的优劣，总结规律。

3. 学生汇报实验结果，教师点评并总结。

四、课堂练习1. 教师给出几道将军饮马问题的变式，要求学生独立完成。

2. 学生在练习中巩固所学知识，教师巡视指导。

五、课堂小结1. 回顾将军饮马问题的数学模型和解决方法。

2. 总结学生在课堂上的表现，指出优点和不足。

六、布置作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 查阅相关资料，了解将军饮马问题的历史背景。

教学反思：本节课通过将军饮马问题的引入，让学生在轻松愉快的氛围中学习数学知识。

在教学过程中，教师注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

在今后的教学中，应进一步关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求，设计更具针对性的教学活动。