题型一
题型二
题型三
解:(1)f'(x)=3(x2-a)(a≠0). 当 a<0 时,f'(x)>0 恒成立,即函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增加的,此时 函数 f(x)没有极值点. 当 a>0 时,令 f'(x)=0,得 x1= ������,x2=- ������. 当 x 变化时,f'(x)与 f(x)的变化情况如下表:
【做一做1】 已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a
的取值范围为( )
A.-1<a<2
B.-3<a<6
C.a<-1或a>2 D.a<-3或a>6
解析:∵f'(x)=3x2+2ax+(a+6),且该函数有极大值和极小值,
∴方程f'(x)=3x2+2ax+a+6=0有两个不相等的实数根. ∴Δ>0,即(2a)2-4×3×(a+6)>0,解得a<-3或a>6.
题型一
题型二
题型三
(2)由f(x)=x3-3x2-2得f'(x)=3x(x-2),
令f'(x)=0,得x=0或x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0) 0
f'(x) +
0
(0,2) 2
-
0
(2,+∞) +
f(x) ↗
极大值 ↘
极小值 ↗
由表可得: 当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值; 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值; 当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.
2.如果含有参数,必要时要对参数的取值进行讨论.通常有三类: 一类是对f'(x)=0是否有解进行讨论,二是对f'(x)=0的根是否在所给 区间或定义域内进行讨论,三是对f'(x)=0在所给区间或定义域内的 根大小进行讨论.
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 求函数 f(x)=������������2 + 1������-2������(0<x<1,a>0,b>0)的极值.
x
(-∞,- a) - a
(- a, a)
a ( a,+∞)
f'(x) +
0
-
0
+
f(x) ↗
极大值 ↘
极小值 ↗
因此,函数 f(x)的递增区间为(-∞,- ������)和( ������,+∞),递减区间为 (- ������, ������),此时 x=- ������是 f(x)的极大值点,x= ������是 f(x)的极小值点.
题型一
题型二
题型三
求含参数的函数的极值 【例1】 (1)设f(x)=x3-3ax(a≠0),求函数f(x)的单调区间与极值点; (2)求函数f(x)=x3-3x2-2在(a-1,a+1)内的极值(a>0). 分析:(1)求单调区间时,注意对参数a的讨论,以便确定f'(x)的符 号.(2)求出f(x)在R上的单调区间,判断区间(a-1,a+1)与f(x)单调区间 的关系,分类讨论求解.
第2课时 利用导数求解含参数的函数极值问题
1.会解含参数的函数的极值. 2.会利用导数根据函数的极值求有关参数.
1.判断含参数的函数y=f(x)在区间(m,n)内是否有极值的步骤: (1)求f(x)的导数; (2)令f'(x)=0,求出f'(x)=0的根; (3)判断f'(x)=0在区间(m,n)内是否有根.若无根,则函数无极值;若 有根,要判断根两侧导数的符号:异号有极值,同号无极值. 2.求极值时应注意的事项: (1)要注意运用分类讨论思想和数形结合思想; (2)区间内的单调函数没有极值; (3)导数为0的点不一定是极值点.
分析:在(1)中,由 f(x)在 x=1 处取得极值,可知 f'(1)=0,可得含 m 的 等式,求得 m 的值;在(2)中,需判断出极大值,然后使它大于或等于23, 从而得 m 的范围.
解:(1)∵f(x)=13x3-m2x(m>0), ∴f'(x)=x2-m2. ∵f(x)在 x=1 处取得极值, ∴f'(1)=1-m2=0(m>0).∴m=1. ∴f(x)=13x3-x.
题型一
题型二
题型三
(2)f'(x)=x2-m2.
令 f'(x)=0,∴x=±m.
当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-m来自 -m(-m,m) m
(m,+∞)
f'(x) +
0
-
0
+
f(x) ↗
极大值 ↘
极小值 ↗
综上得:当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值;
当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值;
当a=1或a≥3时,f(x)无极值.
题型一
题型二
题型三
反思1.对于可导函数而言,它的递减区间和递增区间的分界点应 是其导数符号正负交替的分界点.解题时,按照求函数极值的步骤 来解,要注意表格的作用,利用表格,可使极值点两边的增减性一目 了然,便于求极值.
答案:D
【做一做2】 设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若f(x)的两个极值点
为x1,x2,且x1x2=1,则实数a的值为
.
解析:∵f'(x)=18x2+6(a+2)x+2a,且f'(x1)=f'(x2)=0, ∴x1·x2=21���8��� = ���9���=1,
∴a=9.
答案:9
x=������+������ ������.
所以函数 f(x)在点 x=������+������������处取得极小值,为 f
������ ������+������
=(a+b)2.
题型一
题型二
题型三
求参数的范围
【例 2】 已知函数 f(x)=13x3-m2x(m>0). (1)当 f(x)在 x=1 处取得极值时,求函数 f(x)的解析式; (2)当 f(x)的极大值不小于23时,求 m 的取值范围.
解:f'(x)=-������������22
+
������2 (1-������)2
=
������2������������22-(���1���2-(������1)2-������)2.
令 f'(x)=0,即 b2x2-a2(1-x)2=0,解得 当当������0+������<������x<<x���<���+���1��� ������时时,,ff''((xx))<>00;.
