2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马 -含答案

专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA +PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。

上图中A’是A关于直线m的对称点。

例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，点P 、Q 分别是BC 、BD 上的动点，CQ PQ +的最小值为______．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC 的中点，连接PE ，PB ，若4AB =，BC =PE PB +的最小值为________．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，m ABmmABm则MN +NP 的最小值为________．例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连结AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连结'AP ，BP '，B P ''，∵直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上，（1）∵PB =__________，P B '=_________，∵AP PB AP PB '+=+=____________．在AP B ''∆中，∵AB AP P B ''''<+，∵AP PB AP P B '''+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB '与l 的交点，即A ，P ，B '三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC 于点F ，则EF FB +的最小值就是线段ED 的长度，则EF FB +的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm ，底面周长为16cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm ． （4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '，则A C B C ''+的最小值为____________．模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）． 问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1 图2 图3 【最值原理】两点之间线段最短。

一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不归”一、解答题1已知一次函数y =4kx +5k +132k ≠0 ．(1)无论k 为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标；(2)如图1，当k =-12时，一次函数y =4kx +5k +132的图象交x 轴，y 轴于A 、B 两点，点Q 是直线l 2：y =x +1上一点，若S △ABQ =6，求Q 点的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，直线l 2：y =x +1交AB 于点P ，C 点在x 轴负半轴上，且S △ABC =203，动点M 的坐标为a ,a ，求CM +MP 的最小值．【答案】(1)-54,132(2)3,4 或-1,0(3)1093【分析】(1)整理得y =4x +5 k +132k ≠0 ，根据题意，得当4x +5=0，求解得函数图象必过定点-54,132 ；(2)确定解析式y =4kx +5k +132为y =-2x +4，点A 坐标为2,0 ，点B 坐标为0,4 ；设点Q 坐标为m ,m +1 ，分情况讨论：①当点Q 位于AB 右侧时，根据题意得S △AOQ +S △BOQ =S △AOB +S △ABQ ，列方程解得m =3，点Q 坐标为3,4 ；②当点Q 位于AB 左侧时，过点Q 作QN ∥x 轴，交AB 于点N ，点N 的纵坐标为(m +1)，QN =-32(m -1)，于是S △ABQ =S △AQN +S △BQN =12×-32(m -1) ×4=6，解得m =-1,m +1=0，Q 坐标为-1,0 ；(3)联立得y =-2x +4y =x +1，得P 1,2 ，设C c ,0 ，由S △ABC =203，求得C 的坐标为-43,0 ，点M 在直线y =x 上，点C 关于直线y =x 对称的点F 的坐标为0,-43，连接MF ，PF ，则MF =MC ，CM +MP =FM +MP ≥PF ，作PG ⊥y 轴，垂足为G ，在Rt △PGF 中，PF =1093，所以CM +MD 的最小值为1093．【详解】(1)解：整理得y =4x +5 k +132k ≠0 ∵不论k 取何值时，上式都成立∴当4x +5=0，即x =-54时，y =132∴无论k 为何值，函数图象必过定点-54,132；(2)当k =-12时，一次函数y =4kx +5k +132为y =-2x +4，当x =0时，y =4；当y =0时，-2x +4=0，x =2；∴点A 坐标为2,0 ；点B 坐标为0,4 ；∵点Q 在直线l 2：y =x +1上，∴设点Q 坐标为m ,m +1 ；①如图，当点Q 位于AB 右侧时，根据题意得S △AOQ +S △BOQ =S △AOB +S △ABQ ．∴12×2m +1 +12×4m =12×2×4+6．解得m =3．点Q 坐标为3,4 ；②如图，当点Q 位于AB 左侧时，此时S △ABQ =6，过点Q 作QN ∥x 轴，交AB 于点N ，则点N 的纵坐标为(m +1)，由y =-2x +4，得m +1=-2x +4，x =-12(m -3)，∴QN =-12(m -3)-m =-32(m -1)．∴S △ABQ =12QN ∙y B -y A =12×-32(m -1) ×4=6，解得m =-1,m +1=0，∴Q 恰好位于x 轴上，此时Q 坐标为-1,0 ；综上所述：若S △ABQ =6，Q 点的坐标为3,4 或-1,0 ；(3)由(2)可得直线AB ：y =-2x +4，联立得y =-2x +4y =x +1 ，解得x =1y =2 ．∴P 1,2 ∵点C 在x 轴的负半轴，设C c ,0则AC =2-c ，∵OB =4，S △ABC =203∴122-c ×4=203解得c =-43∴点C 的坐标为-43,0∵动点M 的坐标为a ,a ．∴点M 在直线y =x 上．∴点C 关于直线y =x 对称的点F 的坐标为0,-43 ，连接MF ，PF ，则MF =MC ，CM +MP =FM +MP ≥PF则PF 为CM +MP 的最小值；作PG ⊥y 轴，垂足为G ，在Rt △PGF 中，PF =PG 2+FG 2=12+2+43 2=1093∴CM +MD 的最小值为1093．【点睛】本题考查一次函数，图象交点求解，轴对称；结合题设条件，作线段的等量转移，构造直角三角形求解线段是解题的关键．2已知一次函数y =4kx +5k +132(k ≠0)．(1)无论k 为何值，函数图象必过定点，则该定点的坐标；(2)如图1，当k =-12时，该直线交x 轴，y 轴于A ，B 两点，直线l 2:y =x +1交AB 于点P ，点T 是l 2上一点，若S △ABT =9，求T 点的坐标；(3)如图2，在第2问的条件下，已知D 点在该直线上，横坐标为1，C 点在x 轴负半轴，∠ABC =45°，点M 是x 轴上一动点，连接BM ，并将线段BM 绕点M 顺时针旋转90°得到MQ ，①求点C 的坐标；②CQ +QD 的最小值为．【答案】(1)-54，132(2)T 点的坐标为4,5 或-2,-1 ；(3)-43，0 ，5653【分析】(1)将一次函数变形4kx -y =-5k -132，根据图像过定点，得到与k 值无关，求出k ，进而求出定点坐标；(2)求出直线解析式，设点T 坐标为m ,m +1 ；分点T 在AB 两侧分类讨论即可；(3)先根据题意，求出点D 坐标，根据将线段BM 绕点M 顺时针旋转90°得到MQ ，得到点Q 所在直线解析式，求出点C 对称点C ，连接C D ，求出C D 的长即可．【详解】(1)解：一次函数y =4kx +5k +132=k 4x +5 +132，∴4x +5=0时，y =132，解得：x =-54，y =132∴无论k 为何值，函数y =4kx +5k +132k ≠0 图像必过定点-54，132 ；(2)当k =-12时，一次函数y =4kx +5k +132为y =-2x +4，当x =0时，y =4；当y =0，时，-2x +4=0，x =2；∴点A 坐标为2,0；点B 坐标为0,4 ；∵点T 在直线l 2:y =x +1上，∴设点T 坐标为m ,m +1 ；①如图，当点T 位于AB 右侧时，连接OT ，根据题意得S △AOT +S △BOT =S △AOB +S △ABT∴12×2×m +1 +12×4m =12×2×4+9解得m =4，∴点T 坐标为4,5 ；②如图，当点T 位于AB 左侧时，根据题意得S △AOT +S △BOT +S △AOB =S △ABT∴12×2×-m -1 +12×4×-m +12×2×4=9解得m =-2，∴点T 坐标为-2,-1 ；综上所述：若S △ABT =9，T 点的坐标为4,5 或-2,-1 ；(3)如图，将△OAB 沿直线AB 翻折，得到△NAB ，将△OCB 沿直线BC 翻折，得到△HCB ，延长HC 、NA 交于点E ，则四边形BHEN 为正方形，∴BN =BH =HE =NE =OB =4，NA =OA =2，AE =NE -AN =2，设OC =n ，则HC =n ，CE =4-n ，在Rt △ACE 中，22+4-n 2=2+n 2，解得n =43，所以点C 坐标为-43，0 ，②解：∵D 点在直线上y =-2x +4上，横坐标为1，∴y =-2×1+4=2，所以点D 坐标为(1，2)；设动点M 的坐标为a ,0 ，如图所示，过点Q 作QH ⊥x 轴，∵将线段BM 绕点M 顺时针旋转90°得到MQ ，∴BM =QM ，∠BMQ =90°，∴∠OMB +∠QMH =90°又∠BOM =∠MHQ =90°，∴∠OMB +∠MBO =90°，∴∠QMH =∠MBO ，∴△QMH ≌△∠MBO ，∴QH =OM ，MH =OB =4∴Q a +4,a∴点Q 在直线y =x -4上运动，如图所示，设直线y =x -4与x 轴交于点K ，与y 轴交与点G ，则K 4,0，∴CK=43+4=163，作C K⊥x轴，且C K=CK=16 3，则△CC K是等腰直角三角形，KG⊥CC ，∴则C ，C关于y=x-4的对称，则C Q+QD=CQ+QD≥C D，此时如图所示，则C 4,16 3∵D1,2∴C D=4-12+163+22=5653故答案为：565 3．【点睛】本题考查了一次函数与面积问题，求一次函数点的坐标，根据点的特点确定函数解析式，将军饮马问题，半角模型等知识，综合性强，难度较大．解题的关键是要深刻理解函数的意义，能从复杂的图形中确定相应的解题模型．3如图，一次函数y=12x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．(可能用到的公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，①AB中点坐标为x1+x2 2,y1+y22；②AB=x1-x22+y1-y22(1)求线段AB的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是BC中点，在直线AB上是否存在一点P，使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【答案】(1)AB=25(2)y=-13x+2(3)存在，最小值是52【分析】(1)求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求解即可；(2)先证明△ACF≌△BAO，得出点C坐标，再根据待定系数法求解即可；(3)作点C关于AB的对称点M，连接MD交直线AB于点P，则此时PC+PD有最小值，即为MD的长，根据中点坐标公式分别求出点D、M的坐标，再根据两点距离公式求解．【详解】(1)对于y=12x+2，令x=0，则y=2，令y=0，则12x+2=0，解得x=-4，∴A-4,0,B0,2，∴AB=22+42=25；(2)作CF⊥x轴于点F，如图，则∠CFA=∠AOB=90°，∵等腰Rt △ABC ，∠BAC =90°，∴AC =AB ，∠ACF =90°-∠CAF =∠BAO ，∴△ACF ≌△BAO ，∴CF =OA =4,AF =BO =2，∴C -6,4 ，设直线BC 的解析式为y =mx +n ，则-6m +n =4n =2 ，解得m =-13n =2 ，∴直线BC 的解析式为y =-13x +2；(3)∵D 是BC 中点，∴点D 的坐标是-3,3 ，作点C 关于AB 的对称点M ，连接MD 交直线AB 于点P ，则此时PC +PD有最小值，且PC +PD =PD +PM =MD ，即PC +PD 的最小值是MD 的长，∵∠CAB =90°，∴C 、A 、M 三点共线，且A 是CM 中点，设M p ,q ，则-6+p 2=-4,4+q 2=0，解得p =-2,q =-4，∴M -2,-4 ，∴MD =-2+3 2+-4-3 2=52，故PC +PD 存在最小值，是52．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、利用轴对称的性质求线段和的最小值以及两点间的距离公式等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识、明确求解的方法是解题关键．4已知一次函数y =kx +b (k ≠0)与x 轴交于点A (3,0)，且过点7,8 ，回答下列问题．(1)求该一次函数解析式；(2)一次函数的解析式也称作该直线的斜截式方程，如解析式y =kx +b 我们只需要将y 向右移项就可以得到kx -y +b =0，将x 前的系数k 替代为未知数A ，将y 前的系数1替代为未知数B ，将常数项b 替代为未知数C ，即可得到方程Ax +By +C =0，该二元一次方程也称为直线的一般方程(其中A 一般为非负整数，且A 、B 不能同时为0)．一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线间的距离，可用下面的公式求解：点P x 0,y 0 到直线Ax +By +C =0的距离d 公式是：d =Ax 0+By 0+CA 2+B 2如：求：点P 1,1 到直线y =-13x +32的距离．解：先将该解析式整理为一般方程：(I )移项-13x -y +32=0 (II )将A 化为非负整数即得一般式方程：2x +6y -9=0由点到直线的距离公式，得d =2×1+6×1-9 22+62=140=1020①根据平行线的性质，我们利用点到直线的距离公式，也可以求两平行线间的距离．已知(1)中的解析式代表的直线与直线2x-y+9=0平行，试求这两条直线间距离；②已知一动点P t2，t(t为未知实数)，记h为点P到直线3x-4y+7=0的距离(点P不在该直线上)，求h的最小值．【答案】(1)y=2x-6；(2)①35；②1715．【分析】(1)利用待定系数法即可求出该一次函数解析式；(2)根据平行线间距离处处相等可知，点A到直线2x-y+9=0的距离即为两条平行线间距离，再利用点到直线的距离公式，即可求出这两条直线间距离；(3)利用点到直线的距离公式，得到h=3t2-4t+75，令m=3t2-4t+7，利用二次函数的性质，求得最小值，进而即可求出h的最小值．【详解】(1)解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)与x轴交于点A(3,0)，且过点7,8，则3k+b=07k+b=8，解得：k=2b=-6，∴该一次函数解析式为y=2x-6；(2)解：①∵一次函数解析式为y=2x-6，整理得：2x-y-6=0，∵点A(3,0)在直线y=2x-6，∴点A到直线2x-y+9=0的距离即为两条平行线间距离，将点A代入距离公式，得：d=2×3-0+922+-12=155=35，∴这两条直线间距离为35；②将点P t2，t代入距离公式，得：h=3t2-4t+732+-42=3t2-4t+75，令m=3t2-4t+7=3t-2 32+173，∴当t=23时，m有最小值为173>0，∴h的最小值为1735=1715．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质等知识，读懂题意，掌握点到直线的距离公式是解题关键．5如图，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A，OA=4，与正比例函数y=3x的图象交于点B，B 点的横坐标为1．(1)求一次函数y =kx +b 的解析式；(2)若点C 在y 轴上，且满足S △BOC =12S △AOB ，求点C 的坐标；(3)若点D 4,-2 ，点P 是y 轴上的一个动点，连接BD ，PB ，PD ，是否存在点P ，使得△PBD 的周长有最小值？若存在，请直接写出△PBD 周长的最小值．【答案】(1)y =-x +4(2)C 0,6 或C 0,-6(3)存在，52+34【分析】(1)根据待定系数法求出一次函数解析式即可；(2)设点C 的坐标为0,t ，则OC =t ，再根据点B 的坐标，得出x B =1，y B =3，再根据三角形的面积公式，得出S △BOC =t ×12=t 2，S △AOB =4×32=6，再根据题意，列出方程，解出即可得出答案；(3)根据两点间的距离公式，得出BD =34，再根据三角形的周长，得出要使△PBD 周长的最小值，只需求PB +PD 的最小值，作点B 关于y 轴的对称点M ，则M 的坐标为-1,3 ，连接DM ，根据线段最短，得出DM 为PB +PD 的最小值，再根据两点间的距离公式，计算得出DM =52，再根据三角形的周长公式，计算即可．【详解】(1)解：∵点B 是y =3x 的图象上的点，横坐标为1，∴点B 坐标为1,3 ．∵OA =4，∴点A 坐标为4,0 ．将A ，B 两点坐标分别代入y =kx +b ，得0=4k +b 3=k +b ，解得k =-1b =4 ，∴一次函数的解析式为y =-x +4；(2)解：设点C 的坐标为0,t ，则OC =t ，∵B 1,3 ，∴x B =1，y B =3，∵OA =4，∴S △BOC =t ×12=t 2，S △AOB =4×32=6，∵S △BOC =12S △AOB ，∴t 2=12×6，∴t =6，∴t =6或t =-6，∴C 0,6 或C 0,-6 ；(3)解：存在点P ，使得△PBD 的周长有最小值，理由如下：∵B 1,3 ，D 4,-2 ，∴BD =1-4 2+3+2 2=34，∵△PBD 的周长=PB +PD +BD ，∴要求△PBD 周长的最小值，只需求PB +PD 的最小值．如图，作点B关于y轴的对称点M，则M的坐标为-1,3，连接DM，则PB+PD≥DM，即DM为PB+PD的最小值．∴DM=-1-42+3+22=50=52，∴△PBD周长的最小值为：PB+PD+BD=52+34．【点睛】本题考查了求一次函数解析式、坐标与图形、两点间的距离、点关于坐标轴的轴对称点、线段最短，解本题的关键在熟练掌握两点之间的距离公式．6在平面直角坐标系xoy中，一次函数y=34x+3的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴正半轴上的一个动点，设点C的横坐标为t．(1)求A、B两点的坐标；(2)点D为平面直角坐标系xoy中一点，且与点A、B、C构成平行四边形ABCD．①若平行四边形ABCD是矩形，求t的值；②在点C运动的过程中，点D的纵坐标是否发生变化，若不变，求出点D的纵坐标；若变化，说明理由；③当t为何值时，BC+BD的值最小，请直接写出此时t的值及BC+BD的最小值．【答案】(1)A(-4,0),B(0,3)(2)①94；②点D的纵坐标不变，是-3；③t=2时，BC+BD最小值为9【分析】(1)根据坐标轴上点的特点直接代值求解即可；(2)①矩形可知90°，证明相似三角形后直接通过边的关系列方程求解即可；②根据平行四边形的平移规律直接写出D点纵坐标即可；③求最短路径的题，与造桥选址类似，平移后三点共线即为最小值．【详解】(1)y=34x+3中，令x=0，则y=3令y=0，则x=-4∴A(-4,0),B(0,3)(2)①若平行四边形ABCD是矩形则BC⊥AB∵AO⊥BO∴△ABO∽△BCO∴OB OA =OC OB∵A(-4,0),B(0,3)∴OA=4,OB=3∴OC=t=94；②点D的纵坐标不变，∵A、B、C构成平行四边形ABCD．A(-4,0),B(0,3),C(t,0)∴A向上平移3个单位长度得到B，则C向下平移3个单位长度得到D∴D点纵坐标为-3.③将△BCD平移至△C BA∴C (-t,6)，D(t-4,-3)∴(BC+BD)min=DC =(-t-t+4)2+(6+3)2=(2t-4)2+81，当t=2时，(BC+BD)min=81=9【点睛】此题考查一次函数与相似三角形的综合题型，解题关键是找到相似的三角形，得到边长之间的数量关系，难点是判断此题为造桥选址的同类型题．7已知，一次函数y=(2-t)x+4与y=-(t+1)x-2的图像相交于点P，分别与y轴相交于点A、B．其中t为常数，t≠2且t≠-1．(1)求线段AB的长；(2)试探索△ABP的面积是否是一个定值？若是，求出△ABP的面积；若不是，请说明理由；(3)当t为何值时，△ABP的周长最小，并求出△ABP周长的最小值．【答案】(1)6(2)是，6(3)t =12，△ABP 周长最小值为213+6【分析】(1)分别令x =0，求出y 值，得到A 和B 的坐标，从而可得AB 的长；(2)求出点P 坐标，利用三角形面积公式求出△ABP 的面积即可；(3)画出图形，分析得出要△ABP 的周长最小，则要AP +BP 最小，作点A 关于直线x =-2对称的点A-4,4 ，连接A B ，找到此时点P 的位置，求出直线AB 的表达式，可得点P 坐标，可得t 值，再根据点的坐标求出周长的最小值．【详解】(1)解：在y =(2-t )x +4中，令x =0，则y =4，在y =-(t +1)x -2中，令x =0，则y =-2，∴A 0,4 ，B 0,-2 ，∴AB =4--2 =6；(2)∵图像相交于点P ，∴令(2-t )x +4=-(t +1)x -2，解得：x =-2，代入y =(2-t )x +4中，y =-22-t +4=2t ，∴P -2,2t ，∴S △ABP =12×x P ×AB =12×-2 ×6=6；(3)如图，∵P -2,2t ，∴点P 在直线x =-2上，若要△ABP 的周长最小，而AB =6，∴当AP +BP 最小即可，作点A 关于直线x =-2对称的点A -4,4 ，连接A B ，与直线x =-2交于点P ，此时AP +BP ，设直线A B 的表达式为y =kx +b ，则4=-4k +b -2=b ，解得：k =-32b =-2，∴直线A B 的表达式为y =-32x -2，令x =-2，则y =1，即P -2,1 ，则2t =1，解得：t =12，此时AP =22+32=13，BP =22+32=13，∴△ABP 的周长最小值为PA +PB +AB =213+6．【点睛】本题考查了一次函数综合，最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意(3)中分析出要△ABP 的周长最小，则要AP +BP 最小．8如图1，已知一次函数y =x +3与x 轴，y 轴分别交于B 点，A 点，x 正半轴上有一点C ，∠ACO =60°，以A ，B ，C 为顶点作平行四边形ABCD ．(1)求C点坐标．(2)如图2，将直线AB沿y轴翻折，翻折后的直线交CD于E点，在y轴上有一个动点P，x轴上有一动点Q，当DP+PQ+QE取得最小值时，求此时(DP+PQ+QE)2的值．(3)如图3，将△AOC向左平移使得点C与坐标原点O重合，A的对应点为A ，O的对应点为O ，将△A O O绕点O顺时针旋转，旋转角为α0°≤α≤180°，在旋转过程中，直线AB与直线A O 、A O交于M，G两点，在旋转过程中，△A MG能否成为等腰三角形，若能，求出所满足条件的α，若不能，请说明理由．【答案】(1)3,0(2)48+93(3)当α为15°或60°或105°或150°时，△A MG为等腰三角形【分析】(1)先求得A0，3则OA=3，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OC的长，则可得到点C的坐标；(2)由关于y轴对称点的坐标特点可得到AE的解析式，然后依据相互平行的直线的一次项系数相同以及点C的坐标可求得CD的解析式，然后再求得点E的坐标，作点E关于x轴的对称点E′，D点关于y轴的对称点D′，连接E′D′分别交y轴和x轴与点P、Q，则D′E′的长为DP+PQ+QE的最小值，最后利用两点间的距离公式求解即可；(3)先根据题意画出图形(见答图：图2、图3、图4、图5)，然后依据等腰三角形的性质性质，三角形的外角和的性质、依据旋转角的定义求解即可．【详解】(1)解：把x=0代入直线AB的解析式得：y=3，∴A0，3，∴OA=3，∵在Rt△AOC中，∠ACO=60°，∴∠CAO=90°-60°=30°，∴AC=2OC，∵AC2-OC2=OA2，∴2OC2-OC2=32，解得：OC=3或-3(舍去)，∴点C的坐标为：3,0．(2)解：∵直线AE与直线AB关于y轴对称，∴AE的解析式为y=-x+3，设直线CD的解析式为y=kx+b k≠0，∵AB∥CD，∴k=1，∴直线CD的解析式为y=x+b，将点C的坐标代入得：3+b=0，解得：b=-3，∴直线CD的解析式为y=x-3，联立y=-x+3y=x-3 ，解得：x=3+32 y=3-32，∴点E的坐标为：3+32,3-32，作点E关于x轴的对称点E ，D点关于y轴的对称点D ，连接E D 分别交y轴和x轴与点P、Q，如图1所示：则D E 的长为DP+PQ+QE的最小值，∵E3+32,3-32，点E与点E 关于x轴对称，∴E 3+32,-3+32，把y=0代入y=x+3得：x=-3，∴点B的坐标为-3,0，∴BC=3+3，∵AD =AD=BC=3+3，∴D -3-3,3，∴DP+PQ+QE2=D E 2=3+32+3+32+3+3-322=48+93．(3)解：如图2所示：当GM=GA 时，∵GM=GA ，∴∠A MG=∠MA G=30°，∴∠BGO=60°，∵OB=OA，∠AOB=90°，∴∠ABO=45°，∴∠BOG=180°-45°-60°=75°，∴∠BOO =75°-60°=15°，即α=15°；如图3所示：当A M=A G时，∵A M=A G，∴∠A MG=∠A GM又∵∠A MG+∠A GM=∠BA O=30°，∴∠MGA =15°，∴∠BOG=180°-∠OBG-∠BGO=120°，∵∠O OA =60°，∴∠BOO =60°，即α=60°；如图4所示：当MG=MA 时，∵MG=MA ，∴∠MGA =∠MA G=30°，∵∠MBO=45°，∴∠BOG=15°，∴∠BOA =165°，∴∠BOO =165°-60°=105°，即α=105°．如图5所示：当A G=A M时，∵A G=A M，∠GA M=30°，∴∠MGA =75°，∵∠GBO+∠BOG=∠MGA ，∴∠BOG=75°-45°=30°，∴∠A Ox=30°，∴∠O Ox=30°，∴∠BOO =150°，即α=150°；综上所述，当α为15°或60°或105°或150°时，△A MG为等腰三角形．【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理，轴对称图形的性质、关于坐标轴对称点的坐标特点、等腰三角形的性质，找出DP+PQ+QE取得最小值的条件是解答问题(2)的关键，根据题意画出符合题意的图形是解答问题(3)的关键．9(1)问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，点A、B、C的坐标分别为、、．(2)综合运用：①如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标(0，-6)，点B坐标(8，0)，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y=-2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．②如图2，在⑵的条件中，若M为x轴上一动点，连接AM，把AM绕M点逆时针旋转90°至线段NM，ON+AN的最小值是．【答案】(1)A(-4，0)，B(0，1)，C(-5，4)(2)①D(0，2)或163,-263；②65【分析】(1)利用坐标轴上点的特点可得出A、B的坐标，过点C作CD⊥x轴于D，构造出△ADC≌△BOA，求出AD，CD，即可得出结论；(2)①过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，设点D(m，-2m+2)，求出AF，证明△AFD≌△DGP，根据DF+DG=DF+AF=8列式计算即可；②设M(t，0)过点N作NH⊥x轴交x轴于H，易证△AOM≌△MHN，可得ON+AN=t+62+t2+ t+62+t-62=S，故S可以看作点(t，t)到(-6，0)和(-6，6)两点距离之和，(t，t)在y=x上，如图，F(-6，0)，E(-6，6)，作F关于y=x的对称点为P，可知当E、D、P三点共线时，S取得最小值为EP，求出EP即可．【详解】(1)解：对于一次函数y=14x+1，令x=0，y=1，∴B (0，1)，令y =0，则14x +1=0，∴x =-4，∴A (-4，0)，∴OA =4，OB =1，即A (-4，0)，B (0，1)，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，∴∠ADC =∠BOA =90°，∴∠CAD +∠ACD =90°，∵∠BAC =90°，∴∠CAD +∠BAO =90°，∴∠ACD =∠BAO ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC =AB ，在△ADC 和△BOA 中，∠ADC =∠BOA∠ACD =∠BAO AC =BA，∴△ADC ≌△BOA (AAS )，∴CD =OA =4，AD =OB =1，∴OD =OA +AD =5，∴C (-5，4)；故答案为：(-4，0)，(0，1)，(-5，4)；(2)解：①如图，过点D 作DF ⊥y 轴于F ，延长FD 交BP 于G ，∵点A 坐标(0，-6)，点B 坐标(8，0)，∴DF +DG =OB =8，∵点D 在直线y =-2x +2上，∴设点D (m ，-2m +2)，∴F (0，-2m +2)，OF =|2m -2|，AF =|2m -2-6|=|2m -8|，∵BP ⊥x 轴，B (8，0)，∴G (8，-2m +2)，同(1)的方法得，△AFD ≌△DGP (AAS )，∴AF =DG ，DF =PG ，∵DF +DG =DF +AF =8，∴m +|2m -8|=8，∴m =163或m =0，∴D (0，2)或163，-263；(3)设M (t ，0)，过点N 作NH ⊥x 轴交x 轴于H ，根据旋转的性质易证△AOM ≌△MHN ，∴OM =HN ，OA =HM ，∴N (t +6，t )，∴ON +AN =t +62+t 2+t +6 2+t -6 2=S ，故S 可以看作点(t ，t )到(-6，0)和(-6，6)两点距离之和，(t ，t )在y =x 上，如图，∵D (t ，t )是y =x 上的动点，F (-6，0)，E (-6，6)，∴S =DE +DF ，∵F 关于y =x 的对称点为P (0，-6)，DF =DP ，∴当E 、D 、P 三点共线时，S 取得最小值为EP =-6-0 2+6--6 2=180=65，即ON +AN 的最小值是65．故答案为：65．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，方程的思想，勾股定理等，构造全等三角形是解本题的关键．10已知一次函数y =kx +32的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点M 的坐标为0,m ，其中0<m <32．(1)若点A (-32,0)，过点O 作OP ⊥AM ，连接BP 并延长与x 轴交于点C ，①求k 的值；②求证：BP PC =OM OC；(2)若点A -2,0 ，求2AM +BM 的最小值．【答案】(1)①1；②见解析(2)32+2【分析】(1)①将点A 的坐标代入y =kx +32可得出答案；②过点B 作BD ∥OP 交x 轴交于点D ，延长AM 交BD 于点N ，证明△OAM ≌△OBD (ASA )，得出OM =OD；证明BPPC =DOOC，则可得出结论；(2)取点E32,0，连接BE，过点A作AH⊥BE于H，过点M作PM⊥BE于P，2AM+BM= 2AM+PM≥2AH，求出AH的长，则可得出答案．【详解】(1)①∵A-32,0在y=kx+32的图象上，∴(-32)k+32=0，∴k=1；②过点B作BD∥OP交x轴交于点D，延长AM交BD于点N，∵BD∥OP，OP⊥AM，∴AN⊥BD，∵∠AOB=∠BOD=90°，∴∠OAM+∠ADN=90°，∠OBD+∠ODB=90°，∴∠OAM=∠OBD，由题意，可知OA=OB=32，∠AOB=∠BOD=90°，∴△OAM≅△OBD ASA，∴OM=OD；∵BD∥OP，∴BP PC =DOOC，即BPPC=OMOC；(2)如图，取点E32,0，连接BE，过点A作AH⊥BE于H，过点M作PM⊥BE于P，在Rt△BOE中，OB=OE=32，∴∠OBE=45°，∴BE=2OB=6，在Rt△MPB中，∠MPB=90°，PM=BM sin∠PBM=BM sin45°=22BM，∴2AM+BM=2AM+22BM=2(AM+PM)≥2AH，(当且仅当A，M，P三点共线时取等号，此时，点P、H重合)，∵S△ABE=12AE⋅OB=12BE⋅AH，∴AH=AE⋅OBBE =(32+2)⋅326=3+2，∴2AM+BM的最小值=2(3+2)=32+2．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．11如图1，一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．(1)则点A的坐标为，点B的坐标为；(2)如图2，点P为y轴上的动点，以点P为圆心，PB长为半径画弧，与BA的延长线交于点E，连接PE，已知PB=PE，求证：∠BPE=2∠OAB；(3)在(2)的条件下，如图3，连接PA，以PA为腰作等腰三角形PAQ，其中PA=PQ，∠APQ=2∠OAB．连接OQ．①则图中(不添加其他辅助线)与∠EPA相等的角有；(都写出来)②试求线段OQ长的最小值．【答案】(1)(-3，0)；(0，4)(2)证明见解析(3)①∠QPO，∠BAQ；②线段OQ长的最小值为125【分析】(1)根据题意令x=0，y=0求一次函数与坐标轴的交点；(2)由题意可知与∠EPA相等的角有∠QPO，∠BAQ．利用三角形内角和定理解决问题；(3)根据题意可知如图3中，连接BQ交x轴于T．证明△APE≌△QPB(SAS)，推出∠AEP=∠QBP，再证明OA=OT，推出直线BT的解析式为为：y=43x+4，推出点Q在直线y=-43x+4上运动，再根据垂线段最短，即可解决问题．【详解】(1)解：在y=43x+4中，令y=0，得0=43x+4，解得x=-3，∴A(-3，0)，在y=43x+4中，令x=0，得y=4，∴B(0，4)；故答案为：(-3，0)，(0，4)．(2)证明：如图2中，设∠ABO=α，则∠OAB=90°-α，∵PB=PE，∴∠PBE=∠PEB=α，∴∠BPE=180°-∠PBE-∠PEB=180°-2α=2(90°-α)，∴∠BPE=2∠OAB．(3)解：①结论：∠QPO，∠BAQ理由：如图3中，∵∠APQ=∠BPE=2∠OAB，∵∠BPE=2∠OAB，∴∠APQ=∠BPE．∴∠APQ-∠APB=∠BPE-∠APB．∴∠QPO=∠EPA．又∵PE =PB ，AP =PQ∴∠PEB =∠PBE =∠PAQ =∠AQP ．∴∠BAQ =180°-∠EAQ =180°-∠APQ =∠EPA ．∴与∠EPA 相等的角有∠QPO ，∠BAQ ．故答案为：∠QPO ，∠BAQ ．②如图3中，连接BQ 交x 轴于T ．∵AP =PQ ，PE =PB ，∠APQ =∠BPE ，∴∠APE =∠QPB ，在△APE 和△QPB 中，PA =PQ∠APE =∠QPB PE =PB，∴△APE ≌△QPB (SAS )，∴∠AEP =∠QBP ，∵∠AEP =∠EBP ，∴∠ABO =∠QBP ，∵∠ABO +∠BAO =90°，∠OBT +∠OTB =90°，∴∠BAO =∠BTO ，∴BA =BT ，∵BO ⊥AT ，∴OA =OT ，∴直线BT 的解析式为为：y =43x +4，∴点Q 在直线y =-43x +4上运动，∵B (0，4)，T (3，0)．∴BT =5．当OQ ⊥BT 时，OQ 最小．∵S △BOT =12×3×4=12×5×OQ ．∴OQ =125．∴线段OQ 长的最小值为125．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数及最短距离等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键．12如图一次函数y 1=k1x +3的图象与坐标轴相交于点A -2,0 和点B ，与反比例函数y 2=k 2x (x >0)的图象相交于点C 2,m ．(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点P 是反比例函数图象上的一点，连接CP 并延长，交x 轴正半轴于点D ，若PD :CP =1:2时，求△COP 的面积；(3)在(2)的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使PQ +CQ 的值最小，若存在请直接写出PQ +CQ 的最小值，若不存在请说明理由．【答案】(1)y 2=12x(x >0)；(2)S △OPC =16；(3)45．【分析】(1)根据一次函数y 1=k 1x +3的图象过点A -2,0 ，代入解析式得0=-2k 1+3，解方程求出k 1=32，根据点C 在直线AB 上，m =32×2+3=6，可得点C (2，6)，利用待定系数法求分别列函数解析式即可；(2)过点C 作CE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，先证△CED ∽△PFD ，得出CP =2PD ，求出PF =2，求出点P (6，2)，利用待定系数法CP 解析式为：y 3=-x +8，当y 3=0时，x =8，求出点D (8,0)，利用面积差求解即可；(3)作点C 关于y 轴对称点C ′(-2，6)，连结C ′P ，可得CQ =C ′Q ，根据两点距离公式PQ +CQ =PQ +C Q ≥PC ，当C ′P 交y 轴于Q ，利用勾股定理求出最小值即可．【详解】解：(1)∵一次函数y 1=k 1x +3的图象过点A -2,0 ，代入解析式得：0=-2k 1+3解得：k 1=32，∴一次函数解析式为：y 1=32x +3，点C 在直线AB 上，m =32×2+3=6，∴点C (2，6)，∵点C 在反比例函数y 2=k 2x(x >0)图像上，∴k 2=xy =2×6=12，∴y 2=12x(x >0)；(2)过点C 作CE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，∴CE ∥PF ，∴∠ECD =∠FPD ，∠AED =∠PFD ,∴△CED ∽△PFD ，∴CE PF =CD PD，∵PD :CP =1:2，∴CP =2PD ，∴CD =CP +PD =2PD +PD =3PD ，∵EC =6，∴6PF =3PD PD=3，∴PF =2，∵点P 在y 2=12x (x >0)上，∴2=12x，解得x =6，∴点P (6，2)，设CP 解析式为：y 3=mx +n ，过C 、P 两点，代入坐标得：6m +n =22m +n =6 ，解得m =-1n =8 ，∴CP 解析式为：y 3=-x +8，当y 3=0时，x =8，∴点D (8，0)∴S △OPC =S △DOC -S △POD =12OD ⋅CE -12OD ⋅PF =12×8×6-12×8×2=16；(3)作点C 关于y 轴对称点C ′(-2，6)，连结C ′P ，∵CQ =C ′Q ，∴PQ +CQ =PQ +C Q ≥PC ，当C ′P 交y 轴于Q ，PQ +CQ 的值最小，∴PQ +CQ 最小=PC =6+2 2+(6-2)2=45．【点睛】本题考查待定系数法求反比列函数解析式，三角形相似判定与性质，待定系数法求直线解析式，用割补法求三角形面积，轴对称，最短路径问题，掌握待定系数法求反比列函数解析式，三角形相似判定与性质，待定系数法求直线解析式，用割补法求三角形面积，轴对称，最短路径问题常作对称点，与对称点连线找交点解决问题．13【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l 的斜率存在时，对于一次函数y =kx +b (k ≠0)，k 即为该函数图象(直线)的斜率．当直线过点(x 1，y 1)、(x 2，y 2)时，斜率k =y 2-y 1x 2-x 1，特别的，若两条直线l 1⊥l 2，则它们的斜率之积k 1•k 2=-1，反过来，若两条直线的斜率之积k 1•k 2=-1，则直线l 1⊥l 2【运用】请根据以上材料解答下列问题：(1)已知平面直角坐标系中，点A (1，3)、B (m ，-5)、C (3，n )在斜率为2的同一条直线上，求m 、n 的值；(2)在(1)的条件下，点P 为y 轴上一个动点，当∠APC 为直角时，求点P 的坐标；(3)在平面直角坐标系中另有两点D (3，2)、E (-1，-6)，连接DA 并延长至点G ，使DA =AG ，连接GE 交直线AB 于点F ，M 为线段FA 上的一个动点，求DM +55MF 的最小值．【答案】(1)-3；7；(2)(0，4)或(0，6)；(3)4【分析】(1)设直线的解析式为y =2x +b ，将A (1，3)代入求出b =1，得到函数解析式，再将点B 、C 分别代入求出m 、n 的值；(2)设点P (0，y )，当∠APC 为直角时，根据K PA •K PC =-1，得到y -30-1⋅y -70-3=-1，求解即可；(3)连接DE ，证得AB ∥DE ，AB ⊥DA ，DE ⊥DA ，求出AD 、DE 、DG ，利用勾股定理求出EG ，及sin ∠GFA 的值，过M 作MN ⊥GF 于N ，则MN =55MF ，过点D 作DH ⊥GE 于H ，则DH 即为最小值，由DH •GE =DG •DE 得到DH =4．【详解】解：(1)设直线的解析式为y =2x +b ，将A (1，3)代入得b =1，∴直线的解析式为y =2x +1，将B (m ，-5)、C (3，n )两点分别代入解析式，得m =-3，n =7；(2)设点P (0，y )，当∠APC 为直角时，有K PA •K PC =-1，由(1)知，A (1，3)、C (3，7)，∴y -30-1⋅y -70-3=-1，解得y =4或y =6，∴点P 的坐标为(0，4)或(0，6)．(3)如图，连接DE ，由题意知，K AB =2，K DE =2-(-6)3-(-1)=2,K DA =3-21-3=-12，∵K AB =K DE ，K AB ⋅K DA =2×-12=-1，∴AB ∥DE ，AB ⊥DA ，DE ⊥DA ，∴AD =(1-3)2+(3-2)2=5,DE =45,DG =2AD =25，∴EG =DG 2+DE 2=10，∴sin ∠GFA =sin ∠GED =2510=55，过M 作MN ⊥GF 于N ，则MN =55MF ，∴DM +55MF =DM +MN ，过点D 作DH ⊥GE 于H ，则DH 即为最小值．由DH •GE =DG •DE ，得DH =4，即DM+55MF的最小值为4．【点睛】此题考查胡不归问题的综合知识，正确理解题意中斜率的计算公式，勾股定理，最小值问题是解题的关键．14如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为(23,4)，一次函数y= -33x+b的图象与边OC、AB、x轴分别交于点D、E、F，∠DFO=30°，并且满足OD=BE，点M是线段DF上的一个动点．(1)求b的值；(2)连接OM，若ΔODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，求点M的坐标；(3)求OM+12MF的最小值．【答案】(1)b=3；(2)M233,73；(3)92【分析】(1)利用矩形的性质，用b表示点E的坐标，再利用待定系数法即可求解；(2)首先求出四边形OAED的面积，再根据条件求出△ODM的面积，即可解决问题；(3)过点M作MN⊥x轴交于点N，则OM+12MF=OM+MN，即可转化为求OM+MN的最小值，作点O关于一次函数的对称点O ，过点O 作x轴的垂线交x轴于点N ，交一次函数于点M，即OM+MN的最小值为O N ，算出长度即可．【详解】(1)在y=-33x+b中，令x=0，则y=b，∴点D的坐标为(0,b)，∵OD=BE，B(23,4)，∴E(23,4-b)，把E(23,4-b)代入y=-33x+b中得：4-b=-33×23+b，解得：b=3；(2)由(1)得一次函数为y=-33x+3，D(0,3)，E(23,1)，∴OD=3，AE=1，OA=23，∴S四边形OADE =12(OD+AE)⋅OA=12×(3+1)×23=43，∵ΔODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，∴ΔODM的面积与四边形OADE的面积之比为1:4，∴S△ODM=14S四边形OADE=3，设点M 的横坐标为a ，则12×3a =3，解得：a =233，把x =233代入y =-33x +3中得：y =73，∴M 233,73；(3)如图所示，过点M 作MN ⊥x 轴交于点N ，∵∠DFO =30°，∴MN =12MF ，∴OM +12MF =OM +MN ，作点O 关于一次函数的对称点O ，且OO '与直线DF 交于Q 点，过点O 作x 轴的垂线交x 轴于点N ，∴OM =O M ，∴OM +12MF =OM +MN =O M +MN ，当O 、M 、N 在同一直线时O M +MN 最小，即OM +12MF =OM +MN =O M +MN 的最小值为O N ，∵∠DFO =30°，∴∠ODF =60°，∠DOQ =30°，∠O ON =90°-30°=60°，在Rt △ODQ 中，OQ =OD ⋅sin60°=3×32=332，∴OO =2OQ =33，在Rt △ON O 中．O N =OO sin60°=33×32=92，∴OM +12MF 的最小值为92．【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题．15如图1，一次函数y =34x -6的图象与坐标轴交于点A ，B ，BC 平分∠OBA 交x 轴与点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求CD 所在直线的解析式；(3)如图2，点E 是线段OB 上的一点，点F 是线段BC 上的一点，求EF +OF 的最小值．。

最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

中考数学第三轮复习之将军饮马习题汇编将军饮马用于解决：PA+PB类线段最小值问题或|PA-PB|类最大值问题，其中动点P在某条直线上运动，A,B均为定点。

其解题步骤为标准三步曲：Step1：定河流：动点所在的直线为河流；Step2：作对称：做其中一个定点关于河流的对称点；Step3：连线段：对称点与剩余一个定点的连线与河流的交点即为所求的动点位置。

如下图所示：常考点：①求AP+BP的最小值；②求△ABP周长的最小值；③求点P的坐标；【习题练习】1、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形的内部，在对角线AC上有一动点P，当PD+PE最小时，这个最小值是________。

【答案】42、如图，菱形ABCD 中，∠BAD=60°，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上一动点，若AB 长是3，则PM+PB 的最小值为________。

【答案】323 3、在平面直角坐标系中，有A(3,2)，B(4,2)两点，现在另取一点C(n,0)，当n=____时，AC+BC 的值最小。

【答案】25 4、已知点A(1,3)，B(5,2)，在x 轴上找一点P ，使得|AP -BP|最大，则P 点的坐标为________。

【答案】)0,13(5、如图，点A(a,1)，B(-1,b)都在双曲线)0(2<-=x xy 上，点P ，Q 分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取得最小值时，PQ 所在直线的解析式为_________。

【答案】1+=x y6、如图，在边长为10的菱形ABCD 中，对角线BD=16，点E 是AB 的中点，P 和Q 是BD 上的动点，且PQ=2，则四边形AEPQ 的周长的最小值为_______。

【答案】857+7、如图，抛物线y=ax ²+c(a>0)经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A(-2,0)，B(-1，-3)。

使用日期：2020年 月 日 2020 中考 数学 培优压轴题训练 第 讲 “将军饮马”型最值问题模型分析：情景模式 作图方法 证明过程题目： A ，B 为定点，在直线l 上找一点P ，使得PA+PB 的值最小？原型变式①题目：如图，A 为定点，在直线1l ，2l 上分别找一点P ，Q ，使得AP+PQ+QA 的值最小？变式②题目：如图，A ，B 为定点，在直线1l ，2l 上分别找一点P ，Q ，使得AP+PQ+QB 的值最小？变式③变式④例1 （中考题-改编）如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线2ax y =上.（1）求a 的值；（2）在x 轴上找一点Q ，使得AQ+BQ 最短，求出点Q 的坐标；（3）平移抛物线，记平移后A 的对应点为A '，点B 的对应点为 B '，当抛物线向左平移到某个位置时，B C C A '+'最短，求此时抛物线的函数解析式.例2 如图，抛物线3518532+-=x x y 和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长.例3 （2017 花都一模16题）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为 .例4 如图，∠MON=20°，A为射线OM上一点，OA=4，D为射线ON上一点，OD=8，C为射线AM 上任意一点，B是线段OD上任意一点，那么折线ABCD的长AB+BC+CD的最小值是 .例5如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（12，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为______ ．例6 已知，如图，二次函数()0322≠-+=a a ax ax y 图象的顶点为H ，与x 轴交于A ，B 两点(B 在A 点右侧)，点H 、B 关于直线333:+=x y l 对称． (1)A 坐标为 ；B 坐标为 ；H 坐标为 ；(2)求二次函数解析式；(3)过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点， M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN+NM+MK 和的最小值．例7 如图，地上放着一个长、宽、高分别为50cm 、40cm 、30cm 的箱子，位于角A 处的一只蚂蚁发现了位于角B 处的一只苍蝇，问：蚂蚁沿着箱面怎样爬才能使它到B 处的路程最短，最短路程是多少？（结果精确到0.01cm ）例8 如图所示，已知一个圆柱体杯子高为6，直径为 18，点O 是CD 的中点，一只蚂蚁在A 处（杯子外面），想吃到杯子内部点O 处的糖，当P 在何处即PC= 时，蚂蚁爬行的路程最短．例9 圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁从底面圆周上的点B出发沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC的中点D．问蚂蚁沿怎样的路线爬行，使路程最短？最短的路程是多少？【巩固练习】1.已知点A（1，1）和点B（3，2），在直线y=-x上有一个点P，满足PA+PB最小，则PA+PB的最小值是 .2.如图，长方体的长、宽、高分别为8、4、5，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为 .3.邮递员从邮局出发，分别到村庄A、B、C投递邮件，其所走的顺序为邮局A→B→C→邮局，则邮局应建在公路l的何位置，可使邮递员走的路程最短？4.八（二）班举行元旦文艺晚会，桌子摆成两条直线（如图中所示的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C处的小花先拿桔子再拿糖果，然后送给D处的小红，最后回到C处．请你帮助她设计一条行走路线，使其所走的总路程最短（尺规作图，并写出作法，不需说明理由）5.如图：有一圆锥形粮仓，其轴截面是边长为6m的正三角形ABC，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上点B出发，沿着圆锥的侧面爬行到达母线AC的中点P，则蚂蚁爬行的最短路程是 .6.如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为______cm（结果不取近似值）.7.已知点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，则 AP+BP的最小值为__________.8. 如图所示，有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ， 1AA ，1BB 为相对的两条母线，在1AA 上有一只蜘蛛在Q 点，QA=3cm ；在1BB 上有一只苍蝇在P 点，1PB =2cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm.（结果用带和根号的式子表示）9. 已知直线l 为x+y=8，点P （x ，y ）在l 上，点A 的坐标为（6，0）．在直线l 上有一点P ，使OP+PA 的和最小，求点M 的坐标．10. （2018 越秀八下期末16题）如图，在边长为2的等边三角形中，D 是BC 的中点，点E 在线段AD 上，连接BE ，在BE 的下方作等边△BEF ，连接DF.当△BDF 的周长最小时，∠DBF 的度数是 .11. 如图，∠AOB=α，P 在∠AOB 内，OP=2，M 和N 分别为OA ，OB 上一动点，当△PMN 的周长为最小值2时，α= .12. 如图，在平面直角坐标系中，直线x=4与y=32x+b 的图象交于点A （4，341），直线y=-21x+4与直线y=32x+b 交于点B ，与x 轴交于点C ． （1）求点B 的坐标； （2）直线l ：y=-21x+4与y 轴交于点D ，在直线x=4上是否存在点P 使得△PDC 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）在平面直角坐标系中，点Q 从点B 出发沿适当路径运动到直线x=4上的点M ，然后再沿适当路径运动到y 轴上的点N ，最后再沿适当路径运动到点C ．当Q 点的运动路径最小时，求点M ，N 的坐标及运动路径的最小值；。

将军饮马等8类常见最值问题题型一 两定一动型（线段和差最值问题） 题型二 双动点最值问题（两次对称）题型三 动线段问题：造桥选址（构造平行四边形） 题型四 垂线段最短题型五 相对运动平移型将军饮马 题型六 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 题型七 化斜为直，斜大于直 题型八 构造二次函数模型求最值一、单动点问题【问题1】在直线l 上求一点P ，使PA ＋PB 最小问题解决：连接AB ，与l 交点即为P ，两点之间线段最短PA ＋PB 最小值为AB【问题2】在直线l 上求一点P ，使PA ＋PB 最小lA l问题解决：作B 关于l 的对称点B '⇒PB ＝PB '，则PA ＋PB ＝PA ＋PB '，当A ，P ，B '共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA ＋PB 最小值为AB '【问题3】在直线l 上求一点P ，使|PA －PB |最大 问题解决：连接AB ，当A ，B ，P 共线时取最大原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB 'P 中，|PA －PB '|≤AB '【问题4】在直线l 上求一点P ，使|PA －PB |最大问题解决：作B 关于直线l 的对称点B '⇒PB ＝PB '，|PA －PB |＝|PA －PB '| 原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB '，在△AB 'P 中|PA －PB '|≤AB 'llllll二、双动点问题（作两次对称）【问题5】在直线1l ，2l 上分别求点M ，N ，使△PMN 周长最小问题解决：分别作点P 关于两直线的对称点P ’和P ''，PM ＝P 'M ，PN ＝P ''N ，原理：两点之间线段最短，P '，P ''，与两直线交点即为M ，N ，则AM ＋MN ＋PN 的最小值为线段P 'P ''的长【问题6】P ，Q 为定点，在直线1l ，2l 上分别求点M ，N ，使四边形PQMN 周长最小 问题解决：分别作点P ，Q 关于直线1l ，2l 的对称点P ’和Q '，PM ＝P 'M ，QN ＝Q 'N原理：两点之间线段最短，连接P 'Q '，与两直线交点即为M ，N ，则PM ＋MN ＋QN 的最小值为线段P 'Q '的长，周长最小值为P 'Q '＋PQl 1l 1l 1l 1【问题7】A ，B 分别为1l ，2l 上的定点，M ，N 分别为1l ，2l 上的动点，求AN MN BM ＋＋最小值 问题解决：分别作A ，B 关于1l ，2l 的对称点'A ，'B ，则'AN A N ＝，'BM B M ＝，''A B 即所求 原理：两点之间距离最短，A '，N ，M ，B '共线时取最小，则AN ＋MN ＋BM ＝A 'N ＋MN ＋B 'M ≤A 'B '三、动线段问题（造桥选址）【问题8】直线m ∥n ，在m ，n 上分别求点M ，N ，使MN ⊥m ，且AM ＋MN ＋BN 的最小值 问题解决：将点B 向上平移MN 的长度单位得B '，连接B 'M ，当AB 'M 共线时有最小值 原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM ＋MN ＋BN ＝AM ＋MN ＋B 'M ≤AB '＋MNl 2l 2n mn m【问题9】在直线l 上求两点M ，N (M 在左）且MN ＝a ，求AM MN BN ＋＋的最小值问题解决：将B 点向左移动a 个单位长度，再作B '关于直线l 的对称点B ''，当''AB M 共线有最小值原理：通过平移构造平行四边''''BB MN BN B M B M ⇒＝＝，''''AM MN BN AM MN B M AB ≤＋＋＝＋＋四、垂线段最短【问题10】在直线1l ，2l 上分别求点A ，B ，使PB ＋AB 最小问题解决：作P 关于2l 的对称点'P ，作1'P A l ⊥于A ，交2l 于B ，'P A 即所求 原理：点到直线，垂线段最短，''PB AB P B AB P A ≤＋＝＋lll1l 1五、相对运动，平移型将军饮马【问题11】在直线l 上求两点M ，N (M 在左）且MN ＝a ，求AM ＋AN 的最小值问题解决：相对运动或构造平行四边形 策略一：相对运动思想过点A 作MN 的平行线，相对MN ，点A 在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨【问题12】如图，点P 在直线BC 上运动，将点P 绕定点A 逆时针旋转90°，得到点Q ，求Q 点轨迹？问题解决：当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．llA''Q 2Q 1ABC原理：由手拉手可知12ABC AQ Q △≌△，故21CB AQ Q A =∠∠,故Q 点轨迹为直线七、化斜为直，斜大于直【问题13】已知：AD 是Rt ABC △斜边上的高 （1）求ADBC的最大值；（2）若2AD =，求BC 的最大值问题解决：取BC 中点M ，（1）则12AD AM BC BC ≤=；（2）224BC AM AD =≤= 八、构造二次函数求最值这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方．【问题14】正方形ABCD 的边长为6，点Q 在边CD 上，且3CD CQ =，P 是边BC 上一动点，连接PQ ，过点P 作EP PQ ⊥交AB 边于点E ，设BP 的长为x ，则线段BE 长度的最大值为 .问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到∽△△PCQ EBP ，进而根据相似比得到()219322BE x =−−+，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案 【详解】易知∽△△PCQ EBP ∴，QC PCBP BE ∴=， 3CD CQ =，6CD =，∴2QC =，26x x BE−∴=， ∴()()()()221119663062222BE x x x x x x =−=−−=−−+≤≤，BB102−< ，∴()219322BE x =−−+在3x =时有最大值，最大值为92题型一 两定一动型（线段和差最值问题）2．透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离底部3cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm 的点A 处．求蚂蚁吃到饭点C 的坐标为（1，0），且∠AOB =30°点P 为斜边OB 上的一个动点，则P A +PC 的最小值为（ ）4．如图，点A ，B 在直线MN 的同侧，A 到MN 的距离8AC =，B 到MN 的距离5BD =，已知4CD =，5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5．动点P 满足S △PBC ＝S 矩形ABCD ．则点P 到B ，C 两点距离之和PB+PC 的最小值为 。

专题24最值模型之将军饮马模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：m ABmmABm【最值原理】两点之间线段最短。

上图中A’是A关于直线m的对称点。

例2．（2023·广东广州·校考一模）如图，在E、F分别为BC、BD上的动点，则例4．（2022·内蒙古赤峰点 30A ,，点E 是CD A ．23B ．3例．（山东济宁九年级校考期末）如图，例7．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点B C，则AE DE135例8．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接模型2.求多条线段和（周长）最小值【模型解读】在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：nnnmn（3）两个点都在内侧：nmBn（4）台球两次碰壁模型1）已知点A 、B 位于直线m ,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.2）已知点A 位于直线m ,n 的内侧,在直线m 、n 分别上求点P、Q 点PA +PQ +QA 周长最短.【最值原理】两点之间线段最短。

将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

【方法原理】1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【基本模型】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小(同侧转化为异侧)；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△P AB 的周长最小。

图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形P AQB的周长最小。

图4【模型五：一定两动(垂线段最短)型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A 与点P到射线OM的距离之和最小。

图5【模型六：一定两动，找(作)对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小。

图6【题型目录】【题型1】两定一动型.......................................................3;【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型...................................6;【题型3】一定两动(垂线段最短)型.........................................9；【题型4】两定两动型.......................................................12;【题型5】一定两动(等线段)转化型.........................................14;【题型6】直通中考.........................................................18;【题型7】拓展延伸.........................................................21;第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】两定一动型；1.(23-24八年级上·河北廊坊·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，AC=16，BC=20，将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合．(1)线段CD的长是；(2)若点E是射线BM上一动点，则△CDE周长的最小值是．2.(22-23八年级上·广西南宁·期末)如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB 的长为．3.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，在△ABC中，AB=AC．在AB、AC上分别截取AP、PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点AQ，使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于12R，作射线AR，交BC于点D．已知BC=5，AD=6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为．【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型；4.(23-24七年级下·陕西西安·期末)如图，在锐角△ABC中，∠ABC=30°，AC=4，△ABC的面积为5，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+ PP3的最小值为．5.(23-24八年级上·北京海淀·期中)如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．6.(22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°【题型3】一定两动型(垂线段最短)；7.(2024八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.2.4B.3C.4D.58.(23-24七年级下·广东深圳·期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点D为垂足，E、F分别是AD、AB上的动点．若AB=6，△ABC的面积为12，则BE+EF的最小值是()A.2B.4C.6D.89.(23-24八年级·江苏·假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【题型4】两定两动型；10.(22-23八年级上·湖北武汉·期末)如图，∠AOB=20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是()A.β-α=30°B.β+α=210°C.β-2α=30°D.β+α=200°【题型5】一定两动(等线段)转化型；11.(23-24九年级下·广西南宁·开学考试)如图，△ABC是等边三角形，AB=4．过点A作AD⊥BC于点D，点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等边△CPQ，连接DQ，则DQ的最小值为．12.(23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，BC=10，D、E分别是AB、BC上的动点，且CE=BD，连接AE、CD，则AE+CD的最小值为．13.(2024·安徽合肥·二模)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，AB=8，O是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，OE的最小值为()A.42B.433 C.32D.2第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考14.(2023·辽宁锦州·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是．15.(2020·新疆·中考真题)如图，在△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．【题型7】拓展延伸16.(2024·辽宁葫芦岛·二模)在△ABC中，∠ABC=60°，BC=4，AC=5，点D，E在AB，AC边上，且AD=CE，则CD+BE的最小值是．17.(23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习)如图，等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN=MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是．将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

将军饮马模型专题练习一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。

例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.关键：找对称点作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：两点之间，线段最短2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD 周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．3.两定两动型最值例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。

1、如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？2、【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B3、【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

BB4、【一定两动之点线】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

BB【将军过桥】1.已知将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？2.已知A 、B 两点，MN 长度为定值，求确定M 、N 位置使得AM +MN +NB 值最小？军营河1.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．x2.如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CDEFM几何图形中的将军饮马正方形中的将军饮马1. 如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________．NMD CBA2.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)3.如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( )PDCBAA ．4B ．5C ．6D ．7三角形中的将军饮马1.如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．A BCDMN2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( )E AFCDBA ．3B ．4C ．33D ．233. 如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( )NMDCBAA ．3B ．2C ．23D ．44.如图，△ABC 中，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝60°，AC ＝4，则△ABC 的面积为_；点D ，点E ，点F 分别为BC ，AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，FD ，则△DEF 的周长最小值为 ．矩形、菱形中的将军饮马1. 如图，在菱形ABCD 中，AC=BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( )EPDCBAMA ．6 B．C．D ．4.52.如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( )A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)33.如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB的最小值为( )DCBAPA． B．C．D4.如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )H FGEDCB AA．B． C． D．特殊角的对称1. 如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OPM 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )ABMOPNABC ．6D ．32. 如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．x3. 如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为____________．求两线段差的最大值问题基本图形解析：在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A-P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马(即将军遛马、造桥或过桥)，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值)模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值)模型3.将军饮马(多线段和的最值模型)模型4.将军遛马、造桥(过桥)模型模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值)条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。

模型(1)点A、B在直线m两侧：模型(2)点A、B在直线同侧：模型(1)点A、B在直线m两侧：模型(2)点A、B在直线同侧：图(1)图(2)模型(1)：如图(1)，连结AB ,根据两点之间线段最短，AP +BP 的最小值即为：线段AB 的长度。

模型(2)：如图(2)，作点A 关于定直线m 的对称点A ',连结A 'B ,根据对称得到：P A =P A '，故AP +BP =A 'P +BP ，再利用“两点之间线段最短”，得到AP +BP 的最小值即为：线段A 'B 的长度。

1.(2024·四川广安·中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =4，AD =5，∠ABC =30°，点M 为直线BC 上一动点，则MA +MD 的最小值为．【答案】41【分析】如图，作A 关于直线BC 的对称点A ，连接A D 交BC 于M ，则AH =A H ，AH ⊥BC ，AM =A M ，当M ,M 重合时，MA +MD 最小，最小值为A D ，再进一步结合勾股定理求解即可.【详解】解：如图，作A 关于直线BC 的对称点A ，连接A D 交BC 于M ，则AH =A H ，AH ⊥BC ，AM =A M ，∴当M ,M 重合时，MA +MD 最小，最小值为A D ，∵AB =4，∠ABC =30°，在▱ABCD 中，∴AH =12AB =2，AD ∥BC ，∴AA =2AH =4，AA ⊥AD ，∵AD =5，∴A D =42+52=41，故答案为：41【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．2.(23-24八年级下·广东广州·期中)如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3，点P 满足S △P AB =13S 矩形ABCD，则点P 到A ，B 两点距离之和P A +PB 的最小值为()A.29B.34C.52D.41【答案】D【分析】首先由S△P AB=13S矩形ABCD，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得BE的长，即得答案．【详解】设AB边上的高是h，∵S△P AB=13S矩形ABCD，∴12AB⋅h=13AB⋅AD，∴h=23AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作点A关于直线l的对称点E，连结AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离，在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=AB2+AE2=52+42=41，即P A+PB的最小值为41．故选D．【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A 关于直线l的对称点E，并得到BE的长就是所求的最短距离是解题的关键．3.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【答案】3【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质。

专题1 将军饮马模型与最值问题【模型导入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB 当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）B 将军军营河P【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ． 【解析】当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．BBP OBAMNP''AA【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。