江苏省扬州树人中学2018-2019学年第一学期阶段检测(一)高三数学(10月月考)

扬州市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．2． 某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m ），则该工程需挖掘的总土方数为（ ）A ．560m 3B ．540m 3C ．520m 3D ．500m 33． 已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则b a的 取值范围是（ ）A ．(1,)-+∞B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)-4． 已知函数211,[0,)22()13,[,1]2x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在常数使得方程()f x t =有两个不等的实根12,x x（12x x <），那么12()x f x ∙的取值范围为（ ）A ．3[,1)4 B．1[8 C ．31[,)162 D ．3[,3)85． 若关于的不等式2043x ax x +>++的解集为31x -<<-或2x >，则的取值为（ ）A ．B ．12C ．12- D ．2-6． 已知集合{|0}M x x x =≥∈，R ，2{|1}N x x x =<∈，R ，则M N ＝（ ）A ．[]01， B ．()01， C ．(]01，D ．[)01， 7． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ）A ．2B ．3 C.1 D ．48． 函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ）（ω＞0，－π2≤φ≤π2）的部分图象如图所示，则φω的值为（ ）A.18 B ．14C.12D ．19． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中 正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 10．已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动 时，的取值范围是（ ）A ． ()0,1B ．3⎛ ⎝C ．()1,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．(11．已知i 是虚数单位，则复数等于（ ）A ．﹣ +iB ．﹣ +iC ．﹣iD ．﹣i12．O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线C 上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（ ）A ．1B ．C ．D ．2二、填空题13．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g（x ）（a ＞0且a ≠1），+=．若数列{}的前n 项和大于62，则n 的最小值为 ．14．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．15．方程（x+y﹣1）=0所表示的曲线是．16．已知函数5()sin(0)2f x x a xπ=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a=.三、解答题17．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．（I）求椭圆G的方程；（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．18．（本题满分12分）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点. （1）求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值；（2）证明：B1F∥平面A1BE．19．（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1．A1B1C1DD1CBAEF（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．21．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|1||2|)(+--=x x x f ，x x g -=)(. （1）解不等式)()(x g x f >；（2）对任意的实数，不等式)()(22)(R m m x g x x f ∈+≤-恒成立，求实数m 的最小值.111]22．已知函数．（1）求f （x ）的周期．（2）当时，求f （x ）的最大值、最小值及对应的x 值．23．设不等式的解集为.（1）求集合； （2）若，∈，试比较与的大小。

扬州市2018—2019学年度第一学期期末检测试题高三数学2019．01第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0}，N ＝1()22x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则MN ＝ ．2．若i 是虚数单位，且复数z 满足(1i)2z +=，则z ＝ ．3．底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ．4．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 ．5．根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为 ．6．甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3．两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a ，乙抽出卡片的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为 ． 7．若直线l 1：240x y -+=与l 2：430mx y -+=平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为 ．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则1a ＝ ．9．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ．10．已知直线l ：4y x =-+与圆C ：22(2)(1)1x y -+-=相交于P ，Q 两点，则CP CQ⋅＝ ．11．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为．12．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝ ．13．已知函数4()3f x a x a x=++-+有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为 ．14．若存在正实数x ，y ，z 满足223310y z yz +≤，且ln ln eyx z z -=，则x y的最小值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-，R x ∈． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求方程()0f x =在(0，π]内的所有解． 16．（本题满分14分）如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，点E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点．（1）求证：EF ∥平面ABC ； （2）BB 1⊥AC ．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，左右顶点分別为A ，B ，线段AB 的长为4．P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C ．（1）若点C 的横坐标为﹣1，求P 点的坐标；（2）直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC AQ λ=，求λ的取值范围．已知函数()(3)x f x x e =-，()(R)g x x a a =+∈．（e 是自然对数的底数，e≈2.718…） （1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()()y f x g x =在区间[1，2]上单调递增，求a 的取值范围； （3）若函数()()()f x g x h x x+=在区间(0，+∞)上既存在极大值又存在极小值，并且()h x 的极大值小于整数b ，求b 的最小值．20．（本题满分16分）记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ．（1）若数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求n B ；（2）若数列{}n b 是等差数列，试问数列{}n a 是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；（3）若2100nn b n =-，求n A ．第一部分（附加题）21．（本题满分10分）已知矩阵A ＝ab ⎡⎢⎣ 12⎤⎥⎦，满足A 13⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝68⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值． 22．（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为)4πρθ=+，求直线l 被圆C 截得的弦长．23．（本题满分10分）将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，又AE ⊥平面ABD ．（1）若AE DE 与直线BC 所成角； （2）若二面角A —BE —D 的大小为3π，求AE 的长度．24．（本题满分10分）已知直线x ＝﹣2上有一动点Q ，过点Q 作直线l ，垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP OQ 0⋅=(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程； （2）已知定点M(12-，0)，N(12，0)，点A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．。

江苏省扬州市2018-2019学年度高三第一学期期中调研数学试题2018—2019学年度第一学期期中调研测试试题高三数学2018．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知i 为虚数单位，若复数z 满足112z i i =+-，则复数z ＝． 2．函数42xy =-3．已知x ，y ∈R ，直线(1)10a x y -+-=与直线20x ay ++=垂直，则实数a 的值为 ．4．已知函数()f x 为偶函数，且x ＞0时，32()f x x x =+，则(1)f -＝．5．已知向量m =(1，a )，n =(4a ，31a +)，若m ∥n ，则实数a ＝．6．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若26a =6b =，cosB ＝12-，那么角A 的大小为． 7．设实数x ，y 满足121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则32x y +的最大值为．8．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)ypx p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为．9．已知条件p ：x ＞a ，条件q ：102xx ->+．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2211x y m m -=+的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为． 11．若函数()Asin()f x x ωϕ=+(A＞0，ω＞0，02πϕ<<)的部分图像如图所示，则函数()f x 在[π-，0]上的单调增区间为． 12．在△ABC 中，AH 是边BC 上的高，点G是△ABC 的重心，若△ABC 的面积为61+，AC ＝5，tanC ＝2，则(AH BC)(GB GC)+⋅+＝．13．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是． 14．已知函数2()22f x x x =-，()ln 5g x x ax =-+（e 为自然对数的底数，e ≈2.718）．对于任意的0x ∈(0，e )，在区间(0，e )上总存在两个不同的1x ，2x ，使得1()g x ＝2()g x ＝0()f x ，则整数a 的取值集合是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，3AB AC AB AC ⋅=，设∠BAC ＝α．（1）求tan α的值；（2）若3cos 5β=，β∈(0，2π)，求cos(β﹣α)的值．16．（本小题满分14分）已知a R ∈，函数1()f x a x=-． （1）若()2f x x ≤对x ∈(0，2)恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a ＝1时，解不等式()2f x x ≥． 17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3100x y --=与圆O ：222(0)xy r r +=>相切．（1）直线l 过点(2，1)且截圆O 所得的弦长为26，求直线l 的方程；（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．18．（本小题满分15分）江苏省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为2，22km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为10．规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图(1)、(2)）．已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为2．设柏油路与正东方向的夹角，即图π)），铺设三段鹅卵石(2)中∠COF为θ（θ∈(0，4路的总费用为y（万元）．（1）求南京园到柏油路的最短距离d关于θ1的表达式；（2）求y的最小值及此时tanθ的值．（1）（2）19．（本小题满分16分）2），求实数k 的值.22、（10分）假定某人在规定区域投篮命中的概率为32，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次. （1）求连续命中2次的概率；（2）设命中的次数为X ，求X 的分布列和数学期望)(X E .23、（10分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA 1=A 1C=2，平面ACC 1A 1⊥平面ABC.现以边AC 的中点D 为坐标原点，平面ABC 内垂直于AC 的直线为x 轴，直线AC 为y 轴，直线DA 1为z 轴建立空间直角坐标系，解决以下问题:（1）求异面直线AB 与A 1C 所成角的余弦值； （2）求直线AB 与平面A 1BC 所成角的正弦值. 24、（10分）已知正项数列}{na 满足)(*21N n a a an n n ∈-=+.（1）求证:101<<a ，且当2≥n 时，21+≤n an；（2）求证:)1ln(2+<∑=n a ni i .参考答案1．3i- 2．(,2]-∞ 3．124．25．16．4π7．38．3x =- 9．2a ≤-10．5y =11．(3,0)-(区间开闭皆可)12．113．13514．{3,4,5,6,7} 15．解：（1）3AB AC AB AC⋅=⋅，3cos AB AC AB ACα⋅=⋅，所以cos 3α=，又因为0α<<π，所以2212sin 1cos 1()33αα=--．∴tan 2α分（2）∵3cos 5β=，(0,)2πβ∈∴4sin 5β=………8分 由（1）知：2sin 3α=，∴3423346cos()cos cos sin sin 5533βαβαβα+-=+=+=……14分16．解：（1）∵()2f x x ≤对(0,2)x ∈恒成立∴12a x x ≤+对(0,2)x ∈恒成立∵1222x x +≥，当且仅当12x x =，即2x =时取等号 ∴22a ≤6分（2）当1a =时，1()1||f x x =-，∵()2f x x ≥∴112||x x -≥……（*） ①若0x >，则（*）可化为：2210x x -+≤，所以x ∈∅；…9分②若0x <，则（*）可化为：2210xx --≥，解得：1x ≥或12x ≤-，∵0x <∴12x ≤-…12分由①②可得，（*）的解集为1(,]2-∞-．…14分 17．解：∵直线3100x y --=与圆222:(0)O xy r r +=>相切∴圆心O 到直线3100x y --=的距离为1019r =+ (2)分（1）记圆心到直线l 的距离为d ，所以1062d =-=．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为2x =，满足题意；…3分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即(12)0kx y k -+-=所以221d k ==+，解得34k =-，此时直线l 的方程为34100x y +-=…6分综上，直线l 的方程为2x =或34100x y +-=．…7分 （2）设0(,)P x y ．∵直线3y =与圆O 交于A 、B 两点，不妨取(1,3),(1,3)A B -，∴直线PA 、PB 的方程分别为033(1)1y y x x --=--，033(1)1y y x x --=++ 令0x =，得00000033(0,),(0,)11x y x y M N x x -+-+，则220000002000339111M N x y x y x y y y x x x -+-⋅=⋅=-+-（*）…13分因为点0(,)P x y 在圆C 上，所以220010xy +=，即220010yx =-，代入（*）式 得M N y y ⋅=2200209(10)101x x x --=-为定值．…15分18．解：（1）∵COF θ∠=，南京园在中心广场的南偏西45°2km∴4AOE πθ∠=-∴12sin()4d πθ=-………4分 （2）分别设点,B C 到直线EF 的距离为23,d d ．由（1）知：2322sin(),104d d πθθ=- ∴2221cos(2)1cos 222[(2sin())(22))(10)]20[]4422y πθππθθθθ---=-+-+=+2010(sin 2cos2)]20102)4πθθθ=-+=-+，(0,)4πθ∈………9分 ∵(0,)4πθ∈∴32(,)444πππθ+∈∴当242ππθ+=时，min20102y=-元）…12分此时24πθ=∴22tan tan 211tan θθθ==-，解得：tan 21θ= (14)分答：铺设三条鹅卵石路的总费用为(20102-)万元，此时tan θ21．………15分19．解：（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以2a c =， 又由右准线方程为2x =，得到22a c=，解得2,1a c ==，所以2221b a c =-=所以，椭圆C 的方程为2212x y +=…4分（2）设11(,)B x y ，而(0,1)A ，则111(,)22x y M +，∵62ON OM =，∴1166(1)()x y N +因为点,B N 都在椭圆上，所以221122111233(1)1168x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，将下式两边同时乘以83再减去上式，解得113y =，21169x=…8分所以2221116117()93OB x y =++=…9分（3）由原点O 到直线l 的距离为1，得211k=+，化简得：221km +=联立直线l 的方程与椭圆C 的方程：2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222422,1212km m x x x x k k -+=-=++，且280k∆=> (11)分22222222222222222224222242(1)121212m k m m k m k k m m k m k m k k k --+--++=+-+=+++2222232211212m k k k k λ--+===++，所以2121kλλ-=-OAB△的面积22212121211111|1()4222S AB k x x k x x x x =⨯⨯=+-=++-2222222218(1)122(1)2(12)(12)k k k k k k λλ+=+==-++14分因为2(1)S λλ=-45[,]56为单调减函数， 并且当45λ=时，22S =，当56λ=时，10S =，所以OAB △的面积S 的范围为1022[]5．…16分20．解：（1）ln ()x f x x =，(1)0=f ，所以P 点坐标为(1,0)；又21ln '()x f x x -=，'(1)1=f ，则切线方程为01-=-y x ，所以函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程为10--=x y ．…3分（2）21ln '()(0)-=>x f x x xx(0,)ee(,)e +∞'f x 正负f x单调增 极大值 单调减由2()()0fx tf x +>，得()[()]0+>f x f x t ；① 0t >时，()0f x >或()f x t <-，满足条件的整数解有无数个，舍；② 0t =时，()0f x ≠，得0x >且1x ≠，满足条件的整数解有无数个，舍；③t <时，()0f x <或()f x t >-，当()0f x <时，无整数解；当()f x t >-时，不等式有且仅有三个整数解，又ln3(3)3f =，ln 2(2)(4)2f f ==，ln5(5)5f = 因为()f x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减；所以(5)(4)f t f ≤-<，即ln5ln 252t ≤-<，即ln 2ln525t -<≤-； 所以实数t 的取值范围为ln 2ln525t -<≤-．…8分 （3）2()24ln =-+h x xx x，因为221212()()0+-=h x h x x x，所以22221112221224ln 24ln 0xx x x x x x x -++-+-=，即2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-，令12t x x =，2()24ln (0)t tt t t ϕ=+->，…11分则2(1)(2)4()22(0)t t t t t t tϕ-+'=+-=>， 当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'<，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(0,1)上单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，所以函数2()24ln (0)t tt t t ϕ=+->在(1,)+∞上单调递增． 所以函数2()24ln (0)t tt t t ϕ=+->在1t =时，取得最小值，最小值为3．…14分因为存在两个正实数12,x x ，满足221212()()0+-=h x h x x x，所以21212()2()3x x x x +-+≥，即21212()2()30x x x x +-+-≥，所以123x x +≥或121x x +-≤．因为12,x x 为正实数，所以123x x +≥．…16分（加试部分）21．解：设直线1y kx =+上任意点(,)M x y 在矩阵0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的点'(',')M x y ，则'01'11x x y y y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即''x y y x y=⎧⎨=+⎩，∴'''x x y y x =-+⎧⎨=⎩…5分 代入直线方程1y kx =+得：'('')1x k x y =-++，将(3,2)P 代入上式，解得：2k =-．…10分22．解：（1）设(1,2,3)iA i =表示第i 次投篮命中，iA 表示第i 次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件A ，则123123()()P A P A A A A A A =+=221122833333327⨯⨯+⨯⨯=．…4分 （2）命中的次数X 可取0，1，2，3；321(0)(1)327P X ==-=，1123222(1)()(1)339P X C ==-=，2213224(2)()(1)339P X C ==-=， X 0 123P127 29 49 827…8分所以248()12329927E X =⨯+⨯+⨯= 答：X 的数学期望为2．…10分23．（1）根据题中空间直角坐标系可知：A (0,1-,0)，C (0,1,0)，B (2,1,0)，A 13，…1分∴1(2,2,0),(0,1,3)AB A C ==-∴112222120210(3)2cos ,||||22(1)(3)AB ACAB AC AB AC ⋅⨯+⨯+⨯-<>===+⋅-+3分设异面直线AB 与1A C 的所成角为α，则(0,]2πα∈，∴12cos |cos ,|4AB AC α=<>=4分（2）由（1）得：1(2,1,3),(2,0,0)A B BC =-=-，设平面1A BC的法向量为(,,)n x y z =， ∴1n A Bn BC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩∴123020n A B x y z n BC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1z =，则(0,3,1)n = (7)分∴22222023016cos ,||||22(3)1AB nAB n AB n ⋅⨯+⨯+⨯<>==+⋅+．…9分设直线AB与平面1A BC 所成角为β，(0,]2πβ∈，则6sin |cos ,|4AB n β=<>=．…10分24．证明：（1）由21120a a a -=>，解得101a <<．…1分下用数学归纳法证明：当2n ≥时，12na n ≤+ ①当2n =时，222111111()244aa a a =-=--+≤．所以不等式成立；②假设当(2)n k k =≥时，不等式成立，即12ka k ≤+则当1n k =+时，有则当1n k =+时，不等式也成立．综合①②，当2n ≥时，都有12na n ≤+． …5分 （2）记()ln(1)(0)1x f x x x x=+->+…6分 当0x >时，2211'()01(1)(1)xf x x x x =-=>+++所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，则()(0)0f x f >=，即ln(1)1xx x+>+…8分 令*1()1x i N i =∈+，则121ln ln21i i i i i++<<++， 从而有2221[ln(1)ln ]ln(1)ln 2ln(1)2n nni i i i a i i n n i ===<<+-=+-<++∑∑∑．…10分。

扬州市2018—2019学年度第一学期期末检测试题高三数学2019．01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0}，N ＝1()22x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则MN ＝ ．2．若i 是虚数单位，且复数z 满足(1i)2z +=，则z ＝ ．3．底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ．4．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 ．5．根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为 ．6．甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3．两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a ，乙抽出卡片的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为 ． 7．若直线l 1：240x y -+=与l 2：430mx y -+=平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为 ．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则1a ＝ ．9．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ．10．已知直线l ：4y x =-+与圆C ：22(2)(1)1x y -+-=相交于P ，Q 两点，则CP CQ⋅＝ ．11．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为．12．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝ ．13．已知函数4()3f x a x a x=++-+有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为 ．14．若存在正实数x ，y ，z 满足223310y z yz +≤，且ln ln ey x z z -=，则xy的最小值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-，R x ∈． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求方程()0f x =在(0，π]内的所有解． 16．（本题满分14分）如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，点E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点．（1）求证：EF ∥平面ABC ； （2）BB 1⊥AC ．17．（本题满分14分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，左右顶点分別为A ，B ，线段AB 的长为4．P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C ．（1）若点C 的横坐标为﹣1，求P 点的坐标；（2）直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC AQ λ=，求λ的取值范围．19．（本题满分16分）已知函数()(3)xf x x e =-，()(R)g x x a a =+∈．（e 是自然对数的底数，e≈2.718…）（1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()()y f x g x =在区间[1，2]上单调递增，求a 的取值范围； （3）若函数()()()f x g x h x x+=在区间(0，+∞)上既存在极大值又存在极小值，并且()h x 的极大值小于整数b ，求b 的最小值．20．（本题满分16分）记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ．（1）若数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求n B ；（2）若数列{}n b 是等差数列，试问数列{}n a 是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；（3）若2100nn b n =-，求n A ．第一部分（附加题）21．（本题满分10分）已知矩阵A ＝ab ⎡⎢⎣ 12⎤⎥⎦，满足A 13⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝68⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值． 22．（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=--⎩（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为)4πρθ=+，求直线l 被圆C 截得的弦长．23．（本题满分10分）将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，又AE ⊥平面ABD ．（1）若AE DE 与直线BC 所成角； （2）若二面角A —BE —D 的大小为3π，求AE 的长度．24．（本题满分10分）已知直线x ＝﹣2上有一动点Q ，过点Q 作直线l ，垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP OQ 0⋅=(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程； （2）已知定点M(12-，0)，N(12，0)，点A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．参 考 答 案2019．1第 一 部 分1． 234．10 5． 6．78．1 910．0 11．1213．或 14． 15．解： (4)分 （1）由，解得：∴函数的单调增区间为 …………8分（2）由得，解得：，即 ∵ ∴或． …………14分 16．证明：（1）∵三棱柱 ∴四边形，四边形均为平行四边形∵分别是侧面，对角线的交点 ∴分别是，的中点 ∴ ………………4分 ∵平面，平面∴平面 ………………8分 （2）∵四边形为矩形 ∴∵平面平面，平面，平面平面∴平面 ………………12分 ∵平面 ∴………………14分17．解：（1）在中，由，得，又………………2分 ∵∴{2}-2-499m ≤1161-2e 22()cos cos sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x x x π=+-+=+222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x [,],36k k k Z ππππ-++∈()0f x =2sin(2)06x π+=26x k ππ+=,122k x k Z ππ=-+∈(0,]x π∈512x π=1112x π=111ABC A B C -11AA B B 11BB C C ,E F 11AA B B 11BB C C ,E F 1AB 1CB //EF AC EF ⊄ABC AC ⊂ABC //EF ABC 11AA B B 1BB AB ⊥11AA B B ⊥ABC 1BB ⊂11ABB A 11ABB A ABC AB =1BB ⊥ABC AC ⊂ABC 1BB ⊥AC ABD △2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅214BD θ=-cos =θ-BD =(,)2πθπ∈sin θ=由，解得：， ∵是以为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2CDB π∠=且CD BD ==∴ ………………5分在中，，解得：………………7分 （2）由（1）得：， ，此时，且 (10)分当时，四边形的面积最大，即，此时∴，即…………13分 答：当cos =θ-小路百米；草坪的面积最大时，小路的百米．…………14分18．解：由题意得，解得，∴2223b a c =-=∴椭圆M的方程是且(2,0),(2,0)A B - …………3分（1）方法一：设，，∵1l PA ⊥ ∴直线AC 的方程为， 同理：直线BC 的方程为． sin sin BD AB BAD ADB =∠∠3sin ADB =∠3sin 5ADB ∠=BCD △D 3cos cos()sin 25ADC ADB ADB π∠=∠+=-∠=-ACD △2222232cos 2()375AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=+--=AC =214BD θ=-2113sin 7sin 22ABCD ABDBCDS S SBD θθθ=+=⨯+⨯=+-1572cos )7sin()2θθθφ=+-=+-sin φφ=(0,)2πφ∈2πθφ-=ABCD 2πθφ=+sin θθ==21414(26BD θ=-=-=BD =AC ABCD BD 1224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩12c a =⎧⎨=⎩22143x y +=00(,)P x y 002PA y k x =+02(2)x y x y +=-+002(2)x y x y -=--联立方程，解得，又∵， ∴点C 的坐标为， (6)分∵点的横坐标为1- ∴，又∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴ ∴点的坐标为3(1,)2． …………8分（2）设(,)Q Q Q x y ∵AC AQ λ= ∴002(2)43Q Q x x y y λλ-+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：002243Q Qx x y y λλλ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵点Q 在椭圆M 上 ∴22001214(2)()1433x y λλλ-+-+-= 又22003(1)4x y =- 整理得：200736(1)721000x x λλ--+-=，解得：02x =或036507x λ-= …………14分∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴3650027λ-<<，解得：2516189λ<< …………16分方法二：（1）设的斜率为，， ∵P 为椭圆上第一象限内一点∴0k << ∵ ∴的斜率为． 联立方程，解得，即2226812(,)4343k k P k k -++ ∵，∴，则AC 的方程为 ∵，∴，则BC 的方程为． 由，得，即2228616(,)4343k k C k k --++ …………6分∵点的横坐标为1- ∴，解得：00002(2)2(2)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩02004x x x y y=-⎧⎪-⎨=⎪⎩22000004444433y x y y y ---==-004(,)3x y --C 01x =032y =P AP k 00(,)P x y M 2000200032244AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--BP 34k-(2)3(2)4y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩22268431243k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1l PA ⊥1AC k k =-1(2)y x k =-+2l PB ⊥43BCk k =4(2)3y k x =-1(2)4(2)3y x k y k x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩22286431643k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩C 2286143k k -=-+12k =±∵0k <<∴ ∴点的坐标为3(1,)2． …………8分 （2）设(,)Q Q Q x y ，(,)C C C x y ，又直线AC 的方程为：联立方程221(2)143y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222(34)1616120k x x k +++-= ∴221612234Q k x k --⋅=+，解得：226834Q k x k -=+ ∵AC AQλ= ∴222222222862216(34)743168212(43)129234C Q k x k k k k x k k k k λ-++++====+-+++++， …………14分∵0k <<∴ …………16分 19．解：（1），，令，解得，列表：∴当时，函数取得极大值，无极小值 …………3分 （2）由，得∵0x e >，令，∴函数在区间上单调递增等价于对任意的，函数恒成立 ∴，解得3a ≥-． …………8分（3）， 令，∵在上既存在极大值又存在极小值，∴在上有两个不等实根， 即在上有两个不等实根． …………10分∵12k =P 1(2)y x k=-+2516(,)189λ∈()(3)x f x x e =-'()(2)x f x x e =-'()0f x =2x =2x =()f x 2(2)f e =()()(3)()xy f x g x x x a e ==-+22'[(3)32(3)][(1)23]x x y e x a x a x a e x a x a =-+-+-+-=-+-++2()(1)23m x x a x a =-+-++()()y f x g x =[1,2][1,2]x ∈()0m x ≥(1)0(2)0m m ≥⎧⎨≥⎩()()(3)()x f x g x x e x a h x x x +-++==22(33)'()x e x x a h x x -+--=2()(33)x r x e x x a =-+--()h x (0,)+∞'()0h x =(0,)+∞2()(33)0x r x e x x a =-+--=(0,)+∞1212,()x x x x <22'()(3323)()(1)x x x r x e x x x e x x x x e =-+--+=-+=-∴当时，，单调递增，当时，，单调递减 则，∴，解得，∴∵()r x 在(0,)+∞上连续且3(0)(1)0,(1)()02r r r r ⋅<⋅<∴()0r x =在(0,1)和3(1,)2上各有一个实根∴函数在上既存在极大值又存在极小值时，有，并且在区间上存在极小值1()f x ，在区间上存在极大值2()f x ．∴，且 ，…………13分令()(2),'()(1)x x H x e x H x e x =-=-，当时，'()0H x <，()H x 单调递减∵，∴23()()(1)2h h x h <<，即3221()(1,1)2h x e e ∈++，则32131142e e <+<+<∵()h x 的极大值小于整数b ，∴满足题意的整数的最小值为． …………16分20．解：（1）∵数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴，则，∴ (4)分（2）方法（一）若数列是等差数列，设其公差为 ∵11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-根据的定义，有以下结论：，，且两个不等式中至少有一个取等号， …………6分①若，则必有，∴，即对，都有 ∴，， ∴，即为等差数列；(0,1)x ∈'()0r x >()r x (1,)x ∈+∞'()0r x <()r x 101x <<(0)0(1)0r r <⎧⎨>⎩3a e -<<-3322333()30244r e a e =--<-+<()h x (0,)+∞3a e -<<-(0,1)3(1,)222222(3)()x x e x a h x x -++=2222222(33)'()0x e x x ah x x -+--==2222(33)x a e x x =-+-22222222222(3)(33)()(2)1x x x x e x e x x h x e x x -++-+-==-+(1,)x ∈+∞23(1,)2x ∈b 4{}n a 2n n a =2n m =2n n n M a ==122122n n n b -+==+1212112n n n B n n -=+⨯=-+-{}n b 'd 11'22n n n n M M m m d ----=+=,n n M m 1n n M M -≥1n n m m -≤'0d >1n n M M ->11n n n n a M M a --=>≥2,*n n N ≥∈1n n a a ->n n M a =1n m a =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-1111'222n n n n a a a a a a d --++-=-==12'n n a a d --={}n a②当时，则必有，所以，即对，都有∴，，所以，即为等差数列； ③当， ∵，中必有一个为0，∴根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即，，∴为常数数列，所以为等差数列，综上，数列也一定是等差数列． …………10分 方法（二）若数列是等差数列，设通项公式为，则．对于数列：，增加时，有下列情况：①若时，则，此时，∴对恒成立 则，，∴即为常数，则数列是等差数列． …………7分 ②若时，则， ∴ ∵数列是等差数列且 ∴， ∴ ∴，即，即为常数数列 ∴数列是公差为0的等差数列． ③若时，则，此时，∴对恒成立 则，，∴即为常数，则数列是等差数'0d <1n n m m -<11n n n n a m m a --=<≤2,n n N ≥∈1n n a a -<1n M a =n n m a =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-1111'222nn nn a a a aaad --++-=-==12'n n a a d --={}n a '0d =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-11022n n n n M M m m ----=+=1n n M M --1n n m m --1n n M M -=1n n m m -={}n a {}n a {}n a {}n b (,n b p n q p q R =+∈1n n b b p +-={}n a 12,,,n a a a 1n a +1n n a M +>111,n n n n M a m m +++==11n n n n a M M a ++=>≥1n n a a +>*n N ∈n nM a =11n n m m a +==111111122222n n n n n n nnn n M m M m a a a a a a b b p +++++++++--=-=-==12n n a a p +-={}n a 1n nn m a M +≤≤11,n n n n M M m m ++==1n n b b +={}n b n b p n q =+0p =n b q =111111,n n nnnn M M M Ma q m m mm a q+-+-============1n q a q +≤≤n a q ={}n a {}n a 1n n a m +<11,n n n n M M m +++==11n n n n a m m a ++=<≤1n n a a +<*n N ∈11n n M M a +==n nm a =111111122222n n n n n nnnn n M m M m a a a a a ab b p +++++++++--=-=-==12n n a a p +-={}n a列． …………10分 （3）∵， ∴当时，，即，当时，，即．以下证明：，当7n <时，若1n n n m a M +≤≤，则1n n M M +=，1n n m m +=，所以1n n b b +=，不合题意； 若1n n a M +>，则11n n M a ++=，1n n m m +=，则1122n n n n M m M m ++++<，得：1n n b b +<，与1n n b b +>矛盾，不合题意；∴1n n n a m a +<≤，即；同理可证：，即时，．①当时，， ∴ ∴， ∵ ∴∴ …………13分②当时，，且∴，则n M 为1a 或n a ．若n M 为1a ，则n b 为常数，与题意不符∴ ∴ ∴ ∴9797892(12)(8)(7)249001442001046(7)122n n n n n A A a a a n --+-=++++=---+-⨯+--2221009466640n n n +=-+-∴2222210024,7*21009466640,8n n n n n n A n N n n n ++⎧---≤⎪=∈⎨-+-≥⎪⎩，． …………16分第二部分（加试部分）21．（B ）解：∵ ∴ …………5分 11[2100(1)][2100]2100n n n n n b b n n ++-=-+--=-7n <10n n b b +-<1267b b b b >>>>7n ≥10n n b b +->789b b b <<<1267a a a a >>>>789a a a <<<1267a a a a >>>>789a a a <<<7,*n n N ≥∈1n n a a +<7n ≤1n M a =n n m a =12nn a a b +=12n n a b a =-1198a b ==-2100n n b n =-1220098n n a n +=-+224(12)(1)20098210024122n n n n n A n n n +-+=-⨯+=----7n >1267a a a a >>>>789a a a <<<8722007981046n m a ==-⨯+=-n n M a =72n n a a b +=17222001046n n n a b a n +=-=-+1113632368a a A b b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦32a b =⎧⎨=⎩矩阵A 的特征多项式为231()(3)(2)254022f λλλλλλλ--==---=-+=--， 令，解得矩阵的特征值为或． …………10分 21．（C ）解：将直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩化为方程：240x y ++= …………2分圆C的方程为)4πρθ=+化为直角坐标系方程：24(cos sin )ρρθθ=-， 即22440x y x y +-+=，22(2)(2)8x y -++=，其圆心(2,2)-，半径为…………5分∴圆心C 到直线l的距离为d ==∴直线被圆截得的弦长为． …………10分 22．解：∵正方形边长为2 ∴，， 又⊥平面∴以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系． 作，垂足为∵平面⊥平面，平面，平面平面 ∴平面∵ ∴点为的中点，…………2分 （1）∵∴，，，，∴ ∴ ∴ ∴直线与直线所成角为； …………5分 （2）设的长度为，则∵AD ⊥平面ABE∴平面ABE 的一个法向量为1(0,1,0)n = …………6分 设平面的法向量为，又∴ ∴，解得：，取，则∴平面的一个法向量为 …………8分 ∴121212cos ,||||n n n n n n a ⋅<>===()0f λ=A 14l C ABCD AB AD ⊥CB CD ⊥2AB AD CD BC ====AE ABD A ,,AB AD AE ,,x y z CF BD ⊥F ABD CBD CF ⊂CBD ABD CBD BD =CF ⊥ABD 2CB CD ==F BD CF AE =E (2,0,0)B (0,2,0)D (1,1,0)F C (0,2,2),(1,1DE BC =-=-0DE BC ⋅=DE BC ⊥DE BC 2πAE (0)a a >(0,0,)E a BDE 2111(,,)n x y z =(2,0,),(2,2,0)BE a BD =-=-22,n BE n BD ⊥⊥21121120220n BE x az n BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩11112a x z x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩12z =11x y a ==BDE 2(,,2)n a a =∵二面角A BE D --的大小为12=，解得：a ∴的长度为 …………10分23．解：（1）设点，则 ∴∵ ∴，即 …………2分 （2）设，直线与轴交点为，内切圆与的切点为．设直线的方程为：，则联立方程，得： ∴且120x x << ∴ ∴直线的方程为：，与方程联立得：，化简得：解得：或 ∵ ∴轴 设的内切圆圆心为，则在轴上且……5分 方法（一）∴2211()|2|22MBD S x y =⋅+⋅△，且MBD △的周长为：22||y∴2221112||]()|2|222MBD S y r x y =⋅=⋅+⋅△∴221()||x y r +=== ……8分方法（二）设，直线的方程为：，其中 直线的方程为：，即，且点H 与点O 在直线AB 的同侧3πAE (,)P x y (2,)Q y -(,),(2,)OP x y OQ y ==-0OP OQ ⋅=220OP OQ x y ⋅=-+=22y x =112233(,),(,),(,)A x y B x y D x y BD x E AB T AM 1()2y k x =+21()22y k x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2222(2)04k k x k x +-+=1214x x =1212x x <<AN 111()122y y x x =--22y x =222221111111(+22)024y x y x x x y --++=22111112(2)022x x x x x -++=114x x =1x x =32114x x x ==BD x ⊥MBD △HHx HT AB ⊥2(,0)H x r -BD 2x x =2222y x =AM 221()22y y x x =++22211()022y x x y y -++=∴22222211|()|()x r y y x r y y r -+-+=，解得：2221x y y r +==…8分方法（三）∵ ∴，解得：…8分令，则∴在上单调增，则，即的取值范围为．……10分MTHMEB △△MH HT MB BE=221||x rr y +-=2222111()||x y x x r +++===212t x =+1t >r =(1,)+∞r r 1,)+∞。

2019-2020学年江苏省扬州市树人学校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14小题，每题5分，共70分）1．（5分）（2011秋•亭湖区校级期中）已知集合{1A =，2}，{3B =，}a 且{1}A B =，则AB = ．2．（5分）（2018秋•启东市校级月考）函数2()(23)f x lg x x =--的定义域为 ． 3．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知复数z 满足1(z i i i =+是虚数单位），则复数z 的模为 ．4．（5分）（2017秋•盐城期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，b =3B π=，则A = ．5．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数22,0(),0xx f x log x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则((2))f f -= ．6．（5分）（2018秋•如皋市校级月考）若“||1x a -…”是“2x …”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ．7．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数y lnx a =+的图象与直线1y x =+相切，则实数a 的值为 ．8．（5分）（2016春•灌云县期中）cos(2)3y x π=-的单调增区间为 ．9．（2018秋•启东市月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边经过点(1,2)A ，将角α的终边绕原点按逆时针方向旋转2π与角β的终边重合，则sin()αβ+的值为 ． 10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，2a =且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ．11．（5分）（2018秋•启东市校级月考）如图，在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，E ，F 是AB 上的两个三等分点，G ，H 是AC 上的两个三等分点，10()()9BE CE BH CF +-=-，则cos b C 的最小值为 ．12．（5分）（2018秋•临川区校级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，直线1:y x a =+，过直线l 上点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A 、B ，若存在点P 使得32PA PB PO +=，则实数a 的取值范围是 ．13．（5分）（2011•南通模拟）已知三次函数32()()3a f x x bx cx d ab =+++<在R 上单调递增，则a b cb a++-的最小值为 ． 14．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数2||,1()(22,1x e x a x f x e x ax x ⎧---=⎨-+<-⎩…是自然对数的底数）恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共有6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（14分）（2017秋•江苏期中）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．向量(,3)m a b =，(sin ,cos )n B A =-，且m n ⊥． （1）求A 的大小； （2）若6||n =，求cos C 的值．16．（14分）（2017秋•盐城期中）记函数2()(1)f x lg ax =-的定义域、值域分别为集合A ，B ．（1）当1a =时，求AB ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17．（14分）（2017秋•武邑县校级月考）已知函数2()f x x =，1()()2x g x m =-．（1）若对任意1[1x ∈-，3]，2[0x ∈，2]都有12()()f x g x …成立，求实数m 的取值范围． （2）若对任意2[0x ∈，2]，总存在1[1x ∈-，3]，使得12()()f x g x …成立，求实数m 的取值范围．18．（16分）（2017•天河区校级三模）已知圆221:60C x y x ++=关于直线1:21l y x =+对称的圆为C ． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)-作直线与圆C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形OASB 中||||OS OA OB =-？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．19．（16分）（2018秋•启东市校级月考）如图，港珠澳大桥连接珠海(A 点）、澳门(B 点）、香港(C 点）．线段AB 长度为10()km ，线段BC 长度为40()km ，且60ABC ∠=︒．澳门(B 点）与香港(C 点）之间有一段海底隧道，连接人工岛E 和人工岛F ，海底隧道是以O 为圆心，半径)R km 的一段圆弧EF ，从珠海点A 到人工岛E 所在的直线AE 与圆O 相切，切点为点E ，记AEB θ∠=，[,)62ππθ∈．（1）用θ表示AE 、EF 及弧长EF ；（2）记路程AE 、弧长EF 及BE 、FC 四段长总和为l ，当θ取何值时，l 取得最小值？20．（16分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数2()f x ax lnx x =--，()(2)(22)(x g x e x a x e =-+-是自然对数的底数）． （1）若1a =，求函数()f x 的单调增区间；（2）若关于x 的不等式()0f x …恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()()h x f x g x =+在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围．三、附加题（本大题共有4小题，共40分.）21．（2013•滨海县校级模拟）已知二阶矩阵2[]0a Ab =属于特征值1-的一个特征向量为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵．22．（2017•江苏模拟）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示．（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ．23．（2015•盐城三模）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足(0)PM MC λλ=>． （1）当12λ=时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值； （2）若二面角M AB C --的大小为4π，求λ的值．24．（2016•盐城模拟）设2012(1)n n n x a a x a x a x -=+++⋯+，*n N ∈，2n …． （1）设11n =，求67891011||||||||||||a a a a a a +++++的值； （2）设11(,1)k k k b a k N k n n k++=∈--…，012(,1)m m S b b b b m N m n =+++⋯+∈-…，求1||m mn S C -的值．2019-2020学年江苏省扬州市树人学校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14小题，每题5分，共70分）1．（5分）（2011秋•亭湖区校级期中）已知集合{1A =，2}，{3B =，}a 且{1}A B =，则AB = {1，2，3} ．【解答】解：集合{1A =，2}，{3B =，}a ，且{1}A B =，1a ∴=， {1AB ∴=，2，3}，故答案为：{1，2，3}．2．（5分）（2018秋•启东市校级月考）函数2()(23)f x lg x x =--的定义域为 (-∞，1)(3-⋃，)+∞ ．【解答】解：解2230x x -->得，1x <-，或3x >； ()f x ∴的定义域为(-∞，1)(3-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，1)(3-⋃，)+∞．3．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知复数z 满足1(z i i i =+是虚数单位），则复数z【解答】解：复数z 满足1(z i i i =+是虚数单位），2211i i i z i i i++∴===-，∴复数z =4．（5分）（2017秋•盐城期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，b =3B π=，则A =2π． 【解答】解：在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，b =，3B π=，则由正弦定理得：sin sin a bA B=，即2sin A =，解得：sin 1A =， 又由A 为三角形的内角， 故2A π=，故答案为：2π． 5．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数22,0(),0xx f x log x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则((2)f f -= 2- ．【解答】解：函数22,0(),0xx f x log x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，21(2)24f -∴-==， 21((2))24f f log -==-． 故答案为：2-．6．（5分）（2018秋•如皋市校级月考）若“||1x a -…”是“2x …”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 (-∞，1] ．【解答】解： “||1x a -…”是“2x …”的充分不必要条件，112a x a x ∴-+⇒剟?， 12a ∴+…，解得1a …，∴实数a 的取值范围为(-∞，1]．故答案为：(-∞，1]．7．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数y lnx a =+的图象与直线1y x =+相切，则实数a 的值为 2 ． 【解答】解：1y x'=， 设切点是0(x ，0)lnx a +， 则011y x '==， 故01x =，02lnx ln =-，代入切线得：011a +=+， 解得：2a =， 故答案为：2．8．（5分）（2016春•灌云县期中）cos(2)3y x π=-的单调增区间为 [3k ππ-，]6k ππ+，()k Z ∈ ．【解答】解：函数cos(2)cos(2)33y x x ππ=-=-，令2223k x k ππππ-+-剟，k Z ∈，解得222233k x k ππππ-++剟，k Z ∈， 即36k xk ππππ-++剟，k Z ∈；所以函数y 的单调增区间为[3k ππ-，]6k ππ+，()k Z ∈．故答案为：[3k ππ-，]6k ππ+，()k Z ∈．9．（5分）（2018秋•启东市校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边经过点(1,2)A ，将角α的终边绕原点按逆时针方向旋转2π与角β的终边重合，则sin()αβ+的值为 35-【解答】解：由已知||r OA ==sinα==，cos α==，将角α的终边绕原点按逆时针方向旋转2π与角β的终边重合 则2πβα=+，则2223sin()sin()sin(2)cos22cos 12112255ππαβααααα+=++=+==-=⨯-=-=-，故答案为：35-10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，2a =且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆【解答】解：因为：(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=- (2)()()b a b c b c ⇒+-=-2222a b ab b c bc ⇒-+-=-，又因为：2a =，所以：2222222221cos 223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-⇒+-=⇒==⇒=，ABC ∆面积1sin 2S bc A ==， 而222b c a bc +-= 222b c bc a ⇒+-= 224b c bc ⇒+-=4bc ⇒…所以：1sin 2S bc A =…ABC ∆11．（5分）（2018秋•启东市校级月考）如图，在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，E ，F 是AB 上的两个三等分点，G ，H 是AC 上的两个三等分点，10()()9BE CE BH CF +-=-，则cos b C 的最小值为 ．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：则(2a B -，0)，(2a C ，0)，(cos 2aA b C -，sin )b C ，(cos ,sin )BA a b C b C =-，(,0)BC a =，∴23BE BA =，23CE CB BA =+，13BH BC CA =+，13CF CB BA =+， 43BE CE BA CB +=+，53BH CF BC -=，224520520510()()()(cos )3393939BE CE BH CF BA CB BC BA BC BC a a b C a +-=+=-=--=-1cos 42a b C a ∴=+…（当且仅当a =．12．（5分）（2018秋•临川区校级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，直线1:y x a =+，过直线l 上点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A 、B ，若存在点P使得32PA PB PO +=，则实数a 的取值范围是 [- ．【解答】解：设PO 与AB 交于H ，在直角三角形PAO 中，由射影定理可得2PA PH PO =， 32PA PB PO +=，且2PA PB PH +=，即34PH PO =， 则2234PA PO =，设(,)P m n ，可得222231()4m n m n +-=+，即为224m n +=，可得P 在直线y x a =+上，又在圆224x y +=上，2，即a -，故答案为：[-．13．（5分）（2011•南通模拟）已知三次函数32()()3a f x x bx cx d ab =+++<在R 上单调递增，则a b cb a++-的最小值为3 ． 【解答】解：2()2f x ax bx c '=++． 三次函数32()()3a f x x bx cx d ab =+++<在R 上单调递增， ()0f x ∴'…在R 上恒成立（不恒等于0)， ∴20440a b ac >⎧⎨=-⎩…，即0a >，2b ac …， ∴2b c a…，∴22221()()1b b b a b a b c a ab b a a a b b a b a a b a a++++++++==----…， 令1bt a=>，则221(1)3(1)33(1)33111t t t t t t t t ++-+-+==-++---，当且仅当1bt a=+=时取等号．故a b cb a++-的最小值为：3．故答案为：3．14．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数2||,1()(22,1x e x a x f x e x ax x ⎧---=⎨-+<-⎩…是自然对数的底数）恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 3[2-，11)e-- ．【解答】解：当0a =时，1x <-时，2()20f x x =+>， 而()||x f x e x =-，最多两个零点， 即有()f x 不可能有三个零点；当0a >时，1x <-时，22()2()f x a x a =-+-递减， 且()(1)320f x f a >-=+>， 而()||x f x e x =-，最多两个零点， 即有()f x 不可能有三个零点；当0a <时，1x <-时，由于()f x 的对称轴为x a =， 可得顶点为2(,2)a a -， 若220a ->，不满足题意；若220a -<，320a +…，1|1|0a e ---<，解得3112a e -<--…，满足()f x 恰有三个零点；若220a -=，320a +>，1|1|0a e ---…，解得a ∈∅，不满足题意；综上可得a 的范围是3[2-，11)e --．故答案为：3[2-，11)e--．二、解答题（本大题共有6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（14分）（2017秋•江苏期中）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．向量(,3)m a b =，(sin ,cos )n B A =-，且m n ⊥． （1）求A 的大小； （2）若6||n =，求cos C 的值． 【解答】解：（1）m n ⊥，∴sin cos 0m n a B A ==，由正弦定理知，sin sin cos 0A B B A =；又sin 0B ≠，tan A ∴(0,)A π∈， 3A π∴=；（2）2||sin n B ==，2213sin ()28B ∴+=，解得21sin 8B =；由(0,)B π∈，sin B ∴；ABC ∆中，3A π=，sin A ∴=， sin sin A B ∴>，即a b >，B ∴为锐角，cos 4B ==，1cos cos()cos cos sin sin 2C A B A B A B =-+=-+=-=；cos C ∴． 16．（14分）（2017秋•盐城期中）记函数2()(1)f x lg ax =-的定义域、值域分别为集合A ，B ．（1）当1a =时，求AB ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，2()(1)f x lg x =-，由210x ->，得(1,1)A =-．⋯（2分） 又2011x <-…，所以(B =-∞，0]．⋯（4分） 故(1AB =-，0]．⋯（6分）（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件B A ⇔Ü．⋯（8分）①当0a =时，A R =，{0}B =，适合题意； ⋯（9分） ②当0a <时，A R =，[0B =，)+∞，适合题意； ⋯（11分） ③当0a >时，(A=，(B =-∞，0]，不适合题意．⋯（13分）综上所述，实数a 的取值范围是(-∞，0]．⋯（14分）17．（14分）（2017秋•武邑县校级月考）已知函数2()f x x =，1()()2x g x m =-．（1）若对任意1[1x ∈-，3]，2[0x ∈，2]都有12()()f x g x …成立，求实数m 的取值范围． （2）若对任意2[0x ∈，2]，总存在1[1x ∈-，3]，使得12()()f x g x …成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：12()()min max f x g x …， ()f x 在(1,0)-上递减，在(0,3)上递增， 1()(0)0min f x f ∴==，又()g x 在(0,2)上递减，2()(0)1max g x g m ∴==-，∴有01m -…，m 的范围为[1，)+∞；（2）由题设知12()()max max f x g x …，∴有f （3）(0)g …，即91m -…， M ∴的范围为[8-，)+∞．18．（16分）（2017•天河区校级三模）已知圆221:60C x y x ++=关于直线1:21l y x =+对称的圆为C （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)-作直线与圆C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形OASB 中||||OS OA OB =-？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）圆221:60C x y x ++=化为标准方程为22(3)9x y ++=， 设圆1C 的圆心1(3,0)C -关于直线1:21l y x =+的对称点为(,)C a b ， 则111C C k k =-，且1CC 的中点3(2a M -，)2b在直线1:21l y x =+上． ∴213(3)102ba b a ⎧⨯=-⎪⎪+⎨⎪--+=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩．∴圆C 的方程为22(1)(2)9x y -++=；（2）如图：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．由||||||OS OA OB BA =-=，得四边形OASB 为矩形，OA OB ∴⊥， 必须使0OA OB =，即12120x x y y +=．①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为1x =-，与圆22:(1)(2)9C x y -++=交于两点(2)A -，(1,2)B -．(1)(1)2)(2)0OA OB =-⨯-+⨯=，OA OB ∴⊥，∴当直线的斜率不存在时，直线:1l x =-满足条件；②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为(1)y k x =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22(1)(2)9(1)x y y k x ⎧-++=⎨=+⎩，得2222(1)(242)440k x k k x k k +++-++-=， 由于点(1,0)-，在圆C 内部，∴△0>恒成立，∴21222421k k x x k +-+=-+，2122441k k x x k +-=+，由12120x x y y +=，得2212244(1)(1)01k k k x x k+-+++=+， 整理得222222244242(1)011k k k k k k k k k+-+-+-+=++， 解得1k =，∴直线方程为1y x =+，∴存在直线1x =-和1y x =+，它们与圆C 交A ，B 两点，且||||OS OA OB =-．19．（16分）（2018秋•启东市校级月考）如图，港珠澳大桥连接珠海(A 点）、澳门(B 点）、香港(C 点）．线段AB 长度为10()km ，线段BC 长度为40()km ，且60ABC ∠=︒．澳门(B 点）与香港(C 点）之间有一段海底隧道，连接人工岛E 和人工岛F ，海底隧道是以O 为圆心，半径)R km 的一段圆弧EF ，从珠海点A 到人工岛E 所在的直线AE 与圆O 相切，切点为点E ，记AEB θ∠=，[,)62ππθ∈．（1）用θ表示AE 、EF 及弧长EF ；（2）记路程AE 、弧长EF 及BE 、FC 四段长总和为l ，当θ取何值时，l 取得最小值？【解答】（本题满分为16分）解：（1）在ABE ∆中，由正弦定理可知：10sin 60sin AE θ=︒，可得AE ，⋯⋯⋯⋯⋯（2分）在OEF ∆中，2sin EF R θθ==，⋯⋯⋯⋯⋯（4分） 2032EF R θ==．⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（2）40l θ=+-，[,)62ππθ∈，⋯⋯⋯⋯⋯（8分）l ∴'=，⋯⋯⋯（10分）即l '，⋯⋯⋯⋯⋯（12分）由cos (0t θ=∈，则222cos cos 4240t t θθ-+=-+<，⋯⋯⋯⋯⋯（14分） 当63ππθ<…时，0l '<；当32ππθ<…时，0l '>， l ∴在(6π，)3π上单调递减，在(3π，)2π上单调递增， 答：当3πθ=时，l 取得最小值．⋯⋯⋯⋯⋯（16分）20．（16分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数2()f x ax lnx x =--，()(2)(22)(x g x e x a x e =-+-是自然对数的底数）． （1）若1a =，求函数()f x 的单调增区间；（2）若关于x 的不等式()0f x …恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()()h x f x g x =+在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围． 【解答】解（1）当1a =时，2()f x x lnx x =--， 故(21)(1)()x x f x x+-'=，因为0x >，所有01x <<时，()0f x '<；1x >时，()0f x '>，则()f x 在(1,)+∞上单调递增． ⋯⋯⋯⋯⋯（3分） （2）221()(0)ax x f x x x--'=>若0a …时，()0f x '<，则()f x 在(0,)+∞上单调递减，由f （1）10a =-<与()0f x …恒成立矛盾，所以0a …不合题意；⋯⋯⋯⋯⋯（5分） 若0a >时，令()0f x '=，则0x =， 所以 当00x x <<时，()0f x '<；当0x x >时，()0f x '>，则()f x 在0(0,)x 单调递减，在0(x ，)+∞单调递增 ⋯⋯⋯⋯⋯（7分） 所以()f x 的最小值为20000()(*)f x ax lnx x =--， 又200210ax x --=，2001(1)2ax x ∴=+带入(*)得：00011()22f x lnx x =--， 由()0f x …恒成立，所以0()0f x …，记11()22m x lnx x =--， 又11()02m x x '=--<，则()m x 在(0,)+∞单调递减，又m （1）0=，所以01x <…，即001x <…，200111()2a x x =+，∴01[1x ∈，)+∞ ⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 所以实数a 的取值范围是[1，)+∞⋯⋯⋯⋯⋯（11分） （3）1()(1)(2)x h x x a e x'=-+-，h ∴（1）0=， 设1()2x G x a e x =+-，0x >，则21()0x G x e x'=--<， 则()G x 在(0,)+∞上单调递减， 当G （1）0…时，即12e a -…，01x ∴<<，()0G x >，则()0h x '<，()h x ∴在(0,1)单调递减与“()h x 在1x =处取得极大值”矛盾 12e a -∴…，不合题意；⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 当G （1）0<时，即12e a -<， 则11221()2(2)02e a e aG a e a e e e e a--=+-->->-，由G （1）0<，1()02G e a>-，01(2x e a∴∃∈-，1)，使得0()0G x =⋯⋯⋯⋯⋯（14分） 当01x x <<时，()0G x <，则()0h x '>， 当1x >时，()0G x <，则()0h x '<，()h x ∴在0(x ，1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，则()h x 在1x =处取得极大值 综上，12e a -<，符合题意． ⋯⋯⋯⋯⋯（16分） 三、附加题（本大题共有4小题，共40分.）21．（2013•滨海县校级模拟）已知二阶矩阵2[]0aA b =属于特征值1-的一个特征向量为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵． 【解答】解：由矩阵A 属于特征值1-的一个特征向量为113α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，可得211033a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得2313a b -=-⎧⎨=⎩即1a =，3b =； ⋯（3分） 解得2130A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，⋯（8分） A ∴逆矩阵是1103[[213db ad bcad bc A c a ad bcad bc --⎤⎤⎥⎥--==⎥⎥-⎥⎥-⎥⎥--⎦⎦． 22．（2017•江苏模拟）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示．（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 【解答】解：（1）由题意得113126x x +=∴=． 1111632y y ++=∴=． 记甲乙两人所付车费相同的事件为A ，P （A ）11111122663629=⨯+⨯+⨯=，甲、乙两人所付车费相同的概率为29． （2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，ξ的所有取值为0，1、2，3，4，5． 1(0)12P ξ==，11117(1)236636P ξ==⨯+⨯=，1111111(2)6663223P ξ==⨯+⨯+⨯=， 1111111(3)6663626P ξ==⨯+⨯+⨯=11115(4)626336P ξ==⨯+⨯=，111(5)6212P ξ==⨯=．所以ξ的分布列为：ξ∴的数学期望171151701234512363636123E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 23．（2015•盐城三模）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足(0)PM MC λλ=>． （1）当12λ=时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值； （2）若二面角M AB C --的大小为4π，求λ的值．【解答】解：（1）以O 为坐标原点，建立坐标系O ABP -，则(4A ，0，0)，(0B ，3，0)，(4C -，0，0)，(0D ，3-，0)，(0P ，0，4)，所以(4PA =，0，4)-，(0DB =，6，0)，(4AB =-，3，0)．当12λ=时，得48(,0,)33M -，所以48(,3,)33MB =-，设平面BDM 的法向量(,,)n x y z =，则60483033y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，得0y =， 令2x =，则1z =，所以平面BDM 的一个法向量(2,0,1)n =，所以cos ,25PA n 〈〉==，即直线PA 与平面BDM ．⋯（5分） （2）易知平面ABC 的一个法向量1(0n =，0，1)．设(M a ，0，)b ，代入PM MC λ=，得(a ，0，4)(4b a λ-=--，0，)b -， 解得4141a b λλλ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即44(,0,)11M λλλ-++，所以44(,3,)11MB λλλ-=++，设平面ABM 的法向量2(n x =，y ，)z ，则430443011x y x y z λλλ-+=⎧⎪⎨+-=⎪++⎩， 消去y ，得(21)x z λ+=，令1x =，则21z λ=+，43y =， 所以平面ABM 的一个法向量24(1,,21)3n λ=+，=，解得13λ=或43-，因为0λ>，所以13λ=．⋯（10分） 24．（2016•盐城模拟）设2012(1)n n n x a a x a x a x -=+++⋯+，*n N ∈，2n …． （1）设11n =，求67891011||||||||||||a a a a a a +++++的值； （2）设11(,1)k k k b a k N k n n k++=∈--…，012(,1)m m S b b b b m N m n =+++⋯+∈-…，求1||m mn S C -的- 21 - 值．【解答】解：（1）由二项式定理可得(1)k k k n a C =-，当11n =时，671167891011111111||||||||||||a a a a a a C C C +++++=++⋯+01101110111111111()210242C C C C =++⋯++==； （2）111111(1)(1)k k k k k k n n k k b a C C n k n k++++++==-=---， 当11k n -剟时，11111(1)(1)()k k k k k k n n n b C C C ++---=-=-+111111111(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k n n n n C C C C ++-------=-+-=---，当0m =时，0011||||1m m n n S b C C --==； 当11m n -剟时，k 11k 012111...1[(1)(1)]mk k m m n n k S b b b b C C ----==++++=-+---∑1111(1)(1)m m m m n n C C --=-+--=--，即有1||1m m n S C -=． 综上可得，1||1m m n S C -=．。

2018-2019学年高三上学期阶段检测数学试卷18.10一.填空题1.已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}{}3,2,2,1==Q P ，则()UP Q ð= ▲ . 2.命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 ▲ ．3. 已知虚数z 满足216i z z -=+，则||z = ▲ ．4.“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的 ▲ .条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择填空）5.已知向量(,12),(4,5),(10,),OA k OB OC k ===当,,A B C 三点共线时，实数k 的值为 ▲ .．6. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若222,sin 3sin ,a b bc C B -==则A =_ ▲ ..7. 设函数)(x f 满足x x f x f sin )()(+=+π，当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则)623(πf = ▲ . 8. 已知tan()1αβ+=，tan()2αβ-=，则sin 2cos2αβ的值为 ▲ . 9.已知函数(2)y f x =+的图象关于直线2x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，2()log .x f x =若1(3),(),(2),4a fb fc f =-==则,,a b c 由大到小的顺序是 ▲ .10. 若函数()sin cos()(0)6g x x x πωωω=++>的图象关于点(2,0)π对称，且在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的值为 ▲ .11. 已知函数24,0,()5,0.x x x f x e x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()50f x ax --=恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为 ▲ .12. 已知点O 在ABC ∆所在平面内，且4,3,AB AO ==()0,OA OB AB +=()0,OA OC AC +=则AB AC 取得最大值时线段BC 的长度是 ▲ .13. 在ABC ∆中，若tan tan tan tan 5tan tan ,A C A B B C +=则sin A 的最大值为 ▲ .14.已知定义在R 上的函数1()2x f x +=可以表示为一个偶函数()g x 与 一个奇函数()h x 之和，设(),()(2)h x t p t g x ==+2()mh x +2m m - 1-().m R ∈若方程(())0p p t =无实根，则实数m 的取值范围是▲ .二.解答题15.已知命题:p 指数函数()(26)x f x a =-在R 上单调递减，命题:q 关于x的方程23x ax -2210a ++=的两个实根均大于3.若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求实数a 的取值范围.16. 函数)0(3sin 32cos 6)(2>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域；(Ⅱ)若0()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.17. 已知向量(2,1),(sin,cos()),2A m nBC =-=+角,,A B C 为ABC ∆的内角，其所对的边分别为,,.a b c （1）当.m n 取得最大值时，求角A 的大小；（2）在（1）成立的条件下，当a =22b c +的取值范围.18. 为丰富农村业余文化生活，决定在A ,B ,N 三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ,B 和以边AB 的中心M为圆心，以MC 长为半径的圆弧的中心N 处，且AB ＝8km ，BC ＝．经协商，文化服务中心拟建在与A ,B 等距离的O 处，并建造三条道路AO ,BO ,NO 与各村通达．若道路建设成本AO ,BO 段为每公里a 2万元，NO 段为每公里a 万元，建设总费用为w 万元． （1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N 村的距离；（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N 村的距离.19. 设2()(f x x bx c b =++、)c R ∈．（1）若()f x 在[2,2]-上不单调，求b 的取值范围；（2）若()||f x x ≥对一切x R ∈恒成立，求证：214b c +≤；（3）若对一切x R ∈，有1()0f x x +≥，且2223()1x f x ++的最大值为1，求b 、c 满足的条件。

江苏扬州树人中学高三测试1一．填空题：1．设集合A ＝{－2，－1，1，2，3}，B ＝{x | x 2＞3}，则A ∩B =__________________ 2．已知向量a →＝(x ，3)，b →＝(-2，1 )平行，则实数x =_________________ 3．如果cos θ＝－1213，θ ∈(π，3π2)，那么cos(θ＋π4)的值等于_________________4．设点P 是函数()sin (0)f x x ωω=>的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则ω= 5．由正数构成的等比数列{a n }，若132423249a a a a a a ++=，则23a a += ． 6．若方程1n 2100x x +-=的解为0x ，则不小于0x 的最小整数是7．已知函数f (x )是奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x 2－3a sin πx2，且f (3)＝6，则a = ________8．如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线是l ，则(2)(2)f f '+= ．9．已知51cos sin ,02=+<<-x x x π，则sin cos x x -的值=10．已知函数)2||,0,0,)(sin()(πϕωϕω<>>∈+=A R x x A x f 的图象（部分）如图所示，则)(x f 的解析式为)(x f =11．已知||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是 12．如果关于x 的方程14210xx a +-⋅+=在[)1,x ∈+∞上有解，求a 的取值范围是4 2 4.5xy O(第8题图)y =f (x )l13．已知p ：不等式| x – 1| + | x + 2 | > m 的解集为R ，q ：f (x ) = log 5 – 2m x 为减函数，则p 是q 成立的 条件14．定义在(-∞，+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断： ①f(x)是周期函数；②f(x)的图像关于直线x=1对称； ③f(x)在[0，1]上是增函数； ④f(2)=f(0).其中正确的判断是_____________________(把你认为正确的判断都填上) 二．解答题：15．设函数f (x )=a ·b ，其中向量a =(2cos x ＋1，x cos 3)，b =(2cos x －1，2sin x )，x ∈R ．（Ⅰ）求f (x )的最小正周期T ；（Ⅱ）函数f (x )的图像是由函数f (x )=sin x 的图像通过怎样的伸缩或平移变换后得到的？ 16．设()f x 是定义在()0,+∞上的单调增函数，满足()()()f xy f x f y =+,(3)1f =.求：（1）f (1) （2）若()(8)2f x f x +-≤，求x 的取值范围。

2019年树人学校高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。

第 1 题：来源：辽宁省六校协作体2018_2019学年高二数学上学期期中试题理下列函数中，的最小值为4的是（）A． B．C． D．【答案】C第 2 题：来源：四川省广安市邻水县2017_2018学年高一数学上学期第一次月考试题试卷及答案函数的最值情况为( )(A)最小值0，最大值1 (B)最小值0，无最大值(C)最小值0，最大值5 (D)最小值1，最大值5【答案】B.x∈［-1,0］，f(x)的最大值为1，最小值为0；x∈(0,1］时，f(x)∈［1,+∞)无最大值，有最小值1，所以f(x)有最小值0，无最大值.第 3 题：来源：湖北省武汉市2017届高三四月调研测试数学试题（理）含答案若等差数列的前项和满足，，则A. -1B. 0C. 1D. 3【答案】B第 4 题：来源：福建省四地六校2016_2017学年高二数学下学期第二次联考（5月）试题理 (1)若，则的值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】C第 5 题：来源：山东省实验中学2019届高三数学4月上旬质量检测试卷理（含解析）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F，点B的坐标为(0，b)，若直线BF与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为A. B. C.D. 2【答案】B【解析】【分析】将直线与双曲线渐近线联立，可求得的值；利用可得，将的值代入，可得，从而求得离心率.【详解】由题可知，，则直线方程为又双曲线渐近线方程为由可解得或由可知，由题可知：，，则化简得，所以【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键在于能够通过向量的关系得到的齐次方程，通过方程求得离心率.第 6 题：来源：甘肃省甘谷县第一中学2019届高三数学上学期第一次检测考试试题理（含解析）已知集合,则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出与中不等式的解集确定出，求出的补集，找出补集与的公共部分，能求出结果．【详解】则故选C.【点睛】本题考查补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．第 7 题：来源：四川省新津县2018届高三数学10月月考试题理试卷及答案．已知，为虚数单位，，则( )A. 9B.C. 24D.【答案】A第 8 题：来源：浙江省金华市2016_2017学年高二数学6月月考试题试卷及答案学校器材室有10个篮球，其中6个好球，4个球轻微漏气，甲、乙二人依次不放回各拿取一个球，则甲、乙二人至少有一个拿到好球的概率是（）A．B．C．D．【答案】C第 9 题：来源：甘肃省兰州第一中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题直线y＝a与曲线y＝x2－有四个交点，则a的取值范围为A．B． C． D．【答案】D第 10 题：来源：安徽省合肥市第八中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题文（含解析）若直线l1和l2是异面直线，l1⊂α，l2⊂β，α∩β=l，则下列命题正确的是（）A. l至少与，中的一条相交B. l与，都相交C. l至多与，中一条相交D. l与，都不相交【答案】A【解析】【分析】由线线、线面之间的位置关系直接判断即可。

扬州市2018—2019学年度第一学期期末检测试题高三数学2019．01第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0}，N ＝1()22x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则MN ＝ ．2．若i 是虚数单位，且复数z 满足(1i)2z +=，则z ＝ ．3．底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ．4．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 ．5．根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为 ．6．甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3．两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a ，乙抽出卡片的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为 ． 7．若直线l 1：240x y -+=与l 2：430mx y -+=平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为 ．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则1a ＝ ．9．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ．10．已知直线l ：4y x =-+与圆C ：22(2)(1)1x y -+-=相交于P ，Q 两点，则CP CQ⋅＝ ．11．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为．12．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝ ．13．已知函数4()3f x a x a x=++-+有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为 ．14．若存在正实数x ，y ，z 满足223310y z yz +≤，且ln ln ey x z z -=，则xy的最小值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-，R x ∈． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求方程()0f x =在(0，π]内的所有解． 16．（本题满分14分）如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，点E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点．（1）求证：EF ∥平面ABC ； （2）BB 1⊥AC ．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，左右顶点分別为A ，B ，线段AB 的长为4．P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C ．（1）若点C 的横坐标为﹣1，求P 点的坐标；（2）直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC AQ λ=，求λ的取值范围．已知函数()(3)x f x x e =-，()(R)g x x a a =+∈．（e 是自然对数的底数，e≈2.718…） （1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()()y f x g x =在区间[1，2]上单调递增，求a 的取值范围； （3）若函数()()()f x g x h x x+=在区间(0，+∞)上既存在极大值又存在极小值，并且()h x 的极大值小于整数b ，求b 的最小值．20．（本题满分16分）记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ．（1）若数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求n B ；（2）若数列{}n b 是等差数列，试问数列{}n a 是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；（3）若2100nn b n =-，求n A ．第一部分（附加题）21．（本题满分10分）已知矩阵A ＝ab ⎡⎢⎣ 12⎤⎥⎦，满足A 13⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝68⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值． 22．（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为)4πρθ=+，求直线l 被圆C 截得的弦长．23．（本题满分10分）将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，又AE ⊥平面ABD ．（1）若AE DE 与直线BC 所成角； （2）若二面角A —BE —D 的大小为3π，求AE 的长度．24．（本题满分10分）已知直线x ＝﹣2上有一动点Q ，过点Q 作直线l ，垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP OQ 0⋅=(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程； （2）已知定点M(12-，0)，N(12，0)，点A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．扬州市2018—2019学年度第一学期期末检测试题高 三 数 学 参 考 答 案2019．1第 一 部 分1． 234．10 5． 6．78．1 910．0 11．1213．或 14． 15．解： (4)分 （1）由，解得：∴函数的单调增区间为 …………8分（2）由得，解得：，即 ∵ ∴或． …………14分 16．证明：（1）∵三棱柱 ∴四边形，四边形均为平行四边形∵分别是侧面，对角线的交点 ∴分别是，的中点 ∴ ………………4分 ∵平面，平面∴平面 ………………8分 （2）∵四边形为矩形 ∴∵平面平面，平面，平面平面∴平面 ………………12分 ∵平面∴………………14分17．解：（1）在中，由， 得，又 ………………2分 {2}-2-499m ≤1161--2e 22()cos cos sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x x x π=+-+=+222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x [,],36k k k Z ππππ-++∈()0f x =2sin(2)06x π+=26x k ππ+=,122k x k Z ππ=-+∈(0,]x π∈512x π=1112x π=111ABC A B C -11AA B B 11BB C C ,E F 11AA B B 11BB C C ,E F 1AB 1CB //EF AC EF ⊄ABC AC ⊂ABC //EF ABC 11AA B B 1BB AB ⊥11AA B B ⊥ABC 1BB ⊂11ABB A 11ABB A ABC AB =1BB ⊥ABC AC ⊂ABC 1BB ⊥AC ABD △2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅214BD θ=-cos =θBD =∵ ∴由，解得：， ∵是以为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2C D B π∠=且CD BD ==∴ ………………5分在中，，解得：………………7分 （2）由（1）得：， ，此时，且…………10分当时，四边形的面积最大，即，此时 ∴，即…………13分 答：当cos =θ小路百米；草坪的面积最大时，小路的百米．…………14分18．解：由题意得，解得，∴2223b a c =-=∴椭圆M的方程是且(2,0),(2,0)A B - …………3分（1）方法一：设，，∵1l PA ⊥ ∴直线AC 的方程为， (,)2πθπ∈sin θ=sin sin BD AB BAD ADB =∠∠3sin ADB =∠3sin 5ADB ∠=BCD △D 3cos cos()sin 25ADC ADB ADB π∠=∠+=-∠=-ACD △2222232cos 2()375AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=+--=AC =214BD θ=-2113sin 7sin 22ABCD ABDBCDS S SBD θθθ=+=⨯+⨯=+-1572cos )7sin()2θθθφ=+-=+-sin φφ=(0,)2πφ∈2πθφ-=ABCD 2πθφ=+sin θθ==21414(26BD θ=-=-=BD =AC ABCD BD 1224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩12c a =⎧⎨=⎩22143x y +=00(,)P x y 002PA y k x =+02(2)x y x y +=-+同理：直线BC 的方程为． 联立方程，解得，又∵， ∴点C 的坐标为， …………6分∵点的横坐标为1- ∴，又∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴ ∴点的坐标为3(1,)2． …………8分 （2）设(,)Q Q Q x y ∵A C A Q λ= ∴002(2)43Q Q x x y y λλ-+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：002243Q Qx x y y λλλ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵点Q 在椭圆M 上 ∴22001214(2)()1433x y λλλ-+-+-= 又22003(1)4x y =- 整理得：200736(1)721000x x λλ--+-=，解得：02x =或036507x λ-= …………14分∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴3650027λ-<<，解得：2516189λ<< …………16分方法二：（1）设的斜率为，， ∵P 为椭圆上第一象限内一点∴0k << ∵ ∴的斜率为． 联立方程，解得，即2226812(,)4343k k P k k -++ ∵，∴，则AC 的方程为 ∵，∴，则BC 的方程为． 002(2)x y x y -=--00002(2)2(2)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩02004x x x y y=-⎧⎪-⎨=⎪⎩22000004444433y x y y y ---==-004(,)3x y --C 01x =032y =PAP k 00(,)P x y M 2000200032244AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--BP 34k-(2)3(2)4y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩22268431243k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1l PA ⊥1AC k k =-1(2)y x k =-+2l PB ⊥43BCk k =4(2)3y k x =-由，得，即2228616(,)4343k k C k k --++ …………6分∵点的横坐标为1- ∴，解得：∵0k <<∴ ∴点的坐标为3(1,)2． …………8分 （2）设(,)Q Q Q x y ，(,)C C C x y ，又直线AC 的方程为：联立方程221(2)143y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222(34)1616120k x x k +++-= ∴221612234Q k x k --⋅=+，解得：226834Q k x k -=+ ∵AC AQλ= ∴222222222862216(34)743168212(43)129234C Q k x k k k k x k k k k λ-++++====+-+++++， …………14分∵0k <<∴ …………16分 19．解：（1），，令，解得，列表：∴当时，函数取得极大值，无极小值 …………3分 （2）由，得∵0x e >，令，∴函数在区间上单调递增等价于对任意的，函数恒成立 ∴，解得3a ≥-． …………8分（3）， 令，1(2)4(2)3y x k y k x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩22286431643k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩C 2286143k k -=-+12k =±12k =P 1(2)y x k=-+2516(,)189λ∈()(3)x f x x e =-'()(2)x f x x e =-'()0f x =2x =2x =()f x 2(2)f e =()()(3)()xy f x g x x x a e ==-+22'[(3)32(3)][(1)23]x x y e x a x a x a e x a x a =-+-+-+-=-+-++2()(1)23m x x a x a =-+-++()()y f x g x =[1,2][1,2]x ∈()0m x ≥(1)0(2)0m m ≥⎧⎨≥⎩()()(3)()x f x g x x e x a h x x x +-++==22(33)'()x e x x a h x x -+--=2()(33)x r x e x x a =-+--∵在上既存在极大值又存在极小值，∴在上有两个不等实根， 即在上有两个不等实根． …………10分∵∴当时，，单调递增，当时，，单调递减 则，∴，解得，∴∵()r x 在(0,)+∞上连续且3(0)(1)0,(1)()02r r r r ⋅<⋅<∴()0r x =在(0,1)和3(1,)2上各有一个实根∴函数在上既存在极大值又存在极小值时，有，并且在区间上存在极小值1()f x ，在区间上存在极大值2()f x ．∴，且 ，…………13分令()(2),'()(1)x x H x e x H x e x =-=-，当时，'()0H x <，()H x 单调递减∵，∴23()()(1)2h h x h <<，即3221()(1,1)2h x e e ∈++，则32131142e e <+<+<∵()h x 的极大值小于整数b ，∴满足题意的整数的最小值为． …………16分20．解：（1）∵数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴，则，∴ (4)分（2）方法（一）若数列是等差数列，设其公差为 ∵11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-根据的定义，有以下结论：，，且两个不等式中至少有一个取等号， …………6分()h x (0,)+∞'()0h x =(0,)+∞2()(33)0x r x e x x a =-+--=(0,)+∞1212,()x x x x <22'()(3323)()(1)x x x r x e x x x e x x x x e =-+--+=-+=-(0,1)x ∈'()0r x >()r x (1,)x ∈+∞'()0r x <()r x 101x <<(0)0(1)0r r <⎧⎨>⎩3a e -<<-3322333()30244r e a e =--<-+<()h x (0,)+∞3a e -<<-(0,1)3(1,)222222(3)()x x e x a h x x -++=2222222(33)'()0x e x x ah x x -+--==2222(33)x a e x x =-+-22222222222(3)(33)()(2)1x x x x e x e x x h x e x x -++-+-==-+(1,)x ∈+∞23(1,)2x ∈b 4{}n a 2n n a =2n m =2n n n M a ==122122n n n b -+==+1212112n n n B n n -=+⨯=-+-{}n b 'd 11'22n n n n M M m m d ----=+=,n n M m 1n n M M -≥1n n m m -≤①若，则必有，∴，即对，都有 ∴，， ∴，即为等差数列；②当时，则必有，所以，即对，都有 ∴，， 所以，即为等差数列； ③当， ∵，中必有一个为0，∴根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即，，∴为常数数列，所以为等差数列，综上，数列也一定是等差数列． …………10分 方法（二）若数列是等差数列，设通项公式为，则． 对于数列：，增加时，有下列情况：①若时，则，此时，∴对恒成立 则，，∴即为常数，则数列是等差数列． …………7分②若时，则， ∴ ∵数列是等差数列且 ∴， ∴ ∴，即，即为常数数列 ∴数列是公差为0的等差数列．③若时，则，此时，∴对恒'0d >1n n M M ->11n n n n a M M a --=>≥2,*n n N ≥∈1n n a a ->n n M a =1n m a =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-1111'222n n n n a a a a a a d --++-=-==12'n n a a d --={}n a '0d <1n n m m -<11n n n n a m m a --=<≤2,*n n N ≥∈1n n a a -<1n M a =n n m a =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-1111'222n n n n a a a a a a d --++-=-==12'n n a a d --={}n a '0d =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-11022n n n n M M m m ----=+=1n n M M --1n n m m --1n n M M -=1n n m m -={}n a {}n a {}n a {}n b (,)n b pn q p q R =+∈1n n b b p +-={}n a 12,,,n a a a 1n a +1n n a M +>111,n n n n M a m m +++==11n n n n a M M a ++=>≥1n n a a +>*n N ∈n nM a =11n n m m a +==111111122222n n n n n n n nn n M m M m a a a a a a b b p +++++++++--=-=-==12n n a a p +-={}n a 1n n n m a M +≤≤11,n n n n M M m m ++==1n n b b +={}n b n b pn q =+0p =n b q =11111111,n n n n n n M M M M a q m m m m a q +-+-============1n q a q +≤≤n a q ={}n a {}n a 1n n a m +<111,n n n n M M m a +++==11n n n n a m m a ++=<≤1n n a a +<*n N ∈成立 则，，∴即为常数，则数列是等差数列． …………10分 （3）∵， ∴当时，，即，当时，，即．以下证明：，当7n <时，若1n n n m a M +≤≤，则1n n M M +=，1n n m m +=，所以1n n b b +=，不合题意； 若1n n a M +>，则11n n M a ++=，1n n m m +=，则1122n n n n M m M m ++++<，得：1n n b b +<，与1n n b b +>矛盾，不合题意；∴1n n n a m a +<≤，即；同理可证：，即时，．①当时，， ∴ ∴， ∵ ∴∴ …………13分②当时，，且∴，则n M 为1a 或n a ．若n M 为1a ，则n b 为常数，与题意不符∴ ∴ ∴ ∴9797892(12)(8)(7)249001442001046(7)122n n n n n A A a a a n --+-=++++=---+-⨯+--2221009466640n n n +=-+-11n n M M a +==n nm a =111111122222n n n n n n n nn n M m M m a a a a a a b b p +++++++++--=-=-==12n n a a p +-={}n a 11[2100(1)][2100]2100n n n n n b b n n ++-=-+--=-7n <10n n b b +-<1267b b b b >>>>7n ≥10n n b b +->789b b b <<<1267a a a a >>>>789a a a <<<1267a a a a >>>>789a a a <<<7,*n n N ≥∈1n n a a +<7n ≤1n M a =n n m a =12nn a a b +=12n n a b a =-1198a b ==-2100n n b n =-1220098n n a n +=-+224(12)(1)20098210024122n n n n n A n n n +-+=-⨯+=----7n >1267a a a a >>>>789a a a <<<8722007981046n m a ==-⨯+=-n n M a =72n n a a b +=17222001046n n n a b a n +=-=-+∴2222210024,7*21009466640,8n n n n n n A n N n n n ++⎧---≤⎪=∈⎨-+-≥⎪⎩，． …………16分第二部分（加试部分）21．（B ）解：∵ ∴ …………5分 矩阵A 的特征多项式为231()(3)(2)254022f λλλλλλλ--==---=-+=--， 令，解得矩阵的特征值为或． …………10分 21．（C ）解：将直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩化为方程：240x y ++= …………2分圆C的方程为)4πρθ=+化为直角坐标系方程：24(cos sin )ρρθθ=-， 即22440x y x y +-+=，22(2)(2)8x y -++=，其圆心(2,2)-，半径为…………5分∴圆心C 到直线l的距离为d ==∴直线被圆截得的弦长为． …………10分 22．解：∵正方形边长为2 ∴，， 又⊥平面∴以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系． 作，垂足为∵平面⊥平面，平面，平面平面∴平面∵ ∴点为的中点， …………2分 （1）∵∴，，，，∴ ∴ ∴ ∴直线与直线所成角为； …………5分（2）设的长度为，则∵AD ⊥平面ABE ∴平面ABE 的一个法向量为1(0,1,0)n = …………6分 设平面的法向量为，又1113632368a a A b b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦32a b =⎧⎨=⎩()0f λ=A 14l C ABCD AB AD ⊥CB CD ⊥2AB AD CD BC ====AE ABD A ,,AB AD AE ,,x y z CF BD ⊥F ABD CBD CF ⊂CBD ABD CBD BD =CF ⊥ABD 2CB CD ==F BD CF =AE =E (2,0,0)B (0,2,0)D (1,1,0)F C (0,2,2),(1,1DE BC =-=-0DE BC ⋅=DE BC ⊥DE BC 2πAE (0)a a >(0,0,)E a BDE 2111(,,)n x y z =(2,0,),(2,2,0)BE a BD =-=-∴ ∴，解得：，取，则∴平面的一个法向量为 …………8分∴121212cos ,||||n n n n n n a ⋅<>===∵二面角A BE D --的大小为12=，解得：a =∴的长度为 …………10分23．解：（1）设点，则 ∴∵ ∴，即 …………2分 （2）设，直线与轴交点为，内切圆与的切点为．设直线的方程为：，则联立方程，得： ∴且120x x << ∴ ∴直线的方程为：，与方程联立得：，化简得：解得：或 ∵ ∴轴 设的内切圆圆心为，则在轴上且……5分 方法（一）∴2211()|2|22MBD S x y =⋅+⋅△，且MBD △的周长为：22||y∴2221112||]()|2|222MBD S y r x y =⋅=⋅+⋅△ ∴221()||x y r +===…22,n BE n BD ⊥⊥21121120220n BE x az n BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩11112a x z x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩12z =11x y a ==BDE 2(,,2)n a a =3πAE (,)P x y (2,)Q y -(,),(2,)OP x y OQ y ==-0OP OQ ⋅=220OP OQ x y ⋅=-+=22y x =112233(,),(,),(,)A x y B x y D x y BD x E AB T AM 1()2y k x =+21()22y k x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩2222(2)04k k x k x +-+=1214x x =1212x x <<AN 111()122y y x x =--22y x =222221111111(+22)024y x y x x x y --++=22111112(2)022x x x x x -++=114x x =1x x =32114x x x ==BD x ⊥MBD △HHx HT AB ⊥…8分方法（二）设，直线的方程为：，其中 直线的方程为：，即，且点H 与点O 在直线AB 的同侧∴22222211|()|()x r y y x r y y r -+-+=，解得：2221x y y r +==…8分方法（三）∵ ∴，解得：…8分令，则∴在上单调增，则，即的取值范围为． ……10分2(,0)H xr -BD 2x x =2222y x =AM 221()122y y x x =++22211()022y x x y y -++=MTHMEB △△MH HT MB BE =221||x rr y +-=2222111()||x y x x r +++===212t x =+1t >r =(1,)+∞r r 1,)+∞。